TEMA Nº 1: REGLA DE TRES

REGLA DE TRES: Se aplica a problemas en los que se conocen tres magnitudes, dos de ellas de la misma especie y se intenta obtener una cuarta magnitud cuya especie es de la misma que la de la tercera cantidad. 1. REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA: Considera magnitudes directamente proporcionales. a) Por 5 bolsas de cemento de 50 Kg. se pagaron $ 135. ¿Cuánto se pagará por 18 bolsas iguales?

5 bolsas---------------$ 135

18 bol.---------------- x De esta expresión se obtiene la proporción:

5/18 = 135 / x ⇒ x = (18 bolsas * $ 135) / 5 bolsas ⇒ x = $486. b) Por preparar un campo de 7 ha de superficie, un labrador cobra 21.315 € ¿Cuánto cobraría si la superficie del campo midiera 12 ha? Por 7 Ha. Cobra 21.315 €. Por 12 Ha. Cobrará X €.

Pasos a dar: a) A más Ha. ,se cobra más 1.Tipo de proporcionalidad: Directa b)Al doble de Ha, doble paga

2.Cálculo X

21315

12

7 = .€ 540.367

2131512 == xX

2. REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA: Considera magnitudes inversamente proporcionales. a) Si para construir una obra en 36 días se necesitan 15 operarios, ¿cuántos operarios serán necesarios para realizar la misma obra en 27 días?

36 días ---------------- 15 operarios 27 días ------------------ x

Como la relación entre las cantidades es inversa, se invierte una de las dos columnas de valores y a partir de ella se forma la proporción que se resuelve.

36 días ---------------- x

27 días ---------------- 15 operarios

Luego: 36/27 = x/15 ⇒ x = (36 días * 15 operarios) / 27 días ⇒ x = 20 operarios. b) Los soldados de un cuartel se colocan formando 9 filas de 40 reclutas cada una. ¿Cuántas filas de 30 hombres cada una se pueden formar? A 9 filas. 40 reclutas. A X filas 30 reclutas

Pasos a dar: A más filas, menos reclutas por fila 1.Tipo proporcionalidad Inversa Al doble de filas, mitad de reclutas

2. Cálculo 40

309 =X

.filas 1230

409 == xX

Observar el cambio de lugar que debe producirse en la disposición de los datos cuando la proporcionalidad es inversa.

3. REGLA DE TRES COMPUESTA: Relaciona más de dos magnitudes y puede descomponerse en dos o más problemas de regla de tres simple. 3.1. REGLA DE TRES COMPUESTA DIRECTA: Su relación corresponde a una proporción directa (directamente proporcional). a) Para contratar 12 operarios durante 8 días se necesitan $ 4800. Si los operarios fuesen 18 y hubiese que contratarlos durante 30 días: ¿Cuánto dinero se necesitaría? 12 operarios----------------8 días----------------$ 4800 18 operarios----------------30 días--------------- x 12 operarios----------------$ 4800 18 operarios---------------- x Luego: 12/18 = 4800/x ⇒ x = (18 * 4800) / 12 ⇒ x = $ 7200 8 días----------------$ 7200 30 días---------------- x Luego:

8/30 = 7200/x ⇒ x = (30 * 7200) / 8 ⇒x = $ 27000. b) Para alimentar las 248 máquinas de una fábrica durante 24 horas se gastan 89 280 euros. Si trabajan 12 horas 324 máquinas iguales, ¿cuánto gastarán? Magnitudes que intervienen:

Número de máquinas Horas de trabajo Gasto � Incógnita

Planteamiento: Directa 248 máquinas � trabajando 24horas � gastan 89.280 €. 324 máquinas � trabajando 12horas �gastan X €. Directa

Análisis de proporcionalidad:

Número de máquinas y gasto que producen A más máquinas se gasta más Directa Al doble de máquinas produce el doble de gasto Horas de trabajo y gasto producido A más horas de trabajo más gastos se producen Directa Al doble de horas de trabajo doble de gastos

Cálculo:

