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1. Explique en forma detallada las tres formas (matemática, geométrica, física) de
cómo se interpreta el concepto de la derivada, si es necesario esquematice mediante
gráficas de apoyo.
Interpretación geométrica de la derivada
Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta
secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α
tiende a ser β.
Interpretación Geométrica de la Derivada
La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función
en ese punto.
𝑚𝑡 = 𝑓′(𝑎)
Interpretación física de la derivada
Velocidad media
La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (𝛥𝑒) y el tiempo
transcurrido (𝛥𝑡).
Velocidad instantánea
La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero, es
decir, la derivada del espacio respecto al tiempo
2. Determine las siguientes derivadas.
𝟏) 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (𝒙))𝟐 𝟐) 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙 + 𝟏)
𝑦’ = 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥)
𝑥2+1 𝑦′ =
1
√−𝑥2−𝑥
𝟑) 𝑭(𝒕) = (𝟑𝒕 − 𝟏)𝟒(𝟐𝒕 + 𝟏)−𝟑
𝐹’(𝑡) = 12(3𝑡 − 1)3
(2𝑡 + 1)3+
(3𝑡 − 1)4
(2𝑡 + 1)4
4) 𝒚 = (𝒙+𝟏
𝒙𝟐−𝟏)𝟑
𝑦’ = 3 (𝑥 + 1
𝑥2 − 1)
2
(−2𝑥𝑥 + 1
(𝑥2 − 1)2+
1
𝑥2 − 1)
𝟓) 𝒚 = √𝟏 + 𝟐𝒆𝟑𝒙 𝟔) 𝒚 = 𝟓−𝟏
𝒙
𝑦’ = 3𝑒3𝑥 𝑙𝑛 (𝑒)
√1+2𝑒3𝑥 𝑦 =
5−
1𝑥∗ln (5)
𝑥2
𝟕) 𝒚 =𝒓
√𝒓𝟐 + 𝟏
𝑦’ = −𝑥2
√𝑥2 + 1)(𝑥2 + 1)2+
1
√𝑥2 + 1
𝟖) 𝒇(𝒕) = 𝒆𝒕𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒕)
𝑓’(𝑡) = 𝑒𝑡𝑠𝑒𝑛(2𝑡)(2𝑡𝑐𝑜𝑠(2𝑡) + 𝑠𝑒𝑛(2𝑡))𝑙𝑛 (𝑒)
𝟗) 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝒕𝒂𝒏(𝟐𝒙))
𝑦’ = 2𝑐𝑜𝑠 (𝑡𝑎𝑛(2𝑥))(𝑠𝑒𝑐2(2𝑥)
3. Con la ayuda del método mediante derivación logarítmica determine las derivadas
siguientes.
𝟏) 𝒀 =𝒆−𝒙𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙
𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏
𝑌’ =𝑒−𝑥(−2𝑥 − 1)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
(𝑥2 + 𝑥 + 1)2−
2𝑒−𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑥2 + 𝑥 + 1−
𝑒−𝑥𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑙𝑛 (𝑒)
𝑥2 + 𝑥 + 1
2) 𝒀 = √𝒙𝒆𝒙𝟐−𝒙(𝒙 + 𝟏)𝟐
𝟑
𝑌’ =1
2
𝑒𝑥2−𝑥 √(𝑥 + 1)23
√𝑥+
2
3
𝑒𝑥2−𝑥√𝑥 √(𝑥 + 1)23
𝑥 + 1+ 𝑒𝑥2−𝑥√𝑥 √(𝑥 + 1)23
(2𝑥 + 1)𝑙𝑛 (𝑒)
3) 𝒀 = 𝑿𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝐿𝑛(𝑦) = 𝐿𝑛(𝑋𝒄𝒐𝒔(𝒙))
𝐿𝑛(𝑦) = 𝐿𝑛(𝑋𝒄𝒐𝒔(𝒙))
𝐿𝑛(𝑦) = cos(𝑥) 𝐿𝑛(𝑋)
𝑦′
𝑦= cos(𝑥) ∗
1
𝑥+ (−𝑠𝑒𝑛(𝑥) ∗ 𝐿𝑛(𝑥))
𝑦′ = [cos(𝑥) ∗1
𝑥− 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ∗ 𝐿𝑛(𝑥)]𝑦
𝑦′ = [cos(𝑥) ∗1
𝑥− 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ∗ 𝐿𝑛(𝑥)]* 𝑿𝒄𝒐𝒔(𝒙)
4. En la figura se muestra una lámpara colocada tres unidades hacia la derecha del
eje “𝒚” y una sombra creada por la región elíptica 𝐱𝟐 + 𝟒𝐲𝟐 ≥ 𝟓. Si el punto (–5, 0)
está en el borde de la sombra, ¿qué tan arriba del eje x está colocada la lámpara?
2𝑥 + 8𝑦. 𝑦′ = 0 Derivamos implícitamente para encontrar 𝑦’
𝑦′ =−2𝑥
8𝑦
𝑦′ =−𝑥
4𝑦
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) Reemplazamos la pendiente obtenida en la ecuación de la recta
𝑦 − 0 =−𝑥
4𝑦(𝑥 + 5)
4𝑦2 = −𝑥2 − 5𝑥
𝑦2 =−𝑥2 − 5𝑥
4
𝑥2 + 4 (−𝑥2 − 5𝑥
4) = 5
𝑥2 − 𝑥2 − 5𝑥 = 5
𝑥 = −1
(−1)2 + 4𝑦 = 5
4𝑦 = 4
𝑦 = 1
𝑦 − 0 =1 − 2
−1 + 5(𝑥 + 5)
𝑦 = −1
4(𝑥 + 5)
4𝑦 = −𝑥 − 5
4𝑦 = −3 − 5
4𝑦 = −8
𝑦 = −2
Como la lámpara no está ubicada bajo el suelo, descarto la respuesta negativa, y tomo
solo la positiva que es y=1, y sé que la lámpara está ubicada 1 unidad sobre el eje y.
5. El desplazamiento (en metros) de una partícula que se mueve en línea recta está
dado por:
𝒔(𝒕) = 𝒕𝟐 + 𝟖𝒕 + 𝟏𝟖, donde t se mide en segundos.
a) Encuentre la velocidad promedio en cada intervalo de tiempo:
i) [3, 4] ii) [3.5, 4]
iii) [4, 5] iv) [4, 4.5]
b) Halle la velocidad instantánea cuando 𝐭 = 𝟒.
c) Dibuje la gráfica de s como función de t y trace las rectas secantes cuyas
pendientes son las velocidades promedio en el inciso a) y la recta tangente cuya
pendiente es la velocidad instantánea en el inciso b), esto mediante la ayuda de
software matemático.
a) Encuentre la velocidad promedio en cada intervalo de tiempo:
i) [3, 4] ii) [3.5, 4]
iii) [4, 5] iv) [4, 4.5]
Tenemos la función de su posición respecto al tiempo:
𝑠(𝑡) = 𝑡2 + 8𝑡 + 18
La derivada de la función del desplazamiento respecto al tiempo nos da la función de la
velocidad respecto al tiempo, y podemos obtener las velocidades promedias en los
intervalos
𝑠(𝑡) = 𝑡2 + 8𝑡 + 18
𝑠′(𝑡) = 2𝑡 + 8 i) [3, 4] 𝑠′(3) = 2(3) + 8 = 14𝑚/𝑠 𝑠′(4) = 2(4) + 8 = 16𝑚/𝑠
La velocidad promedio será: 𝑠′(𝑡)𝑚 = (14 + 16)/2 = 15𝑚/𝑠
ii) [3.5, 4]
𝑠′(3.5) = 2(3.5) + 8 = 15𝑚/𝑠 𝑠′(4) = 2(4) + 8 = 16𝑚/𝑠
La velocidad promedio será: 𝑠′(𝑡)𝑚 = (16 + 16)/2 = 16𝑚/𝑠
iii) [4, 5]
𝑠′(4) = 2(4) + 8 = 16𝑚/𝑠
𝑠′(5) = 2(5) + 8 = 18𝑚/𝑠
La velocidad promedio será: 𝑠′(𝑡)𝑚 = (16 + 18)/2 = 17𝑚/𝑠
iv) [4, 4.5]
𝑠′(4) = 2(4) + 8 = 16𝑚/𝑠
𝑠′(4.5) = 2(4.5) + 8 = 17𝑚/𝑠
La velocidad promedio será: 𝑠′(𝑡)𝑚 = (16 + 17)/2 = 16.5𝑚/𝑠
b) Halle la velocidad instantánea cuando t = 4.
𝑠′(4) = 2(4) + 8 = 16𝑚/𝑠
c) Dibuje la gráfica de s como función de t y trace las rectas secantes cuyas
pendientes son las velocidades promedio en el inciso a) y la recta tangente cuya
pendiente es la velocidad instantánea en el inciso b), esto mediante la ayuda de
software matemático.
Secantes:
𝑠(𝑡) = 𝑡2 + 8𝑡 + 18
Para graficar necesito un punto y la pendiente dada
i) [3, 4] Intervalo
Punto 𝐴 (3, 𝑓(3)) con pendiente 15
Punto 𝐴 (3,66)
𝑦 = 15𝑥 + 21
ii) [3.5, 4] Intervalo
Punto 𝐵 (4, 𝑓 (4) )con pendiente 16
Punto 𝐵 (4, 66 )
y=16x+2
iii) [4, 5] Intervalo
Punto 𝐶 (4, 𝑓 (4)) con pendiente 17
Punto 𝐶 (4, 66)
y=17x-2
iv) [4, 4.5]
Punto D (4, 𝑓(4)) con pendiente 16.5
Punto 𝐷 (4, 66)
y=16.5x+0
Grafico 1
Grafico 2
Grafico 3
Recta tangente a la gráfica en el inciso b
velocidad instantánea cuando t = 4.
