tension y deformacion

1

Capítulo 3Tensión y deformación.

Comportamiento elástico.

2

Índice general1. Noción de tensión y deformación. Estados de tensiones: tensión normal, tensión a

cortadura y tensión hidrostática

2. Ley de Hooke. Módulo elástico

3. Coeficiente de expansión térmica

4. Generalización de los conceptos de tensión y deformación en un punto:

• Tensión en un punto

• Transformación de las componentes de tensión

• Deformación en un punto

• Transformación de las componentes de deformación

• Tensiones hidrostáticas y deformaciones volumétricas

5. Relaciones tensión-deformación para un material isótropo elástico lineal

6. Trabajo realizado por las tensiones al producir una deformación

7. Módulo elástico de materiales compuestos

8. Ejemplos de diseño en ingeniería: cables a tracción, vigas a flexión y cilindros a presión

3

1. Tensión y deformación• Estados de tensión: tensión normal, tensión de cortadura y tensión

hidrostática

• Tensión normal: la fuerza actúa en dirección perpendicular a la superficie. Puede ser de tracción (positiva) o de compresión (negativa)

L0 L1

4

1. Tensión y deformación• Tensión normal: Intensidad de fuerza normal por unidad de

superficie

Unidades: Pa (N/m2) (suelen utilizarse los MPa)

• Deformación normal: respuesta del material a la aplicación de la tensión. Se mide como el cambio relativo de longitud en la dirección de aplicación de la fuerza (lo que se estira o se encoge)

0A

F=σ

0

01

L

LL −=ε

L0 L1

5

1. Tensión y deformación• Tensión de cortadura: la fuerza actúa en dirección paralela a la

superficie. La tensión de cortadura se define como la intensidad de fuerza tangencial por unidad de superficie


• Deformación tangencial: mide cuando se distorsiona la forma al aplicar una la tensión de cortadura (la distorsión que sufre un ángulo que inicialmente era π/2):

(si γ pequeño)

0A

F=τ

γγγ ≈=∆

= tan0

0

x

y

6

1. Tensión y deformación• Tensión hidrostática: tres fuerzas perpendiculares e iguales entre sí

(una presión). La tensión hidrostática se define como la presión a la que está sometido el cuerpo (signo: contrario a la presión)


• Deformación volumétrica: mide cuando se distorsiona la forma al aplicar una la tensión de cortadura:

ph −=σ

0

0

V

VVV

−=ε

7

1. Tensión y deformación• Ejemplos:

8

2. Deformación elástica. Ley de Hooke

• La deformación inicial de la mayoría de los sólidos es elástica. Eso quiere decir que la deformación es reversible al dejar de aplicar la tensión, es decir, que el sólido recupera su forma inicial.

• En la mayoría de los casos, la relación tensión-deformación en el régimen elástico es lineal, es decir:

(Ley de Hooke)

donde E: módulo de Young (Unidades: [Pa])

• En el caso de que la tensión aplicada sea de cortadura:

donde G: módulo de cortadura (Unidades: [Pa])

εσ ⋅= E

γτ ⋅= G

9

2. Deformación elástica. Ley de Hooke

Vh K εσ ⋅=

• Existen otras constantes elásticas importantes:

• Módulo de Poisson ν: mide la deformación transversal originada por una deformación normal:

• Módulo de rigidez volumétrica Κ:

nt ευε ⋅−=

0

0

0

0

x

xx

y

yy −⋅−=

− υ

5.01 <<− υ

0>K

10

2. Deformación elástica. Ley de Hooke• No existe una relación fija entre G y E, pero habitualmente G~0.4 E. • Para un material elásticamente isótropo, sólo son necesarias dos constantes

elásticas para definir el comportamiento del material. Es decir, que de las cuatro constantes presentadas E, G, ν y K sólo dos son independientes (como veremos más adelante)

• Sin embargo, el comportamiento de un material elásticamente anisótropo necesita de más constantes elásticas, cómo veremos más adelante

11

2 Deformación elástica• Módulo de Young

– Simbolo: Ε– Unidades: GPa– Relación entre la

tensión aplicada a un material y la deformación con la que éste responde

12

2. Deformación elástica. Ley de Hooke• E depende del tipo de enlace y de la estructura cristalina. Así, E depende de

la T pero es relativamente insensible a la microestructura del material.

