REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

“SANTIAGO MARIÑO”

EXTENSIÓN MARACAIBO

INGENIRIA ELECTRICA Y ELECTRONICA

RESPUESTA EN FRECUENCIA

Integrantes :

• Heber Jimenez C.I 13.757.279

MARACAIBO, ENERO 2016

INTRODUCCION

Con el término respuesta en frecuencia, nos referimos a la respuesta de un

sistema en estado estable a una entrada sinodal. En los métodos de la

respuesta en frecuencia, la frecuencia de la señal de entrada se varía en un

cierto rango, para estudiar la respuesta resultante. Se puede decir que es una

cantidad tridimensional que consiste en amplitud vs fase vs frecuencia. Por eso

una gráfica verdadera de ella necesita tres dimensiones, una manera de

representar esto es con la gráfica de bode, que consiste en dos curvas, una de

amplitud vs frecuencia y una de frecuencia vs amplitud las cuales estudiaremos

a continuación.

RESPUESTA EN FRECUENCIA

La respuesta en frecuencia se define como la respuesta de un sistema, en

estado estacionario, ante una entrada sinusoidal. Tal como en capítulos

anteriores, los procesos estudiados en este capítulo son lineales, por lo que al

ser sometidos a este tipo de entrada presentan también una salida sinusoidal

pero con diferente amplitud y ángulo de fase, tal como se observa en la Fig.

1.1. Entre las ventajas que proporciona el análisis de un sistema a través de su

respuesta en frecuencia se encuentran la facilidad de reproducir señales de

prueba que permiten una identificación frecuencia, la existencia de criterios de

estabilidad a lazo cerrado, basados en la respuesta frecuencia del sistema a

lazo abierto y finalmente la disposición de técnicas de diseño para el control de

sistemas cuando las especificaciones de la respuesta son de carácter

frecuencia. Además, cabe mencionar, que es posible establecer una relación

entre la respuesta frecuencia y la temporal.

Figura 1.1: Entrada y salida sinusoidal de un sistema

Una vez alcanzado el estado estacionario se puede obtener, en forma analítica,

la respuesta frecuencia haciendo uso de la función de transferencia del sistema

G(s), sustituyendo s = jω en dicha función de transferencia tal como se muestra

a continuación.

G(jω) = Me jφ

(1.1)

Donde M corresponde con la relación de amplitudes de las sinusoidales de

salida y entrada, y φ viene a ser el ángulo de desfasaje. De la misma forma

G(jω) viene a ser un vector con módulo y fase, los cuales pueden expresarse

según las Ecs. 1.2 y 1.3, respectivamente.

G(jω) = |G(jω)| e jφ

(1.2)

(1.3)

Ahora, partiendo del hecho de que la función de transferencia de un sistema es

una relación entre entrada-salida, se pueden expresar el módulo y el ángulo en

función de la entrada R(s) y de la salida C(s), tal como lo expresan las Ecs. 1.4

y 1.5, respectivamente. De allí que, si se conoce G(s) es posible obtener, en

forma analítica, la respuesta frecuencial del sistema evaluando el módulo y la

fase para valores de frecuencia desde cero hasta infinito.

(1.4)

(1.5)

OBTENCIÓN DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA APARTIR DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Una función de transferencia puede ser expresada como una relación de ceros

y polos que, en forma general, puede ser escrita tal y como se muestra en la

Ec. 1.6, donde K corresponde con la ganancia del sistema, z con los ceros, p

con los polos, m con el número de ceros y n con el número de polos. A partir de

allí, el módulo de la respuesta frecuencia y su fase, para un valor específico de

ω, se calcularan según las Ecs. 1.7 y 1.8, respectivamente.

(1.6)

(1.7)

(1.8)

Considerando una función de transferencia específica como la expresada por la

Ec. 1.9, es posible conocer su respuesta frecuencial tal como se muestra a

continuación, donde el módulo y la fase deberán evaluarse para ω desde cero

hasta infinito.

(1.9)

(1.10)

(1.11)

(1.12)

La representación de la respuesta frecuencial puede hacerse de diferentes

formas, entre las cuales se pueden nombrar los Diagramas de Bode y los

Diagramas Polares, los cuales serán estudiados a continuación.

DIAGRAMAS DE BODE

Los diagramas de bode se utilizan para representar la respuesta frecuencial de

un sistema haciendo uso de dos gráficos, el primero representa el logaritmo del

módulo versus la frecuencia y el segundo representa el ángulo de fase versus

la frecuencia. La magnitud logarítmica de G(jω) se representa como una

amplitud logarítmica y se calcula como el 20log|G(jω)|, siendo la unidad de

dicha amplitud los decibeles (dB). La principal ventaja de realizar un diagrama

logarítmico es que el carácter multiplicativo de los módulos en la función de

transferencia se convierte en aditivo, lo cual simplifica la representación en

cuestión. Para un sistema cuya función de transferencia sea la expresada por

la Ec. 1.13, se calculará su amplitud logarítmica y su fase tal como lo expresan

las Ecs.1.16 y 1.17, en las que se puede observar el carácter aditivo de ambas.

(1.13)

(1.14)

(1.15)

(1.16)

(1.17)

Partiendo del hecho de que, tanto la amplitud logarítmica como la fase, pueden

ser representadas como la suma de las contribuciones de cada uno de sus

factores, es posible obtener el diagrama de Bode de un sistema cualquiera si

se conocen los diagramas de Bode para los diferentes factores que la

conformen. Es decir, conocidos los diagramas de Bode para los distintos

factores que pueden componer una función de transferencia, será posible

obtener el diagrama de Bode de una función compuesta por dichos factores de

una forma muy sencilla. Para ello se desarrollará la representación de los

diagramas de Bode para los diferentes factores que conforman una función de

transferencia, los cuales son los siguientes:

→ Ganancia G(jω) = K

→ Polo y cero en el origen G(jω) = (jω) ±1

→ Factores de primer orden G(jω) = (1+τ jω) ±1

→ Factores cuadráticos G(jω) = h 1+2ζ (jω/ωn) + (jω/ωn) 2 i

A continuación se desarrollarán los diagramas de Bode de cada uno de dichos

factores, para lo cual se partirá de la función de transferencia de cada uno y se

seguirá el mismo procedimiento descrito con anterioridad para obtener la

amplitud logarítmica y la fase.