𝑠′(4) = 2(4) + 8 = 16𝑚/𝑠
𝑆𝑖 𝑡 = 4 𝑆(4) = 42 + 8(4) + 18
𝑆(4) = 66m
Entonces la ecuación de la tangente en el punto (4,66) con pendiente 16 es
y=16x+2
Grafico 4
6. Un lado de una casa tiene la forma de un cuadrado coronado por un triángulo
equilátero. La base mide 48 pies con un error máximo en la medición de 1 pulgada.
Calcule el área del lado y use diferenciales para estimar el error máximo cometido en el
cálculo. Evalúe el error relativo porcentual.
RESOLUCION
Se procede a realizar un gráfico del lado de la casa para poder visualizar mejor el
ejercicio.
Datos
𝑥 = 48 𝑓𝑡
Error máximo en la medición (dx)
(𝑑𝑥) = 1𝑖𝑛 = 0.083 𝑓𝑡
Planteamos la fórmula para encontrar el área total del lado de la casa. Ya que lo que se
quiere encontrar es el diferencial del área total denotado por 𝑑𝐴(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙).
𝐴(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙) = 𝐴(𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑜) + 𝐴(𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜)
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
𝐴(𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) = (√3)/4 ∗ 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑥^2)
𝐴(𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜) = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑥^2)
Reemplazando
𝐴(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙) =√3
4∗ 𝑥2 + 𝑥2 Aplicamos diferenciales a la ecuación
𝑑𝐴(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙) = 2 (√3
4) 𝑥(𝑑𝑥) + 2𝑥(𝑑𝑥) Simplificamos
𝑑𝐴(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙) =√3
2𝑥(𝑑𝑥) + 2𝑥(𝑑𝑥) Reemplazamos cantidades conocidas
𝑑𝐴(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙) =√3
2(48𝑓𝑡)(0.083𝑓𝑡) + 2(48𝑓𝑡)(0.083𝑓𝑡) Resolvemos
𝑑𝐴(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙) = 3.45𝑓𝑡2 + 7.97𝑓𝑡2
𝑑𝐴(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙) ≈ 11.42 𝑓𝑡2
Si se comete un error máximo en la medición de la base en 1 pulgada, el área total del
lado de la casa se obtendrá con aproximadamente 11.42𝑓𝑡2 de error máximo.
En la evaluación de error relativo porcentual se debe obtener primero el valor real del
área del lado de la casa,
𝑏𝑎𝑠𝑒 = 48𝑓𝑡 − 0.083𝑓𝑡 = 47.917𝑓𝑡 (𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙 )
Con el valor real obtenemos el área real del lado de la casa aplicando la formula
anterior.
𝐴(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙) = 𝐴(𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑜) + 𝐴(𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜)
𝐴(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙) =√3
4∗ 𝑥2 + 𝑥2
𝐴(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙) =√3
4∗ (47.917 𝑓𝑡)2 + (47.917 𝑓𝑡)2
𝐴(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙) = 994.21𝑓𝑡2 + 2296.03𝑓𝑡2
𝐴(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙) = 3290.24𝑓𝑡2 (𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙)
Aplicamos la fórmula del error relativo porcentual
𝑒𝑟 % = 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙∗ 100% Reemplazando valor conocidos
𝑒𝑟 % = 11.42𝑓𝑡2
3290.24𝑓𝑡2 ∗ 100% Simplificamos
𝑒𝑟 % ≈ 0.35%
Se concluye que el error de medición con 1 pulgada de error, se comete el error de
medición en un 0.35% aproximadamente en el área.
7. Los lados de un triángulo tienen longitudes de 12 y 15 m. El ángulo entre ellos se incrementa a razón de 2°/min. ¿Qué tan rápido se incrementa la longitud del tercer lado cuando el ángulo entre los lados de longitud fija es de 60°?
Se realiza una gráfica del triángulo para visualizar mejor el problema.
Tenemos los siguientes datos.
𝑥 = 12𝑚
𝑦 = 15𝑚
𝑑𝜃
𝑑𝑡=
2°
𝑚𝑖𝑛
𝑑𝜃
𝑑𝑡=?
𝜃 = 60°
Se debe aplicar Ley de cosenos para relacionar el lado z con las demás variables para
encontrar su valor.
𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 − 2xycos(θ)
𝑧2 = (12𝑚)2 + (15𝑚)2 − 2(12𝑚)(15𝑚)cos (60°)
𝑧2 = 189𝑚2
𝑧 = √189𝑚2
𝑧 = 3√21𝑚
Una vez encontrado el valor de z utilizamos la misma ecuación para derivarla z con
respecto al tiempo y poder así encontrar la solución.
𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 − 2xycos(θ)
𝑧2 = (12𝑚)2 + (15𝑚)2 − 2(12m)(15m)cos(θ)
𝑧2 = 369 − 360cos(θ) Se deriva esta ecuación
2𝑧𝑑𝑧
𝑑𝑡= 0 − 360(−𝑠𝑒𝑛(60°))
𝑑𝜃
𝑑𝑡 Despejando
𝑑𝑧
𝑑𝑡
𝑑𝑧
𝑑𝑡=
−360(−𝑠𝑒𝑛(𝜃))𝑑𝜃
𝑑𝑡
2𝑧 Se reemplaza los valores conocidos
𝑑𝑧
𝑑𝑡=
(−360𝑚2)(−𝑠𝑒𝑛(60°))2°
𝑚𝑖𝑛
2(3√21𝑚) Se transforman los grados en radianes
𝑑𝑧
𝑑𝑡=
(−360𝑚2)(−𝑠𝑒𝑛(𝜋
3))
𝜋
90𝑚𝑖𝑛
2(3√21𝑚) Se simplifica los m
𝑑𝑧
𝑑𝑡= 0.395 𝑚
𝑚𝑖𝑛⁄
La rapidez con la que se incrementa la longitud de z cuando el ángulo 𝜃 = 60° es de 0.395 𝑚
𝑚𝑖𝑛 ⁄ .
1. Costo del Combustible:
Un automóvil viaja 15000 millas al año y recorre “x” millas por galón. Suponiendo
que el costo promedio del combustible es de $2,76 por galón, calcular el costo anual
C del combustible consumido en función de “x” y utilizar esta función para
completar la tabla:
DATOS
Total, de millas al año= 15000
x= millas recorridas/galón
$/galón= 2.76
C= costo total
Para realizar la resolución del problema tenemos que hacer una relación de los datos
dados para calcular el costo anual que se gastó en recorrer 15000 millas.
La fórmula que relaciona los datos para que quede en función de x es:
𝐶 =(15000)𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
(𝑥)𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠∗ ($2.76)
𝐶 =(41400)$
(𝑥) Costo en función de x
Con la función obtenida se deberá reemplazar todos los valores de x de la tabla anterior
para calcular el costo de cada sección para completar la tabla
Primer dato 𝑥 = 10 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝐶 =(41400)$
(10)
𝐶 = 4140$
Segundo dato x= 15 millas 𝐶 =(41400)$
(15)
𝐶 = 2760$
Tercer dato x= 20 millas 𝐶 =(41400)$
(20)
𝐶 = 2070$
Cuarto dato x= 25 millas 𝐶 =(41400)$
(25)
𝐶 = 1656$
Quinto dato x= 30 millas 𝐶 =(41400)$
(30)
𝐶 = 1380$
Sexto dato x= 35 millas 𝐶 =(41400)$
(35)
𝐶 = 1182.9$
Séptimo dato x= 40 millas 𝐶 =(41400)$
(40)
𝐶 = 1035$
Los valores obtenidos se colocarán en la fila C.
Ahora de la función del Costo la utilizaremos para derivar C respecto a x.
𝐶 =(41400)$
(𝑥)
𝑑𝐶 = 41400 ∗ 𝑑𝑥(1
𝑥) Aplicando regla del cociente
𝑑𝐶
𝑑𝑥= 41400 ∗ (
[(1)´∗(𝑥)]−[1∗(𝑥)´]
(𝑥)2) Y enviando dx a dividir
𝑑𝐶
𝑑𝑥= 41400 ∗ (
[(1)´∗(𝑥)]−[1∗(𝑥)´]
(𝑥)2)
𝑑𝐶
𝑑𝑥= 41400 ∗ (
[0]−[1]
(𝑥)2)
𝑑𝐶
𝑑𝑥= 41400 ∗
−1
(𝑥)2
𝑑𝐶
𝑑𝑥=
−41400
(𝑥)2
Con la ecuación obtenida podremos calcular los galones consumidos respectivamente
para luego colocarlos en la fila 𝑑𝐶/𝑑𝑥.
Primer dato x= 10 mi 𝑑𝐶
𝑑𝑥=
41400
(10)2
𝑑𝐶
𝑑𝑥= 414
Segundo dato x= 15 mi 𝑑𝐶
𝑑𝑥=
41400
(15)2
𝑑𝐶
𝑑𝑥= 184
Tercer dato x= 20 mi 𝑑𝐶
𝑑𝑥=
41400
(20)2
𝑑𝐶
𝑑𝑥= 103.5
Cuarto dato x= 25 mi 𝑑𝐶
𝑑𝑥=
41400
(25)2
𝑑𝐶
𝑑𝑥= 66.2
Quinto dato x= 30 mi 𝑑𝐶
𝑑𝑥=
41400
(30)2
𝑑𝐶
𝑑𝑥= 46
Sexto dato x= 35 mi 𝑑𝐶
𝑑𝑥=
41400
(35)2
𝑑𝐶
𝑑𝑥= 33.8
Séptimo dato x= 40 mi 𝑑𝐶
𝑑𝑥=
41400
(40)2
𝑑𝐶
𝑑𝑥= 25.9
La tabla completa de datos es la siguiente:
¿Quién se beneficiará más con el aumento en 1 milla por galón en la eficiencia del
vehículo: un conductor que obtiene 15 millas por galón o uno que obtiene 35 millas por
galón? Explicar respuesta.
