Sistemas de segundo orden

Sistemas de segundo orden

Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Los sistemas de segundo orden continuos son aquellos que responden auna ecuación diferencial lineal de segundo orden

)()()(

)()()(

212

2

0212

2

0 trbdttdr

bdt

trdbtca

dttdc

adt

tcda ++=++

Sin pérdida de generalidad se analizará un caso muy común donde:

.0,,,1 102210 ====== bbKbapaa

Que corresponde al siguiente sistema de segundo orden:

)( pssK+

)(sR )(sC)(sE K

p

dondees una const.que representauna ganancia.

es una const. realrepresenta al polodel sistema.

Su función de transferencia de lazo cerrado es:

Kpss

KsRsC

++= 2)()(

Como se aprecia, los polos de lazo cerrado pueden ser de tres tipos


−−+

−++

=K

ppsK

pps

KsRsC

4242

)()(

22

1. Reales diferentes si: Kp >4

2K

p =4

2

Kp <4

2, 2. Reales iguales si:

3. Complejos si

Para facilitar el análisis se realiza el siguiente cambio de variables2nK ω= σζω 22 == np


22

2

2)()(

nn

n

sssRsC

ωζωω

++= forma estándar del sistema

de segundo orden.

donde es la frecuencia natural no amortiguada, se denomina atenuación, es el factor de amortiguamiento. Ahora el comportamiento dinámico del sistema de segundo orden se describe en términos de los parámetros y .ζ nω

Se analizará la respuesta transitoria ante una entrada escalón unitario:

(1) Caso subamortiguado : en este caso se escribe)10( << ζ )()( sRsC

donde se denomina fracuencia natural amortiguada. Si21 ζωω −= nd

nω σζ

))(()()( 2

dndn

n

jsjssRsC

ωζωωζωω

−+++=

)(sRes una entrada escalón, entonces

ssssC

nn

n

)2()(

22

2

ωζωω

++=


Utilizando fracciones parciales

2222 )()(

1)(

dn

n

dn

n

ss

ss

sCωζω

ζωωζω

ζω++

−++

+−=

y conociendo que

tes

sd

t

dn

n n ωωζω

ζω ζω cos)( 22

−=

++

+1-L

tsenes

dt

dn

d n ωωζω

ω ζω−=

++ 22)(

1-L

Se obtiene la salida en el tiempo

)0(1

tan1

1)(2

12

≥

−+−

−= −−

ttsene

tc d

tn

ζζω

ζ

ζω


(2) Caso de amortiguamiento crítico :)1( =ζ

)(sC

sssC

n

n2

2

)()(

ωω

+=

)0()1(1)( ≥+−= − ttetc ntn ωω

la transformada inversa arroja

en este caso se tienen dos polos reales iguales y ante un escalón es


ssssC

nnnn

n

)1)(1()(

22

2

−−+−++=

ζωζωζωζωω

t

t

n

n

e

etc

ωζζ

ωζζ

ζζζ

ζζζ)1(

22

)1(22

2

2

)1(12

1

)1(12

11)(

−+−

−+−

−−−−

−+−+=

en este caso se tienen dos polos reales negativos y diferentes. Para unaentrada escalón, es

(3) Caso sobreamortiguado :)1( >ζ

)(sC

La transformada inversa de Laplace de la ecuación anterior es


Fig. Curvas de respuesta al escalón unitario.

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

sa1>ζ

ca1=ζ

0=ζ

2.0=ζ

4.0=ζ

7.0=ζ8.0=ζ

Figura. Respuesta al escalón de diferentes sistemas de segundo orden.


Respuesta impulsiva de sistemas de segundo orden

22

2

2)(

nn

n

sssC

ωζωω

++=

)10( <≤ ζ )0(11

)( 22

≥−−

= − ttsenetc ntn n ζω

ζω ζω

)1( =ζ

)0(1212

)( )1(2

)1(2

22

≥−

−−

= −−−−−− teetc tntn nn ζωζζζωζζ

ζω

ζω

para

para

)1( >ζ

)0()( 2 ≥= − ttetc tn

nωω

Utilizando transformada inversa obtenemos las siguientes soluciones de )(tc

para


0 2 4 6 8 10 12-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

sa1>ζ

ca1=ζ

0=ζ2.0=ζ

4.0=ζ

7.0=ζ

Figura. Respuesta al impulso de diferentes sistemas de segundo orden.


