PARTICIPANTE: Luis Chimborazo A

FACILITADOR: Ing. Verónica Granizo

MINISTERIO DE EDUCACIÓNESCUELA SUPERIOR DE

CHIMBORAZO

TIC'S EN EL EJERCICIO DOCENTE AREA MATEMATICAS

1.2.1 CONJUNTOS

La Teoría de Conjuntos es la rama de las matemáticas a la que el matemático alemán Georg Cantor dio su primer tratamiento formal en el siglo XIX. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar, implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el infinito.

Otra aplicación de la teoría de conjuntos la encontramos con el modelado e investigación de operaciones en las ciencias computacionales.Los conjuntos fueron por primera vez formalmente estudiados por G. Cantor. Después de esto la teoría de conjuntos se ha convertido en un área muy bien establecida de matemáticas, contradicciones o paradojas que encontramos en dicha teoría.

TEORÍA DE CONJUNTOS

1.- CONJUNTO

El edificio matemático descansa sobre el concepto de conjunto; acerca del cual, todos tenemos una idea intuitiva es decir no tiene definición  si no más bien se lo considera como una noción intuitiva  así como el punto, la recta, el plano en geometría.Al conjunto se los puede establecer como la reunión, colección de varios elementos que tengan la misma característica

Ejemplo.-Colección de obras de arte; De un grupo de estudiantes etc.En general denotaremos a los conjuntos con letras mayúsculas como: A, B, C, D, .......X, Y, ZLos objetos que constituyen o forman un conjunto se denominan elementos de dicho conjunto los cuales se los representa con letras minúsculas como:  a, b, c, d, e, .... x, y, z.Ejemplo.   A= {a,e,i,o,u }                    D = { 2,4,6,8,10,12}

OPERACIÓN DE CONJUNTOS 2.- PERTENENCIA Y NO PERTENENCIAPara indicar que un elemento pertenece a un conjunto usaremos el signo “ ” que se lee  “pertenece  a” o también  “ es elemento de “Ejemplo.  6  D    se lee :  6  pertenece a  DEjemplo.  i     A   se lee: i es elemento de  A 

Si 6 no pertenece a  D usaremos el signo  “ ” y se lee “no pertenece a” o también “no es elemento de”Ejemplo.  7  D  se lee 7 no pertenece a D  o  7 no es elemento de DEjemplo: Supongamos que a = 1.82 y N = {1, 2, 3, ... }, entonces a  N ya que a no es un número natural y N es el conjunto de los números naturales.

Por conveniencia es necesario considerar un conjunto que no tiene ningún elemento. Este conjunto se llama conjunto vacio  y se denota por y en algunas ocasiones porComo ilustración, tomemos el conjuntoA= x ; x es un niño de dos años que posee un título de bachiller Obviamente, no existen bachilleres de dos años de edad; por tanto, conjunto vacío  .

3.- DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS.- Existen dos métodos para determinar un conjunto que son:1.- Por extensión o Tabulación.- Es decir realizando un inventario de los mismos es decir escribiendo  todos y cada uno de los elementos del con junto entre llaves  separados por comas o puntos y comas; además debemos representar los elementos por una sola vez.Ejemplo 1: El conjunto B cuyos elementos son: 1,3,5,7                                        B = { 1,3,5,7}

3.1.- Por Comprensión.- Un conjunto puede ser definido también por medio de una o más propiedades que caracterizan a sus elementos y solo a ellosEjemplo 1:     M = {dedos de la mano}                           

*  De igual manera quedaría definido por comprensión  mediante la fórmula estándar:Para denotar un conjunto se utiliza la notación:  A = {x/ x es P} y se lee: A es el conjunto de todos los elementos x tal que x es PEn este caso P es una propiedad privativa de todos los elementos del conjunto A

 Ejemplo: M = { x/ x  de la mano }  que se lee: El conjunto M esta formado por los elementos x tal que x es dedo de la mano.Ejemplo: A = { x/x Î N ^ 4 < x < 9}                                El símbolo “ / ” significa  tal que (suele usarse también en su lugar el símbolo “:”)  x  es una variable que representa a cualquier elemento del conjunto.Como se ha visto hasta aquí, cualquiera que sea la manera de determinar un conjunto, siempre es posible decir, con absoluta seguridad, cuando un objeto determinado pertenece o no al mismo.