Se beneficiará el conductor que obtiene las 15 millas ya que si se da esa condición se
tienen los nuevos costos y costos con respecto a las millas recorridas.
x= 15 millas 𝐶 =(41400)$
(15)+
(41400)$
(1)
𝐶 = 44160$
x= 15 mi 𝑑𝐶
𝑑𝑥=
41400
(15)2+
41400
(1)2
𝑑𝐶
𝑑𝑥= 41584
x= 35 millas 𝐶 =(41400)$
(35)+
(41400)$
(1)
𝐶 = 42582.9$
x= 35 mi 𝑑𝐶
𝑑𝑥=
41400
(35)2+
41400
(1)2
𝑑𝐶
𝑑𝑥= 41433.8
En conclusión, el conductor que obtiene las 15 millas por galón saldrá beneficiado ya
que paga menos dólares y recorrerá más que el otro.
2. Distancia de Frenado:
Al momento de aplicar los frenos, un vehículo viaja a 66 pies/s (45 millas por hora).
La función posición del vehículo es 𝒔(𝒕) = −𝟖. 𝟐𝟓𝒕𝟐 + 𝟔𝟔𝒕, donde s se mide en pies
y t en segundos. Utilizar esta función para completar la tabla y encontrar la
velocidad media durante cada intervalo.
Tabla 2
Para resolver este problema y llenar la tabla lo tendremos que hacer en 3 secciones.
Primera sección
Se desea obtener los valores de s (t), para eso tomamos la ecuación 𝑠(𝑡) = −8.25𝑡2 +
66𝑡 y reemplazamos en ella todos los valores de t que están en la tabla.
Valores de t:
t=0 𝑠(0) = −8.25(0)2 + 66(0)
𝑠(0) = 0 𝑓𝑡
t=1 𝑠(1) = −8.25(1)2 + 66(1)
𝑠(1) = 57.75 𝑓𝑡
t=2 𝑠(2) = −8.25(2)2 + 66(2)
𝑠(2) = 99 𝑓𝑡
t=3 𝑠(3) = −8.25(3)2 + 66(3)
𝑠(3) = 123.8 𝑓𝑡
t=4 𝑠(4) = −8.25(4)2 + 66(4)
𝑠(4) = 132 𝑓𝑡
Segunda sección
Se debe derivar la función 𝑠(𝑡) = −8.25𝑡2 + 66𝑡 para poder obtener la función V (t).
𝑉(𝑡) = 𝑠´(𝑡)
𝑠´(𝑡) = 2(−8.25𝑡) + 66
𝑠´(𝑡) = −16.5𝑡 + 66
Entonces
𝑉(𝑡) = −16.5𝑡 + 66
Con todos los valores de t se debe evaluar cada uno en la función de V(t).
t=0 𝑉(0) = −16.5(0) + 66
𝑉(0) = 0 + 66
𝑉(0) = 66𝑓𝑡
𝑠
t=1 𝑉(1) = −16.5(1) + 66
𝑉(1) = −16.5 + 66
𝑉(1) = 49.5𝑓𝑡
𝑠
t=2 𝑉(2) = −16.5(2) + 66
𝑉(2) = −33 + 66
𝑉(2) = 33𝑓𝑡
𝑠
t=3 𝑉(3) = −16.5(3) + 66
𝑉(3) = +66
𝑉(3) = 16.5𝑓𝑡
𝑠
t=4 𝑉(4) = −16.5(4) + 66
𝑉(4) = −66 + 66
𝑉(4) = 0𝑓𝑡
𝑠
Tercera sección
En esta última parte derivamos la función de la velocidad para obtener la aceleración.
𝑉(𝑡) = −16.5𝑡 + 66
𝐴(𝑡) = (𝑉´(𝑡) = −16.5
Lo que significa que la aceleración es constante en todos los intervalos de la tabla.
Encontrar la velocidad media en cada intervalo.
Para calcular la velocidad media entre cada intervalo se tiene que sumar la velocidad
inicial y final, y luego dividir para dos, según cada intervalo que se quiera calcular la
velocidad media.
Velocidad media entre el intervalo [0,1]
𝑉(0) = 66𝑓𝑡
𝑠 𝑦 𝑉(1) = 49.5
𝑓𝑡
𝑠
𝑉𝑚 =66
𝑓𝑡𝑠 + 49.5
𝑓𝑡𝑠
2
𝑉𝑚 =115.5
𝑓𝑡𝑠
2
𝑉𝑚 = 57.75𝑓𝑡
𝑠
Velocidad media entre el intervalo [1,2]
𝑉(1) = 49.5𝑓𝑡
𝑠 𝑦 𝑉(2) = 33
𝑓𝑡
𝑠
𝑉𝑚 =49.5
𝑓𝑡𝑠 + 33
𝑓𝑡𝑠
2
𝑉𝑚 =82.5
𝑓𝑡𝑠
2
𝑉𝑚 = 41.25𝑓𝑡
𝑠
Velocidad media entre el intervalo [2,3]
𝑉(2) = 33𝑓𝑡
𝑠 𝑦 𝑉(3) = 16.5
𝑓𝑡
𝑠
𝑉𝑚 =33
𝑓𝑡𝑠 + 16.5
𝑓𝑡𝑠
2
𝑉𝑚 =49.5
𝑓𝑡𝑠
2
𝑉𝑚 = 24.75𝑓𝑡
𝑠
Velocidad media entre el intervalo [3,4]
𝑉(3) = 16.5𝑓𝑡
𝑠 𝑦 𝑉(4) = 0
𝑓𝑡
𝑠
𝑉𝑚 =16.5
𝑓𝑡𝑠 + 0
𝑓𝑡𝑠
2
𝑉𝑚 =16.5
𝑓𝑡𝑠
2
𝑉𝑚 = 8.25𝑓𝑡
𝑠
Las velocidades medias de cada intervalo
Intervalos:
[0,1] 𝑉𝑚 = 57.75𝑓𝑡
𝑠
[1,2] 𝑉𝑚 = 41.25𝑓𝑡
𝑠
[2,3] 𝑉𝑚 = 24.75𝑓𝑡
𝑠
[3,4] 𝑉𝑚 = 8.25𝑓𝑡
𝑠
3. Resistencias conectadas en paralelo: Si dos resistencias de R1 y R2 ohm están
conectadas en paralelo en un circuito eléctrico para formar una resistencia de R
ohms; el valor de R se puede encontrar a partir de la ecuación indicada en la figura:
Figura 1.
Si R1 decrece a razón de 1 ohm/s y R2 aumenta a razón de 0,5 ohm/s, ¿a qué razón
cambia R cuando R1 = 75 ohm y R2 = 50 ohm?
DATOS
Ω=Ohmios
s=segundos
𝑑𝑅1
𝑑𝑡= −
1Ω
𝑠
𝑑𝑅1
𝑑𝑡=
0.5Ω
𝑠
RESOLUCION
El ejercicio nos pide encontrar la razón de cambio de R cuando:
R1= 75 Ω R2=50 Ω
Si la razón de cambio de R1 y R2 respectivamente son:
𝑑𝑅1
𝑑𝑡= −1
Ω
𝑠
𝑑𝑅1
𝑑𝑡= 0.5
Ω
𝑠
Tomamos la fórmula que nos relaciona R con R1 y R2 dada en el problema, para a
continuación
1
𝑅=
1
𝑅1+
21
𝑅2
1
𝑅=
𝑅1 + 𝑅2
𝑅1 . 𝑅2
𝑅 =𝑅1. 𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
𝑅 =𝑢
𝑣 𝑈 = 𝑅1. 𝑅2 𝑉 = 𝑅1 + 𝑅2
𝑑𝑣
𝑑𝑡=
𝑅2 + 𝑅1
𝑑𝑡+ 𝑅1
𝑑𝐵
𝑑𝑡
𝑑𝑣
𝑑𝑡=
𝑑𝑅2
𝑑𝑡+
𝑑𝑅1
𝑑𝑡
𝑑𝑅
𝑑𝑡=
𝑑𝑢𝑑𝑡
𝑣 −𝑢𝑑𝑣𝑑𝑡
𝑉2
𝑑𝑅
𝑑𝑡 =
𝑅2 + 𝑑𝑅1𝑑𝑡
+𝑅1𝑑𝑅2
𝑑𝑡(𝑅2 + 𝑅1) −
𝑑𝑅2𝑑𝑡
+𝑑𝑅1𝑑𝑡
(𝑅1. 𝑅2)
(𝑅2 + 𝑅1)2
𝑑𝑟1
𝑑𝑡=
50(−1) + 75(0.5) (50 + 75) − (0.5 − 1) (75.50)
(50 + 75)2
𝑑𝑅1
𝑑𝑡= 0.02Ω/𝑆
La razón a la que cambia R cuando R1 = 75 ohm y R2 = 50 ohm es 0.02Ω/𝑆
4. Según la ley de Boyle, si la temperatura de un gas confinado se mantiene fija,
entonces el producto de la presión P y el volumen V es constante. Suponga que, para
cierto gas, PV= 800 donde P se mide en libras por pulgada cuadrada y V en pulgadas
cubicas.
a) Encuentre la razón de cambio promedio de P cuando V se incrementa de 300 a
350 pulg3.
b) Exprese V como función de P y demuestre que la razón de cambio instantáneo de
V respecto a P es inversamente proporcional al cuadrado de esta.
c) Utilizar la derivada para demostrar que el ritmo de cambio de la presión es
inversamente proporcional al cuadrado del volumen.
a) Encuentre la razón de cambio promedio de P cuando V se incrementa de 300 a 350
pulg3.
