Tema 7Trigonometría 2.Ampliación e aplicacións

© Xerardo MéndezÚltima versión: Febreiro - 2009

GRAOS E RADIÁNSDefinición

Un ángulo plano é a porción de plano comprendida entre dúas semirrectas cunha orixe común, o vértice. Para a súa medición utilízanse graos e radiáns.

Porción de plano comprendida entre dúas semirectas perpendiculares. O ángulo recto utilizouse para definir a primeira unidade de medida dos ángulos: o grado sexaxesimal, definido como a nonaxésima parte do ángulo recto.

Un grao sería a magnitude dun ángulo noventa veces menor ca un ángulo recto.

Vértice

lado

lado

ÁNGULO

ÁNGULO RECTO

Ángulo, ángulo recto e graos, minutos e segundos

O grao divídese en minutos e segundos.

Desígnanse con letras maúsculas e denótanse respectivamente:15’ = 15 minutos12”=12 segundos

Un segundo é a sesaxésima parte dun minuto

Un minuto é a sesaxésima parte dun grao,

Unha particularidade destas unidades é que non se acomodan ao sistema decimal, polo que as operacións con ángulos expresados en graos, minutos e segundos requiren, como se sabe, procedementos específicos.

A medida dun ángulo denótase 17°= dezasete graos17º12’53” = dezasete graos doce minutos e cincuenta e tres segundos

A=17º12’53”A

Radiáns.

O radián é unha medida dos ángulos que, a diferenza do anterior, emprega números reais para a medida dos ángulos.

Ademais de empregar números reais – o que facilita enormemente todas as operacioóns, o radián defínese a partir dunha relación entre a circunferencia e os ángulos, que x

Lembremos que un arco é a distancia entre dous radios da circunferencia medida sobre esta

arcoRadios

Dous radios definen un ángulo: a cada ángulo corresponderalle unha lonxitude de arco distinta

S’S

AA’

De maneira que ao ángulo total da circunferencia corresponderalle a lonxitude desta

S=2R

A

R

S=RR

1 Radián

Diremos entón que un ángulo mide 1 radián cando o arco que determina na circunferencia mide o mesmo que o radio

Podemos determinar agora facilmente a relación entre graos e radiáns:

O ángulo en graos correspondente a toda a circunferencia son catro ángulos rectos: 90·4=360º

RELACIÓN GRAOS -RADIÁNS

O ángulo en radiáns correspondente a toda a circunferencia debe medir L/R=2 radiáns.

A relación entre arco, ángulo e radio é: S= A· R

Arco = ángulo x radio

GRAOS, MINUTOS E SEGUNDOS

Operacións con

Operacións con ángulos en graos

Suma de ángulos

Consideremos dous ángulos A e B de magnitudes:

A = 27° 30’47”

B= 12° 35’45”

Queremos efectuar a suma A+B para saber a magnitude do ángulo resultante

A = 27° 30’47” B= 12° 35’45”

A+B

Para efectuar a suma numérica colocamos as unidades homoxéneas en columnas e sumamos cada columna

27° 30’ 47”

12° 35’ 45”+

39º 65’ 92”De superar os sesenta segundos restamos sesenta e sumamos 1 na columna dos minutos

39º 65’ 92” +1 -

60” 39º 66’ 32”

De superarse os sesenta minutos restamos sesenta e sumamos 1 na columna dos graos

39º 65’ 92” +1 -60”

40º 6’ 32”

A+B=Resumindo: A

B

27º 30' 47”

12º 35' 45”

39º 65' 92”

60

32

+1

66

60

40º 6' 32”

-

-+1

A + B

Considéranse ángulos positivos aqueles que se miden no sentido antihorario (contrario ao xiro das agullas dun reloxo) ou levoxiro

+30º -30º

E negativos aos que se contan no sentido horario ou dextroxiro (no mesmo sentido que as agullas do reloxo)

Ángulos positivos e negativos

Resta

Restar ángulos equivale a sumar o oposto:

A-B = A + (-B)

27° 30’ 47”

-12° -35’ -45”+

15º -5’ 2”

A = 27° 30’47”

B= 12° 35’45”

EXEMPLO

-B= -12° -35’ -45”Sumamos como no caso anterior

Para eliminar o resultao negativo sacamos unha unidade da columna anterior e sumamos 60’

15º -5’ 2” 14º -5’ 2”

+60

14º 55’ 2”

BA

A-B

Produto por un escalar

O procedemento é parecido ao da suma e ao da resta: temos que multiplicar por separado graos minutos e segundos

54º 27’ 46”

x 2108º 54’ 92”

Os resultados que excedan de sesenta divídense entre esa cifra

92 60

1 32

O cociente súmase nas unidades seguintes, e o resto déixase

x 2108º 54’ 32” +1

54º 27’ 46”

108º 55’ 32”

División

A división dun ángulo faise tamén por partes, e como nos anteriores casos temos que proceder ordenadamente, empezando pola unidade maior.

