SISTEMAS NO LINEALES TEORIA LOCAL

SISTEMAS NO LINEALES: TEORIA LOCAL.

ANDREY M. MONTOYA J.

19 MARZO 2012

ANDREY M. MONTOYA J. () ALGUNOS CONCEPTOS Y DEFINICIONES PRELIMINARES.19 MARZO 2012 1 / 14

INTRODUCCIÓN

En el primer capítulo estudiamos sistemas lineales de la forma

�x = Ax

donde su única solución esta dada por x(t) = eAtx0 8t 2 R.Ahora estudiaremos sistemas no lineales de ecuaciones diferenciales de laforma

�x = f (x)

donde f : E ! Rn, E es un subconjunto abierto de Rn. Bajo ciertascondiciones la función f , del sistema no lineal

�x = f (x) tiene solución

única para cada punto x0 2 E , de�nido sobre un intervalo maximalexistente (α, β) � R.


CONCEPTOS Y DEFINICIONES

Consideremos sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias autonomas

�x = f (x)

como oposición a sistemas no autonomos

�x = f (x , t)

donde la función f depende de la variable independiente t, sin embargocualquier sistema no autonomo

�x = f (x , t) con x 2 Rn puede ser escrito

como un sistema autonomo con x 2 Rn+1 simplemente dejando xn+1 = ty�xn+1 = 1.


Notemos que la existencia de la solución de una ecuación diferencialelemental

�x = f (t)

esta dada por:

x(t) = x(0) +

tZ0

f (s)ds

si f (t) es integrable. En general la ecuación diferencial.x = f (x) ó

.x = f (x , t) tienen solución si la función f es continua. Sin embargo, lacontinuidad de la función en

.x = f (x) no es su�ciente para garantizar la

unicidad de la solución como se muestra en el siguiente ejemplo.


EJEMPLO 1

El problema de valor inicial

�x = 3x

23

x(0) = 0

tiene dos soluciones que pasan por (0, 0) diferentes

u(t) = t3

v(t) � 0

para todo t 2 R.

¿La función f (x) = 3x23 es contínua en x = 0?

¿La función f (x) = 3x23 es diferenciable en x = 0?


EJEMPLO 2

El problema de valor inicial

�x = x2

x(0) = 1

su solución esta dada por

x(t) =1

1� testa solución es unica de�nida para t 2 (�∞, 1) y

limt!1�

x(t) = ∞.

El intervalo (�∞, 1) es llamado el intervalo maximal de existencia de lasolución del problema de valor inicial.


De�nitionLa función f : Rn! Rn es diferenciable en xo 2 Rn si existe unatranformación lineal Df(x0) 2 L(Rn) que satisface

limjhj!0

jf(x0 + h)� f(x0)�Df(x0)hjjhj = 0

la transformación lineal Df(x0) es llamada la derivada de f en x0.


Theorem

Si f : Rn! Rn es diferenciable en x0, entonces las derivadas parciales ∂fi∂xj,

i , j = 1, 2, ..., n, todas existen en x0 y para todo x 2 Rn,

Df(x0)x = ∑nj=1

∂f∂xj(x0)xj .

Si la función f es diferenciable, la derivada Df esta dada por la matrixjacobiana n� n

Df =�

∂fi∂xj

�.


ExampleEncontrar la derivada de la función

f(x) =�

x1 � x22�x2 + x1x2

�y evaluarlo en el punto x0 = (�1, 1)T .

Primero computemos la matrix jacobiana de las derivadas parciales

Df =

"∂f1∂x1

∂f1∂x2

∂f2∂x1

∂f2∂x2

#=

�1 �2x2x2 �1+ x1

�.

y entonces

Df (1,�1) =�1 2�1 0

�


De�nitionSupongamos que V1 y V2 son dos espacios lineales normados con susrespectivas normas k�k1 y k�k2 que satisfasen las propiedades de lasnormas. Entonces

F : V1 ! V2

es continua en x0 2 V1 si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que x 2 V1y kx� x0k1 < δ implica que

kF(x)� F(x0)k2 < ε.

Se dice que F es continua en E � V1 si es continua en cada punto x 2 E .Si F es continua en E � V1, decimos que F 2 C (E ).


De�nitionSupongamos que f : E ! Rn es diferenciable en E . Entonces f 2 C 1(E ) sila derivada Df : E ! L(Rn) es continua en E .


TheoremSupongamos que E es un subconjunto abierto de Rn y que f : E ! Rn.Entonces f 2 C 1(E ) si las derivadas parciales ∂fi

∂xj, i , j = 1, 2, ..., n, existen

y son continuas en E.


NOTA:

Para E un subconjunto abierto de Rn, las derivadas de orden mayorDk f(x0) de la función f : E ! Rn estan de�nidas en forma similar y sepuede mostrar que f 2 C k (E ) si y solo si las derivadas parciales

∂k fi∂xj1 ...∂xjk

con i , j1, ..., jk = 1, ..., n existen y son continuas en E . Además,D2f(x0) : E � E ! Rn y para (x, y) 2 E � E tenemos

D2f(x0)(x, y) = ∑nj1,j2=1

∂f(x0)∂xj1∂j2

xj1xj2.


MUCHAS GRACIAS...


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