Forma general

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIASDE SEGUNDO ORDEN

CASOS ESPECIALES:

Se sustituye

; No aparece la variable dependiente

Ejemplo: Resolver

𝑣=𝑦 ′ ⇒ 𝑣 ′=𝑦 ′ ′

∴ 𝑣 ′= 𝑓 (𝑥 ,𝑣) ED lineal

1.−2 𝑥 𝑦 ′ ′+(𝑦 ′ )3=2𝑥𝑦 ′

2 .−𝑥 𝑦 ′ ′=√1+ (𝑦 ′ )2

Si se sustituye

; No aparece la variable independiente

reemplazando se obtiene:

𝑣=𝑦 ′ ⇒ 𝑑𝑣𝑑𝑥

=𝑦 ′ ′

⇒

𝑑𝑣𝑑𝑥

=𝑑𝑣𝑑𝑦.𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑣𝑑𝑣𝑑𝑦

= 𝑓 (𝑦 ,𝑣)

𝑑𝑣𝑑𝑥

= 𝑓 (𝑦 ,𝑣) (ED con tres variables)

Por la regla de la cadena

⇒ 𝑑𝑣𝑑𝑥

= 𝑑𝑣𝑑𝑦.𝑣= 𝑑2𝑦

𝑑 𝑥2

(ED de primer orden)

Ejemplo: Resolver

1.−2 𝑦2(𝑦¿¿ ′ ′)+2 𝑦 (𝑦 ′ )2=1¿

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

⇒ecuación diferencial tiene dos soluciones

𝑦 1, 𝑦 2 además dos constantes 𝑐1,𝑐2

TEOREMA (Principio de superposición) Si y son soluciones de la ecuación diferencial Entonces también es solución de la ecuación diferencial.

Donde y funciones continuas en un intervalo

es llamado ecuación Homogénea

EJEMPLO:

𝑦 ′ ′+𝑦=0⇒ 𝑠𝑖 { 𝑦1=𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦2=3𝑐𝑜𝑠𝑥

⇒

También es solución de la ecuación diferencial

𝑦=𝑐1 𝑦1+𝑐2 𝑦2

CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUCIONES

Definición: el conjunto de soluciones es llamado conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial si cualquier solución de la ecuación diferencial se puede expresar como una combinación lineal de sus dos soluciones y

Notación: C.F.S

Observacion: deben ser linealmente independientes

CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUCIONES TÍPICOS

Es el conjunto fundamental donde las funciones que lo conforman tienen coeficiente uno

Ejm. ⇒ {𝑠𝑒𝑛𝑥 ,𝑐𝑜𝑠𝑥 }Definición: (wronskiano) de funciones diferenciales como el determinante de un sistema conformado por filas y columnas

𝑤(𝑦1 , 𝑦2 .... 𝑦 𝑛)=det [ 𝑦1 𝑦2 .... 𝑦𝑛

𝑦1′ 𝑦2

′ .... 𝑦𝑛′

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝑦1𝑛−1 𝑦2

𝑛− 1 .... 𝑦𝑛𝑛−1]

Nota 1 .- Si entonces es

Ejemplo: Determine si es un CFS de la ecuación

Ejemplo: Determine si es un CFS de la ecuación

Nota 2 .- Si es un CFS de una ED

TEOREMA .- (DE EXISTENCIA Y UNICIDAD) dada la EDL

si las funciones y son continuas en algún que contiene a , entonces la EDL tiene solución única en todo , dadas la condiciones iniciales

Ejemplo .- Determine el intervalo de validez de la EDL

IDENTIDAD DE ABEL

Sirve para obtener la segunda solución l.i. conociendo la primera solución de la ecuación diferencial lineal

Dado C.F.S de la EDL

𝑦 1𝑦 2′ − 𝑦2 𝑦1

′=𝑘 .𝑒−∫𝑝( 𝑥)𝑑𝑥

Ejemplo: obtener la segunda solución de las EDL

si

si

E D HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

Tiene la forma:

𝑎 𝑦 ′ ′+𝑏𝑦 ′+𝑐 𝑦=0 𝑎 ,𝑏 ,𝑐∈𝑅

Suponer la solución

𝑦=𝑒𝑟𝑥

Se llega a la ecuación

𝑎𝑟 2+𝑏𝑟+𝑐=0 Ecuación característica

Dada la ecuación característica

𝑎𝑟 2+𝑏𝑟+𝑐=0

a.- si reales diferentes

{𝑒𝑟𝑥 , 𝑥𝑒𝑟𝑥 }

CFS

b.- si reales iguales de

{𝑒𝑟 1𝑥 ,𝑒𝑟 2𝑥 }

CFS (Usar Abel)

(𝛼)

∴ 𝑦=𝑐1𝑒𝑟 1𝑥+𝑐2𝑒

𝑟 2𝑥 S.G. de la homogénea

∴ 𝑦=𝑐1𝑒𝑟𝑥+𝑐2𝑥𝑒

𝑟 𝑥 S.G. de la homogénea

c.- si son raíces complejas conjugadas de

Teorema.- Si la solución de la E.D.L es la función compleja donde y son funciones de variables real, entonces y son soluciones De la EDL.

