Tema 2: Relaciones métricas en el triangulo rectángulo

Para comenzar este curso tenga en cuenta las siguientes formulas las cuales serán de utilidad

senx= catetoopuestohipotenusa

→senx=ba

cscα= hipotenusacateto opuesto

→cscα=ab

cosx= catetoadyacentehipotenusa

→cosx= ca

secα= hipotenusacatetoadyacente

→secα=ac

tangx :cateto opuesto

catetoadyacente→tangx=b

c cotα= catetoadyacente

cateto opuesto→cotα= c

b

Teorema de Pitágoras Identidades Útiles

hip2=co2+ca2 senx=√1−c os2 x cscx=1

senx tanx=

1cotx

co2=hip2−ca2 cosx=√1−sen2 x cosx=1

secx cotx=

1tanx

ca2=hip2−co2 senx=1

cscx secx=

1cosx

tanx=senxcosx

Función circular Signo del cuadranteI II III IV

Senx + + - -Cosx + - - +Tangx + - + -Cotx + - + -secx + - - +Cscx + + - -

Ejercicios resueltos.

1. Si senθ=27entonces tanθ

a .2√515

b . √515

c .2√5d .2

15e .

23√5

Primero sabemos que tanθ=senθcosθ

, nos dan el seno del ángulo tenemos que encontrar el coseno

cosθ=√1−sen2θ→cosθ=√1−( 27 )

2

→cosθ=√1− 449

→cosθ=√ 49−449

cosθ=√ 4549

→cosθ=√ 9×549

→cosθ=3√57

; Ahora tanθ=senθcosθ

→tanθ=

27

3√57

→tanθ=27×

73√5

→tanθ=2

3√5

Racionalizamos la expresión anterior (solo cuando en el denominador tenga alguna raíz) 2

3√5×

3√53√5

= 6√59×5

→6√545

→2√515

2. Si cosθ=27entonces cotθ?

a .2√515

b . √515

c .2

15d .

2√57

e .43

Este ejercicio se puede resolver de la siguiente manera

c=√(7 )2−(2 )2 c=√49−4c=√45c=√9×5c=3√5

cotθ= 23√5

cotθ= 23√5

× √5√5

cotθ= 2√53×5

cotθ=2√515

3. Si tanθ>0 y secθ<0. Elcuad rante enqueθ estáubicado es

a. IIIC b. IIC c. IVC d. VC e. ninguna

Este ejercicio cumple con la tabla de signos y se procede así

Tanθ>0 I y III cuadrante secθ<0en el II y III cuadrante, para determinar el cuadrante basta saber si se repite el cuadrante, y el cuadrante que se repite es el III por tanto el cuadrante en que se encuentra el ángulo es el III C

4. Si el senθ>0 y cosθ<0 el cuadrante en que está ubicado el ángulo θ es

a. IC b. IIC c. IIIC d. IVC e. VC

De igual manera procedemos como en el ejercicio anterior senθ>0 I y II C cosθ<0 II y III C , por tanto el cuadrante en que está el ángulo es IIC

5. Si cotθ<0 y secθ<0 el cuadrante en que se encuentra el ángulo es

a. IC b. IIIC c. VC d. IIC e. IIIC

Procedemos como en el caso anterior cotθ<0 II y IV secθ<0 II y III por tanto el cuadrante en que está el ángulo es IIC

6. Se tiene un triangulo rectángulo con hipotenusa 4 √3 y un ángulo de 60°, el lado opuesto Vale

a. 5 b. 4.3 c. 5.6 d. 6.5 e. 4.5

Podemos aplicar el seno sen60 °= c

4√3c=4 √3 sen60 °c=5.6

4 √3