La razón de presión con respecto al volumen:
𝑃 𝑉 = 800
𝑃 =800
𝑉
DERIVAMOS.
𝑑𝑃
𝑑𝑉=
−800
𝑣2
𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑉 = 300 𝑝𝑢𝑙𝑔3
𝑑𝑃
𝑑𝑉= −
800
(300)2= −0,0089 𝑃𝑠𝑖/𝑝𝑢𝑙𝑔3
𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑉 = 350 𝑝𝑢𝑙𝑔3
𝑑𝑃
𝑑𝑉= −
800
(350)2= −00065
𝑃𝑠𝑖
𝑝𝑢𝑙𝑔3
𝑑𝑃
𝑑𝑉𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =
−0.0089 − 0.0065
2= −00077
𝑃𝑠𝑖
𝑝𝑢𝑙𝑔3
b) Exprese V como función de P y demuestre que la razón de cambio instantáneo de V
respecto a P es inversamente proporcional al cuadrado de esta.
𝑃𝑉 = 800
𝑑𝑉
𝑑𝑃=
−800
𝑃2
c) Utilizar la derivada para demostrar que el ritmo de cambio de la presión es
inversamente proporcional al cuadrado del volumen.
𝑃𝑉 = 800
𝑃 = 800
𝑉
𝑑𝑃
𝑑𝑉=
−800
𝑣2
El ritmo de cambio de la presión es inversamente proporcional al volumen.
5. Vaciado de un depósito hemisférico:
De un depósito de forma hemisférica de radio 13 m, ilustrado de perfil en la figura
2, el agua fluye a razón de 6 𝒎𝟑/min. Responda las siguientes preguntas: Dado que
el volumen de agua en el depósito hemisférico de Radio R es 𝑽 = (𝝅
𝟑)𝒚𝟐(𝟑𝑹 − 𝒚)
cuando el agua tiene “y” metros de profundidad.
a) ¿A qué razón cambia el líquido cuando el agua tiene 8 m de profundidad?
b) ¿Cuál es el radio r de la superficie del agua cuando ésta tiene y m de profundidad?
c) ¿A qué razón cambia el radio r cuando el agua tiene 8 m de profundidad?
a) ¿A qué razón cambia el líquido cuando el agua tiene 8 m de profundidad?
𝑉 = (𝜋
3)𝑦2(3𝑟 − 𝑦)
Como 𝑑𝑉
𝑑𝑡= −6
𝑚3
𝑚𝑖𝑛 porque baja el nivel, no aumenta
r=13m y =8m
𝑑𝑉
𝑑𝑡= (
𝜋
3) [2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡(3𝑟 − 𝑦) + 𝑦2 ∗ (−1)
𝑑𝑦
𝑑𝑡]
−6 = (𝜋
3)[2 ∗ 8(3 ∗ 13 − 8) − 82]
𝑑𝑦
𝑑𝑡
−18
𝜋= [496 − 64]
𝑑𝑦
𝑑𝑡
−18
𝜋= 432
𝑑𝑦
𝑑𝑡
−18
432𝜋=
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡= −
1
24𝜋
b) ¿Cuál es el radio r de la superficie del agua cuando ésta tiene y m de profundidad?
𝑟2 = 132 − (13 − 𝑦)2
𝑟2 = 169 − (196 − 26𝑦 + 𝑦2)
𝑟2 = 169 − 196 + 2𝑦 − 𝑦2
𝑟2 = 26𝑦 − 𝑦2
𝑟 = √26𝑦 − 𝑦2m
Como no hay radios negativos tomamos la raíz positiva y tomamos los valores de y que
cumplan que 26𝑦 − 𝑦2 ≥ 0
c) ¿A qué razón cambia el radio r cuando el agua tiene 8 m de profundidad?
𝑟 = √26𝑦 − 𝑦2
𝑟 = (26𝑦 − 𝑦2)1/2
𝑑𝑟
𝑑𝑡= (
1
2(26𝑦 − 𝑦2)−
12 )(26 − 2𝑦)
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑟
𝑑𝑡=
1
2
(26 − 2𝑦)
(26𝑦 − 𝑦2)12
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑟
𝑑𝑡=
1
2
(26 − 2(8))
(26(8) − 82)12
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑟
𝑑𝑡=
1
2
(26 − 2(8))
(26(8) − 82)12
(−1
24𝜋)
𝑑𝑟
𝑑𝑡= −
5
12(
1
12)𝜋
𝑑𝑟
𝑑𝑡= −
5
288 𝜋
𝑚
𝑚𝑖𝑛
6. Preparación de café:
El café está pasando a través de un filtro cónico hasta una cafetera cilíndrica (figur
a 3), a una razón 𝟏𝟎𝒑𝒍𝒈𝟑/𝒎𝒊𝒏
a) Que tan rápido sube el nivel del líquido en la cafetera cuando el café del cono
tiene 5 in de profundidad.?
b) ¿Qué tan rápido disminuye el nivel del cono en ese momento?
3
𝑟=
6
𝐻 𝑟 =
1
2𝐻
Cono
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 =1
3𝜋𝑟2𝐻
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 =1
3𝜋 [
1
2𝐻]
2
𝐻
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 =1
12𝐻3 𝜋
𝑑𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜
𝑑𝑡=
𝜋
12 3𝐻2
𝑑𝐻
𝑑𝑡
Como el volumen del cono disminuye a
razón de -10𝑝𝑙𝑔3/𝑚𝑖𝑛 y la altura es de
5in El nivel de café del cono disminuye a
−(10)(12)
3(𝜋)𝐻2=
𝑑𝐻
𝑑𝑡
𝑑𝐻
𝑑𝑡= −
8
5𝜋𝑖𝑛/𝑚𝑖𝑛
Cafetera
Como el radio de la cafetera es constante
usamos 3 en R como del cono decrece el
volumen que cae a la cafetera usamos
10𝑝𝑙𝑔3/𝑚𝑖𝑛 con signo positivo
𝑉𝑐𝑎𝑓 = 𝜋32𝑦
𝑉𝑐𝑎𝑓 = 9𝜋𝑦
𝑑𝑉𝑐𝑎𝑓
𝑑𝑡= 9𝜋
𝑑𝑦
𝑑𝑡
El nivel del café en la cafetera aumenta en
𝑑𝑦
𝑑𝑡=
10
9𝜋𝑖𝑛/𝑚𝑖𝑛
7.En cada una de las siguientes figuras se genera una ilusión óptica por
intersecciones de rectas con una familia de curvas. En todos los casos, las rectas
parecen ser curvas. Encontrar el valor 𝒅𝒚/𝒅𝒙 para los valores de x y y
𝑎) 𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎: 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑐2
𝑥 = 3, 𝑦 = 4, 𝐶 = 5
2𝑥 + 2𝑦𝑑𝑦
𝑑𝑥= 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
2𝑥
2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
𝑥
𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
3
4
𝑏) 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑐𝑒𝑛𝑜 𝑦 = 𝐶𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑥 =π
3 𝑦 =
π
3 𝐶 =
π
3
𝑦 = 𝐶𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝐶(−𝑠𝑒𝑛(𝑥))
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −𝐶𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
𝜋
3𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
3)
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
𝜋√3
6
EJERCICIOS DE OPTIMIZACIÓN
1) Se desea transportar un cargamento de computadoras por valor de U$D 50000 desde el
puerto de Manta hacia Cuenca. Se supone que el viaje se hara con velocidad constante v en
𝒌𝒎/𝒉, Las normas de circulación establecen que: 𝟒𝟎𝒌𝒎/𝒉 ≤ 𝒗 ≤ 𝟕𝟓𝒌𝒎/𝒉
El consumo de combustible viene expresado por la relación:
𝐺𝑐 = (10 +𝑣2
250) 𝑙𝑡/ℎ
El conductor cobra un salario de 12𝑈$𝑆/ℎ y se supone que no infringe las normas de
velocidad. Si el combustible que necesita el camión vale 1.037U$S/galón te pedimos:
a) Calcula el costo de combustible CC en U$S / Km.
b) Calcula el costo de salario en U$S / Km y el costo total en U$S / Km en función de v.
c)Determina cuál es la velocidad más económica para la empresa y el costo del viaje si
la distancia recorrida fue de 400 Km.
d) ¿Cuánto se gastó en salario y cuánto en combustible?
e) Si el chofer se acompaña con otra persona que cobra 2 U$S/h, vuelve a resolver los
ítems c) y d).
f) Obtenga las respectivas gráficas de las funciones e identifique sus respuestas sobre las
gráficas.
a) Calcula el costo de combustible CC en U$S / Km.
𝐶𝑐 = (10 +𝑣2
250)
𝑙𝑡
ℎ∙
1𝑔
3,7841∙ 1,037
Simplificando unidades, obtendremos la siguiente función.
𝐶𝑐 = (10 +𝑣2
250)(0,27)
$
ℎ
b) Calcula el costo de salario en U$S / Km y el costo total en U$S / Km en función de v.
𝐶𝑠 = 12$
ℎ
𝐶𝑇 = (10 +𝑣2
250) (0,27) + 12 ∙
𝐷
𝑉∙
$
ℎ
c) Determina cuál es la velocidad más económica para la empresa y el costo del viaje si la
distancia recorrida fue de 400 Km.
𝑔(40) = (101600
250) (0,27) + 12 ∙
400
40= 124,428
$
ℎ
𝑔(75) = (105625
250) (0,27) + 12 ∙
400
75= 72,775
$
ℎ
El color rojo representa el costo de combustible.
El color morado representa el salario.
d) ¿Cuánto se gastó en salario y cuánto en combustible?