..5832024248

8928012324

89280

12

24

324

248

Rptax

xxX

Xx

==

=

Observamos que no hay cambio de lugar (en

la fracción) de las cantidades correspondientes a las magnitudes

directamente proporcionales. 3.2. REGLA DE TRES COMPUESTA INVERSA: Su relación corresponde a una proporción inversa (inversamente proporcional). a) Para realizar una construcción en 36 días trabajando 10 horas diarias se emplean 20 albañiles. Si se desea realizar la misma construcción en 15 días, trabajando 8 horas diarias: ¿Cuántos albañiles se necesitarían? 36 días----------------10 horas----------------20 albañiles 15 días----------------8 horas --------------- x 36 días----------------20 albañiles 15 días---------------- x Luego: x = (36 * 20) / 15 ⇒ x = 48 albañiles. 10 horas----------------48 albañiles 8 horas ---------------- x Luego: x = (10 * 48) / 8 ⇒ x = 60 albañiles.

b) Para realizar una obra 40 obreros, trabajando 6 horas diarias, han necesitado 100 días. ¿Cuántos obreros, trabajando sólo 4 horas diarias se necesitarían para terminar la misma obra en 120 días?

Magnitudes que intervienen:

Nro. de obreros ���� Incógnita Horas al día Número de días

Planteamiento:

Trabajando 6 hrs al día durante 100 días se necesitan 40

Obreros

Trabajando 4 hrs al día durante 120 días se necesitan X obreros

inversa

Análisis de proporcionalidad: Horas diarias y números de obreros A más horas diarias necesitan menos obreros Inversa Al doble de horas diarias se necesitan la mitad de obreros Días de trabajo y número de días A más días de trabajo se necesitan menos obreros Inversa Al doble de días se necesitan la mitad de obreros

Cálculo:

. 50

1204

10064040

100

120

6

4

obrerosX

x

xxX

Xx

=

=→=

Observamos el cambio de lugar (en la fracción) que sufren las magnitudes

inversamente proporcionales. 3.3. REGLA DE TRES COMPUESTA MIXTA: a) Para recoger la cosecha de un campo de 60 ha., 10 hombres emplearon 12 días. Si hubiera que recoger la cosecha de un campo de 45 ha.:¿qué tiempo emplearían 15 hombres? 60 ha----------------10 hombres----------------12 días 45 ha----------------15 hombres --------------- x 60 ha----------------12 días 45 ha ---------------- x Luego: x = (45 * 12) / 60 ⇒ x = 9 días 10 hombres ----------------9 días 15 hombres -------------- x Luego: x = (10 * 9) / 15 ⇒ x = 6 días .

inversa

TEMA Nº 2: PORCENTAJES

Todo porcentaje viene dado respecto a una cantidad, o un precio, de referencia. Por ejemplo: “En estas elecciones ha dejado de votar el 32% de los electores”. El total de referencia es el total de personas que podrían haber votado. PORCENTAJE Y FRACCION: Las fracciones y los porcentajes están muy ligados entre sí.

♦ El 20% de una cantidad es su quinta parte:

5

1

100

20%20 ==

♦ 20

21 en forma de porcentaje:

20

21= 1.05 * 100 = 105%

CALCULO DEL TANTO POR CIENTO DE UNA CANTIDAD: Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, expresamos el tanto por ciento en forma decimal y lo multiplicamos por la cantidad.

Para calcular el 12% de 3000 se puede proceder así: 360100

12*3000 =

O bien:

36012,0*3000100

12*3000 == .

O también:

3000100

12 x= por lo tanto: 360100

3000*12 ==x .

¿Cuál es el tanto por ciento? De una población de 3000 animales contraen una enfermedad 360. ¿Qué porcentaje de animales enfermos hay? Se debe calcular cuántos de cada 100 están enfermos:

1003000

360 x= Por lo tanto: 123000

100*360 ==x %.

O de este otro modo:

3000

360= 0,12. Hay el 12 % de animales enfermos.