13

3. Coeficiente de expansión térmica• Los materiales se dilatan al aumentar la temperatura y se contraen al

disminuirla, ¿por qué?• La respuesta se puede encontrar en la asimetría del potencial del

enlace interatómico. Al aumentar la temperatura, aumente la separación media entre los átomos, haciendo que el material se dilate. Así, un material con enlace fuerte, tendrá un coeficiente de expansión térmica pequeño.

14

3. Coeficiente de expansión térmica• Definición:

)(0

1

TTKCTE T

−=− ε

To

ToT

To

ToTT y

yy

x

xx −=

−=ε

15

3. Coeficiente de expansión térmica• La forma del potencial interatómico hace que al aumentar la temperatura,

aumente la separación media entre los átomos, haciendo que el material se dilate. Así, un material con enlace fuerte, tendrá un coeficiente de expansión térmica pequeño.

16

4. Tensión y deformación en un punto.4.1 Tensión en un punto• Hasta ahora, en los ejemplos que hemos visto, la tensión era uniforme en toda la sección

del cuerpo pero eso no es siempre así.• Supongamos el caso general de un cuerpo de forma arbitraria sometido a esfuerzos

(fuerzas de superficie y fuerzas de volumen). Para conocer la tensión en el punto 0 con respecto al plano mn, sustituimos la parte A del cuerpo por un sistema de fuerzas que mantenga a la parte B en la misma posición. Si ∆A es la superficie de una región que rodea al punto 0 y ∆F, la fuerza que actúa en esa región, entonces la tensión σ en el punto 0 con respecto al plano mn viene dada por:

NOTA: Como existen infinitos planos que pasan por 0, existen infinitos valores de la tensión σ en el punto 0. El valor de una tensión siempre está asociado a un plano.Además, como tanto la fuerza como la superficie son magnitudes vectoriales (módulo y dirección), la tensión tiene asociadas dos familias de cosenos directores, por lo que el la tensión es un tensor de 2º orden.

A

FA ∆

∆=

→∆ 0limσ

17

4. Tensión y deformación en un punto.

• Como la fuerza ∆F no tiene por qué ser perpendicular al plano ∆A, la fuerza se descompone en sus componentes normal y tangencial:

• Por lo tanto, σij representa una componente de tensión que actúa sobre el plano i en dirección j:

– Cuando i=j, la tensión es normal: σi

– Cuando i≠j, la tensión es de cortadura τij

Convención de signos: σij >0 si el sentido de la fuerza en dirección j coincide con el dela normal a la superficie i hacia fuera del volumen; σij < 0 en caso contrario.

xzxzx

z

A

xyxyx

y

A

xxxx

x

A

A

F

A

F

A

F

x

x

x

τσ

τσ

σσ

==∆∆

==∆

∆

==∆∆

→∆

→∆

→∆

0

0

0

lim

lim

lim

18

4. Tensión y deformación en un punto.• Tensión en un punto: En un cuerpo sometido a esfuerzos, definimos un sistema

ortonormal de coordenadas. Consideramos entonces un elemento infinitesimal de volumen asociado al punto, limitado por caras paralelas a los tres planos ortogonales definidos por el sistema de referencia. Sobre cada cara actúan, en general, tres componentes de fuerza. Podemos, en primera aproximación, definir las tensionesactuantes en ese punto como componentes de “intensidad de fuerza”, o componentes de la fuerza por unidad de superficie que se transmite a través de cada cara:

siendo: i = j tensiones normalesi ≠ j tensiones de cortadura

donde Aj es el elemento de superficie perpendicular a la dirección j y Fi la componente de fuerza transmitida a través de Aj en la dirección i.

j

iij dA

dF=σ

19


• Considerando las 3 direcciones de referencia, resultan 9 componentes de tensión. Consideraciones de equilibrio de fuerzas y momentos, reducen las componentes independientes a 6:

y por tanto, el tensor de tensiones es una matriz simétrica.

