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UACH Lecture, Spring 2007 UACH Lecture, Spring 2008 UACH Lecture, Spring 2009
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Fiacutesica en la Kinesiologiacutea12 Traslacioacuten
Teoriacutea
Dr Willy H Gerber
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral Valdivia Chile
20082009
W Gerber Fiacutesica en la Kinesiologiacutea - 12 Traslacioacuten - Teoriacutea 20082009 1 57
Velocidad
Si deseamos describir la Traslacioacuten de un cuerpo debemoscomenzar por estudiar como cambia la Posicioacuten en el TiempoEsto corresponde a la Velocidad que estudiaremos viendo
Camino recorrido Tiempo transcurrido Velocidad Diagrama Posicioacuten-Tiempo Velocidad Media Velocidad Instantaacutenea
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Camino recorrido I
Caminar lo hacemos tanautomaacutetico que no nos damoscuanta fiacutesica estamos aplicando
Un siacutembolo cotidiano JohnnieWalker (Whisky)
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Camino recorrido II
Origen y Distancia
Ya habiacuteamos hablado de que paramedir una distancia Δxnecesitamos un Origen quepodemos denominar x0
Para medir la distancia a un puntox(t) en que nos encontramos enel tiempo t simplementecalculamos la diferencia
Δx = x(t) minus x0 (1)
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Camino recorrido III
A modo de ejemplo podemosindicar la posicioacuten x(t) de un busen todo tiempo t Supongamosque salio a las 8 00 de Valdivia(x0 = 0) y se dirige a Santiago Siconsultamos la posicioacuten a las14 00 nos indicara
x(14 00) = 439 km o Chillan
Como el Origen lo elegimos comocero la distancia recorrida essimplemente
Δx = x(14 00)minus x(8 00) = 439 km
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Tiempo transcurrido I
Cronometro
En forma similar se puede definirun Origen t0 en la escala deTiempo Con ello a un tiempo t hatranscurrido un tiempo
Δt = t minus t0 (2)
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Tiempo transcurrido II
Alfareriacutea de la Zona deChillan
En nuestro ejemplo del busestamos llegando a Chillan a last = 14 00 siendo nuestro Origendel tiempo t0 = 8 00 El tiempotranscurrido seria
Δt = tminus t0 = 14 00minus 8 00 = 6 hrs
Esta duracioacuten es la tiacutepica que seobserva en la mayor parte de lasempresas que cubren la rutaValdivia - Santiago
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Velocidad I
En nuestro mundo en que todotiene que ir raacutepido uno de losconceptos que nos permitedescribir esa rapidez es lavelocidad Podemos definir estacomo
=ΔxΔt
Nota se habla de rapidez cuandose indica la velocidad sin ladireccioacuten o sentido en que seviaja Por ejemplo el tacometro delauto indica rapidez ya que no diceen que direccioacuten viajamos
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Velocidad II
En nuestro ejemplo la velocidadseria
=434 km
6 hr= 723 kmhr
lo que parece un poco bajo ya quelos buses tiacutepicamente viajan avelocidades entre 90 minus 100 kmhr
iquestPorqueacute esta diferencia
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Diagrama Posicioacuten-Tiempo I
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
bc
bcbc
bc
Capaz podemos entendermejor lo que esta pasando sidiagramamos la Posicioacuten x(t)en funcioacuten del Tiempo t
Si se supone que la velocidadfue realmente 723 kmhr estocorresponderiacutea a una rectaque pasa por por Valdivia (alas 8 00) y Chillan (a las14 00)
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Diagrama Posicioacuten-Tiempo II
Kultrun de la Zona deTemuco
Mirando la graacutefica de la laminaanterior nos damos cuenta quehemos asumido que la velocidadfue siempre la misma Sinembargo el viajero experimentadosabe que el bus probablementepaso por Temuco capaz inclusopor Los Aacutengeles Concluimos quela velocidad calculada no es lavelocidad real es una Velocidadpromedio o Velocidad Media
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La Velocidad Media
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
6 hr
434 km
723 kmhr
bc
bcbc
bc
Podemos asiacute definir unaVelocidad Media lapodemos definir como
=ΔxΔt
(3)
donde Δx es el caminorecorrido y Δt el tiempo quetranscurrioacute Las Unidadesseraacuten Largo [L] dividido portiempo [T] Esto podriacutea serms kmhr o mmanos seguacutensea la escala que serequiera
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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo I
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
Temuco10 00
10 30
bc
bc
bc bc
Si incluimos a Temuco ambaspendientes se vuelven maacutesempinadas lo que significaque ahora la velocidad deviaje es mayor De hecho sise asume que la distanciaValdivia - Temuco es de 162 kmy el viaje tardo 20 horas lavelocidad media en el primertrayecto es de
=162 km
2 hr= 81 kmhr
que es mayor
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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo II
Sin embargo los 81 kmhrcontinuacutean siendo unavelocidad media en eltrayecto Valdivia - TemucoIncluso en dicho tramo debende existir fluctuacionesPrimer esta el hecho queentre Valdivia y San Jose existecarretera y luego entreSan Jose y Temuco autopistaFuera de eso existen curvastrafico maniobras deadelantar etc iquestCoacutemopodemos entonces calcularuna velocidad instantaacutenea
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Velocidad Instantaacutenea I
La velocidad en la montantildearusa
De los ejemplos anterioresvemos que solo podemoscalcular una velocidadinstantaacutenea si la medimos enun tiempo muy corto tancorto que la velocidad novaria en dicho tiempo O seapodemos expresar esto enlenguaje matemaacutetico como
= limΔtrarr0ΔxΔt
(4)
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Velocidad Instantaacutenea II
depende de la posicioacuten
La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda
=dxdt
(5)
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Aceleracioacuten
Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos
Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional
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Otro Problema con la Curva
Tiempo
Posicion
En reposo
Velocidad decrusero
bc bc
bc
Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten
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Aceleracioacuten Media
Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media
a =Δ
Δt(6)
Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con
a =5 ms15 s
= 333 ms2
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Aceleracioacuten Instantaacutenea
Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante
a = limΔtrarr0Δ
Δt=
ddt
(7)
en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles
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Aceleracioacuten Constante I
Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0
Δ = (t)minus 0
y correspondientemente el tiempo transcurrido sera
Δt = t minus t0
Por ello la aceleracioacuten sera
a =Δ
Δt=
(t)minus 0
t minus t0(8)
y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene
(t) = 0 + a(t minus t0)
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Aceleracioacuten Constante II
Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a
(t) = 0 + at (9)
Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando
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Aceleracioacuten Gravitacional I
Torre de Pisa (Italia)
Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento
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Aceleracioacuten Gravitacional II
z
z lt 0
a = minusg
bc
bc
Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que
(t) = 0 minus gt (10)
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Aceleracioacuten Gravitacional III
z
z gt 0
a = +g
bc
bc
En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva
(t) = 0 + gt (11)
La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo
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Posicioacuten
Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos
Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad
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Calculo del Camino
Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo
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Aacuterea Curva v-t I
tΔt
Δt = Δx
Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es
Area = Δt
Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt
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Aacuterea Curva v-t II
tt1
t2
Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido
Δx =sum
k
Δxk =sum
k
kΔtk
en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral
Δx =sum
k
limΔtkrarr0kΔtk =int t2
t1
(t)dt
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Caso Aceleracioacuten Constante I
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo
0t
y un triangulo
12
at sdot t =12
at2
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Caso Aceleracioacuten Constante II
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Con ello el camino recorridoΔx es
Δx = 0t +12
at2
o empleando (1)
x(t)minus x0 = 0t +12
at2
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
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Velocidad
Si deseamos describir la Traslacioacuten de un cuerpo debemoscomenzar por estudiar como cambia la Posicioacuten en el TiempoEsto corresponde a la Velocidad que estudiaremos viendo
Camino recorrido Tiempo transcurrido Velocidad Diagrama Posicioacuten-Tiempo Velocidad Media Velocidad Instantaacutenea
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Camino recorrido I
Caminar lo hacemos tanautomaacutetico que no nos damoscuanta fiacutesica estamos aplicando
Un siacutembolo cotidiano JohnnieWalker (Whisky)
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Camino recorrido II
Origen y Distancia
Ya habiacuteamos hablado de que paramedir una distancia Δxnecesitamos un Origen quepodemos denominar x0
Para medir la distancia a un puntox(t) en que nos encontramos enel tiempo t simplementecalculamos la diferencia
Δx = x(t) minus x0 (1)
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Camino recorrido III
A modo de ejemplo podemosindicar la posicioacuten x(t) de un busen todo tiempo t Supongamosque salio a las 8 00 de Valdivia(x0 = 0) y se dirige a Santiago Siconsultamos la posicioacuten a las14 00 nos indicara
x(14 00) = 439 km o Chillan
Como el Origen lo elegimos comocero la distancia recorrida essimplemente
Δx = x(14 00)minus x(8 00) = 439 km
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Tiempo transcurrido I
Cronometro
En forma similar se puede definirun Origen t0 en la escala deTiempo Con ello a un tiempo t hatranscurrido un tiempo
Δt = t minus t0 (2)
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Tiempo transcurrido II
Alfareriacutea de la Zona deChillan
En nuestro ejemplo del busestamos llegando a Chillan a last = 14 00 siendo nuestro Origendel tiempo t0 = 8 00 El tiempotranscurrido seria
Δt = tminus t0 = 14 00minus 8 00 = 6 hrs
Esta duracioacuten es la tiacutepica que seobserva en la mayor parte de lasempresas que cubren la rutaValdivia - Santiago
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Velocidad I
En nuestro mundo en que todotiene que ir raacutepido uno de losconceptos que nos permitedescribir esa rapidez es lavelocidad Podemos definir estacomo
=ΔxΔt
Nota se habla de rapidez cuandose indica la velocidad sin ladireccioacuten o sentido en que seviaja Por ejemplo el tacometro delauto indica rapidez ya que no diceen que direccioacuten viajamos
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Velocidad II
En nuestro ejemplo la velocidadseria
=434 km
6 hr= 723 kmhr
lo que parece un poco bajo ya quelos buses tiacutepicamente viajan avelocidades entre 90 minus 100 kmhr
iquestPorqueacute esta diferencia
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Diagrama Posicioacuten-Tiempo I
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
bc
bcbc
bc
Capaz podemos entendermejor lo que esta pasando sidiagramamos la Posicioacuten x(t)en funcioacuten del Tiempo t
Si se supone que la velocidadfue realmente 723 kmhr estocorresponderiacutea a una rectaque pasa por por Valdivia (alas 8 00) y Chillan (a las14 00)
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Diagrama Posicioacuten-Tiempo II
Kultrun de la Zona deTemuco
Mirando la graacutefica de la laminaanterior nos damos cuenta quehemos asumido que la velocidadfue siempre la misma Sinembargo el viajero experimentadosabe que el bus probablementepaso por Temuco capaz inclusopor Los Aacutengeles Concluimos quela velocidad calculada no es lavelocidad real es una Velocidadpromedio o Velocidad Media
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La Velocidad Media
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
6 hr
434 km
723 kmhr
bc
bcbc
bc
Podemos asiacute definir unaVelocidad Media lapodemos definir como
=ΔxΔt
(3)
donde Δx es el caminorecorrido y Δt el tiempo quetranscurrioacute Las Unidadesseraacuten Largo [L] dividido portiempo [T] Esto podriacutea serms kmhr o mmanos seguacutensea la escala que serequiera
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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo I
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
Temuco10 00
10 30
bc
bc
bc bc
Si incluimos a Temuco ambaspendientes se vuelven maacutesempinadas lo que significaque ahora la velocidad deviaje es mayor De hecho sise asume que la distanciaValdivia - Temuco es de 162 kmy el viaje tardo 20 horas lavelocidad media en el primertrayecto es de
=162 km
2 hr= 81 kmhr
que es mayor
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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo II
Sin embargo los 81 kmhrcontinuacutean siendo unavelocidad media en eltrayecto Valdivia - TemucoIncluso en dicho tramo debende existir fluctuacionesPrimer esta el hecho queentre Valdivia y San Jose existecarretera y luego entreSan Jose y Temuco autopistaFuera de eso existen curvastrafico maniobras deadelantar etc iquestCoacutemopodemos entonces calcularuna velocidad instantaacutenea
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Velocidad Instantaacutenea I
La velocidad en la montantildearusa
De los ejemplos anterioresvemos que solo podemoscalcular una velocidadinstantaacutenea si la medimos enun tiempo muy corto tancorto que la velocidad novaria en dicho tiempo O seapodemos expresar esto enlenguaje matemaacutetico como