𝐶𝑠 = 12 ∙400
75
𝐶𝑠 = 64$ SALARIO.
𝐺𝑐 = (105625
250) (0,27)
𝐺𝑐 = 8,775$ COSTO COMBUSTIBLE.
e) Si el chofer se acompaña con otra persona que cobra 2$/h, vuelve a resolver los ítems
c) y d)
c) 𝐶𝑠 = 12 + 2$
ℎ
𝐶𝑠 = 14$
ℎ
𝐶𝑇 = (10 +𝑣2
250) (0,27) + 14 ∙
𝐷
𝑉
𝐶𝑇 = 83,44$
d) 𝐶𝑠 = 14 ∙400
75
𝐶𝑠 = 74, 66$
Luego sumamos las dos cantidades
8,775 + 74,66 = 83,44$
f) Obtenga las respectivas graficas de las funciones e identifique sus respuestas sobre las
gráficas.
Gasto del combustible
𝐺𝑐 = (10 +𝑣2
250)
Grafico 5
𝐶𝑇 = (10 +𝑣2
250) (0,27) + 12 ∙
𝐷
𝑉∙
$
ℎ
Grafico 6
Cuando d es 400 el costo del salario es 𝐶𝑠 = 12 ∙400
𝑉
Grafico 7
2) Una empresa cuencana que se dedica a la producción de tarjetas electrónicas
recibe un pedido de 800000 unidades de cierto tipo de tarjeta con una complejidad
media para el ensamblaje de dispositivos electrónicos. La fábrica posee 10
máquinas, cada una de las cuales puede producir 10000 tarjetas del tipo solicitado
por hora. El costo de poner en funcionamiento las máquinas es de U$S 250 por
máquina. Una vez puestas en funcionamiento la operación está completamente
automatizada de forma que sólo necesita de dos supervisores de producción cuyo
salario es de 4.80 U$S por hora.
a) ¿Cuántas máquinas deberán ponerse en funcionamiento para que el costo de
producción sea mínimo?
b) ¿Cuántas horas trabajarán las máquinas para cumplir con el pedido y cuánto ganará el
supervisor?
c) ¿Cuál es el costo de puesta en funcionamiento del número óptimo de máquinas?
d) ¿Usted como gerente de esta empresa debe asignar un precio por la venta de cada
tarjeta, ¿cuál sería el porcentaje de utilidad que elegiría? Explique su respuesta.
DATOS:
Tarjeta electrónica 800000
10 maquinas
10000 T/h cada máquina.
Funcionamiento de c/m = 250 $
2 supervisores
Salario= 4.80 $/h.
a) ¿Cuántas máquinas deberán ponerse en funcionamiento para que el costo de
producción sea mínimo?
Sea x el número de máquinas que funcionan
Sea c el costo; entonces
𝐶 = 250 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 4,8 ∙ ℎ = 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙. h= número de
horas
𝐶 = 10000 ∙ 𝑥 ∙ ℎ
800000
10000= 𝑥 ∙ ℎ
80 = 𝑥 ∙ ℎ
80
𝑥= ℎ 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑒𝑙 # 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠.
𝐶 = 250 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 4,8 ∙80
𝑥=0
250𝑥 +768
𝑥 =0
250𝑥2 + 768
𝑥= 0
𝐶′ =500𝑥 ∙ 𝑥 − 1 ∙ 250𝑥2 + 768
𝑥2= 0
𝐶′ =500𝑥2 − 250𝑥2 + 768
𝑥2= 0
𝐶 =250𝑥2 + 768
𝑥2= 0
𝐶 = 250𝑥2 + 768 = 0
𝐶 = 250𝑥2 = −768
𝐶 = 𝑥2 =−768
250
𝑥 = √768
250= 1,75=X
Nota: las maquinas no podemos tomar con números decimales, asumiremos trabajar con
dos máquinas.
b) ¿Cuántas horas trabajarán las máquinas para cumplir con el pedido y cuánto ganará el
supervisor?
Trabajando con 2 máquinas únicamente remplazamos en la ecuación para obtener el # de
horas
80
𝑥= ℎ
80
2= ℎ
40 = ℎ
Cuánto ganará el supervisor
El problema dice que se necesita 2 supervisores tomando en cuenta esto procederemos a
reemplazar los datos que hemos ido obteniendo que son, el número de horas y el número
de máquinas a usar.
𝐶 = 250 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 4,8 ∙ ℎ = 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙.
La parte señalada de color morado, indica la ganancia de los supervisores y como sabemos
que son 2
𝐶 = 2 ∙ 4,8 ∙ ℎ
𝐶 = 2 ∙ 4,8 ∙80
2
𝐶 = 384
El valor obtenido es la ganancia de ambos supervisores, esto quiere decir que lo
dividiremos para dos y así saber el costo individual, y es: 192$ 𝑐𝑢⁄
c) ¿Cuál es el costo de puesta en funcionamiento del número óptimo de máquinas?
El número óptimo de máquinas anteriormente lo fijamos en 2 y nos dice que el costo de
funcionamiento de cada máquina es de 250 $.
𝑐 = 2 ∙ 250
𝑐 = 500$
d) ¿Usted como gerente de esta empresa debe asignar un precio por la venta de cada
tarjeta, ¿cuál sería el porcentaje de utilidad que energía? Explique su respuesta.
La cantidad de tarjetas es muy elevada como para cobrar por unidad, me eh propuesto por
cada 10000 tarjetas ganar un 40% del total.
El precio por las 800000 tarjetas electrónicas al costo (si ganar ni perder nada), seria:
𝐶 = 250 ∙ 2 + 2 ∙ 4,8 ∙ 40
𝐶 = 884 = costo de las 800000 tarjetas.
A partir de este valor, procedemos a dividir para el número de tarjetas para saber el costo
unitario:
884
800000= 1.105 ∙ 10−3
(1.105 ∙ 10−3) ∙ 10000 = 11.05$
11,05 ∙ 40% = 4,42
11,05 + 4,42 = 15,47 10000𝑡𝑎𝑟𝑗𝑒𝑡𝑎𝑠⁄
15,47 ∙ 80 = 1237.6$
A este costo le restamos el costo de la producción sin ganar ni perder nada
1237,6 − 884 = 353.6$
Este valor indica la utilidad que le queda al gerente propietario.
A continuación, la gráfica comprobando el precio al costo
𝐶 = 250𝑥 +768
𝑥 ; donde x representa el número de máquinas.
Y podemos observar el costo mínimo, nos produce usando 2 máquinas.
3) Se coloca una hoja de papel de 8,5 por 11 pulgadas sobre una superficie plana.
Una de las esquinas se coloca sobre el lado opuesto más largo, como se muestra en
la figura 4, y se mantiene ahí conforme se aplana el papel suavemente. El problema
es hacer la longitud del pliegue tan pequeña como sea posible. Llamamos L a la
longitud. Inténtelo con papel.
a) Demuestre que, 𝐿2 =2𝑥3
2𝑥−8,5
b) ¿Qué valor de x minimiza L2?
c) ¿Cuál es el valor mínimo de L?
Número de
maquinas
Precio al costo
1 1018
2 884
3 1006
4 1192
5 1403.6
6 1628
7 1859.71429
8 2096
9 2335.33333
10 2576.8
a) Demuestre que
𝐿2 =2𝑥3
2𝑥 − 8,5
𝐴𝑃 = 𝑥
𝑅𝐴 = √𝐿2 − 𝑥2
𝑃𝐵 = 8.5 − 𝑥
𝐶𝐻 = 𝐷𝑅 = 11 − 𝑅𝐴 = 11 − √𝐿2 + 𝑥2
𝑄𝐵 = √𝑥2 − (8.5 − 𝑥)2
𝐻𝑄 = 11 − 𝐶𝐻 − 𝑄𝐵 = 11 − [11 − √𝐿2 + 𝑥2 + √𝐿2 − (8.5 − 𝑥)2]
𝐻𝑄 = √𝐿2 − 𝑥2 − √𝑥2 − (8.5 − 𝑥)2
𝑅𝑄2 = 𝑅𝐻2 + 𝐻𝑄2
𝑅𝑄2 = (8.5)2 + (√𝐿 − 𝑥2 − √𝑥2 − (8.5 − 𝑥)2)2
𝑅𝑃2 = 𝑃𝑄2 + 𝑅𝑄2
𝐿2 = 𝑥2 + (√𝐿2 + 𝑥2 − √𝑥2 + (𝑥 − 8.5)2)2
+ (8.5)2
𝐿2 = 𝑥2 + 𝐿2 − 𝑥2 − 2√𝑎2 + 𝑏2√𝑎2 + (𝑏)2 + 17𝑥 − (8.5)2 + (8.5)2
𝐿2 = 𝑥2 +172𝑥2
4[17 − (8.5)2]=
17𝑥3
17𝑥 − (8.5)2=
17𝑥3
17𝑥 − (172 )
2 =4𝑥3
4𝑥 − 17
𝐿2 =4𝑥3
2(2𝑥 − 8.5)
𝐿2 =2𝑥3
2𝑥 − 8.5
Así queda demostrado
b) ¿Qué valor de x minimiza L2?
𝐿2 =2𝑥3
2𝑥 − 8.5
𝑓(𝑥) = 𝐿2
Aplico el criterio de la primera derivada, para ver a qué valor de
Mi dominio de la función será 0 < 𝑥 < 8.5
𝑓(𝑥) 𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑠𝑎 𝑜 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑠𝑎
𝑓′(𝑥) =4𝑥3(8𝑥 − 51)
(4𝑥 − 17)2
4𝑥3(8𝑥 − 51)
(4𝑥 − 17)2= 0
4𝑥3(8𝑥 − 51) = 0
4𝑥3 = 0
(8𝑥 − 51) = 0
𝑥1 = 0
𝑥2=51/8in
Evaluado 𝑥1 = 51/8
𝑓′(5) = −611
𝑓′(51/8) = 0
𝑓(7) = 56
Signo − 0 +
Tiene un mínimo relativo en 𝑥 = 51/8, como está dentro del dominio, y
las fronteras no se incluyen en el ejercicio, este es el mínimo global de 𝐿2
c) ¿Cuál es el valor mínimo de L?