AUMENTOS PORCENTUALES: Las reservas de agua de cierta región, estimadas hace un mes en 260 hm3, han aumentado con las últimas lluvias en un 15%. ¿Cuáles son las reservas actuales? Es decir que por cada 100 hm3 que había hace un mes hoy hay 115 hm3

X

115

260

100 = por lo tanto: 299100

115*260 ==X hm3.

Otra forma sería: 260 * 0.15 = 39 => 260 + 39 = 299 hm3. Hemos calculado el 115% de 260. Es decir, también podría haberse calculado así: 260 * 1,15 = 299 hm3. Si el dato es la cantidad aumentada procedemos así: Las reservas de agua de cierta comunidad han sufrido en el último mes un aumento de un 15%. Si actualmente se cifran 299 hm3, ¿cuáles eran las reservas hace un mes?

x

100

299

115 = por lo tanto: 260115

100*299 ==x hm3.

O podemos plantear la siguiente ecuación: 1,15 * (x) = 299 x = 299 / 1.15 = 260 hm3. DISMINUCIONES PORCENTUALES: Se anuncia la rebaja de un 15 % en una veterinaria. ¿Cuál será el precio rebajado de un producto que cuesta $42? Tenemos en cuenta que cada $100 del precio, la rebaja será de $15; o sea el precio rebajado es $85. Entonces:

x

85

42

100 = por lo tanto: 70.35100

85*42==x .

Otra forma sería: 42 * 0.15 = 6.3 => 42.0 – 6.30 = 35.70 Hemos pagado el 85% de $42. Entonces, también puede calcularse así : 42 * 0.85 = 35.70

Si el dato es la cantidad rebajada procedemos así: He pagado $35,70 por un artículo que estaba rebajado un 15%. ¿Cuál era el precio antes de ser rebajado?

x

100

70,35

85 = por lo tanto: 4285

100*70,35 ==x .

O podemos plantear la siguiente ecuación: 0,85 * (x) = 35,70

x = 35.70 / 0,85 = 42 .

ENCADENAMIENTOS DE VARIACIONES PORCENTUALES: Para encadenar aumentos y disminuciones porcentuales, se multiplican los índices de variación de los sucesivos pasos. Ejemplo 1: Unas acciones que valían 1000 € suben el 60 %. Después, vuelven a subir el 25 %. ¿Cuál es el valor final de las acciones y el porcentaje total de la subida? i) Por partes:

1000 € +60% 1000 € * 1.60 = 1600 €

1600 € +25% 1600 € * 1.25 = 2000 € ii) Globalmente:

Valor final = 1000 * 1.60 * 1.25 = 2000 €.

% Total de la subida = 100/1000

10002000− = 100%

iii) Calculando el Aumento Único:

A.U. = [a + b + 100

* ba]%

A.U. = 60 + 25 + 100

25*60= 100%

Luego: 1000 + 100%(1000) = 2000 €.

Ejemplo 2: Una guitarra de 800 € sube el 50 %. Después, baja el 50 %. ¿Queda como estaba? Por partes:

800 € +50% 800 € * 1.50 = 1200 €

1200 € -50% 1200 € * 0.50 = 600 €

Globalmente:

Valor Final = 800 * 1.50 * 0.50 = 600 € . Ejemplo 3: El precio de una enciclopedia es 520 €, primero sube un 10 %, después sube otro 25 % y, finalmente, baja un 30 %. a) ¿Cuál es el precio final? b) ¿A qué porcentaje de aumento o de disminución corresponde? Por partes:

520 € +10% 520 € * 1.10 = 572 €

572 € +25% 572 € * 1.25 = 715 €

715 € -30% 715 € * 0.70 = 500.50 €

Globalmente: a) Precio final = 520 * 1.10 * 1.25 * 0.70 = 500.50 € .

b) 520 - 500.50 = 19.50 => Luego calculamos a que porcentaje del Total equivale 19.50 € :

520 * 100

X = 19.50

X = 520

50.19 * 100 = 3.75%.

Por lo tanto el precio de la enciclopedia ha disminuido en: 3.75% .