= limΔtrarr0ΔxΔt
(4)
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Velocidad Instantaacutenea II
depende de la posicioacuten
La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda
=dxdt
(5)
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Aceleracioacuten
Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos
Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional
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Otro Problema con la Curva
Tiempo
Posicion
En reposo
Velocidad decrusero
bc bc
bc
Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten
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Aceleracioacuten Media
Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media
a =Δ
Δt(6)
Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con
a =5 ms15 s
= 333 ms2
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Aceleracioacuten Instantaacutenea
Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante
a = limΔtrarr0Δ
Δt=
ddt
(7)
en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles
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Aceleracioacuten Constante I
Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0
Δ = (t)minus 0
y correspondientemente el tiempo transcurrido sera
Δt = t minus t0
Por ello la aceleracioacuten sera
a =Δ
Δt=
(t)minus 0
t minus t0(8)
y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene
(t) = 0 + a(t minus t0)
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Aceleracioacuten Constante II
Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a
(t) = 0 + at (9)
Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando
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Aceleracioacuten Gravitacional I
Torre de Pisa (Italia)
Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento
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Aceleracioacuten Gravitacional II
z
z lt 0
a = minusg
bc
bc
Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que
(t) = 0 minus gt (10)
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Aceleracioacuten Gravitacional III
z
z gt 0
a = +g
bc
bc
En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva
(t) = 0 + gt (11)
La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo
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Posicioacuten
Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos
Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad
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Calculo del Camino
Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo
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Aacuterea Curva v-t I
tΔt
Δt = Δx
Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es
Area = Δt
Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt
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Aacuterea Curva v-t II
tt1
t2
Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido
Δx =sum
k
Δxk =sum
k
kΔtk
en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral
Δx =sum
k
limΔtkrarr0kΔtk =int t2
t1
(t)dt
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Caso Aceleracioacuten Constante I
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo
0t
y un triangulo
12
at sdot t =12
at2
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Caso Aceleracioacuten Constante II
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Con ello el camino recorridoΔx es
Δx = 0t +12
at2
o empleando (1)
x(t)minus x0 = 0t +12
at2
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
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Camino recorrido I
Caminar lo hacemos tanautomaacutetico que no nos damoscuanta fiacutesica estamos aplicando
Un siacutembolo cotidiano JohnnieWalker (Whisky)
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Camino recorrido II
Origen y Distancia
Ya habiacuteamos hablado de que paramedir una distancia Δxnecesitamos un Origen quepodemos denominar x0
Para medir la distancia a un puntox(t) en que nos encontramos enel tiempo t simplementecalculamos la diferencia
Δx = x(t) minus x0 (1)
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Camino recorrido III
A modo de ejemplo podemosindicar la posicioacuten x(t) de un busen todo tiempo t Supongamosque salio a las 8 00 de Valdivia(x0 = 0) y se dirige a Santiago Siconsultamos la posicioacuten a las14 00 nos indicara
x(14 00) = 439 km o Chillan
Como el Origen lo elegimos comocero la distancia recorrida essimplemente
Δx = x(14 00)minus x(8 00) = 439 km
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Tiempo transcurrido I
Cronometro
En forma similar se puede definirun Origen t0 en la escala deTiempo Con ello a un tiempo t hatranscurrido un tiempo
Δt = t minus t0 (2)
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Tiempo transcurrido II
Alfareriacutea de la Zona deChillan
En nuestro ejemplo del busestamos llegando a Chillan a last = 14 00 siendo nuestro Origendel tiempo t0 = 8 00 El tiempotranscurrido seria
Δt = tminus t0 = 14 00minus 8 00 = 6 hrs
Esta duracioacuten es la tiacutepica que seobserva en la mayor parte de lasempresas que cubren la rutaValdivia - Santiago
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Velocidad I
En nuestro mundo en que todotiene que ir raacutepido uno de losconceptos que nos permitedescribir esa rapidez es lavelocidad Podemos definir estacomo
=ΔxΔt
Nota se habla de rapidez cuandose indica la velocidad sin ladireccioacuten o sentido en que seviaja Por ejemplo el tacometro delauto indica rapidez ya que no diceen que direccioacuten viajamos
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Velocidad II
En nuestro ejemplo la velocidadseria
=434 km
6 hr= 723 kmhr
lo que parece un poco bajo ya quelos buses tiacutepicamente viajan avelocidades entre 90 minus 100 kmhr
iquestPorqueacute esta diferencia
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Diagrama Posicioacuten-Tiempo I
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
bc
bcbc
bc
Capaz podemos entendermejor lo que esta pasando sidiagramamos la Posicioacuten x(t)en funcioacuten del Tiempo t
Si se supone que la velocidadfue realmente 723 kmhr estocorresponderiacutea a una rectaque pasa por por Valdivia (alas 8 00) y Chillan (a las14 00)
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Diagrama Posicioacuten-Tiempo II
Kultrun de la Zona deTemuco
Mirando la graacutefica de la laminaanterior nos damos cuenta quehemos asumido que la velocidadfue siempre la misma Sinembargo el viajero experimentadosabe que el bus probablementepaso por Temuco capaz inclusopor Los Aacutengeles Concluimos quela velocidad calculada no es lavelocidad real es una Velocidadpromedio o Velocidad Media
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La Velocidad Media
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
6 hr
434 km
723 kmhr
bc
bcbc
bc
Podemos asiacute definir unaVelocidad Media lapodemos definir como
=ΔxΔt
(3)
donde Δx es el caminorecorrido y Δt el tiempo quetranscurrioacute Las Unidadesseraacuten Largo [L] dividido portiempo [T] Esto podriacutea serms kmhr o mmanos seguacutensea la escala que serequiera
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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo I
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
Temuco10 00
10 30
bc
bc
bc bc
Si incluimos a Temuco ambaspendientes se vuelven maacutesempinadas lo que significaque ahora la velocidad deviaje es mayor De hecho sise asume que la distanciaValdivia - Temuco es de 162 kmy el viaje tardo 20 horas lavelocidad media en el primertrayecto es de
=162 km
2 hr= 81 kmhr
que es mayor
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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo II
Sin embargo los 81 kmhrcontinuacutean siendo unavelocidad media en eltrayecto Valdivia - TemucoIncluso en dicho tramo debende existir fluctuacionesPrimer esta el hecho queentre Valdivia y San Jose existecarretera y luego entreSan Jose y Temuco autopistaFuera de eso existen curvastrafico maniobras deadelantar etc iquestCoacutemopodemos entonces calcularuna velocidad instantaacutenea
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Velocidad Instantaacutenea I
La velocidad en la montantildearusa
De los ejemplos anterioresvemos que solo podemoscalcular una velocidadinstantaacutenea si la medimos enun tiempo muy corto tancorto que la velocidad novaria en dicho tiempo O seapodemos expresar esto enlenguaje matemaacutetico como
= limΔtrarr0ΔxΔt
(4)
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Velocidad Instantaacutenea II
depende de la posicioacuten
La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda
=dxdt
(5)
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Aceleracioacuten
Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos
Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional
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Otro Problema con la Curva
Tiempo
Posicion
En reposo
Velocidad decrusero
bc bc
bc
Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten
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Aceleracioacuten Media
Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media
a =Δ
Δt(6)
Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con
a =5 ms15 s
= 333 ms2
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Aceleracioacuten Instantaacutenea
Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante
a = limΔtrarr0Δ
Δt=
ddt
(7)
en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles
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Aceleracioacuten Constante I
Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0
Δ = (t)minus 0
y correspondientemente el tiempo transcurrido sera
Δt = t minus t0
Por ello la aceleracioacuten sera
a =Δ
Δt=
(t)minus 0
t minus t0(8)
y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene
(t) = 0 + a(t minus t0)
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Aceleracioacuten Constante II
Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a
(t) = 0 + at (9)
Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando
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Aceleracioacuten Gravitacional I
Torre de Pisa (Italia)
Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento
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Aceleracioacuten Gravitacional II
z
z lt 0
a = minusg
bc
bc
Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que
(t) = 0 minus gt (10)
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Aceleracioacuten Gravitacional III
z
z gt 0
a = +g
bc
bc
En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva
(t) = 0 + gt (11)
La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo
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Posicioacuten
Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos
Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad
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Calculo del Camino
Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo
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Aacuterea Curva v-t I
tΔt
Δt = Δx
Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es
Area = Δt
Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt
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Aacuterea Curva v-t II
tt1
t2
Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido
Δx =sum
k
Δxk =sum
k
kΔtk
en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral
Δx =sum
k
limΔtkrarr0kΔtk =int t2
t1
(t)dt
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Caso Aceleracioacuten Constante I
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo
0t
y un triangulo
12
at sdot t =12
at2
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Caso Aceleracioacuten Constante II
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Con ello el camino recorridoΔx es
Δx = 0t +12
at2
o empleando (1)
x(t)minus x0 = 0t +12
at2
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
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Camino recorrido II
Origen y Distancia
Ya habiacuteamos hablado de que paramedir una distancia Δxnecesitamos un Origen quepodemos denominar x0
Para medir la distancia a un puntox(t) en que nos encontramos enel tiempo t simplementecalculamos la diferencia
Δx = x(t) minus x0 (1)
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Camino recorrido III
A modo de ejemplo podemosindicar la posicioacuten x(t) de un busen todo tiempo t Supongamosque salio a las 8 00 de Valdivia(x0 = 0) y se dirige a Santiago Siconsultamos la posicioacuten a las14 00 nos indicara
x(14 00) = 439 km o Chillan
Como el Origen lo elegimos comocero la distancia recorrida essimplemente
Δx = x(14 00)minus x(8 00) = 439 km
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Tiempo transcurrido I
Cronometro
En forma similar se puede definirun Origen t0 en la escala deTiempo Con ello a un tiempo t hatranscurrido un tiempo
Δt = t minus t0 (2)
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Tiempo transcurrido II
Alfareriacutea de la Zona deChillan
En nuestro ejemplo del busestamos llegando a Chillan a last = 14 00 siendo nuestro Origendel tiempo t0 = 8 00 El tiempotranscurrido seria
Δt = tminus t0 = 14 00minus 8 00 = 6 hrs
Esta duracioacuten es la tiacutepica que seobserva en la mayor parte de lasempresas que cubren la rutaValdivia - Santiago
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Velocidad I
En nuestro mundo en que todotiene que ir raacutepido uno de losconceptos que nos permitedescribir esa rapidez es lavelocidad Podemos definir estacomo
=ΔxΔt
Nota se habla de rapidez cuandose indica la velocidad sin ladireccioacuten o sentido en que seviaja Por ejemplo el tacometro delauto indica rapidez ya que no diceen que direccioacuten viajamos
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Velocidad II
En nuestro ejemplo la velocidadseria
=434 km
6 hr= 723 kmhr
lo que parece un poco bajo ya quelos buses tiacutepicamente viajan avelocidades entre 90 minus 100 kmhr
iquestPorqueacute esta diferencia
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Diagrama Posicioacuten-Tiempo I
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
bc
bcbc
bc
Capaz podemos entendermejor lo que esta pasando sidiagramamos la Posicioacuten x(t)en funcioacuten del Tiempo t
Si se supone que la velocidadfue realmente 723 kmhr estocorresponderiacutea a una rectaque pasa por por Valdivia (alas 8 00) y Chillan (a las14 00)