Reemplazamos 51/8 en la función para de 𝐿2 y obtenemos la raíz cuadrada para obtener
el valor mínimo de L
𝐿2 =2
518
3
2518
− 8.5
𝐿2 =7803
64 𝐿 =
51√3
8≈ 11.041𝑖𝑛
4)La cantidad de iluminación de una superficie es proporcional a la intensidad de la
fuente luminosa, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde la
fuente luminosa, y proporcional al 𝒔𝒆𝒏(𝜽), donde 𝜽 es el Angulo al cual la luz incide
sobre la superficie. Un cuarto rectangular mide 10x24 pies con un techo de 10 pies.
a) Determinar una función que permita calcular la cantidad de luz en función de la altura
(x) de a fuente luminosa.
b) Determinar la altura a la cual la luz debe ubicarse para permitir que las esquinas del
piso reciban la mayor cantidad posible de luz.
c) Si se cuenta con una lámpara incandescente de 100w que proporciona una intensidad
luminosa de 130cd y una lámpara fluorescente (“Foco ahorrador”) de 40w que mantiene
una intensidad luminosa de 200cd ¿Cuál sería su elección para colocar en el cuarto
descrito en el problema? Justifique su respuesta de acuerdo con la información obtenida
en el punto anterior y grafique la función de cantidad lumínica para cada tipo de lámpara
a) Determinar una función que permita calcular la cantidad de luz en función de la altura
(x) de a fuente luminosa.
𝐴 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑖𝑙𝑢𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎𝑠
𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑑 = 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑢𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠𝑎
I= intensidad de la fuente luminosa
𝐴 =𝑘𝐼
𝑑2𝑠𝑒𝑛(𝜃)
𝐶𝑜𝑚𝑜:
𝑑2 = 132 + 𝑥2 𝑥 = √169 + 𝑥2 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
𝑠𝑒𝑛(𝜃) =𝑥
𝑑
𝑥
√169 + 𝑥2= 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
𝑑 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑥
𝑑 = √169 + 𝑥2
Reemplazo en la mi formula de cantidad de iluminación
𝐴 =𝑘𝐼
132 + 𝑥2∗
𝑥
√169 + 𝑥2
𝐴 =𝑘𝐼
(169 + 𝑥2)∗
𝑥
√169 + 𝑥2
𝐴 =𝑥𝑘𝐼
(169 + 𝑥2)3/2
Es la función que me permite calcular la cantidad de iluminación en función de la altura
de la lámpara
b) Determinar la altura a la cual la luz debe ubicarse para permitir que las esquinas del
piso reciban la mayor cantidad posible de luz.
Para encontrar la altura que permite recibir a las esquinas la mayor cantidad de luz, debo
derivar la función e igualar a cero para encontrar los máximos o mínimos.
𝐴 =𝑥𝑘𝐼
(169 + 𝑥2)3/2
Aplicamos el criterio de la derivada para la división
𝐴′ = 𝑘𝐼 ∗(169 + 𝑥2)3/2 −
32 𝑥(169 + 𝑥2)
12 ∗ 2𝑥
((169 + 𝑥2)3/2)2
𝐴′ = 𝑘𝐼 ∗(169 + 𝑥2)3/2 − 3𝑥2(169 + 𝑥2)
12
(169 + 𝑥2)3
Igualamos a cero la derivada y resolvemos la ecuación:
𝑘𝐼 ∗(169 + 𝑥2)
32 − 3𝑥2(169 + 𝑥2)
12
(169 + 𝑥2)3= 0
(169 + 𝑥2)32 − 3𝑥2(169 + 𝑥2)
12 = 0
(169 + 𝑥2)32 = 3𝑥2(169 + 𝑥2)
12
(169 + 𝑥2)32
(169 + 𝑥2)12
= 3𝑥2
169 + 𝑥2 = 3𝑥2
169 = 2𝑥2
𝑥 = √169
2
𝑥 =13√2
2
Como no puede haber distancias negativas tomamos la raíz positiva de la ecuación, y
comprobamos que pertenezca al dominio de la función del problema
Como la función del problema es:
𝐴 =𝑥𝑘𝐼
(169 + 𝑥2)3/2
169 + 𝑥2 > 0 𝑦 𝑥 ≤ 10
Como la primera inecuación siempre será cierta porque x esta elevada al cuadrado,
restrinjo mi dominio al leer el problema, y sé que al momento que x es cero no hay
iluminación, así mismo no puede superar los 10m porque el cuarto tiene solo 10m
entonces el dominio de mi función será
𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑥/𝑥: 0 < 𝑥 ≤ 10
Tomo el x de la primera derivada y aplico el criterio de la primera derivada para ver si es
un máximo o mínimo local, puesto que si está dentro del dominio de mi problema.
𝐴′ = 𝑘𝐼 ∗(169 + 𝑥2)3/2 − 3𝑥2(169 + 𝑥2)
12
(169 + 𝑥2)3
Valor de prueba
antes de la raíz
Derivada=0 Valor de prueba
después de la raiz
Valores 9 13√2
2
10
𝐹′(𝑥) 𝑘𝐼 ∗ 7𝑥𝐸 − 6 0 −𝑘𝐼 ∗ 2𝐸 − 5
Signo + 0 −
Como el signo de la segunda derivada cambia de + 𝑎 – podemos afirmar que en este
punto tenemos un Máximo local, ahora comparamos contra el valor que nos dan las
fronteras, al reemplaza en la función para determinar si es el valor de x que permite
alumbrar al máximo las esquinas.
𝐴 =𝑥𝑘𝐼
(169 + 𝑥2)3/2
Cuando
𝑥 =13√2
2 𝐴 =
13√22 𝑘𝐼
(169 + [13√2
2 ]
2
)3/2
𝐴 = (2.27751𝐸 − 3) ∗ 𝑘𝐼
Cuando
𝑥 = 10 𝐴 =10𝑘𝐼
(169 + 102)3/2
𝐴 = (2.2665𝐸 − 3) ∗ 𝑘𝑙
Como 2.27751𝐸 − 3 > 2.2665𝐸 − 3
Podemos afirmar que cuando 𝑥 =13√2
2 tenemos la mayor cantidad de luz posible en las
esquinas.
c) Si se cuenta con una lámpara incandescente de 100w que proporciona una intensidad
luminosa de 130cd y una lámpara fluorescente (“Foco ahorrador”) de 40w que mantiene
una intensidad luminosa de 200cd ¿Cuál sería su elección para colocar en el cuarto
descrito en el problema? Justifique su respuesta de acuerdo con la información obtenida
en el punto anterior y grafique la función de cantidad lumínica para cada tipo de lámpara
𝐴 =𝑥𝑘𝐼
(169 + 𝑥2)3/2
Sabemos que cuando 𝑥 =13√2
2 tenemos la mayor cantidad de luz en las esquinas, ahora
tenemos una la para incandescente de 100w con Intensidad luminosa de 130cd, y un foco
ahorrador de 40w con intensidad luminosa de 200cd. Haremos una tabla y gráficas para
seleccionar el que colocaría en el cuarto.
Lámpara Incandescente lámpara fluorescente (“Foco ahorrador”)
Potencia:100w
(I)Intensidad luminosa: 130cd
Remplazamos
Potencia 40w
(I)Intensidad luminosa: 200cd
Remplazamos
Tomare k como 1
𝐴 =130𝑥
(169 + 𝑥2)3/2
Tomare k como 1
𝐴 =200𝑥
(169 + 𝑥2)3/2
Grafico 8
Grafico 9
La lámpara que elegiría para colocar en la habitación seria la fluorescente, puesto que me
da más cantidad luminosa por menos potencia.
5. Diseño de una maleta:
Se dobla en dos una hoja de cartulina de 24 por 36 pulgadas para formar un
rectángulo de 24 por 18 pulgadas, como se muestra en la figura siguiente. Después
se cortan, de las esquinas del rectángulo doblado, cuatro cuadrados congruentes de
longitud x por lado. Se desdobla la hoja y las seis cejas se doblan hacia arriba para
formar una caja con lados y una tapa.
a. Escriba una fórmula para el volumen V(x) de la caja.
b. Encuentre el dominio de V para la situación del problema, ygrafique V en su dominio.
c. Use un método gráfico para encontrar el volumen máximo y el valor de x que lo da.
d. Confirme analíticamente el resultado que obtuvo en el inciso(c).
e. Encuentre el valor de x que da un volumen de 1120𝑖𝑛3
f. Escriba un párrafo describiendo los temas que surgieron en el inciso (b).
a. Escriba una fórmula para el volumen V(x) de la caja.
𝑣(𝑥) = (24 − 2𝑥)(18 − 2𝑥)2𝑥
𝑣(𝑥) = 8𝑥3 − 168𝑥2 + 862𝑥
b. Encuentre el dominio de V para la situación del problema, y grafique V en su
dominio.
Necesitamos que: 𝑥 > 0.2, 𝑥 < 9 𝑦 𝑞𝑢𝑒 𝑥 < 12 por lo tanto
𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜: 𝑥/𝑥: 0 < 𝑥 < 9
c. Use un método gráfico para encontrar el volumen máximo y el valor de x que lo da.
Grafico 10
Según la gráfica aproximadamente en x=3.3 tenemos el volumen máximo de unas
1300𝑖𝑛3.
d. Confirme analíticamente el resultado que obtuvo en el inciso(c).