GANANCIA

La obtención del diagrama de Bode para el factor ganancia se realiza

sustituyendo s = jω en la función de transferencia, de forma tal que a partir de

allí se pueda obtener la amplitud logarítmica y la fase para los valores de

frecuencia requeridos, tal como se muestra a continuación.

(1.18)

(1.19)

(1.20)

En la Fig. 1.2 (a) se puede observar el vector que representa G(jω) en el plano

s, en el cual se aprecia que dicho vector siempre tendrá una fase igual 0o y un

módulo igual a K independiente del valor de la frecuencia. Adicionalmente, en

la Fig 1.2 (b) se puede apreciar el diagrama de Bode para los casos en que sea

K > 1 y K < 1, del cual destaca el hecho de que agregar un factor ganancia

tendrá como resultado una subida o bajada del diagrama de amplitud

dependiendo del valor de la ganancia, sin que ello modifique en lo absoluto la

fase.

(a) (b)

Figure 1.2: Diagrama de Bode. Ganancia G(s) = K

POLO Y CERO EN EL ORIGEN

Al igual que en el caso anterior, la obtención del diagrama de Bode para este

tipo de factor se realiza sustituyendo s = jω en la función de transferencia, de

forma tal que se pueda obtener la amplitud logarítmica y la fase para los

valores de frecuencia requeridos, tal como se muestra a continuación.

(1.21)

(1.22)

(1.23)

A partir de allí se puede concluir que el vector que representará la respuesta

frecuencial para variaciones de ω de cero a infinito, mostrado en la Fig 1.3,

tendrá siempre una fase igual a −900 , en tanto que su módulo variará desde

infinito a cero. En dicha figura es posible observar el siguiente comportamiento

para la fase, el cual confirma lo concluido respecto a la misma.

Figure 1.3: Polo en el origen (Plano s)

En cuanto a la amplitud logarítmica, descrita según la Ec. 1.22, se concluye

que la representación de la misma en escala semilogarítmica resulta ser una

recta, cuya pendiente puede conocerse evaluando la función para dos valores

de frecuencia, como por ejemplo ω1 y ω2 cuya diferencia es una década. En la

Ec. 1.25 se demuestra que en una década la recta a caído 20 dB por lo que se

concluye que la gráfica de la amplitud logarítmica corresponderá con una recta

cuya pendiente sea de −20 dB/dc. En la Fig. 1.4 se puede observar el diagrama

de Bode para un polo en el origen, en la cual también se incluye el diagrama

para un cero en el origen el diagrama de amplitud será una recta de pendiente

20 dB/dc y la fase será de 900 para toda la frecuencia. Ambos diagramas

pueden observarse.

(1.24)

(1.25)

Figure 1.4: Diagrama de Bode. Polo y cero en el origen G(jω) = (jω) ±1

Cabe destacar que si se tienen polos múltiples, G(s) = (s) ±n , la ganancia

logarítmica y la fase quedarán expresadas según las Ecs. 1.26 y 1.27,

respectivamente. De allí que se tendrá una gráfica de ganancia logarítmica

cuya pendiente será ±n(20dB/dcada) y una gráfica de fase cuyo valor será

(±n90o )

(1.26)

(1.27)

POLO Y CERO EN EL EJE REAL

La obtención del diagrama de Bode para un polo en el eje real se realiza en

forma semejante a los anteriores, de forma tal que el módulo y la fase

quedarán expresados según las Ecs. 1.31 y 1.32.

(1.28)

(1.29)

(1.30)

(1.31)

(1.32)

Para este caso se utilizarán aproximaciones para graficar el diagrama de Bode,

tanto para la amplitud logarítmica como para la fase, las cuales se conocerán

en adelante como aproximaciones asintóticas. Para ello se evaluarán las Ecs.

1.31 y 1.32 en ciertos valores que se muestran a continuación.

Como se puede observar, la amplitud logarítmica tiende a 0 dB cuando la

frecuencia es mucho menor que 1/τ y cuando la frecuencia es mucho mayor

que 1/τ tiende a una recta de pendiente −20 dB/dc, siendo 1/τ el punto donde

se cortan ambas asíntotas conocido como frecuencia de corte o de transición

de ganancias. En cuanto a la fase, también se observan unas tendencias en los

extremos de frecuencia en los cuales la misma no presentará cambios. En la

Fig. 1.5(a) se muestra tanto el diagrama de Bode exacto para un polo en el eje

real, como su aproximación asintótica y en la Fig. 1.5(b) se muestra el caso del

cero en el eje real.

Figure 1.5: Diagrama de Bode. Polo y cero en el eje real G(jω) = (1+τ jω) ±1

CONCLUSION

Podemos concluir que la respuesta en frecuencia es una representación de la

respuesta en sistema de entradas sinusoidales a frecuencia variable. La salida

de un sistema lineal a una entrada sinusoidal es una sinusoide de la misma

frecuencia pero con distinta magnitud y fase. El método de la respuesta en

frecuencia puede ser menos intuitivo que otros métodos, sin embargo tiene

ciertas ventajas, especialmente en situaciones reales como modelado de

funciones de transferencia a partir de datos físicos.