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Diagrama Posicioacuten-Tiempo II
Kultrun de la Zona deTemuco
Mirando la graacutefica de la laminaanterior nos damos cuenta quehemos asumido que la velocidadfue siempre la misma Sinembargo el viajero experimentadosabe que el bus probablementepaso por Temuco capaz inclusopor Los Aacutengeles Concluimos quela velocidad calculada no es lavelocidad real es una Velocidadpromedio o Velocidad Media
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La Velocidad Media
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
6 hr
434 km
723 kmhr
bc
bcbc
bc
Podemos asiacute definir unaVelocidad Media lapodemos definir como
=ΔxΔt
(3)
donde Δx es el caminorecorrido y Δt el tiempo quetranscurrioacute Las Unidadesseraacuten Largo [L] dividido portiempo [T] Esto podriacutea serms kmhr o mmanos seguacutensea la escala que serequiera
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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo I
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
Temuco10 00
10 30
bc
bc
bc bc
Si incluimos a Temuco ambaspendientes se vuelven maacutesempinadas lo que significaque ahora la velocidad deviaje es mayor De hecho sise asume que la distanciaValdivia - Temuco es de 162 kmy el viaje tardo 20 horas lavelocidad media en el primertrayecto es de
=162 km
2 hr= 81 kmhr
que es mayor
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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo II
Sin embargo los 81 kmhrcontinuacutean siendo unavelocidad media en eltrayecto Valdivia - TemucoIncluso en dicho tramo debende existir fluctuacionesPrimer esta el hecho queentre Valdivia y San Jose existecarretera y luego entreSan Jose y Temuco autopistaFuera de eso existen curvastrafico maniobras deadelantar etc iquestCoacutemopodemos entonces calcularuna velocidad instantaacutenea
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Velocidad Instantaacutenea I
La velocidad en la montantildearusa
De los ejemplos anterioresvemos que solo podemoscalcular una velocidadinstantaacutenea si la medimos enun tiempo muy corto tancorto que la velocidad novaria en dicho tiempo O seapodemos expresar esto enlenguaje matemaacutetico como
= limΔtrarr0ΔxΔt
(4)
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Velocidad Instantaacutenea II
depende de la posicioacuten
La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda
=dxdt
(5)
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Aceleracioacuten
Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos
Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional
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Otro Problema con la Curva
Tiempo
Posicion
En reposo
Velocidad decrusero
bc bc
bc
Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten
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Aceleracioacuten Media
Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media
a =Δ
Δt(6)
Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con
a =5 ms15 s
= 333 ms2
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Aceleracioacuten Instantaacutenea
Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante
a = limΔtrarr0Δ
Δt=
ddt
(7)
en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles
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Aceleracioacuten Constante I
Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0
Δ = (t)minus 0
y correspondientemente el tiempo transcurrido sera
Δt = t minus t0
Por ello la aceleracioacuten sera
a =Δ
Δt=
(t)minus 0
t minus t0(8)
y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene
(t) = 0 + a(t minus t0)
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Aceleracioacuten Constante II
Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a
(t) = 0 + at (9)
Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando
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Aceleracioacuten Gravitacional I
Torre de Pisa (Italia)
Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento
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Aceleracioacuten Gravitacional II
z
z lt 0
a = minusg
bc
bc
Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que
(t) = 0 minus gt (10)
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Aceleracioacuten Gravitacional III
z
z gt 0
a = +g
bc
bc
En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva
(t) = 0 + gt (11)
La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo
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Posicioacuten
Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos
Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad
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Calculo del Camino
Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo
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Aacuterea Curva v-t I
tΔt
Δt = Δx
Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es
Area = Δt
Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt
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Aacuterea Curva v-t II
tt1
t2
Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido
Δx =sum
k
Δxk =sum
k
kΔtk
en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral
Δx =sum
k
limΔtkrarr0kΔtk =int t2
t1
(t)dt
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Caso Aceleracioacuten Constante I
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo
0t
y un triangulo
12
at sdot t =12
at2
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Caso Aceleracioacuten Constante II
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Con ello el camino recorridoΔx es
Δx = 0t +12
at2
o empleando (1)
x(t)minus x0 = 0t +12
at2
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
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Camino recorrido III
A modo de ejemplo podemosindicar la posicioacuten x(t) de un busen todo tiempo t Supongamosque salio a las 8 00 de Valdivia(x0 = 0) y se dirige a Santiago Siconsultamos la posicioacuten a las14 00 nos indicara
x(14 00) = 439 km o Chillan
Como el Origen lo elegimos comocero la distancia recorrida essimplemente
Δx = x(14 00)minus x(8 00) = 439 km
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Tiempo transcurrido I
Cronometro
En forma similar se puede definirun Origen t0 en la escala deTiempo Con ello a un tiempo t hatranscurrido un tiempo
Δt = t minus t0 (2)
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Tiempo transcurrido II
Alfareriacutea de la Zona deChillan
En nuestro ejemplo del busestamos llegando a Chillan a last = 14 00 siendo nuestro Origendel tiempo t0 = 8 00 El tiempotranscurrido seria
Δt = tminus t0 = 14 00minus 8 00 = 6 hrs
Esta duracioacuten es la tiacutepica que seobserva en la mayor parte de lasempresas que cubren la rutaValdivia - Santiago
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Velocidad I
En nuestro mundo en que todotiene que ir raacutepido uno de losconceptos que nos permitedescribir esa rapidez es lavelocidad Podemos definir estacomo
=ΔxΔt
Nota se habla de rapidez cuandose indica la velocidad sin ladireccioacuten o sentido en que seviaja Por ejemplo el tacometro delauto indica rapidez ya que no diceen que direccioacuten viajamos
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Velocidad II
En nuestro ejemplo la velocidadseria
=434 km
6 hr= 723 kmhr
lo que parece un poco bajo ya quelos buses tiacutepicamente viajan avelocidades entre 90 minus 100 kmhr
iquestPorqueacute esta diferencia
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Diagrama Posicioacuten-Tiempo I
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
bc
bcbc
bc
Capaz podemos entendermejor lo que esta pasando sidiagramamos la Posicioacuten x(t)en funcioacuten del Tiempo t
Si se supone que la velocidadfue realmente 723 kmhr estocorresponderiacutea a una rectaque pasa por por Valdivia (alas 8 00) y Chillan (a las14 00)
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Diagrama Posicioacuten-Tiempo II
Kultrun de la Zona deTemuco
Mirando la graacutefica de la laminaanterior nos damos cuenta quehemos asumido que la velocidadfue siempre la misma Sinembargo el viajero experimentadosabe que el bus probablementepaso por Temuco capaz inclusopor Los Aacutengeles Concluimos quela velocidad calculada no es lavelocidad real es una Velocidadpromedio o Velocidad Media
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La Velocidad Media
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
6 hr
434 km
723 kmhr
bc
bcbc
bc
Podemos asiacute definir unaVelocidad Media lapodemos definir como
=ΔxΔt
(3)
donde Δx es el caminorecorrido y Δt el tiempo quetranscurrioacute Las Unidadesseraacuten Largo [L] dividido portiempo [T] Esto podriacutea serms kmhr o mmanos seguacutensea la escala que serequiera
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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo I
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
Temuco10 00
10 30
bc
bc
bc bc
Si incluimos a Temuco ambaspendientes se vuelven maacutesempinadas lo que significaque ahora la velocidad deviaje es mayor De hecho sise asume que la distanciaValdivia - Temuco es de 162 kmy el viaje tardo 20 horas lavelocidad media en el primertrayecto es de
=162 km
2 hr= 81 kmhr
que es mayor
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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo II
Sin embargo los 81 kmhrcontinuacutean siendo unavelocidad media en eltrayecto Valdivia - TemucoIncluso en dicho tramo debende existir fluctuacionesPrimer esta el hecho queentre Valdivia y San Jose existecarretera y luego entreSan Jose y Temuco autopistaFuera de eso existen curvastrafico maniobras deadelantar etc iquestCoacutemopodemos entonces calcularuna velocidad instantaacutenea
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Velocidad Instantaacutenea I
La velocidad en la montantildearusa
De los ejemplos anterioresvemos que solo podemoscalcular una velocidadinstantaacutenea si la medimos enun tiempo muy corto tancorto que la velocidad novaria en dicho tiempo O seapodemos expresar esto enlenguaje matemaacutetico como
= limΔtrarr0ΔxΔt
(4)
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Velocidad Instantaacutenea II
depende de la posicioacuten
La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda
=dxdt
(5)
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Aceleracioacuten
Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos
Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional
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Otro Problema con la Curva
Tiempo
Posicion
En reposo
Velocidad decrusero
bc bc
bc
Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten
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Aceleracioacuten Media
Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media
a =Δ
Δt(6)
Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con
a =5 ms15 s
= 333 ms2
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Aceleracioacuten Instantaacutenea
Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante
a = limΔtrarr0Δ
Δt=
ddt
(7)
en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles
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Aceleracioacuten Constante I
Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0
Δ = (t)minus 0
y correspondientemente el tiempo transcurrido sera
Δt = t minus t0
Por ello la aceleracioacuten sera
a =Δ
Δt=
(t)minus 0
t minus t0(8)
y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene
(t) = 0 + a(t minus t0)
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Aceleracioacuten Constante II
Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a
(t) = 0 + at (9)
Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando
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Aceleracioacuten Gravitacional I
Torre de Pisa (Italia)
Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento
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Aceleracioacuten Gravitacional II
z
z lt 0
a = minusg
bc
bc
Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que
(t) = 0 minus gt (10)
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Aceleracioacuten Gravitacional III
z
z gt 0
a = +g
bc
bc
En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva
(t) = 0 + gt (11)
La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo
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Posicioacuten
Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos
Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad
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Calculo del Camino
Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo
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Aacuterea Curva v-t I
tΔt
Δt = Δx
Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es
Area = Δt
Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt
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Aacuterea Curva v-t II
tt1
t2
Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido
Δx =sum
k
Δxk =sum
k
kΔtk
en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral
Δx =sum
k
limΔtkrarr0kΔtk =int t2
t1
(t)dt
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Caso Aceleracioacuten Constante I
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo
0t
y un triangulo
12
at sdot t =12
at2
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Caso Aceleracioacuten Constante II
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Con ello el camino recorridoΔx es
Δx = 0t +12
at2
o empleando (1)
x(t)minus x0 = 0t +12
at2
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
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Tiempo transcurrido I
Cronometro
En forma similar se puede definirun Origen t0 en la escala deTiempo Con ello a un tiempo t hatranscurrido un tiempo
Δt = t minus t0 (2)
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Tiempo transcurrido II
Alfareriacutea de la Zona deChillan
En nuestro ejemplo del busestamos llegando a Chillan a last = 14 00 siendo nuestro Origendel tiempo t0 = 8 00 El tiempotranscurrido seria
Δt = tminus t0 = 14 00minus 8 00 = 6 hrs
Esta duracioacuten es la tiacutepica que seobserva en la mayor parte de lasempresas que cubren la rutaValdivia - Santiago
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Velocidad I
En nuestro mundo en que todotiene que ir raacutepido uno de losconceptos que nos permitedescribir esa rapidez es lavelocidad Podemos definir estacomo
