Tema 1Preliminares: algoritmos, computabilidad,

corrección y complejidad

Ciencias de la Computación 2012-13Grado en MatemáticasJoaquín Borrego Díaz

Joaquín Borrego DíazDepartamento de Ciencias de la Computación e IAUniversidad de Sevilla

Contenido

• Un problema

• Modelos de Computación

• Tesis de Church-Turing

• ¿Cómo resolvemos el problema?

• Guía de viaje por la T. Computabilidad

• Verificación de programas

• Complejidad computacional

Un problema en el trabajo

• Sr. Pérez, deseo que me programe un verificador automático de programas

Escenario 1: El sr. Pérez no ha estudiado computabilidad

• ...(Dos meses de sufrimiento después)

• Jefe, a mí no me sale

• Bueno, Sr. Pérez, no se preocupe

Escenario 2: El sr. Pérez ha estudiado computabilidad

• (Unas horas después):

• Jefe, he estudiado el problema y NO se puede resolver con un programa de ningún tipo

• Excelente análisis, Sr. Pérez

Cuestiones

• ¿Existen problemas que no se pueden resolver mediante programas?

• ¿Qué tipo de análisis ha realizado el Sr. Pérez?

• ¿Cómo puede afirmar que no se puede resolver en ningún tipo de lenguaje de programación, modelo de computación etc.?

Primera cuestión• Existen problemas que NO

se pueden resolver algorítmicamente

• Demostrado por A. Turing en 1936

• Matemático

• Rompió el código enigma

• Máquinas de Turing

• Test de Turing

La máquina enigma

Apuntes de Turing

La máquina diseñada por Turing (Bletchley Park)

Modelo formal de computación: la máquina de Turing

En 1936, de manera independiente, A. Church y A. Turing demostraron ambos que es imposible escribir tal algoritmo

El Entscheidungsproblem

Encontrar un algoritmo general que decida si una fórmula del cálculo de primer orden es un teorema

Test de Turing

Segunda Cuestión

• El análisis que ha realizado el Sr. Pérez está basado en el argumento diagonal

• Diseñado por Georg Cantor en 1834

• para demostrar que el cardinal de los reales es mayor que el de los naturales

Tercera Cuestión• Tesis de Church-Turing

(versión informal):

• Cualesquiera dos modelos de computación resuelven los mismos problemas

• Se puede considerar un “axioma” en Computación

• Es cierto en todos los modelos creados

• Otra versión:

• Todo algoritmo o procedimiento efectivo es Turing-computable

¿Cómo demostrar que un problema es indecidible?

• Demostramos, en primer lugar, que el problema no se puede resolver en un modelo de computación concreto

• Entonces, por la tesis de Church-Turing, no es resoluble en ningún modelo

Guía de viaje por la computabilidad

El lenguaje GOTO

Definiciones por recursión

Codificación de programas

Programa Universal

El problema de la parada

El Teorema de Rice

PRELIMINARES

Computabilidad

El Teorema de Recursión

El lenguaje elegido: GOTO

Lenguaje de programación muy simple

Usa variables como registros

Es computacionalmente completo

Modelo de computación basado en lenguaje

Sintaxis de GOTO

No es tan “simple”:Programa Universal en GOTO

• Entrada: datos +Programa

• Salida: Resultado de aplicar el programa al dato

• ¡ES UN ORDENADOR!

Definiciones por recursión

• Necesitamos utilizar mecanismos de definición por recursión

• Potente herramienta de programación

• Cuestión: ¿Cuántas construcciones necesitamos para caracterizar las funciones computables?

Haskell, Lisp...

NO es un juguete

matemático

El problema de la parada• Entrada: Un programa

y un dato de entrada

• Salida:

• 1 (sí) si el programa para sobre ese dato

• 0 (no) si no para

• Se prueba usando el método diagonal (usando el programa universal)

Teorema de Rice

• Método para detectar la no computabilidad de ciertos problemas. Por ejemplo lo aplicaremos para demostrar la indecidibilidad de:

• Equivalencia entre programas

• Reconocer los programas que siempre paran

• Clases de complejidad algorítmica

Aplicaciones (I): imposibilidad de la corrección parcial

Aplicaciones (II):imposibilidad de la verificación

automatizada de la equivalencia

El teorema de Recursión• Los procedimientos

efectivos sobre programas son computables

Procedimiento que usa programas para calcular

Programa (codificado)

• Una consecuencia: siempre existen virus autorreplicantes

Verificación de programas

Semántica Axiomática

Complejidad

Reducciones

Jerarquía de complejidad