2.- CLASE  DE  CONJUNTOS.- Los conjuntos se clasifican en:

2.1.-Conjuntos Infinitos.- Son aquellos en los que nunca podremos nombrar su último elemento.                    Ejemplo. N = {  0,1,2,3,4,5......   }                                                                                                                                   2.2.-Conjuntos Finitos.- Son  aquellos en los que se pueden nombrar su último elemento.     Ejemplo.  O = { enero, febrero, marzo,........ diciembre}

2.3.- Conjunto Vació.- Se llama conjunto vacío al que carece de elementos y se designa con       Ejemplo.   T = { cuadriláteros de 6 lados}.

24.- Conjunto Unitario.- Se llama conjunto unitario al que tiene un solo elemento.

     Ejemplo. A = { x/ x es satélite natural de la tierra}2.5.- Conjunto Universo o Referencial.- Es el conjunto formado  por todos los elementos del tema de referencia 2. 6.- Conjuntos Equivalentes.- Son aquellos conjuntos que tienen el mismo número de elementos

3.1.- UNIÓN DE CONJUNTOS.- La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como: A U B = {x / x EA o x E B}

2.- INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS.- Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes a A y B. Se denota por A n B, que se lee: A intersección B. La intersección de A y B también se puede definir: A nB = { x / x E A y x E B } y mediante un diagrama de Venn-Euler:

1.- En una encuesta a los estudiantes de razonamientomatemático, acerca de sus preferencias en el uso de las redessociales se obtuvieron los siguientes resultados:55 prefieren facebook60 prefieren twitter20 usan ambos10 no prefieren ninguno de los dos

Usa el diagrama de Venn para responder las siguientespreguntas.1 ¿ Cuántos estudiantes prefieren únicamente facebook?2 ¿ Cuántos estudiantes prefieren únicamente twitter?3 ¿ Cuántos estudiantes usan al menos uno de los dos?4 ¿ Cuántos estudiantes fueron encuestados?

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Paso 1Reconocer quienes y cuántos son los conjuntosLa encuesta es acerca de las preferencias de uso de las redes sociales, las cuales lo conforman facebook y twitter; por lo que tenemos dos conjuntosSean los conjuntos:F = el conjunto de estudiantes que prefieren facebook.T = el conjunto de estudiantes que prefieren twitter.Además tenemos el conjunto:F ∩ T = en conjunto de estudiantes que prefieren ambos

Paso 2Identificar la cardinalidad de los conjuntosDe los datos del problema tenemos:card(F) = 55card(T) = 60card(F ∩ T) = 20.

SOLUCIÓN

Paso 3Ubicar los números cardinales en el diagrama de VennEstrategia: Empieza siempre por las intersecciones de todos los conjuntos. Así card(F ∩ T) = 20

Para el conjunto F: como dentro del círculo de F tenemos 20 elementos y el card(F) = 55, ¿ Cuánto le falta a 20 para llegar a 55?. Ubica la respuesta como indica la gr´afica.

Para el conjunto T: repite el proceso anterior, ¿ Cuánto le falta a 20 para llegar a 60?. Ubica la respuesta como indica lagráfica.

Finalmente ubicamos el dato que nos falta “10 no prefieren ninguno”

Ahora estamos preparados para responder las preguntas.1 ¿Cuántos estudiantes prefieren únicamente facebook? Respuesta: 352 ¿Cuántos estudiantes prefieren únicamente twitter? Respuesta: 403 ¿Cuántos estudiantes usan al menos uno de los dos?Respuesta:35+20+40 = 954 ¿Cuántos estudiantes fueron encuestados?Respuesta: 105