=ΔxΔt
Nota se habla de rapidez cuandose indica la velocidad sin ladireccioacuten o sentido en que seviaja Por ejemplo el tacometro delauto indica rapidez ya que no diceen que direccioacuten viajamos
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Velocidad II
En nuestro ejemplo la velocidadseria
=434 km
6 hr= 723 kmhr
lo que parece un poco bajo ya quelos buses tiacutepicamente viajan avelocidades entre 90 minus 100 kmhr
iquestPorqueacute esta diferencia
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Diagrama Posicioacuten-Tiempo I
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
bc
bcbc
bc
Capaz podemos entendermejor lo que esta pasando sidiagramamos la Posicioacuten x(t)en funcioacuten del Tiempo t
Si se supone que la velocidadfue realmente 723 kmhr estocorresponderiacutea a una rectaque pasa por por Valdivia (alas 8 00) y Chillan (a las14 00)
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Diagrama Posicioacuten-Tiempo II
Kultrun de la Zona deTemuco
Mirando la graacutefica de la laminaanterior nos damos cuenta quehemos asumido que la velocidadfue siempre la misma Sinembargo el viajero experimentadosabe que el bus probablementepaso por Temuco capaz inclusopor Los Aacutengeles Concluimos quela velocidad calculada no es lavelocidad real es una Velocidadpromedio o Velocidad Media
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La Velocidad Media
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
6 hr
434 km
723 kmhr
bc
bcbc
bc
Podemos asiacute definir unaVelocidad Media lapodemos definir como
=ΔxΔt
(3)
donde Δx es el caminorecorrido y Δt el tiempo quetranscurrioacute Las Unidadesseraacuten Largo [L] dividido portiempo [T] Esto podriacutea serms kmhr o mmanos seguacutensea la escala que serequiera
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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo I
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
Temuco10 00
10 30
bc
bc
bc bc
Si incluimos a Temuco ambaspendientes se vuelven maacutesempinadas lo que significaque ahora la velocidad deviaje es mayor De hecho sise asume que la distanciaValdivia - Temuco es de 162 kmy el viaje tardo 20 horas lavelocidad media en el primertrayecto es de
=162 km
2 hr= 81 kmhr
que es mayor
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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo II
Sin embargo los 81 kmhrcontinuacutean siendo unavelocidad media en eltrayecto Valdivia - TemucoIncluso en dicho tramo debende existir fluctuacionesPrimer esta el hecho queentre Valdivia y San Jose existecarretera y luego entreSan Jose y Temuco autopistaFuera de eso existen curvastrafico maniobras deadelantar etc iquestCoacutemopodemos entonces calcularuna velocidad instantaacutenea
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Velocidad Instantaacutenea I
La velocidad en la montantildearusa
De los ejemplos anterioresvemos que solo podemoscalcular una velocidadinstantaacutenea si la medimos enun tiempo muy corto tancorto que la velocidad novaria en dicho tiempo O seapodemos expresar esto enlenguaje matemaacutetico como
= limΔtrarr0ΔxΔt
(4)
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Velocidad Instantaacutenea II
depende de la posicioacuten
La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda
=dxdt
(5)
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Aceleracioacuten
Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos
Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional
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Otro Problema con la Curva
Tiempo
Posicion
En reposo
Velocidad decrusero
bc bc
bc
Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten
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Aceleracioacuten Media
Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media
a =Δ
Δt(6)
Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con
a =5 ms15 s
= 333 ms2
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Aceleracioacuten Instantaacutenea
Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante
a = limΔtrarr0Δ
Δt=
ddt
(7)
en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles
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Aceleracioacuten Constante I
Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0
Δ = (t)minus 0
y correspondientemente el tiempo transcurrido sera
Δt = t minus t0
Por ello la aceleracioacuten sera
a =Δ
Δt=
(t)minus 0
t minus t0(8)
y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene
(t) = 0 + a(t minus t0)
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Aceleracioacuten Constante II
Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a
(t) = 0 + at (9)
Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando
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Aceleracioacuten Gravitacional I
Torre de Pisa (Italia)
Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento
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Aceleracioacuten Gravitacional II
z
z lt 0
a = minusg
bc
bc
Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que
(t) = 0 minus gt (10)
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Aceleracioacuten Gravitacional III
z
z gt 0
a = +g
bc
bc
En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva
(t) = 0 + gt (11)
La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo
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Posicioacuten
Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos
Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad
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Calculo del Camino
Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo
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Aacuterea Curva v-t I
tΔt
Δt = Δx
Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es
Area = Δt
Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt
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Aacuterea Curva v-t II
tt1
t2
Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido
Δx =sum
k
Δxk =sum
k
kΔtk
en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral
Δx =sum
k
limΔtkrarr0kΔtk =int t2
t1
(t)dt
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Caso Aceleracioacuten Constante I
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo
0t
y un triangulo
12
at sdot t =12
at2
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Caso Aceleracioacuten Constante II
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Con ello el camino recorridoΔx es
Δx = 0t +12
at2
o empleando (1)
x(t)minus x0 = 0t +12
at2
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
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Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
W Gerber Fiacutesica en la Kinesiologiacutea - 12 Traslacioacuten - Teoriacutea 20082009 53 57
Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
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Tiempo transcurrido II
Alfareriacutea de la Zona deChillan
En nuestro ejemplo del busestamos llegando a Chillan a last = 14 00 siendo nuestro Origendel tiempo t0 = 8 00 El tiempotranscurrido seria
Δt = tminus t0 = 14 00minus 8 00 = 6 hrs
Esta duracioacuten es la tiacutepica que seobserva en la mayor parte de lasempresas que cubren la rutaValdivia - Santiago
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Velocidad I
En nuestro mundo en que todotiene que ir raacutepido uno de losconceptos que nos permitedescribir esa rapidez es lavelocidad Podemos definir estacomo
=ΔxΔt
Nota se habla de rapidez cuandose indica la velocidad sin ladireccioacuten o sentido en que seviaja Por ejemplo el tacometro delauto indica rapidez ya que no diceen que direccioacuten viajamos
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Velocidad II
En nuestro ejemplo la velocidadseria
=434 km
6 hr= 723 kmhr
lo que parece un poco bajo ya quelos buses tiacutepicamente viajan avelocidades entre 90 minus 100 kmhr
iquestPorqueacute esta diferencia
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Diagrama Posicioacuten-Tiempo I
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
bc
bcbc
bc
Capaz podemos entendermejor lo que esta pasando sidiagramamos la Posicioacuten x(t)en funcioacuten del Tiempo t
Si se supone que la velocidadfue realmente 723 kmhr estocorresponderiacutea a una rectaque pasa por por Valdivia (alas 8 00) y Chillan (a las14 00)
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Diagrama Posicioacuten-Tiempo II
Kultrun de la Zona deTemuco
Mirando la graacutefica de la laminaanterior nos damos cuenta quehemos asumido que la velocidadfue siempre la misma Sinembargo el viajero experimentadosabe que el bus probablementepaso por Temuco capaz inclusopor Los Aacutengeles Concluimos quela velocidad calculada no es lavelocidad real es una Velocidadpromedio o Velocidad Media
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La Velocidad Media
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
6 hr
434 km
723 kmhr
bc
bcbc
bc
Podemos asiacute definir unaVelocidad Media lapodemos definir como
=ΔxΔt
(3)
donde Δx es el caminorecorrido y Δt el tiempo quetranscurrioacute Las Unidadesseraacuten Largo [L] dividido portiempo [T] Esto podriacutea serms kmhr o mmanos seguacutensea la escala que serequiera
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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo I
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
Temuco10 00
10 30
bc
bc
bc bc
Si incluimos a Temuco ambaspendientes se vuelven maacutesempinadas lo que significaque ahora la velocidad deviaje es mayor De hecho sise asume que la distanciaValdivia - Temuco es de 162 kmy el viaje tardo 20 horas lavelocidad media en el primertrayecto es de
=162 km
2 hr= 81 kmhr
que es mayor
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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo II
Sin embargo los 81 kmhrcontinuacutean siendo unavelocidad media en eltrayecto Valdivia - TemucoIncluso en dicho tramo debende existir fluctuacionesPrimer esta el hecho queentre Valdivia y San Jose existecarretera y luego entreSan Jose y Temuco autopistaFuera de eso existen curvastrafico maniobras deadelantar etc iquestCoacutemopodemos entonces calcularuna velocidad instantaacutenea
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Velocidad Instantaacutenea I
La velocidad en la montantildearusa
De los ejemplos anterioresvemos que solo podemoscalcular una velocidadinstantaacutenea si la medimos enun tiempo muy corto tancorto que la velocidad novaria en dicho tiempo O seapodemos expresar esto enlenguaje matemaacutetico como
= limΔtrarr0ΔxΔt
(4)
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Velocidad Instantaacutenea II
depende de la posicioacuten
La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda
=dxdt
(5)
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Aceleracioacuten
Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos
Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional
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Otro Problema con la Curva
Tiempo
Posicion
En reposo
Velocidad decrusero
bc bc
bc
Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten
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Aceleracioacuten Media
Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media
a =Δ
Δt(6)
Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con
a =5 ms15 s
= 333 ms2
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Aceleracioacuten Instantaacutenea
Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante
a = limΔtrarr0Δ
Δt=
ddt
(7)
en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles
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Aceleracioacuten Constante I
Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0
Δ = (t)minus 0
y correspondientemente el tiempo transcurrido sera
Δt = t minus t0
Por ello la aceleracioacuten sera
a =Δ
Δt=
(t)minus 0
t minus t0(8)
y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene
(t) = 0 + a(t minus t0)
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Aceleracioacuten Constante II
Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a
(t) = 0 + at (9)
Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando
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Aceleracioacuten Gravitacional I
Torre de Pisa (Italia)
Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento
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Aceleracioacuten Gravitacional II
z
z lt 0
a = minusg
bc
bc
Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que
(t) = 0 minus gt (10)
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Aceleracioacuten Gravitacional III
z
z gt 0
a = +g
bc
bc
En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva
(t) = 0 + gt (11)
La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo
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Posicioacuten
Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos
Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad
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Calculo del Camino
Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo
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Aacuterea Curva v-t I
tΔt
Δt = Δx
Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es
Area = Δt
Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt
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Aacuterea Curva v-t II
tt1
t2
Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido
Δx =sum
k
Δxk =sum
k
kΔtk
en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral
Δx =sum
k
limΔtkrarr0kΔtk =int t2
t1
(t)dt
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Caso Aceleracioacuten Constante I
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo
0t
y un triangulo
12
at sdot t =12
at2
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Caso Aceleracioacuten Constante II
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Con ello el camino recorridoΔx es
Δx = 0t +12
at2
o empleando (1)
x(t)minus x0 = 0t +12
at2
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
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Velocidad I
En nuestro mundo en que todotiene que ir raacutepido uno de losconceptos que nos permitedescribir esa rapidez es lavelocidad Podemos definir estacomo
=ΔxΔt
Nota se habla de rapidez cuandose indica la velocidad sin ladireccioacuten o sentido en que seviaja Por ejemplo el tacometro delauto indica rapidez ya que no diceen que direccioacuten viajamos
