Tema iv limites al infinito limites infinitos asintotas y graficas uney

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN

INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL

PROFESOR: JULIO C BARRETO G TRAYECTO INICIAL MATEMÁTICA

TEMA IV

FORMA INDETERMINADA ∞/∞, LÍMITES AL INFINITO, LÍMITES INFINITOS,

ASÍNTOTAS, GRÁFICAS CON LÍMITES.

LIMITES INDETERMINADOS

Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar,

sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos

enunciadas no son válidas.

En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de

las indeterminaciones (Factor común, trinomio, diferencia de cuadrados, Ruffini,

conjugada entre otras).

CON INFINITO Y CERO

00

k

0

k 0

k 0

0

0

k si 0k k

0

0 Es una forma indeterminada.

Es una forma indeterminada.

. Es una forma indeterminada. 0 Es una forma indeterminada



TEMA IV: LÍMITES AL INFINITO LÌMITES INFINITOS ASÍNTOTAS Y GRÁFICAS

PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 MATEMÁTICA

FORMA INDETERMINADA ∞/∞

Si se trata de funciones potenciales dividimos todos los sumandos por la x elevada al

mayor exponente. Por ejemplo calculemos los siguientes límites:

1. 75

32

x

xlímx

Solución: Notemos que a medida que x se hace grande ( x ), 32 x se hace

grande y 75 x se hacen grande, en tal sentido el límite presenta una forma indeterminada

∞/∞. Ahora, dividamos tanto el numerador y denominador entre el mayor exponente de los

polinomios que en este caso es 1, o sea ,x por tanto:

5

2

05

02

75

32

75

32

75

32

75

32

75

32

x

xlím

xx

xxx

x

lím

x

xx

x

límx

xlím

xxxx

2. 7

12

x

xlímx

Solución: Notemos que a medida que x se hace grande ( x ), 1x se hace grande

y 72 x se hacen grande, en tal sentido el límite presenta una forma indeterminada ∞/∞.

Ahora, dividamos tanto el numerador y denominador entre el mayor exponente de los

polinomios que en este caso es 1, o sea ,2

x por tanto:

01

0

01

00

71

11

71

11

7

1

7

1

7

1

2

2

22

2

22

2

2

2

2

x

xxlím

xx

x

xx

x

lím

x

x

x

x

límx

xlím

xxxx

3. 34

25 32

xx

xxlímx



Solucion: Notemos que a medida que x se hace grande ( x ), 25 32 xx se hace

grande y 34 xx se hace grande, en tal sentido el límite presenta una forma indeterminada

∞/∞. Ahora, dividamos tanto el numerador y denominador entre el mayor exponente de los

polinomios que en este caso es 5, por tanto:

0

2

00

02

11

32

11

32

32

32

2

3

5

34

5

25

34

25

xx

xlím

x

xx

x

xx

límxx

xxlím

x

xx

En general ocurre que:

kn

kn

knb

a

bxbxbxbxb

axaxaxaxalím

k

n

k

k

k

k

n

n

n

n

x

si ,

si ,0

si ,

01

2

2

1

1

01

2

2

1

1

Ejercicios: Calcule los siguientes límites:

a)

b)



c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)



LÍMITES INFINITOS

DEFINICIÓN: Sea f una función definida en todo número real de un intervalo abierto

que contiene a c (salvo posiblemente, en el propio c ). Definimos las expresiones:

ASINTOTAS

ASÍNTOTA VERTICAL: Si

xfax

lim o bien

xfax

lim entonces la recta vertical

de ecuación ax es una asíntota vertical.

ASÍNTOTA HORIZONTAL: Si bxfx

lim o bien bxfx

lim entonces la recta de

ecuación by es una asíntota horizontal.

ASÍNTOTA OBLICUA: Llamaremos asíntota oblicua de la curva (grafico de f ), a la

recta de ecuación ,bcxy si x

xfc

x lim y .lim cxxfd

x

1. Calcular las asíntotas de las siguientes funciones:

a) 2

22

x

xxf

Solución: Veamos primero si tiene asíntota horizontal y para ello revisamos el siguiente

límite:

2

2lim

2

x

x

x (Comprobarlo). Así, la función no tiene asíntota horizontal. Ahora

revisemos si tiene asíntota vertical, tomando en cuenta que 2 RDomf calculamos

el siguiente límite:

2

2lim

2

2 x

x

x (Comprobarlo). De donde obtenemos que la asíntota

vertical es la recta .2x Para hallar la asíntota oblicua, la cual existe ya que el grado del

numerador es una unidad mayor que el grado del denominador.

cx

xf

)(limcx

xf

)(lim



NOTA: Las asíntotas horizontales y oblicuas son incompatibles. Si hay unas no puede

haber de las otras. Así, 12

2

lim

2

x

x

x

cx

(Comprobarlo)

22

2lim1

2

2lim

2

22

xx

xx

x

xb

xx(Comprobarlo)

Y la ecuación de esta recta oblicua a la grafica de la función es: .2 xy

CONTINUIDAD EN UN PUNTO

Una función f es continua en c si se satisfacen:

EJEMPLO: Estudiar la continuidad de la función 5

5

x

xxf en los puntos 2x y

.5x

Solución:

Continuidad de la función en el punto .2x

1. Existe ,af esto debido a que .5 RDomf El valor de 2x forma

parte del dominio de la función y es: .3

10

3

10

52

252

f

2. Existe ,lim2

xfx

y como los límites de las funciones del numerador y del

denominador existen podemos aplicar la propiedad del cociente de límites para hallar

el valor de limite así: .