• Por ej, si planteamos el equilibrio de momentos en dirección z:

jiij ττ =

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij

στττστττσ

σ

yxxy ττ =

20

4. Tensión y deformación en un punto.4.2 Transformación de las componentes de tensión

Considerando dos sistemas de referencia ortonormales (x, y, z) y (x´, y´, z´) cuyos cosenos directores son , siendo el ángulo formado por las direcciones i´yj del 2º y 1er sistema de referencia respectivamente, la expresión para la transformación de las componentes de tensión del 1er al 2º sistema de referencia son:

o en notación matricial:

jijil ′′ = θcos

∑∑==

=3

1´´

3

1´´

lklljki

kji ll σσ

ji′θ

( ) ( )( )( )

( )

=

= ′′

332313

322212

312111

333231

232221

131211

´´

´´

lll

lll

lll

l

lll

lll

lll

ll

zzyzx

yzyyx

xzxyx

yx

Tjiijjiji

στττσττσ

σ

σσ

21

4. Tensión y deformación en un punto.Caso de tensión plana

Supongamos que conocemos las componentes de tensión en el punto 0 referidas al sistema de coordenadas {x,y} y que queremos conocer las componentes de tensión referidas al sistema {x’, y’}:

Si definimos el plano AB, a una distanca infinitesimal del

punto 0, podemos aplicar el equilibrio de fuerzas en

direcciones x’ e y’:

y cos sin

y sin cos

θθ

θθ

+−=+=′

+=+=′

′′

′′

xylxly

xylxlx

yyxy

yxxx

θσθτθτθσσ sincossincos0 ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⇒=∑ ′′ OAOAOBOBABF yyxxyxxx

θσθθτθσσ 22 sincossin2cos ⋅+⋅⋅+⋅=′ yxyxx

θσθτθτθστ sincossincos0 '' ⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=⋅⇒=∑ ′ OBOBOAOAABF xxyxyyyxy

( ) ( )θθτθθσστ 22' sincoscossin −⋅+⋅⋅−=′ xyxyyx

22

4. Tensión y deformación en un punto.Caso de tensión plana (cont´)

Para calcular σy’ hacemos una operación similar:

θσθθτθσσ 22 sincossin2cos ⋅+⋅⋅+⋅=′ yxyxx

( ) ( )θθτθθσστ 22' sincoscossin −⋅+⋅⋅−=′ xyxyyx

θσθθτθσσ 22' coscossin2sin ⋅+⋅⋅−⋅= yxyxy

Por lo tanto, en un caso de tensión plana, la transformaciónde las componentes de tensión viene dada por:

Notad que:

Es decir, que independientemente del sistema de referencia, la suma de las tensiones normales es un invariante del estado de tensiones.

(Queda como ejercicio demostrar que se llega a las mismas ecuaciones aplicando las ecuaciones de la página 20.)

θσθθτθσσ 22' coscossin2sin ⋅+⋅⋅−⋅= yxyxy

yxyxyx σσθθσθθσσσ +=+++=+ )sin(cos)sin(cos 2222''

23

4. Tensión y deformación en un punto.4.3 Concepto de deformación incremental• La forma de un material bajo tensión cambia: el material sufre deformaciones. El

cambio de forma implica desplazamientos del material, pero no todos los desplazamientos comportan deformaciones: los puntos de un sólido rígido también pueden sufrir desplazamientos, que pueden descomponerse en rotaciones y traslaciones. Para expresar las deformaciones, debemos eliminar de los desplazamientos totales de los puntos del cuerpo aquella porción que constituye movimiento del sólido rígido, es decir, meramente traslaciones y rotaciones, sin distorsión de forma.

• En un instante dado, la posición de cada punto del cuerpo material respecto a un sistema externo de referencia viene definida por las coordenadas (x, y, z). Bajo un conjunto de esfuerzos y con las restricciones de contorno pertinentes, los puntos del cuerpo habrán experimentado un campo de desplazamientos,

función de las coordenadas iniciales de cada punto.

),,( xyxuu ii =

24


Deformación plana

• Supongamos el paralelogramo ABCD. Bajo la acción de un campo de fuerzas, el paralelogramo se deforma según A’B’C’D’.

• Suponiendo desplazamientos pequeños, los desplazamientos relativos unitarios (por unidad de longitud) normales vendrán dados por:

x

u

dx

dxdxxu

dx

AD

ADPA

AD

ADDAu x

x

xx ∂∂

=−

∂∂

+=

−≅

−=

'''

y

u

dy

dydyy

udy

AB

ABQA

AB

ABBAu y

y

yy ∂

∂=

−∂∂

+=

−≅

−=

'''

25


Deformación plana

• Además del cambio de dimensiones, el paralelogramo cambia de forma, por ej, el ángulo B’A’D’ era inicialmentede 90º.