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Velocidad II
En nuestro ejemplo la velocidadseria
=434 km
6 hr= 723 kmhr
lo que parece un poco bajo ya quelos buses tiacutepicamente viajan avelocidades entre 90 minus 100 kmhr
iquestPorqueacute esta diferencia
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Diagrama Posicioacuten-Tiempo I
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
bc
bcbc
bc
Capaz podemos entendermejor lo que esta pasando sidiagramamos la Posicioacuten x(t)en funcioacuten del Tiempo t
Si se supone que la velocidadfue realmente 723 kmhr estocorresponderiacutea a una rectaque pasa por por Valdivia (alas 8 00) y Chillan (a las14 00)
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Diagrama Posicioacuten-Tiempo II
Kultrun de la Zona deTemuco
Mirando la graacutefica de la laminaanterior nos damos cuenta quehemos asumido que la velocidadfue siempre la misma Sinembargo el viajero experimentadosabe que el bus probablementepaso por Temuco capaz inclusopor Los Aacutengeles Concluimos quela velocidad calculada no es lavelocidad real es una Velocidadpromedio o Velocidad Media
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La Velocidad Media
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
6 hr
434 km
723 kmhr
bc
bcbc
bc
Podemos asiacute definir unaVelocidad Media lapodemos definir como
=ΔxΔt
(3)
donde Δx es el caminorecorrido y Δt el tiempo quetranscurrioacute Las Unidadesseraacuten Largo [L] dividido portiempo [T] Esto podriacutea serms kmhr o mmanos seguacutensea la escala que serequiera
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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo I
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
Temuco10 00
10 30
bc
bc
bc bc
Si incluimos a Temuco ambaspendientes se vuelven maacutesempinadas lo que significaque ahora la velocidad deviaje es mayor De hecho sise asume que la distanciaValdivia - Temuco es de 162 kmy el viaje tardo 20 horas lavelocidad media en el primertrayecto es de
=162 km
2 hr= 81 kmhr
que es mayor
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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo II
Sin embargo los 81 kmhrcontinuacutean siendo unavelocidad media en eltrayecto Valdivia - TemucoIncluso en dicho tramo debende existir fluctuacionesPrimer esta el hecho queentre Valdivia y San Jose existecarretera y luego entreSan Jose y Temuco autopistaFuera de eso existen curvastrafico maniobras deadelantar etc iquestCoacutemopodemos entonces calcularuna velocidad instantaacutenea
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Velocidad Instantaacutenea I
La velocidad en la montantildearusa
De los ejemplos anterioresvemos que solo podemoscalcular una velocidadinstantaacutenea si la medimos enun tiempo muy corto tancorto que la velocidad novaria en dicho tiempo O seapodemos expresar esto enlenguaje matemaacutetico como
= limΔtrarr0ΔxΔt
(4)
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Velocidad Instantaacutenea II
depende de la posicioacuten
La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda
=dxdt
(5)
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Aceleracioacuten
Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos
Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional
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Otro Problema con la Curva
Tiempo
Posicion
En reposo
Velocidad decrusero
bc bc
bc
Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten
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Aceleracioacuten Media
Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media
a =Δ
Δt(6)
Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con
a =5 ms15 s
= 333 ms2
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Aceleracioacuten Instantaacutenea
Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante
a = limΔtrarr0Δ
Δt=
ddt
(7)
en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles
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Aceleracioacuten Constante I
Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0
Δ = (t)minus 0
y correspondientemente el tiempo transcurrido sera
Δt = t minus t0
Por ello la aceleracioacuten sera
a =Δ
Δt=
(t)minus 0
t minus t0(8)
y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene
(t) = 0 + a(t minus t0)
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Aceleracioacuten Constante II
Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a
(t) = 0 + at (9)
Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando
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Aceleracioacuten Gravitacional I
Torre de Pisa (Italia)
Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento
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Aceleracioacuten Gravitacional II
z
z lt 0
a = minusg
bc
bc
Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que
(t) = 0 minus gt (10)
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Aceleracioacuten Gravitacional III
z
z gt 0
a = +g
bc
bc
En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva
(t) = 0 + gt (11)
La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo
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Posicioacuten
Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos
Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad
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Calculo del Camino
Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo
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Aacuterea Curva v-t I
tΔt
Δt = Δx
Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es
Area = Δt
Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt
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Aacuterea Curva v-t II
tt1
t2
Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido
Δx =sum
k
Δxk =sum
k
kΔtk
en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral
Δx =sum
k
limΔtkrarr0kΔtk =int t2
t1
(t)dt
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Caso Aceleracioacuten Constante I
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo
0t
y un triangulo
12
at sdot t =12
at2
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Caso Aceleracioacuten Constante II
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Con ello el camino recorridoΔx es
Δx = 0t +12
at2
o empleando (1)
x(t)minus x0 = 0t +12
at2
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
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Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Velocidad II
En nuestro ejemplo la velocidadseria
=434 km
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lo que parece un poco bajo ya quelos buses tiacutepicamente viajan avelocidades entre 90 minus 100 kmhr
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Diagrama Posicioacuten-Tiempo I
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
bc
bcbc
bc
Capaz podemos entendermejor lo que esta pasando sidiagramamos la Posicioacuten x(t)en funcioacuten del Tiempo t
Si se supone que la velocidadfue realmente 723 kmhr estocorresponderiacutea a una rectaque pasa por por Valdivia (alas 8 00) y Chillan (a las14 00)
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Diagrama Posicioacuten-Tiempo II
Kultrun de la Zona deTemuco
Mirando la graacutefica de la laminaanterior nos damos cuenta quehemos asumido que la velocidadfue siempre la misma Sinembargo el viajero experimentadosabe que el bus probablementepaso por Temuco capaz inclusopor Los Aacutengeles Concluimos quela velocidad calculada no es lavelocidad real es una Velocidadpromedio o Velocidad Media
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La Velocidad Media
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
6 hr
434 km
723 kmhr
bc
bcbc
bc
Podemos asiacute definir unaVelocidad Media lapodemos definir como
=ΔxΔt
(3)
donde Δx es el caminorecorrido y Δt el tiempo quetranscurrioacute Las Unidadesseraacuten Largo [L] dividido portiempo [T] Esto podriacutea serms kmhr o mmanos seguacutensea la escala que serequiera
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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo I
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
Temuco10 00
10 30
bc
bc
bc bc
Si incluimos a Temuco ambaspendientes se vuelven maacutesempinadas lo que significaque ahora la velocidad deviaje es mayor De hecho sise asume que la distanciaValdivia - Temuco es de 162 kmy el viaje tardo 20 horas lavelocidad media en el primertrayecto es de
=162 km
2 hr= 81 kmhr
que es mayor
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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo II
Sin embargo los 81 kmhrcontinuacutean siendo unavelocidad media en eltrayecto Valdivia - TemucoIncluso en dicho tramo debende existir fluctuacionesPrimer esta el hecho queentre Valdivia y San Jose existecarretera y luego entreSan Jose y Temuco autopistaFuera de eso existen curvastrafico maniobras deadelantar etc iquestCoacutemopodemos entonces calcularuna velocidad instantaacutenea
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Velocidad Instantaacutenea I
La velocidad en la montantildearusa
De los ejemplos anterioresvemos que solo podemoscalcular una velocidadinstantaacutenea si la medimos enun tiempo muy corto tancorto que la velocidad novaria en dicho tiempo O seapodemos expresar esto enlenguaje matemaacutetico como
= limΔtrarr0ΔxΔt
(4)
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Velocidad Instantaacutenea II
depende de la posicioacuten
La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda
=dxdt
(5)
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Aceleracioacuten
Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos
Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional
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Otro Problema con la Curva
Tiempo
Posicion
En reposo
Velocidad decrusero
bc bc
bc
Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten
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Aceleracioacuten Media
Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media
a =Δ
Δt(6)
Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con
a =5 ms15 s
= 333 ms2
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Aceleracioacuten Instantaacutenea
Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante
a = limΔtrarr0Δ
Δt=
ddt
(7)
en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles
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Aceleracioacuten Constante I
Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0
Δ = (t)minus 0
y correspondientemente el tiempo transcurrido sera
Δt = t minus t0
Por ello la aceleracioacuten sera
a =Δ
Δt=
(t)minus 0
t minus t0(8)
y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene
(t) = 0 + a(t minus t0)
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Aceleracioacuten Constante II
Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a
(t) = 0 + at (9)
Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando
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Aceleracioacuten Gravitacional I
Torre de Pisa (Italia)
Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento
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Aceleracioacuten Gravitacional II
z
z lt 0
a = minusg
bc
bc
Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que
(t) = 0 minus gt (10)
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Aceleracioacuten Gravitacional III
z
z gt 0
a = +g
bc
bc
En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva
(t) = 0 + gt (11)
La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo
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Posicioacuten
Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos
Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad
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Calculo del Camino
Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo
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Aacuterea Curva v-t I
tΔt
Δt = Δx
Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es
Area = Δt
Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt
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Aacuterea Curva v-t II
tt1
t2
Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido
Δx =sum
k
Δxk =sum
k
kΔtk
en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral
Δx =sum
k
limΔtkrarr0kΔtk =int t2
t1
(t)dt
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Caso Aceleracioacuten Constante I
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo
0t
y un triangulo
12
at sdot t =12
at2
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Caso Aceleracioacuten Constante II
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Con ello el camino recorridoΔx es
Δx = 0t +12
at2
o empleando (1)
x(t)minus x0 = 0t +12
at2
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
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Diagrama Posicioacuten-Tiempo I
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
bc
bcbc
bc
Capaz podemos entendermejor lo que esta pasando sidiagramamos la Posicioacuten x(t)en funcioacuten del Tiempo t
Si se supone que la velocidadfue realmente 723 kmhr estocorresponderiacutea a una rectaque pasa por por Valdivia (alas 8 00) y Chillan (a las14 00)
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Diagrama Posicioacuten-Tiempo II
Kultrun de la Zona deTemuco
Mirando la graacutefica de la laminaanterior nos damos cuenta quehemos asumido que la velocidadfue siempre la misma Sinembargo el viajero experimentadosabe que el bus probablementepaso por Temuco capaz inclusopor Los Aacutengeles Concluimos quela velocidad calculada no es lavelocidad real es una Velocidadpromedio o Velocidad Media
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La Velocidad Media
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
6 hr
434 km
723 kmhr
bc
bcbc
bc
Podemos asiacute definir unaVelocidad Media lapodemos definir como
=ΔxΔt
(3)
donde Δx es el caminorecorrido y Δt el tiempo quetranscurrioacute Las Unidadesseraacuten Largo [L] dividido portiempo [T] Esto podriacutea serms kmhr o mmanos seguacutensea la escala que serequiera
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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo I
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
Temuco10 00
10 30
bc
bc
bc bc