54º 27’ 46” 3

18º

24 0

9’

27’

0

46

15

16

1Neste caso non temos ningún resto, pero esta situación non é a usual

55º 27’ 46” 3

18º

25 1

29’

87’

27 0

46

15

16

1

O resto na división dos grados transfórmase en segundos, a sumar aos que xa tiñamos, e así sucesivamente sempre que fixera falta

+60

Transformación de decimais en minutos e segundos

Unha cantidade de graos expresada como un decimal pode transformarse en minutos e segundos da seguinte forma:

1.- Tómase a parte decimal e faise a proporción con cen e sesenta:

2.- Co decimal que queda facemos o mesmo para obter os segundos

36,12º son:

36º7’1,2”

No caso contrario, faremos á inversa

EXTENSIÓN DO CONCEPTO DE ÁNGULO E RAZÓNS TRIGONOMÉTRICAS

Razóns trigonométricas de ángulos non agudos

Extensión do concepto de ángulo

O concepto de ángulo relaciónase intrinsecamente coa circunferencia xa que os puntos dunha circunferencia definen todos os posibles ángulos que poden formarse con vértice nun punto O.

O

A(x,y)

C(x”,y”)

B(x’,y’)

A(x,y)

x

y

x’

y’

Ángulo A

Ángulo B

B(x’,y’)

Está claro que un punto que dá voltas arredor doutro describe máis dunha circunferencia arredor dese punto. Cal é entón o ángulo que correspondería a un tal movemento? Unha circunferencia enteira ten 360º: o que pasemos de aí indica que demos máis dunha volta. Dividindo a magnitude do ángulo entre 360 teremos o número de voltas e máis un ángulo equivalente menor

Ángulos e xiros

Sexa A a medida do ángulo:

A 360º

kA’

750º 360º

230º

Exemplo:

En radiáns pasaría o mesmo:

A 2

kA’

11 2

5

Ángulo inicial

Equivalentes

Número de voltas

Razóns trigonométricas na circunferencia

A(x,y)

x

y

Ángulo A

Nun triángulo definíamos as razóns trigonométricas a partir de:

Cateto oposto=a

Cateto oposto=b

Hipotenusa = c

Como:

A

Trasladando este ángulo sobre a circunferencia vemos que a=y, b=x c=RDe maneira que podemos definir:

Que a partir de agora serán as definicións de razón trigonométrica que consideraremos. Esta definición sirve para calquera ángulo.

O

C(x”,y”) =(-2,-3)

O

B(x’,y’) =(-2,4)EXEMPLO:

Se a circunferencia ten radio 5, e as coordenadas dos puntos son :B=(-2,4)C=(-2,-3)

RAZÓNS TRIGONOMÉTRICAS XENERALIZADAS

Valores e signos

A definción das razóns coas coordenadas, permite definir as razóns trigonométricas dos ángulos de 0º e 90º, a pesar de non ter neses puntos ningún triángulo

(0,R)

(0,-R)

(R,0)(-R,0)

0º

90º

180º

270º

360º

E o mesmo para os demais ángulos.

Ángulos

0° 90° 180° 270° 360°

Razóns

Seno 0 1 0 -1 0Coseno 1 0 -1 0 1

Tanxente 0 ±∞ 0 ±∞ 0

Aparece un problema nas tanxentes de 90 e 270º (o denominador é cero) que estudaremos noutro tema.

CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICAUnha das características das razóns trigonométricas é que son independentes do radio da circunferencia na que se definen: en particular, a circunferencia de radio 1 recibe o nome de circunferencia goniométrica, palabra que procede do grego “gonios” ángulo e da raíz latina “metr” medida, de maneira que o adxectivo ven significar circunferencia da medida dos ángulos, porque nesta circunferencia as razón trigonométricas coinciden coas coordenadas dos puntos da circunferencia que definen os ángulos.