Luego: si

Por Euler

⇒ 𝑦=𝑒(𝜆+𝑖 𝛽)𝑥

{𝑒𝜆 𝑥(𝑐𝑜𝑠 𝛽 𝑥) ,𝑒𝜆𝑥(𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥)} CFS

∴ 𝑦=𝑐1𝑒𝜆𝑥(𝑐𝑜𝑠 𝛽𝑥 )+𝑐2𝑒

𝜆𝑥(𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥) S.G. de la homogénea

EJEMPLOS: RESOLVER

1.−𝑦 ′ ′+5 𝑦 ′+6 𝑦=0

2.− 𝑦 ′ ′−2 𝑦 ′+ 𝑦=0

3.− 𝑦 ′ ′+2 𝑦 ′+8 𝑦=0

4.− 𝑦 ′ ′−4 𝑦 ′+5 𝑦=0condiciones iniciales

ECUACIÓN DIFERENCIAL NO HOMOGÉNEA

𝑔 (𝑥)≠𝑜

La solución será

𝑦=𝑦𝑝+𝑦𝑐Siendo : Solución particularSolución complementaria (solución de la

homogénea)

Luego 𝑦=𝑐1 𝑦1+𝑐2 𝑦2+𝑦𝑝 Solución

general

y linealmente independientes

MÉTODOS DE SOLUCIÓN:

I.- Método de los coeficientes indeterminados

El método esta limitado a ecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficientes constantes en la que se restringe a cuatro formas detallada• Polinomial : • Exponenciales• Senos :• coseno:

O suma o producto finito de estas funciones

….

Nota:

EJEMPLOS:

1.−𝑦 ′ ′+4 𝑦 ′−12 𝑦=3 𝑥2+𝑥

2.− 𝑦 ′ ′−4 𝑦 ′+3 𝑦=6𝑥2−4

3.− 𝑦 ′ ′+2 𝑦 ′+𝑦=𝑥 𝑒−𝑥

4.− 𝑦 ′ ′+4 𝑦 ′+4 𝑦=6𝑒−2 𝑥

5.−𝑦 ′ ′+4 𝑦 ′+4 𝑦=6 𝑠𝑒𝑛𝑥

II.- Método de variación de parámetros

Aquí presentamos un método es mas general, llamado variación de los parámetros se aplica incluso cuando los coeficientes de la ecuación diferencial son funciones de Siempre que se conozca el C.F.S para la ecuación homogénea asociada.

Método:

1.- .- Supuesto que la ecuación particular es

Dada la ecuación diferencial

𝑦 𝑝=𝑢1 (𝑥 ) 𝑦1+𝑢2 (𝑥 ) 𝑦2

Obtener

=0 Condición (1)

2.- se determina

𝑢 ′ 1𝑦 ′ 1+𝑢′ 2 𝑦 ′ 2=𝑔 (𝑥)

3.- se reemplaza y en la ecuación diferencial

Condición (2)

4.- de las condiciones (1) y (2) se obtiene el siguiente sistema

¿𝑢 ′ 1𝑦 1+𝑢′ 2 𝑦2=0¿

5.- resolviendo el sistema se obtiene

𝑢 ′ 1=¿0 𝑦 2¿ ¿

¿

𝑢 ′ 2=¿𝑦1 0𝑦 ′ 1 ¿

¿

6.- Luego

𝑢1=∫ ¿¿¿ 𝑢2=∫ ¿¿¿

∴¿

Solución general es

EJEMPLOS: RESOLVER

1.−𝑦 ′ ′+𝑦=𝑠𝑒𝑐𝑥

2.− 𝑦 ′ ′−𝑦 ′−2 𝑦=𝑒−𝑥

3.− 𝑦 ′ ′−𝑦=(1−𝑒−𝑥 )−1

4.−𝑥2 𝑦 ′ ′−𝑥 (𝑥+2)𝑦 ′+(𝑥+2)𝑦=2 𝑥3

donde CFS es

ECUACIÓN DE CAUCHY - EULER

Una ecuación de la forma

Empezaremos el desarrollo analizando en detalle la forma de la solución general de la ecuación homogénea

𝑥2 𝑑2 𝑦

𝑑𝑥2+𝛼𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥+𝛽 𝑦=𝑔(𝑥 ) α , 𝛽𝜖 𝑅

Sea:

𝑥=𝑒𝑧

⇒

por regla de la cadena:

(1)

⇒ 𝑑2 𝑦𝑑𝑥2

= 1𝑥2

𝑑2𝑥𝑑 𝑧2

−1𝑥2

𝑑𝑦𝑑𝑧

(2)

Luego reemplazando (1) y (2) en la ED homogénea

𝑥2[ 1𝑥2 𝑑2𝑦

𝑑 𝑧 2−1𝑥2

𝑑 𝑦𝑑 𝑧 ]+𝛼 𝑥 [ 1𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑧 ]+𝛽 𝑦=0

obtenemos

𝑑2 𝑦𝑑 𝑧 2

2

+(𝛼−1) 𝑑𝑦𝑑𝑧

+𝛽 𝑦=0

Ecuación diferencial con coeficientes constantes

EJEMPLOS: RESOLVER

1.−3 𝑥2𝑦 ′ ′+12𝑥 𝑦 ′+9 𝑦=0

; 𝑦 (1 )=6 ;𝑦 ′ (1 )=8

3.−𝑥3 𝑦 ′ ′−𝑥 𝑦 ′+𝑦=𝑥 [1+ 3𝑙𝑛𝑥 ]

;𝑦 (1 )=1; 𝑦 ′ (1 )=0