Como mi función es 𝑣(𝑥) = 8𝑥3 − 168𝑥2 + 862𝑥
Aplico el criterio de la primera derivada.
𝑣′(𝑥) = 24𝑥2 − 336𝑥 + 862
24𝑥2 − 336𝑥 + 862 = 0
De donde obtengo:
𝑥1 =42 + √471
6
𝑥2 =42 − √471
6
De donde tengo que 𝑥1 = 10.617 y 𝑥2 = 3.3829
Aplico el criterio de la segunda derivada.
𝑣′′(𝑥) = 48𝑥 − 168
Como mi dominio no incluye las fronteras que son cuando 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 9
Entonces reemplazo x=3.38 en la segunda derivada para ver su signo.
𝑣′′(3.38) = 48(3.38) − 168
𝑣′′(3.38) = −5.76
Como el signo es negativo, puedo afirmar que en 3.38 tengo un máximo
para mi función del volumen, lo que confirma c. e. Encuentre el valor de x que da un volumen de 1120𝑖𝑛3
1120 = 8𝑥3 − 168𝑥2 + 862𝑥
Aplico un software de resolución de ecuaciones.
https://es.symbolab.com/solver/equation-
calculator/1120%3D8x%5E%7B3%7D-168x%5E%7B2%7D%2B862x
x:2.01407 Redondeando: x=2
x:4.95365 Redondeando: x=5
x:14.03228 Redondeando: x=14 pero descarto esta no
pertenece a D
Entonces sé que cuando x=2 o x=5 mi volumen es 1120 pulgadas cubicas f. Escriba un párrafo describiendo los temas que surgieron en el inciso (b).
(24 − 2𝑥)(18 − 2𝑥)>0 como mi lado disponible más pequeño para la caja
seria cuando x<9, y no puede ser negativo o cero, permite que mi dominio
sea 0<x<9 6) El comedero de la figura 7 es debe hacer con las dimensiones que se muestran
solamente puede variar el Angulo ϑ Que valore de ϑ maximizara el volumen del
comedero.
𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜: 𝜃𝜃⁄ : 0 ≤ 𝜃 < 90
Encontramos el volumen en función de 𝜃
𝐵 = 1 + 2𝑠𝑒𝑛(𝜃)
𝐻 = 𝑐𝑜𝑠(𝜃)
𝑉(𝑥) =(𝑏+𝐵)𝐻
2(20)
𝑉(𝑥) = 10(𝑏 + 𝐵)𝐻
𝑉(𝑥) = 10(1 + 1 + 2𝑠𝑒𝑛(𝜃))𝑐𝑜𝑠(𝜃)
𝑉(𝑥) = 10(2 + 2𝑠𝑒𝑛(𝜃))𝑐𝑜𝑠(𝜃))
𝑉(𝑥) = 10(2cos (𝜃) + 2𝑠𝑒𝑛(𝜃)cos (𝜃))
𝑉(𝑥) = (20cos (𝜃) + 20𝑠𝑒𝑛(𝜃)cos (𝜃))
Aplico el criterio de la primera derivada
𝑉′(𝑥) = 20[−𝑠𝑒𝑛(𝜃)] + 20𝑐𝑜𝑠(𝜃) cos(𝜃) + 𝑠𝑒𝑛(𝜃)[−𝑠𝑒𝑛(𝜃)] 𝑉′(𝑥) = 20[−𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 𝑐𝑜𝑠2(𝜃) − 𝑠𝑒𝑛2(𝜃)]
𝑉′(𝑥) = 20[−𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝜃)] − 𝑠𝑒𝑛2(𝜃)]
𝑉′(𝑥) = 20[−𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝜃) − 𝑠𝑒𝑛2(𝜃)]
𝑉′(𝑥) = 20[−𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 1 − 2𝑠𝑒𝑛2(𝜃)] 20[−𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 1 − 2𝑠𝑒𝑛2(𝜃)] = 0
−2𝑠𝑒𝑛2(𝜃) − 𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 1 = 0
𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 1/2
𝑠𝑒𝑛(𝜃) = −1
𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑛 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝜃 = (−1
2𝜋) 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒 𝑎𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜
𝜃 = (1/6)𝜋
𝑉′(𝑥) = 20[−𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 1 − 2𝑠𝑒𝑛2(𝜃)] 𝑉′(0) = 20[−𝑠𝑒𝑛(0) + 1 − 2𝑠𝑒𝑛2(0)] 𝑉′(0) = +1
𝑉′(45) = −10√2
Evaluado 𝑉′(0) = +1
𝑉′((1
6) 𝜋) = 0 𝑉′(45) = −10√2
Signo + 0 −
Como la derivada cambia de positivo a negativo tengo un máximo en
𝜃 =1
6𝜋
Analizo las fronteras y mi Angulo obtenido. 𝑉(𝑥) = (20cos (𝜃) + 20𝑠𝑒𝑛(𝜃)cos (𝜃)) 𝑉(0) = 20
𝑉 (1
6𝜋 ) = 15√3 = 25.980 𝑖𝑛3
Por lo tanto, concluyo que es mi volumen máximo cuando 𝜃 = (1
6) 𝜋
Grafico 11
7) El mecanismo de pistón y cigüeñal de un vehículo se modela como se observa en
la figura 8.
El cigüeñal está girando con velocidad angular constante de ϴ=150 rad/s. determinar la:
a) Ecuación de velocidad del pistón:
b) Velocidad del pistón P en el instante ϴ=300
c) Posición del pistón en ϴ=450
d) Trace la gráfica de la velocidad del pistón
e) Haga una descripción del comportamiento de la gráfica de velocidad
f) En qué posición del pistón la velocidad es cero, en qué posición del pistón la
velocidad es máxima y/o mínima.
Para poder encontrar la ecuación de velocidad del pistón necesito encontrar la
ecuación de la posición, y aplicando la ley de los cosenos obtengo:
0.752 = 0.22 + 𝑥2 − 2 ∗ 0.2 ∗ 𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝜃)
Operando esta ecuación se reduce a:
𝑥2 − 0.4 ∗ 𝑥 ∗ cos(𝜃) − 0.5225 = 0
cos(𝜃) =𝑥2 − 0.5225
0.4𝑥
sen(𝜃) = √1 − (𝑥2 − 0.5225
0.4𝑥)
2
a) Ecuación de velocidad del pistón:
La ecuación de velocidad del pistón viene dada por la derivada respecto al tiempo de mi
función posición.
2𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑡− 0.4(
𝑑𝑥
𝑑𝑡cos(𝜃) − 𝑠𝑒𝑛(𝜃) ∗ 𝑥 ∗
𝑑𝜃
𝑑𝑡= 0
Despejando 𝑑𝑥
𝑑𝑡 Obtenemos:
𝑑𝑥
𝑑𝑡=
150 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) ∗ 𝑥
2𝑥 − 0.4 ∗ cos(𝜃)
b) Velocidad del pistón P en el instante ϴ=300
𝑑𝑥
𝑑𝑡=
150 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) ∗ 𝑥
2𝑥 − 0.4 ∗ cos(𝜃)
Cuando 𝜃 =300 grados, equivale a 5
3𝜋 rad, encuentro x en función de este Angulo para
poder reemplazar en mi ecuación de velocidad.
𝜃 =5
3 𝜋
𝑥2 − 0.4 ∗ 𝑥 ∗ cos (5
3 𝜋 ) − 0.5225 = 0
𝑥2 − 0.4 ∗ 𝑥 ∗1
2− 0.5225 = 0
𝑥2 − 0.2 ∗ 𝑥 ∗ −0.5225 = 0
𝑥1 = 0.8298𝑝𝑖𝑒𝑠
𝑥2 = −0.6298𝑝𝑖𝑒𝑠, 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧
Ahora remplazo
𝑥1 = 0.8298𝑝𝑖𝑒𝑠
𝜃 =5
3 𝜋
𝑑𝑥
𝑑𝑡=
150 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) ∗ 𝑥
2𝑥 − 0.4 ∗ cos(𝜃)
𝑑𝑥
𝑑𝑡=
150 ∗ 𝑠𝑒𝑛 (53
𝜋 ) ∗ 0.8298
2(0.8298) − 0.4 ∗ cos (53
𝜋 )
𝑑𝑥
𝑑𝑡= −73.85𝑝𝑖𝑒/𝑠
c) Posición del pistón en ϴ=450
Transformo a rad y reemplazo en mi ecuación de posición.
450 grados equivalen a 5
2𝜋 rad
𝑥2 − 0.4 ∗ 𝑥 ∗ cos(𝜃) − 0.5225 = 0
𝑥2 − 0.4 ∗ 𝑥 ∗ cos (5
2𝜋) − 0.5225 = 0
De donde obtengo que 𝑥1 = 0.7228𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑦 𝑥2 =−0.72284, 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧
Por lo tanto, la posición de mi pistón será 0.7228𝑝𝑖𝑒𝑠.
d) Trace la gráfica de la velocidad del pistón
Mi ecuación de velocidad es:
𝑑𝑥
𝑑𝑡=
150 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) ∗ 𝑥
2𝑥 − 0.4 ∗ cos(𝜃)
Con mi ecuación de posición despejo 𝑐𝑜𝑠𝜃 y obtengo:
cos(𝜃) =𝑥2 − 0.5225
0.4𝑥
Esto obtengo de que cos(𝜃) = √1 − 𝑠𝑒𝑛(𝜃)2
Despejando 𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑦 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎
sen(𝜃) = √1 − (𝑥2 − 0.5225
0.4𝑥)
2
Estas dos expresiones reemplazamos en mi función de velocidad para dejar la velocidad
en función del espacio.