• Los desplazamientos relativos unitarios tangenciales miden este cambio de forma.

• Así por ej, uyx mide el giro sufrido por el segmento A’D’, inicialmente paralelo al eje x:

x

u

dxx

udx

dxx

u

PA

PDPADángulou y

x

y

yx ∂

∂≅

∂∂

+

∂∂

==='

'arctan''

y

u

dyy

udy

dyyu

QA

QBQABángulou x

y

x

xy ∂∂

≅

∂∂

+

∂∂

==='

'arctan''

26


• Por lo tanto, los desplazamientos relativos unitarios en el caso plano constituyen una matriz :

• Los desplazamientos relativos unitarios no sólo representan deformaciones, si no también rotaciones. Esto se puede deducir fácilmente, descomponiendo la matriz en su parte simétrica y su parte antisimétrica:

∂

∂

∂

∂∂∂

∂∂

=

y

u

x

uy

u

x

u

uyy

xx

ij

( ) ( ) ijijjiijjiijij uuuuu ωε +=−++=2

1

2

1

∂∂

−∂

∂

∂

∂−

∂∂

+

∂

∂

∂

∂+

∂∂

∂

∂+

∂∂

∂∂

=

∂

∂

∂

∂∂∂

∂∂

=0

2

1

2

10

2

1

2

1

y

u

x

ux

u

y

u

y

u

x

u

y

u

x

u

y

u

x

u

y

u

x

uy

u

x

u

uxy

yx

yyx

yxx

yy

xx

ij

27


• Veamos un ejemplo sencillo:

=

00

0 γiju

− 02

20

γ

γ

02

20

γ

γ

= +

Cortadura pura Cortadura simple Rotación

iju ijεijω= +

= +

28


• Relación con la deformación a cortadura ingenieril

De lo anterior es fácil deducir que:

xyxy

xy

xy

y

u

x

u

ánguloángulo

εγ

γ

2

B'QA' P'A'D'

=∂∂

+∂

∂=

+=

29


• En un caso general, si consideramos el entorno infinitesimal de un punto durante un pequeño incremento de tiempo, se pueden haber producido los 9 desplazamientos relativos por unidad de longitud que constituyen la matriz:

=

dz

du

dy

du

dx

dudz

du

dy

du

dx

dudz

du

dy

du

dx

du

u

zzz

yyy

zxx

ij

30


• Descomponiendo la matriz de desplazamientos relativos unitarios en su parte simétrica y su parte antisimétrica:

• De la descomposición se deduce que:– Los términos no nulos de la matriz antisimétrica representan rotaciones respecto a los ejes del

sistema de referencia– Los términos de la parte simétrica de la matriz de desplazamientos relativos unitarios

constituyen las deformaciones.

−

−

−

−

−

−

+

+

+

+

+

+

+

=

02

1

2

1

2

10

2

1

2

1

2

10

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

3

2

2

3

3

1

1

3

2

3

3

2

2

1

1

2

1

3

3

1

1

2

2

1

3

3

3

2

2

3

3

1

1

3

2

3

3

2

2

2

2

1

1

2

1

3

3

1

1

2

2

1

1

1

dx

du

dx

du

dx

du

dx

du

dx

du

dx

du

dx

du

dx

du

dx

du

dx

du

dx

du

dx

du

dx

du

dx

du

dx

du

dx

du

dx

du

dx

du

dx

du

dx

du

dx

du

dx

du

dx

du

dx

du

dx

du

dx

du

dx

du

uij

[ ] [ ] [ ]( )

( )jiijij

jiijij

ijijij

uu

uu

u

−=

+=

+=

2

12

1

ω

ε

ωε

0

0

<<

<<

ij

ij

ω

εsiendo:

31


4.4 Transformación de las componentes de deformación:

• Teniendo en cuenta que εij es también un tensor de segundo orden, son válidas también las ecuaciones obtenidas para la transformación de la tensión, es decir, que:

∑∑==

=3

1´´

3

1´´

lklljki

kji ll εε

( ) ( )( )( )