3

10

3

10

52

25

5lim

5lim

5

5lim

2

2

2

x

x

x

x

x

x

x

3. Además, notemos que: .5

5lim2

2

x

xf

x

Vemos que se cumplen las 3 condiciones luego la función es continua en el punto .2x

)()(lim

)(lim

)(

cfxf

existexf

definidaestacf

cx

cx



a. Continuidad de la función en el punto .5x

No existe ,af esto debido a que .5 RDomf El valor de 5x no forma parte

del dominio de la función. Es decir, 5f no existe y por tanto la función es discontinua. Si

calculamos ,lim5

xfx

tenemos que: .0

25

5

5lim

5

x

x

xAsí, la recta de ecuación

5x es una asíntota vertical y la función tiene una discontinuidad de salto infinito allí.

NOTA: Las funciones racionales tendrán una discontinuidad de salto infinito en aquellos

valores de x donde no estén definidas. Veamos la figura:

CONTINUIDAD EN UN INTERVALO ABIERTO: Si es continua en cada punto del

Intervalo. Una función continua en la recta de los números reales enteros , es

continua en todas partes.

DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD EN UN INTERVALO CERRADO: Una función

f es continua en un intervalo cerrado ba, si es continua en el Intervalo abierto ba, y

en los extremos. La función f es continua por la derecha en a y continúa por la izquierda en

.b Es decir: )()(lim)()(lim bfxfyafxfbxax



PROPIEDADES DE LA CONTINUIDAD: Si b es un número real y f y g son

continuas en ,cx entonces las siguientes también son continuas en :c

MÚLTIPLO POR UN ESCALAR: bf SUMA O DIFERENCIA: gf

PRODUCTO: fg COCIENTE: g

f, si .0cg

Ejercicios: Hallar el dominio de definición de las siguientes funciones:

23

2a)

x

xy

2

1 b)

xy

PROPORCIONALIDAD INVERSA

Dos magnitudes x e y son inversamente proporcionales si se verifica que su producto es

constante. La función que relaciona estas magnitudes es del tipo:

x

kykxy

Ejemplo: El tiempo t que tarda en llenarse un recipiente es inversamente proporcional al

caudal c (l/s) que arroja un grifo, pues, a más caudal, menos tiempo tarda en llenarse:

c

ktktc

El dominio de las funciones inversamente proporcionales es R – {0}, ya que el cociente k/0

no está definido. Su representación gráfica es una hipérbola (x

ky )

Fecha:

X

Y



FUNCIONES RACIONALES

Las funciones racionales son del tipo xQ

xPy donde xP y xQ son polinomios y

.0xQ El dominio de una función racional está formado por todo R salvo los valores

que anulan el denominador (raíces de xQ ).

Ejemplo: 1

12

x

xy tiene como dominio R - {1} .

Las funciones racionales de la forma dcx

baxy

son hipérbolas del tipo

x

ky (Hipérbola

equilátera) que posteriormente han sufrido un desplazamiento horizontal y vertical.

Ejercicios:

1. Representa y compara las funciones:

a) x

y3

1 b)

13

1

xy c)

23

1

xy


a) x

y2

1 b) 1

2

1

xy c) 2

2

1

xy

X

Y




a) 112

1

xy b) 2

12

1

xy

4. Representa la función 2

13

x

xy (INDICACIÓN:

2

53

2

13

xx

x

d

rc

d

D)

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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números naturales hasta los números complejos. Colección de Secundaria. (6).

https://www.createspace.com/5137020

Dávila, Navarro, Carvajal: Introducción al Cálculo. Editorial McGraw-Hill. 1ed.

México.

González, J., Ortiz, J., Acosta, A., Azocar, A. (1995). MATEMÁTICA I. Estudios

Generales. Tomo II. Sexta Edición. UNA. Caracas, Venezuela.

Larson, Hostetler, Edwards. (1991). Calculus with Applications. Mc Graw Hill.

Larson, R. Hostetler, R. (2006). Precálculo. Reverté.

Leithold, L. (1992). El cálculo con geometría Analítica. Harla, México.

Orellana, M. y Marqués, L. (1998). Funciones y representaciones gráficas.

Matemática I (175-176-177). Estudios generales. Módulo II. UNA Caracas,

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Pestana, D. y otros (2007). Curso práctico de cálculo y precálculo. 2da edición.

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Pulcell, E. y Varberg, D. (1993). Cálculo con geometría analítica. Segunda edición,

Prentice Hall Hispanoamericana, S. A. México-Englewood cliffs.

Saenz, J. (1995). Cálculo Diferencial para ciencias e ingeniería. Primera Edición.

Hipotenusa Barquisimeto- Venezuela.

Stewart, J. Redlin, R. Watson S. (2006). Precálculo. 5ta Edición. Thomson.

Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra

lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades.

Editorial Reverté.

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