Definición de los parámetros de la respuesta transitoria

Las características de desempeño de un sistema de control se comparan basándose en el tiempo de la repuesta transitoria. La característica transitoria de los sistemas dinámicos se presenta por la incapacidad de responder de manera instantánea a las entradas o perturbaciones. La respuesta transitoria es común clasificarla con base a los siguientes parámetros.

1. Tiempo de retardo

2. Tiempo de crecimiento

3. Tiempo pico

4. Sobreimpulso máximo

5. Tiempo de establecimiento

rtdt

pt

pM

st

a continuación se definen…0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t

c(t)

1

0st

pM

rt pt

Tiempo de retardo

, td . Es el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar la mitad del valor final por primera vez.


2.- Tiempo de crecimiento, . Es el tiempo requerido para que la respuesta aumente de 0 a 100% para sistemas subamortiguados, del 5 al 95% o del 10 al 90% para sistemas críticamente amortiguados o sobreamortiguados.

El tiempo de crecimiento se obtiene dando un valor de uno en la ecuación de respuesta de un sistema de segundo orden ante una entrada escalón.

1)1

(cos1)(2

=−

+−= −rdrd

t tsentetc rn ωζ

ζωζω

01

cos2

=−

+ rdrd tsent ωζ

ζω


0tan1

1costancos1

cos22

=

−+=

−+ rdrdrdrdrd ttttt ω

ζζωωω

ζζω

o bien

σωβ

ωβπ

σω

ωd

d

d

drt

11 tan,tan1 −− =−=

−=

σω

ζζω

−=

−−= d

rdt21

tan

el tiempo de crecimiento es

β

σ

dω


3.- Tiempo pico, . Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico de sobreimpulso. El tiempo pico se obtiene derivando la ecuación de respuesta c(t) e igualándola a cero, con lo que se obtiene

pt

01

)(2

=−

− pntnpd etsen

ζω

ζωω

dppd

pd

tt

sosobreimpulprimereleligese

sonecuaciónestasatisfacenquevaloreslostsen

ωππω

πππω

=⇒=

=

.,,3,2,,0

,0


SOBREPASO

1)( −= pp tcM

−+−= −

dd

dd sene dn

ωπω

ζζ

ωπωωπζω

2)(

1cos

( ) ( )πωσπωωζ ddn ee −− ==

( )πζζ 21−−= eM p

st

4.

Es el valor pico máximo de la curva de respuesta medido desde la unidad o valor deseado. El sobreimpulso máximo se obtiene de la respuesta evaluada en el tiempo pico.

pM

5.- Tiempo de establecimiento,5.- Tiempo de establecimiento, . Es el tiempo mínimo donde la curva de respuesta alcanza y se mantiene dentro de un rango de error preestablecido, generalmente es del 2% o del 5%, el rango más común es el del 2%. Para sistemas de primer y segundo orden, la respuesta se mantiene dentro del 2% después de 4 constantes de tiempo:

σζω44

4 ===n

s Tt


Ejemplo: Definir los parámetros de respuesta transitoria del sistema

)34(

375

+ss

)(sR )(sC

Desarrollo:

La función de transferencia de lazo cerrado es

37534

375

)(

)(2 ++

=sssR

sC

Se utiliza la siguiente igualdad

22

2

2 237534

375

nn

n

ssss ωζωω

++=

++


se obtiene

3752 =nω

342 =nζω

375=nω

877876.03752

34 ==ζ

17=σ

A partir de aquí se obtienen los parámetros de respuesta transitoria

segundostd

r 2849.0=−=ω

βπ

86=dω

.499.0tan 1 radd == −

σωβ

segundostd

p 33876.0==ωπ

( ) %315.000315.0 === − πωσ deM p

segundosts 23529.04 ==σ

Nota: Analizar porque prs ttt <<


Ejemplo: De los siguientes parámetros de respuesta transitoria obtener la función de transferencia.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t

c(t)

127

0

142

0.75

Desarrollo: de la gráfica

1181.0127

127142 =−=pM segundosts 75.0=Estos dosParámetrosSon suficientes


De st3333.5

44 ==→=s

s tt σ

σDe y conociendo pM σ

( ) 84335.7ln

=−=→= −

pdp M

eM dσπωπωσ

Entonces

3333.5=σ84335.7=dω

48486.922 =+= dn ωσω56229.0==→=

nn ω

σζσζω

96256.89666.10

96256.89

2)( 222

2

++=

++=

sssssG

nn

n

ωζωω

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