( )

=

= ′′

332313

322212

312111

333231

232221

131211

´´

´´

lll

lll

lll

lll

lll

lll

ll

zzyzx

yzyyx

xzxyx

yx

Tjiijjiji

εεεεεεεεε

σ

εε

32


4.5 Tensiones hidrostáticas y deformaciones volumétricas

• Las deformaciones producen no sólo un cambio de volumen, si no también un cambio de la forma del cuerpo. Un estado de tensiones, σij, contiene una componente hidrostática σh, que se expresa:

• La componente hidrostática de las tensiones produce sólo una deformación volumétrica del cuerpo que vendrá dada por:

( ) 3/zzyyxxh σσσσ ++=

∑=

=++=3

1iiizzyyxxv εεεεε

33

5. Relaciones tensión-deformación para un sólido elástico isótropo lineal• En un caso general, y si el sólido se comporta de forma elástica lineal, serán

necesarias 36 constantes elásticas para definir su comportamiento, ya que tenemos que relacionar dos tensores de segundo orden. En forma matricial, se puede expresar como:

donde Cij son las constantes de rigidez. Alternativamente, se pueden definir las constantes de flexibilidad:

=

xy

xz

yz

z

y

x

xy

xz

yz

z

y

x

CC

CC

CCCCCC

γγγεεε

τττσσσ

6661

2221

161514131211

...

...

{ } { }{ }σε S=

34

5. Relaciones tensión-deformación para un sólido elástico isótropo lineal• La condición de reversibilidad obliga a que la matriz de rigidez sea simétrica,

con lo que el número de constantes se reduce a 21. Este es el número máximo de constantes que hay que conocer para definir el comportamiento elástico lineal de un material totalmente anisótropo.

• Sin embargo, sabemos que por ej un monocristal presenta ciertas simetrías dependiendo de su estructura cristalina, con lo que el número de constantes de rigidez independientes puede reducirse considerablemente.

• Por ej., un cristal cúbico referido a los ejes <100> del cristal:

44

44

44

111212

121112

121211

00000

00000

00000

000

000

000

S

S

S

SSS

SSS

SSS

35

5. Relaciones tensión-deformación para un sólido elástico isótropo lineal• En un caso isótropo: es independiente de la dirección de

medida.

• Para hallar las relaciones tensión-deformación, es posible aplicar el principio de superposición lineal

Estamos considerando un fenómeno reversible regido por una ley lineal. Dadas varias situaciones de tensiones con sus correspondientes deformaciones (a nivel de un elemento de volumen, cada una de ellas es la solución de una caso particulardel sistema lineal general de 6 ecuaciones y 6 incógnitas definido por las relaciones elásticas tensiones / deformaciones), se puede aplicar el “principio de superposición lineal”: combinaciones lineales de soluciones elásticas son a su vez soluciones elásticas válidas. Este “principio” es muy útil para soluciones problemas elásticos

36

5. Relaciones tensión-deformación para un sólido elástico isótropo lineal• Así, para un sólido elástico isótropo líneal podemos descomponer el caso general en 6 casos

particulares:

Ex

x

σε = xzxz G γτ ⋅=E

yy

σε =

Ez

z

σε = xyxy G γτ ⋅= yzyz G γτ ⋅=

E

E

xz

xy

συε

συε

−=

−=

E

E

yz

yx

συε

συε

−=

−=

E

E

zy

zx

συε

συε

−=

−=

37

5. Relaciones tensión-deformación para un sólido elástico isótropo lineal• Sumando todas: Y en forma matricial:

G

G

G

EEE

EEE

EEE

xyxy

xzxz

yzyz

zyxz

zyxy

zyxx

τγ

τγ

τγ

σσυσυε

συσσυε

συσ

υσε

=

=

=

+−−=

−+−=

−−=

−−−−−−

=

xy

xz

yz

z

y

x

xy

xz

yz

z

y

x

G

G

G

EEE

EEE

EEE

τττσσσ

υυυυυυ

γγγεεε

/100000

0/10000

00/1000

000/1//

000//1/

000///1

38

5. Relaciones tensión-deformación para un sólido elástico isótropo lineal• Parecería que se requieren tres constantes para caracterizar el comportamiento elástico

de un material isótropo lineal. Sin embargo, sólo dos son independientes. Se cumple que:

)1(2 υ+=

EG

• Asimismo, se cumple la siguiente relación:

)21(3 υ−=

EK

• Se deja como ejercicio demostrar dichas relaciones.