Remplazando esto en mi ecuación de velocidad y reduciendo obtengo:
𝑑𝑥
𝑑𝑡=
−60𝑥√1 − (𝑥2 − 0.5225
0.4𝑥 )2
2𝑥 −𝑥2 − 0.5225
𝑥
Entonces graficando obtenemos:
Grafico 12 en Desmos
El dominio de mi grafica es cuando 0.55 ≤ 𝑥 ≤ 0.95
El dominio de mi grafica es cuando −0.95 ≤ 𝑥 ≤ −0.55(Cuando regresa el pistón, no
hay distancias negativas.
e) Haga una descripción del comportamiento de la gráfica de velocidad
El dominio de mi grafica de velocidad es −0.95 ≤ 𝑥 ≤ −0.55 𝑈 0.55 ≤ 𝑥 ≤ 0.95
Esto concuerda con mi desplazamiento del pistón, puesto que se desplaza solo entre
0.55 ≤ 𝑥 ≤ 0.95, y la función es de la velocidad respecto al tiempo, la cual es mi derivada
de mi posición respecto al tiempo.
Las dos partes de mi gráfica, representan el aumento y decremento de la velocidad, en el
avance del pistón, cuando x es positivo, y retroceso del pistón cuando x es negativa.
f) En qué posición del pistón la velocidad es cero, en qué posición del pistón la
velocidad es máxima y/o mínima.
Según mi gráfica, mi velocidad es cero cuando está en 0.55 y 0.95, esto tiene sentido,
porque inicia su recorrido en los dos puntos. Entonces su velocidad cera 0,
Su velocidad es máxima y o mínima, en el mismo punto, esto dependerá de si el pistón
está avanzando o retrocediendo, este punto según la gráfica de velocidad es
(0.733,-31.053)
8. Una ventana tiene forma de rectángulo como lo indica la figura 9, y está coronada
con un semicírculo. El rectángulo es de vidrio claro, mientras que el semicírculo es
de vidrio de color, y transmite solamente la mitad de luz por unidad de área en
comparación con el vidrio claro. El perímetro total es fijo. Encuentre las
proporciones de la ventana que admitan la mayor cantidad de luz. Desprecie el
espesor del marco.
𝐿𝑟 = Luz por unidad de área de la ventana rectangular
𝐿𝑠 = Luz por unidad de área de la ventana semicircular
𝐿𝐴𝑡 = Luz por unidad de Área total
Ar= Área de la ventana rectangular
As= Área de la ventana semicircular
𝐿𝑠 =1
2𝐿𝑟
2𝐿𝑠 = 𝐿𝑟
𝑃 = 2𝑟 + 2ℎ + 𝜋𝑟
𝑃 − 2𝑟 − 𝜋𝑟 = 2ℎ
𝐿𝐴𝑡 = 𝐿𝑟 ∗ 𝐴𝑟 + 𝐿𝑠 ∗ 𝐴𝑠
𝐿𝐴𝑡 = 𝐿𝑟 ∗ 𝑟 ∗ 2ℎ + 𝐿𝑠𝜋𝑟2
𝐿𝐴𝑡 = 𝐿𝑟 ∗ 𝑟 ∗ (𝑃 − 2𝑟 − 𝜋𝑟) +1
2𝐿𝑟 𝜋𝑟2 ∗
1
2
𝐿𝐴𝑡 = 𝐿𝑟 ∗ 𝑟 ∗ (𝑃 − 2𝑟 − 𝜋𝑟) +1
2𝐿𝑟 𝜋𝑟2 ∗
1
2
𝐿𝐴𝑡 = 𝐿𝑟 ∗ 𝑟 ∗ (𝑃 − 2𝑟 − 𝜋𝑟) +1
4𝐿𝑟 𝜋𝑟2
𝐿𝐴𝑡 = 𝐿𝑟𝑟 ∗ (𝑃 − 2𝑟 − 𝜋𝑟) +1
4 𝜋𝑟2
𝐿𝐴𝑡 = 𝐿𝑟𝑟𝑃 − 2𝑟2 − 𝜋𝑟2 +1
4 𝜋𝑟2
𝐿𝐴𝑡 = 𝐿𝑟𝑟𝑃 − 2𝑟2 −3
4 𝜋𝑟2
Derivamos respecto a r
𝐿𝐴𝑡′ = 𝐿𝑟𝑃 − 4𝑟 −3
4 𝜋2𝑟
𝐿𝐴𝑡′ = 𝐿𝑟𝑃 − 4𝑟 −3
2 𝜋𝑟
Aplicamos el criterio de la primera derivada para encontrar un punto
máximo o mínimo relativo
𝐿𝐴𝑡′ = 0
𝑃 − 4𝑟 −3
2 𝜋𝑟 = 0
𝑃 − 𝑟(4 +3
2 𝜋) = 0
−𝑟 (4 +3
2 𝜋) = −𝑃
𝑟 (8 + 3 𝜋
2 ) = 𝑃
𝑟 =2𝑃
8 + 3𝜋
Aplicamos el criterio de la segunda derivada para saber si es mínimo o
máximo al reemplazar r
𝐿𝐴𝑡′ = 𝐿𝑟 𝑃 − 4𝑟 −3
2 𝜋𝑟
𝐿𝐴𝑡′′ = 𝐿𝑟−4 −3
2 𝜋
Al reemplazar r obtengo un valor con signo negativo en la segunda
derivada, por lo tanto, es un máximo.
De esto concluyo que cuando 𝑟 =2𝑃
8+3𝜋 tenemos la mayor entrada de luz, y
reemplazo en 𝑃 − 2𝑟 − 𝜋𝑟 = 2ℎ para encontrar h
𝑃 − 22𝑃
8 + 3𝜋− 𝜋
2𝑃
8 + 3𝜋= 2ℎ
𝑝 −4𝑃 − 2𝜋𝑝
8 + 3𝜋= 2ℎ
𝑃(8 + 3𝜋) − (4𝑃 − 2𝜋𝑝)
8 + 3𝜋= 2ℎ
𝑃8 + 3𝑝𝜋 − 4𝑃 − 2𝜋𝑝
8 + 3𝜋= 2ℎ
4𝑃 + 𝑃𝜋
8 + 3𝜋= 2ℎ
𝑃(4 + 𝜋)
2(8 + 3𝜋)= ℎ
Los valores que me dan la máxima entrada de luz son:
𝑟 =2𝑃
8 + 3𝜋
ℎ =𝑃(4 + 𝜋)
2(8 + 3𝜋)
Códigos de gráficos
Grafico 1
t=0:0.1:10
y=t.^2+8*t+18
plot(t,y)
grid on %rejilla
title(′𝑦 = 𝑡2 + 8𝑡 + 18′) xlabel(′𝑡′) ylabel(′𝑦′)
Grafico 2
t=0:0.1:50
a=15*t+21
b=16*t+2
c=17*t-2
d=16.5*t+0
y=t.^2+8*t+18
hold on
plot(t,a)
plot(t,b)
plot(t,c)
plot(t,d)
plot(t,y)
hold off
grid on %rejilla
title('y= t^2 + 8t + 18')
xlabel('t')
ylabel('y')
Grafico 3
t=0:0.1:8
a=15*t+21
b=16*t+2
c=17*t-2
d=16.5*t+0
y=t.^2+8*t+18
hold on
plot(t,a)
plot(t,b)
plot(t,c)
plot(t,d)
plot(t,y)
hold off
grid on %rejilla
title('y= t^2 + 8t + 18')
xlabel('t')
ylabel('y')
Grafico 4
t=0:0.1:8
a=16*t+2
y=t.^2+8*t+18
hold on
plot(t,a)
plot(t,y)
hold off
grid on %rejilla
title('y= t^2 + 8t + 18')
xlabel('t')
ylabel('y')
Grafico 5
V=40:0.1:75
x=40
y=16.4
GT=(10+(V.^2/250))
hold on
plot(V,GT)
plot(x,y,'+r')
hold off
grid on %rejilla
title('Gasto de Combustible')
xlabel('Velocidad')
ylabel('Gasto de combustible')
Codigo Grafico 6
V=40:0.1:75
x=75
y=72.125
GT=(10+(V.^2/250))*(0.27)+(4800
./V)
hold on
plot(V,GT)
plot(x,y,'+r')
hold off
grid on %rejilla
title('Velocidad Mas economica')
xlabel('Velocidad')
ylabel('Costo del salario')
Grafico 7
V=40:0.1:75
x=75
y=64
GT=4800./V
hold on
plot(V,GT)
plot(x,y,'+r')
hold off
grid on %rejilla
title('Costo del Salario')
xlabel('Velocidad')
ylabel('Costo del salario')
Grafico 8
x=0:0.1:10
A=(130*x)./(169+x.^2).^1.5
plot(x,A)
grid on %rejilla
title(′𝐿𝑎𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐼𝑛𝑐𝑎𝑛𝑑𝑒𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒′) xlabel(′𝑋′) ylabel(′𝐴′)
Grafico 9
x=0:0.1:10
A=(200*x)./(169+x.^2).^1.5
plot(x,A)
grid on %rejilla
title(′𝐿𝑎𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐹𝑙𝑢𝑜𝑟𝑒𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒′) xlabel(′𝑋′) ylabel(′𝐴′)
Grafico 10
x=0:0.1:9
V=8*x.^3-
168*x.^2+862*x
plot(x,V)
grid on %rejilla
title('Volumen de la Caja
Cerrada')
xlabel('X')
ylabel('V')
Grafico 11
x=0:10:90
V=20.*cosd(x)+20.*sind(x).*cosd
(x)
plot(x,V)
grid on %rejilla
title('Volumen del vertedero')
xlabel('Angulo')
ylabel('Volumen')
Fuentes bibliográficas