Utilizando a circunferencia goniométrica, ou circunferencia unitaria, podemos facilmente ver como cambian os signos das razóns nos diferentes cuadrantes da circunferencia

I

IV

II

III

I

IV

II

III

0º

90º

180º

270º

I

IV

II

III

I

IV

II

III

0

π/2

π

3π/2

360º 2π

Ángulos dos cuadrantes en graos

Ángulos dos cuadrantes en radiáns

x

xy

y

x

y

I II

IV IVIV

II

III

II

III

II

III

x

xy

y

x

y

I II

IV IVIV

II

III

II

III

II

III

I

IV

II

III

x

y

I

IV

II

III

I II III IVSENO + + - -COSENO + - - +TANXENTE + - + -

Utilizando a circunferencia unitaria, os valores do seno e do coseno son iguais aos valores das coordenadas:

E polo tanto, os signos das razóns son os das coordenadas

RELACIONS ENTRE RAZÓNS TRIGONOMÉTRICAS

Ángulos en diferentes cuadrantes

Ángulos positivos e negativos

Cal é o significado do signo nos ángulos? O sentido no que se percorre a circunferencia:Na figura podemos ver que o sentido positivo é antihorario (dextroxiro) e o negativo é horario (levoxiro)

I

IV

II

III

x

yI

IV

II

III

I

IV

II

III

yI

IV

II

III

Ángulo positivo

Ángulo negativo

x

Ángulos equivalentes

Son os que teñen as mesmas razóns trigonométricas. Debido a que estas varían de forma distinta nos diferentes cuadrantes, somente serán equivalentes os ángulos que se diferencien nun número enteiro de voltas completas de circunferencia.

yy

α α+360ºP P

A 360º

kA’

Ángulos suplementarios

AA

180-Ayy'

xx'

Son os que suman 180º. Se un dos ángulos é A, o outro será 180 - A

As razóns de ángulos suplementarios verifican:

Das relacións entre as coordenadas dos puntos extremos:

Obtemos a relación entre as razóns:

DEMOSTRACIÓN:

Ángulos que se diferencian en 180º

A

180+A

y

y'x

x'

Os ángulos A e 180+A da figura diferéncianse en 180º.

Das relacións entre as coordenadas dos puntos extremos:

Obtemos a relación entre as razóns:

As coordendas x e x’ de A e 180+A son opostas

As coordendas y e y’ son iguais e ambas positivas

A

y

y'x

x'

-A=360-A

Ángulos opostos

Os ángulos A e -A da figura son opostos

Das relacións entre as coordenadas dos puntos extremos:

Obtemos a relación entre as razóns:

As coordendas x e x’ de A e -A coinciden

As coordendas y e y’ son opostas

NOTA:Obsérvese que –A e 360-A son o mesmo ángulo

Ángulos complementarios

Son os que suman noventa graos, ou o que é o mesmo, son A e 90 –A.

Das relacións entre as coordenadas dos puntos extremos:

Obtemos a relación entre as razóns:

As coordendas y de A e x’ de 180+A son iguaisAs coordendas x

e y’ son iguais e ambas positivas

Ángulos que se diferencian en 90º

Se un deles é A o outro necesariamente medirá A e 90 +A.

Das relacións entre as coordenadas dos puntos extremos:

Obtemos a relación entre as razóns:

As coordendas y de A e x’ de 180+A son opostasAs coordendas x

e y’ son iguais e ambas positivas

Ángulos que suman 270º Ángulos que se diferencian en 270º

APLICACIÓNS

Areas de polígonosCálculo de distancias

Área dun polígono regular a partir do lado

Lado=L

Ap

ote

ma

= a

S=p ·a2

Para calcular a área do pentágono necesitamos calcular primeiro a apotema so coa medida do lado

En calquera polígono o ángulo entre dous radios consecutivos obtense dividindo 360 entre o número de lados

A apotema divide ao ángulo central en dous triángulos rectángulos

A apotema poderémola calcular mediante a tanxente do ángulo A’:

L/2

a

A’

O único dato que realmente necesitamos para calcular a superficie do pentágono é o lado:

Este método pódese xeneralizar a calquera polígono, de maneira que podemos escribir:

Onde N é o número de lados, L o lado e α é medio ángulo central (360°/2N).

Cálculo de alturas inaccesibles

Unha aplicación interesante de é a determinación da altura de obxectos cuxo interior ou cumio é inaccesible, como montañas, edificios, grandes árbores…A determinación da altura dun destes elementos respecto a unha superficie plana na que se sitúa un observador só require de tres medidas: unha distancia e dous ángulos, como veremos a continuación.

h

Situándonos nun espazo plano diante da montaña medimos o ángulo que forma o cumio coa horizontal, obtendo o ángulo A; avanzamos unha distancia d e volvemos medir o ángulo, obtendo B A B

d

h

x

Neste momento podemos plantexar

as igualdades:A resolución deste sistema de ecuacións proporcionaranos a altura da montaña.

Tanxencias e distancias

Un satélite orbita a Terra desde unha altura h. Desde a súa posición, as visuais a Terra forman un ángulo de 8º.Sabendo que o radio da Terra é aproximadamente 6378 Km calcula a distancia do satélite á superficie terrestre

A figura que forman as visuais a Terra e os radios que rematan nelas é:

90º

No triángulo rectángulo que se forma:

90º

90º

8º

4º

Rd

R+d

R

R

Hipotenusa =R +dCateto Oposto =R