39

6. Trabajo de deformación elástica

• Se denomina energía de deformación elástica al trabajo realizado por las fuerzas exteriores para deformar elásticamente el material.

• Con la expresión de deformaciones normales y tangenciales, se puede deducir que el incremento de trabajo producido por unidad de volumen en el entorno de un punto en el que se producen los incrementos de deformaciones bajo el estado de tensiones es:

∑∑==

=++++=3

1

3

1232322221111 ......

jijij

i

ddddV

dW εσγσεσεσ

40


Fibra vidrio + PoliesterPiscina

Fibra vidrio + PoliesterYate

41


Dirección longitudinal: condición de igual deformación

σ1σ1

σ1m

σ1f

Vm

Vf

m

mm

f

ff EE

11

111

σεσ

εε ==== mmff VV 111 σσσ +=mmff EVEVE +=1

42


Dirección transversal: condición de igual tensión

σ2

σ2

σ2m

σ2f

Vm

Vf

mmmfff EE 222222 εσεσσ ====

1

22

2

2

22

−

+=

+==

m

m

f

f

mmff

f

E

V

E

V

VVE

εεσ

εσ

mmff VV 222 εεε +=

43


0

200

400

600

800

1000

1200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Vf

E (G

Pa) Dirección longitudinal

Dirección transversal

44

8. Diseño en ingeniería

• Resistencia de materiales: cálculo ingenieril de las tensiones y deformaciones

• Ciencia de Materiales: entender cómo los materiales se deforman y rompen ⇒ Selección de materiales y desarrollo de nuevos materiales (por ejemplo, composites)

• Vamos a ver algunos estados de cargas muy comunes desde el punto de vista del material:– Tracción de un cable– Flexión de una viga– Presurización de tubos cilíndricos.

45

Diseño en ingeniería• Caso 1: Cable a tracción

En muchas aplicaciones, es interesante seleccionar el material más ligero sin perder rigidez a tracción. Sea un cable de longitud L y sección transversal A, sometido a una fuerza de tracción F. La elongación ∆L vendrá dada por:

Sea ρ la densidad del material, el peso vendrá dado por:Entonces, para una elongación constante ∆L, eliminando el valor del área A de ambas ecuaciones, obtenemos:

Es decir, que a una rigidez constante (∆L constante), para minimizar el peso es necesario maximizar la relación E/ρ.

EL

FL

EL

FLLPeso

ρρ ⋅∆

=⋅∆

=2

AE

FLL

L

LE

A

FE =∆⇒

∆=⇒= εσ LAPeso ρ=


46

• Cable a tracción (cont.). Representación de E versus ρ para distintos materiales:

Nota:CFRP: Carbon Fibre Reinforced plasticGFRP: Glass Fibre Reinforced plasticKFRP: Kevlar Fibre Reinforced plastic

E/ρ CONSTANTE


47

Diseño en ingeniería

Investigación y Ciencia, Febrero, 1998

• Cable a tracción (cont.):– Otro parámetro de diseño importante es su resistencia a tracción.

– La longitud de los puentes colgantes ha aumentado gracias a que se han desarrollado aceros con mayores resistencias a tracción.


48

8. Diseño en ingeniería• Caso 2: Flexión de una viga

Supongamos por ejemplo una barra empotrada en un extremo que soporta una carga transversal F en su extremo opuesto. Se puede calcular que la deflexión máxima δ (en el extremo libre) viene dada por:

donde I es el momento de inercia, que depende de la forma de la sección transversal. Para una sección rectangular:

h

b

EI

FL

3

3

=δ

12

3bhI =

P

L

δP

L

δ

Tensiones tractivas

Tensiones compresivasLínea neutra

F

49

8. Diseño en ingeniería•Flexión de una viga (cont.):

Para aumentar la rigidez de la viga a flexión, es decir, minimizar la deflexión δ, hay que maximizar el producto EI:

Para maximizar E hay que actuar sobre el materialo Por ejemplo, composites

Para maximizar I, hay que actuar sobre la forma de la sección transversal (cuanto más área tenga localizada lejos de la línea neutra, mayor será I). De ahí, la forma de muchas vigas estructurales en forma de I

50

8. Diseño en ingeniería• Flexión de una viga (cont.)

En muchas aplicaciones, es interesante seleccionar el material más ligero sin perder rigidez a flexión. Sea un viga empotrada de longitud L y sección transversal cuadrada de lado b, sometido a una fuerza F en su extremo. Utilizando las ecuaciones de la página 13, tenemos que la deflexión vendrá dada por:

Sea ρ la densidad del material, el peso vendrá dado por:Entonces, para una deflexión constante δ, eliminando el valor de b entre ambas ecuaciones, obtenemos:

Es decir, que a una rigidez constante (δ constante), para minimizar el peso es necesario maximizar la relación E/ρ1/2.

EI

FL

3

3

=δ12

4bI =

Eb

FL4

34 =⇒ δ

2LbPeso ρ=

21

215213

24

E

FL

E

FlLPeso

ρδδ

ρ

=

⋅

=

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Diseño en ingeniería• Flexión de una viga (cont.). Representación de E versus ρ para

distintos materiales:

Nota:CFRP: Carbon Fibre Reinforced plasticGFRP: Glass Fibre Reinforced plasticKFRP: Kevlar Fibre Reinforced plastic

E/ρ1/2 CONSTANTE


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Ejemplos:

Aleaciones de AlComposites de fibra de vidrioComposites de fibra de carbono


Composites de fibra de vidrioComposites de fibra de carbono

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Ejemplos de fallo de diseño• Se suele utilizar un coeficiente de seguridad n de forma que

las tensiones máximas en el material no superen cierto valor umbral, por ej, σY/n.


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Diseño en ingenieríaEjemplos de fallo de diseño• El puente de Tacoma en el estado de Washington

– Se cayó el 7 de noviembre de 1940 debido a vibraciones producidas por fuertes vientos debido a la insuficiente rigidez del puente a flexión.


55

Ejemplos de fallo de diseño• El puente del Milenio (Millenium bridge) sobre el Támesis

– También sufrió problemas de rigidez a flexión.– Imágenes de la inauguración: 10 Junio 2000


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• Caso 3: Depósito cilíndrico a presiónSupongamos un tubo cerrado sometido a presión P. La relación entre la presión y las tensiones en las paredes del tubo se puede derivar, mediante un balance entre las fuerzas ejercidas por la presión y por las tensiones. Para un tubo de pared delgada (t<<R), se obtiene que:


t

PR=θσ

t

PRz 2

=σ

θσ θσ

P

RLPRt 22 ⋅=⋅θσ

t

P 2R

L

zσP

22 RPtRz ππσ ⋅=⋅⋅

θσ

θσ

zσzσ

Corte paralelo al eje Corte perpendicular al eje

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• Depósito cilíndrico a presión (cont.)Por eso, es más frecuente que aparezcan grietas en dirección axial que en dirección circunferencial, porque las grietas tienden a crecer en el plano perpendicular a las máximas tensiones tractivas y, en este caso:


zσσθ ⋅= 2t

P 2R

L

Grieta

θσ

θσ

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•Tipos de tensiones en el fuselaje de un aviónUn avión está sometido a momentos flectores y a tensiones de presurización:

• Durante el vuelo, las alas sufren momentos flectores, que originan tensiones compresivas en la superficie de arriba y tensiones tractivas en la de abajo (están tensiones son invertidas durante el aterrizaje)

• La cabina del avión está presurizada a 0.8 atm. A altura de crucero (30.000-40.000 pies), la presión atmosférica es de 0.2-0.3 atm., por lo que existe una sobrepresión sobre la pared del fuselaje de 0.5-0.6 atm.

• Además, existirán momentos flectores sobre el fuselaje, ya que éste está soportado por las alas, pero la fuerza de la gravedad origina momentos flectores en las partes delantera y trasera.


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Ejemplos de fallo de diseño• Aterrizaje de un avión

– Se estrelló el 2 de Mayo 1980 en California durante pruebas de aterrizaje porque el piloto bajó demasiado deprisa durante el aterrizaje, generando tensiones en el fuselaje que excedieron suresistencia a flexión.


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tension y deformacion