Si incluimos a Temuco ambaspendientes se vuelven maacutesempinadas lo que significaque ahora la velocidad deviaje es mayor De hecho sise asume que la distanciaValdivia - Temuco es de 162 kmy el viaje tardo 20 horas lavelocidad media en el primertrayecto es de
=162 km
2 hr= 81 kmhr
que es mayor
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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo II
Sin embargo los 81 kmhrcontinuacutean siendo unavelocidad media en eltrayecto Valdivia - TemucoIncluso en dicho tramo debende existir fluctuacionesPrimer esta el hecho queentre Valdivia y San Jose existecarretera y luego entreSan Jose y Temuco autopistaFuera de eso existen curvastrafico maniobras deadelantar etc iquestCoacutemopodemos entonces calcularuna velocidad instantaacutenea
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Velocidad Instantaacutenea I
La velocidad en la montantildearusa
De los ejemplos anterioresvemos que solo podemoscalcular una velocidadinstantaacutenea si la medimos enun tiempo muy corto tancorto que la velocidad novaria en dicho tiempo O seapodemos expresar esto enlenguaje matemaacutetico como
= limΔtrarr0ΔxΔt
(4)
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Velocidad Instantaacutenea II
depende de la posicioacuten
La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda
=dxdt
(5)
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Aceleracioacuten
Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos
Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional
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Otro Problema con la Curva
Tiempo
Posicion
En reposo
Velocidad decrusero
bc bc
bc
Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten
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Aceleracioacuten Media
Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media
a =Δ
Δt(6)
Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con
a =5 ms15 s
= 333 ms2
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Aceleracioacuten Instantaacutenea
Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante
a = limΔtrarr0Δ
Δt=
ddt
(7)
en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles
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Aceleracioacuten Constante I
Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0
Δ = (t)minus 0
y correspondientemente el tiempo transcurrido sera
Δt = t minus t0
Por ello la aceleracioacuten sera
a =Δ
Δt=
(t)minus 0
t minus t0(8)
y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene
(t) = 0 + a(t minus t0)
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Aceleracioacuten Constante II
Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a
(t) = 0 + at (9)
Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando
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Aceleracioacuten Gravitacional I
Torre de Pisa (Italia)
Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento
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Aceleracioacuten Gravitacional II
z
z lt 0
a = minusg
bc
bc
Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que
(t) = 0 minus gt (10)
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Aceleracioacuten Gravitacional III
z
z gt 0
a = +g
bc
bc
En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva
(t) = 0 + gt (11)
La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo
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Posicioacuten
Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos
Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad
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Calculo del Camino
Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo
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Aacuterea Curva v-t I
tΔt
Δt = Δx
Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es
Area = Δt
Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt
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Aacuterea Curva v-t II
tt1
t2
Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido
Δx =sum
k
Δxk =sum
k
kΔtk
en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral
Δx =sum
k
limΔtkrarr0kΔtk =int t2
t1
(t)dt
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Caso Aceleracioacuten Constante I
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo
0t
y un triangulo
12
at sdot t =12
at2
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Caso Aceleracioacuten Constante II
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Con ello el camino recorridoΔx es
Δx = 0t +12
at2
o empleando (1)
x(t)minus x0 = 0t +12
at2
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
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Diagrama Posicioacuten-Tiempo II
Kultrun de la Zona deTemuco
Mirando la graacutefica de la laminaanterior nos damos cuenta quehemos asumido que la velocidadfue siempre la misma Sinembargo el viajero experimentadosabe que el bus probablementepaso por Temuco capaz inclusopor Los Aacutengeles Concluimos quela velocidad calculada no es lavelocidad real es una Velocidadpromedio o Velocidad Media
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La Velocidad Media
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
6 hr
434 km
723 kmhr
bc
bcbc
bc
Podemos asiacute definir unaVelocidad Media lapodemos definir como
=ΔxΔt
(3)
donde Δx es el caminorecorrido y Δt el tiempo quetranscurrioacute Las Unidadesseraacuten Largo [L] dividido portiempo [T] Esto podriacutea serms kmhr o mmanos seguacutensea la escala que serequiera
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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo I
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
Temuco10 00
10 30
bc
bc
bc bc
Si incluimos a Temuco ambaspendientes se vuelven maacutesempinadas lo que significaque ahora la velocidad deviaje es mayor De hecho sise asume que la distanciaValdivia - Temuco es de 162 kmy el viaje tardo 20 horas lavelocidad media en el primertrayecto es de
=162 km
2 hr= 81 kmhr
que es mayor
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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo II
Sin embargo los 81 kmhrcontinuacutean siendo unavelocidad media en eltrayecto Valdivia - TemucoIncluso en dicho tramo debende existir fluctuacionesPrimer esta el hecho queentre Valdivia y San Jose existecarretera y luego entreSan Jose y Temuco autopistaFuera de eso existen curvastrafico maniobras deadelantar etc iquestCoacutemopodemos entonces calcularuna velocidad instantaacutenea
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Velocidad Instantaacutenea I
La velocidad en la montantildearusa
De los ejemplos anterioresvemos que solo podemoscalcular una velocidadinstantaacutenea si la medimos enun tiempo muy corto tancorto que la velocidad novaria en dicho tiempo O seapodemos expresar esto enlenguaje matemaacutetico como
= limΔtrarr0ΔxΔt
(4)
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Velocidad Instantaacutenea II
depende de la posicioacuten
La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda
=dxdt
(5)
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Aceleracioacuten
Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos
Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional
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Otro Problema con la Curva
Tiempo
Posicion
En reposo
Velocidad decrusero
bc bc
bc
Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten
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Aceleracioacuten Media
Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media
a =Δ
Δt(6)
Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con
a =5 ms15 s
= 333 ms2
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Aceleracioacuten Instantaacutenea
Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante
a = limΔtrarr0Δ
Δt=
ddt
(7)
en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles
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Aceleracioacuten Constante I
Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0
Δ = (t)minus 0
y correspondientemente el tiempo transcurrido sera
Δt = t minus t0
Por ello la aceleracioacuten sera
a =Δ
Δt=
(t)minus 0
t minus t0(8)
y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene
(t) = 0 + a(t minus t0)
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Aceleracioacuten Constante II
Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a
(t) = 0 + at (9)
Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando
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Aceleracioacuten Gravitacional I
Torre de Pisa (Italia)
Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento
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Aceleracioacuten Gravitacional II
z
z lt 0
a = minusg
bc
bc
Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que
(t) = 0 minus gt (10)
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Aceleracioacuten Gravitacional III
z
z gt 0
a = +g
bc
bc
En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva
(t) = 0 + gt (11)
La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo
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Posicioacuten
Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos
Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad
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Calculo del Camino
Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo
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Aacuterea Curva v-t I
tΔt
Δt = Δx
Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es
Area = Δt
Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt
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Aacuterea Curva v-t II
tt1
t2
Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido
Δx =sum
k
Δxk =sum
k
kΔtk
en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral
Δx =sum
k
limΔtkrarr0kΔtk =int t2
t1
(t)dt
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Caso Aceleracioacuten Constante I
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo
0t
y un triangulo
12
at sdot t =12
at2
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Caso Aceleracioacuten Constante II
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Con ello el camino recorridoΔx es
Δx = 0t +12
at2
o empleando (1)
x(t)minus x0 = 0t +12
at2
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
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La Velocidad Media
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
6 hr
434 km
723 kmhr
bc
bcbc
bc
Podemos asiacute definir unaVelocidad Media lapodemos definir como
=ΔxΔt
(3)
donde Δx es el caminorecorrido y Δt el tiempo quetranscurrioacute Las Unidadesseraacuten Largo [L] dividido portiempo [T] Esto podriacutea serms kmhr o mmanos seguacutensea la escala que serequiera
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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo I
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
Temuco10 00
10 30
bc
bc
bc bc
Si incluimos a Temuco ambaspendientes se vuelven maacutesempinadas lo que significaque ahora la velocidad deviaje es mayor De hecho sise asume que la distanciaValdivia - Temuco es de 162 kmy el viaje tardo 20 horas lavelocidad media en el primertrayecto es de
=162 km
2 hr= 81 kmhr
que es mayor
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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo II
Sin embargo los 81 kmhrcontinuacutean siendo unavelocidad media en eltrayecto Valdivia - TemucoIncluso en dicho tramo debende existir fluctuacionesPrimer esta el hecho queentre Valdivia y San Jose existecarretera y luego entreSan Jose y Temuco autopistaFuera de eso existen curvastrafico maniobras deadelantar etc iquestCoacutemopodemos entonces calcularuna velocidad instantaacutenea
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Velocidad Instantaacutenea I
La velocidad en la montantildearusa
De los ejemplos anterioresvemos que solo podemoscalcular una velocidadinstantaacutenea si la medimos enun tiempo muy corto tancorto que la velocidad novaria en dicho tiempo O seapodemos expresar esto enlenguaje matemaacutetico como
= limΔtrarr0ΔxΔt
(4)
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Velocidad Instantaacutenea II
depende de la posicioacuten
La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda
=dxdt
(5)
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Aceleracioacuten
Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos
Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional
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Otro Problema con la Curva
Tiempo
Posicion
En reposo
Velocidad decrusero
bc bc
bc
Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten
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Aceleracioacuten Media
Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media
a =Δ
Δt(6)
Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con
a =5 ms15 s
= 333 ms2
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Aceleracioacuten Instantaacutenea
Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante
a = limΔtrarr0Δ
Δt=
ddt
(7)
en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles
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Aceleracioacuten Constante I
Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0
Δ = (t)minus 0
y correspondientemente el tiempo transcurrido sera
Δt = t minus t0
Por ello la aceleracioacuten sera
a =Δ
Δt=
(t)minus 0
t minus t0(8)
y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene
(t) = 0 + a(t minus t0)
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Aceleracioacuten Constante II
Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a
(t) = 0 + at (9)
Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando
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Aceleracioacuten Gravitacional I
Torre de Pisa (Italia)
Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento
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Aceleracioacuten Gravitacional II
z
z lt 0
a = minusg
bc
bc
Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que
(t) = 0 minus gt (10)
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Aceleracioacuten Gravitacional III
z
z gt 0
a = +g
bc
bc
En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva
(t) = 0 + gt (11)
La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo
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Posicioacuten
Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos
Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad
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Calculo del Camino
Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo
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Aacuterea Curva v-t I
tΔt
Δt = Δx
Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es
Area = Δt
Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt
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Aacuterea Curva v-t II
tt1
t2
Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido
Δx =sum
k
Δxk =sum
k
kΔtk
en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral
Δx =sum
k
limΔtkrarr0kΔtk =int t2
t1
(t)dt
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Caso Aceleracioacuten Constante I
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo
0t
y un triangulo
12
at sdot t =12
at2
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Caso Aceleracioacuten Constante II
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Con ello el camino recorridoΔx es
Δx = 0t +12
at2
o empleando (1)
x(t)minus x0 = 0t +12
at2
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo I
8 00 14 00
Chillan
ValdiviaTiempo
Posicion
Temuco10 00
10 30
bc
bc
bc bc
Si incluimos a Temuco ambaspendientes se vuelven maacutesempinadas lo que significaque ahora la velocidad deviaje es mayor De hecho sise asume que la distanciaValdivia - Temuco es de 162 kmy el viaje tardo 20 horas lavelocidad media en el primertrayecto es de
=162 km
2 hr= 81 kmhr
que es mayor
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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo II
Sin embargo los 81 kmhrcontinuacutean siendo unavelocidad media en eltrayecto Valdivia - TemucoIncluso en dicho tramo debende existir fluctuacionesPrimer esta el hecho queentre Valdivia y San Jose existecarretera y luego entreSan Jose y Temuco autopistaFuera de eso existen curvastrafico maniobras deadelantar etc iquestCoacutemopodemos entonces calcularuna velocidad instantaacutenea
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Velocidad Instantaacutenea I
La velocidad en la montantildearusa
De los ejemplos anterioresvemos que solo podemoscalcular una velocidadinstantaacutenea si la medimos enun tiempo muy corto tancorto que la velocidad novaria en dicho tiempo O seapodemos expresar esto enlenguaje matemaacutetico como
= limΔtrarr0ΔxΔt
(4)
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Velocidad Instantaacutenea II
depende de la posicioacuten
La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda
=dxdt
(5)
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Aceleracioacuten
Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos
Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional
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Otro Problema con la Curva
Tiempo
Posicion
En reposo
Velocidad decrusero
bc bc
bc
Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten
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Aceleracioacuten Media
Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media
a =Δ
Δt(6)
Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con
a =5 ms15 s
= 333 ms2
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Aceleracioacuten Instantaacutenea
Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante
a = limΔtrarr0Δ
Δt=
ddt
(7)
en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles
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Aceleracioacuten Constante I
Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0
Δ = (t)minus 0
y correspondientemente el tiempo transcurrido sera
Δt = t minus t0
Por ello la aceleracioacuten sera
a =Δ
Δt=
(t)minus 0
t minus t0(8)
y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene
(t) = 0 + a(t minus t0)
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Aceleracioacuten Constante II
Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a
(t) = 0 + at (9)
Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando
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Aceleracioacuten Gravitacional I
Torre de Pisa (Italia)
Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento
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Aceleracioacuten Gravitacional II
z
z lt 0
a = minusg
bc
bc
Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que
(t) = 0 minus gt (10)
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Aceleracioacuten Gravitacional III
z
z gt 0
a = +g
bc
bc
En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva
(t) = 0 + gt (11)
La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo
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Posicioacuten
Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos
Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad
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Calculo del Camino
Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo
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Aacuterea Curva v-t I
tΔt
Δt = Δx
Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es
Area = Δt
Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt
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Aacuterea Curva v-t II
tt1
t2
Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido
Δx =sum
k
Δxk =sum
k
kΔtk
en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral
Δx =sum
k
limΔtkrarr0kΔtk =int t2
t1
(t)dt
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Caso Aceleracioacuten Constante I
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo
0t
y un triangulo
12
at sdot t =12
at2
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Caso Aceleracioacuten Constante II
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Con ello el camino recorridoΔx es
Δx = 0t +12
at2
o empleando (1)
x(t)minus x0 = 0t +12
at2
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo II
Sin embargo los 81 kmhrcontinuacutean siendo unavelocidad media en eltrayecto Valdivia - TemucoIncluso en dicho tramo debende existir fluctuacionesPrimer esta el hecho queentre Valdivia y San Jose existecarretera y luego entreSan Jose y Temuco autopistaFuera de eso existen curvastrafico maniobras deadelantar etc iquestCoacutemopodemos entonces calcularuna velocidad instantaacutenea
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Velocidad Instantaacutenea I
La velocidad en la montantildearusa
De los ejemplos anterioresvemos que solo podemoscalcular una velocidadinstantaacutenea si la medimos enun tiempo muy corto tancorto que la velocidad novaria en dicho tiempo O seapodemos expresar esto enlenguaje matemaacutetico como
= limΔtrarr0ΔxΔt
(4)
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Velocidad Instantaacutenea II
depende de la posicioacuten
La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda
=dxdt
(5)
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Aceleracioacuten
Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos
Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional
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Otro Problema con la Curva
Tiempo
Posicion
En reposo
Velocidad decrusero
bc bc
bc
Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten
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Aceleracioacuten Media
Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media
a =Δ
Δt(6)
Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con
a =5 ms15 s
= 333 ms2
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Aceleracioacuten Instantaacutenea
Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante
a = limΔtrarr0Δ
Δt=
ddt
(7)
en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles
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Aceleracioacuten Constante I
Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0
Δ = (t)minus 0
y correspondientemente el tiempo transcurrido sera
Δt = t minus t0
Por ello la aceleracioacuten sera
a =Δ
Δt=
(t)minus 0
t minus t0(8)
y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene
(t) = 0 + a(t minus t0)
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Aceleracioacuten Constante II
Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a
(t) = 0 + at (9)
Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando
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Aceleracioacuten Gravitacional I
Torre de Pisa (Italia)
Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento
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Aceleracioacuten Gravitacional II
z
z lt 0
a = minusg
bc
bc
Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que
(t) = 0 minus gt (10)
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Aceleracioacuten Gravitacional III
z
z gt 0
a = +g
bc
bc
En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva
(t) = 0 + gt (11)
La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo
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Posicioacuten
Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos
Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad
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Calculo del Camino
Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo
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Aacuterea Curva v-t I
tΔt
Δt = Δx
Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es
Area = Δt
Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt
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Aacuterea Curva v-t II
tt1
t2
Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido
Δx =sum
k
Δxk =sum
k
kΔtk
en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral
Δx =sum
k
limΔtkrarr0kΔtk =int t2
t1
(t)dt
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Caso Aceleracioacuten Constante I
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo
0t
y un triangulo
12
at sdot t =12
at2
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Caso Aceleracioacuten Constante II
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Con ello el camino recorridoΔx es
Δx = 0t +12
at2
o empleando (1)
x(t)minus x0 = 0t +12
at2
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
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Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
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Velocidad Instantaacutenea I
La velocidad en la montantildearusa
De los ejemplos anterioresvemos que solo podemoscalcular una velocidadinstantaacutenea si la medimos enun tiempo muy corto tancorto que la velocidad novaria en dicho tiempo O seapodemos expresar esto enlenguaje matemaacutetico como
= limΔtrarr0ΔxΔt
(4)
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Velocidad Instantaacutenea II
depende de la posicioacuten
La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda
=dxdt
(5)
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Aceleracioacuten
Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos
Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional
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Otro Problema con la Curva
Tiempo
Posicion
En reposo
Velocidad decrusero
bc bc
bc
Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten
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Aceleracioacuten Media
Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media
a =Δ
Δt(6)
Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con
a =5 ms15 s
= 333 ms2
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Aceleracioacuten Instantaacutenea
Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante
a = limΔtrarr0Δ
Δt=
ddt
(7)
en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles
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Aceleracioacuten Constante I
Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0
Δ = (t)minus 0
y correspondientemente el tiempo transcurrido sera
Δt = t minus t0
Por ello la aceleracioacuten sera
a =Δ
Δt=
(t)minus 0
t minus t0(8)
y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene
(t) = 0 + a(t minus t0)
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Aceleracioacuten Constante II
Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a
(t) = 0 + at (9)
Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando
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Aceleracioacuten Gravitacional I
Torre de Pisa (Italia)
Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento
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Aceleracioacuten Gravitacional II
z
z lt 0
a = minusg
bc
bc
Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que
(t) = 0 minus gt (10)
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Aceleracioacuten Gravitacional III
z
z gt 0
a = +g
bc
bc
En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva
(t) = 0 + gt (11)
La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo
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Posicioacuten
Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos
Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad
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Calculo del Camino
Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo
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Aacuterea Curva v-t I
tΔt
Δt = Δx
Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es
Area = Δt
Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt
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Aacuterea Curva v-t II
tt1
t2
Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido
Δx =sum
k
Δxk =sum
k
kΔtk
en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral
Δx =sum
k
limΔtkrarr0kΔtk =int t2
t1
(t)dt
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Caso Aceleracioacuten Constante I
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo
0t
y un triangulo
12
at sdot t =12
at2
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Caso Aceleracioacuten Constante II
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Con ello el camino recorridoΔx es
Δx = 0t +12
at2
o empleando (1)
x(t)minus x0 = 0t +12
at2
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
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Velocidad Instantaacutenea II
depende de la posicioacuten
La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda
=dxdt
(5)
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Aceleracioacuten
Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos
Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional
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Otro Problema con la Curva
Tiempo
Posicion
En reposo
Velocidad decrusero
bc bc
bc
Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten
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Aceleracioacuten Media
Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media
a =Δ
Δt(6)
Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con
a =5 ms15 s
= 333 ms2
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Aceleracioacuten Instantaacutenea
Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante
a = limΔtrarr0Δ
Δt=
ddt
(7)
en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles
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Aceleracioacuten Constante I
Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0
Δ = (t)minus 0
y correspondientemente el tiempo transcurrido sera
Δt = t minus t0
Por ello la aceleracioacuten sera
a =Δ
Δt=
(t)minus 0
t minus t0(8)
y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene
(t) = 0 + a(t minus t0)
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Aceleracioacuten Constante II
Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a
(t) = 0 + at (9)
Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando
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Aceleracioacuten Gravitacional I
Torre de Pisa (Italia)
Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento
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Aceleracioacuten Gravitacional II
z
z lt 0
a = minusg
bc
bc
Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que
(t) = 0 minus gt (10)
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Aceleracioacuten Gravitacional III
z
z gt 0
a = +g
bc
bc
En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva
(t) = 0 + gt (11)
La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo
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Posicioacuten
Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos
Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad
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Calculo del Camino
Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo
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Aacuterea Curva v-t I
tΔt
Δt = Δx
Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es
Area = Δt
Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt
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Aacuterea Curva v-t II
tt1
t2
Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido
Δx =sum
k
Δxk =sum
k
kΔtk
en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral
Δx =sum
k
limΔtkrarr0kΔtk =int t2
t1
(t)dt
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Caso Aceleracioacuten Constante I
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo
0t
y un triangulo
12
at sdot t =12
at2
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Caso Aceleracioacuten Constante II
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Con ello el camino recorridoΔx es
Δx = 0t +12
at2
o empleando (1)
x(t)minus x0 = 0t +12
at2
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Aceleracioacuten
Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos
Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional
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Otro Problema con la Curva
Tiempo
Posicion
En reposo
Velocidad decrusero
bc bc
bc
Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten
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Aceleracioacuten Media
Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media
a =Δ
Δt(6)
Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con
a =5 ms15 s
= 333 ms2
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Aceleracioacuten Instantaacutenea
Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante
a = limΔtrarr0Δ
Δt=
ddt
(7)
en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles
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Aceleracioacuten Constante I
Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0
Δ = (t)minus 0
y correspondientemente el tiempo transcurrido sera
Δt = t minus t0
Por ello la aceleracioacuten sera
a =Δ
Δt=
(t)minus 0
t minus t0(8)
y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene
(t) = 0 + a(t minus t0)
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Aceleracioacuten Constante II
Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a
(t) = 0 + at (9)
Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando
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Aceleracioacuten Gravitacional I
Torre de Pisa (Italia)
Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento
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Aceleracioacuten Gravitacional II
z
z lt 0
a = minusg
bc
bc
Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que
(t) = 0 minus gt (10)
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Aceleracioacuten Gravitacional III
z
z gt 0
a = +g
bc
bc
En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva
(t) = 0 + gt (11)
La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo
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Posicioacuten
Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos
Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad
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Calculo del Camino
Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo
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Aacuterea Curva v-t I
tΔt
Δt = Δx
Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es
Area = Δt
Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt
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Aacuterea Curva v-t II
tt1
t2
Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido
Δx =sum
k
Δxk =sum
k
kΔtk
en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral
Δx =sum
k
limΔtkrarr0kΔtk =int t2
t1
(t)dt
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Caso Aceleracioacuten Constante I
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo
0t
y un triangulo
12
at sdot t =12
at2
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Caso Aceleracioacuten Constante II
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Con ello el camino recorridoΔx es
Δx = 0t +12
at2
o empleando (1)
x(t)minus x0 = 0t +12
at2
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
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Otro Problema con la Curva
Tiempo
Posicion
En reposo
Velocidad decrusero
bc bc
bc
Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten
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Aceleracioacuten Media
Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media
a =Δ
Δt(6)
Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con
a =5 ms15 s
= 333 ms2
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Aceleracioacuten Instantaacutenea
Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante
a = limΔtrarr0Δ
Δt=
ddt
(7)
en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles
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Aceleracioacuten Constante I
Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0
Δ = (t)minus 0
y correspondientemente el tiempo transcurrido sera
Δt = t minus t0
Por ello la aceleracioacuten sera
a =Δ
Δt=
(t)minus 0
t minus t0(8)
y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene
(t) = 0 + a(t minus t0)
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Aceleracioacuten Constante II
Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a
(t) = 0 + at (9)
Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando
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Aceleracioacuten Gravitacional I
Torre de Pisa (Italia)
Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento
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Aceleracioacuten Gravitacional II
z
z lt 0
a = minusg
bc
bc
Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que
(t) = 0 minus gt (10)
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Aceleracioacuten Gravitacional III
z
z gt 0
a = +g
bc
bc
En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva
(t) = 0 + gt (11)
La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo
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Posicioacuten
Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos
Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad
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Calculo del Camino
Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo
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Aacuterea Curva v-t I
tΔt
Δt = Δx
Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es
Area = Δt
Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt
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Aacuterea Curva v-t II
tt1
t2
Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido
Δx =sum
k
Δxk =sum
k
kΔtk
en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral
Δx =sum
k
limΔtkrarr0kΔtk =int t2
t1
(t)dt
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Caso Aceleracioacuten Constante I
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo
0t
y un triangulo
12
at sdot t =12
at2
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Caso Aceleracioacuten Constante II
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Con ello el camino recorridoΔx es
Δx = 0t +12
at2
o empleando (1)
x(t)minus x0 = 0t +12
at2
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
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Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
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Aceleracioacuten Media
Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media
a =Δ
Δt(6)
Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con
a =5 ms15 s
= 333 ms2
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Aceleracioacuten Instantaacutenea
Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante
a = limΔtrarr0Δ
Δt=
ddt
(7)
en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles
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Aceleracioacuten Constante I
Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0
Δ = (t)minus 0
y correspondientemente el tiempo transcurrido sera
Δt = t minus t0
Por ello la aceleracioacuten sera
a =Δ
Δt=
(t)minus 0
t minus t0(8)
y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene
(t) = 0 + a(t minus t0)
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Aceleracioacuten Constante II
Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a
(t) = 0 + at (9)
Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando
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Aceleracioacuten Gravitacional I
Torre de Pisa (Italia)
Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento
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Aceleracioacuten Gravitacional II
z
z lt 0
a = minusg
bc
bc
Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que
(t) = 0 minus gt (10)
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Aceleracioacuten Gravitacional III
z
z gt 0
a = +g
bc
bc
En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva
(t) = 0 + gt (11)
La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo
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Posicioacuten
Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos
Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad
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Calculo del Camino
Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo
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Aacuterea Curva v-t I
tΔt
Δt = Δx
Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es
Area = Δt
Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt
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Aacuterea Curva v-t II
tt1
t2
Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido
Δx =sum
k
Δxk =sum
k
kΔtk
en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral
Δx =sum
k
limΔtkrarr0kΔtk =int t2
t1
(t)dt
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Caso Aceleracioacuten Constante I
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo
0t
y un triangulo
12
at sdot t =12
at2
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Caso Aceleracioacuten Constante II
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Con ello el camino recorridoΔx es
Δx = 0t +12
at2
o empleando (1)
x(t)minus x0 = 0t +12
at2
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
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1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
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1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
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Aceleracioacuten Instantaacutenea
Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante
a = limΔtrarr0Δ
Δt=
ddt
(7)
en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles
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Aceleracioacuten Constante I
Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0
Δ = (t)minus 0
y correspondientemente el tiempo transcurrido sera
Δt = t minus t0
Por ello la aceleracioacuten sera
a =Δ
Δt=
(t)minus 0
t minus t0(8)
y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene
(t) = 0 + a(t minus t0)
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Aceleracioacuten Constante II
Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a
(t) = 0 + at (9)
Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando
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Aceleracioacuten Gravitacional I
Torre de Pisa (Italia)
Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento
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Aceleracioacuten Gravitacional II
z
z lt 0
a = minusg
bc
bc
Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que
(t) = 0 minus gt (10)
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Aceleracioacuten Gravitacional III
z
z gt 0
a = +g
bc
bc
En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva
(t) = 0 + gt (11)
La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo
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Posicioacuten
Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos
Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad
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Calculo del Camino
Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo
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Aacuterea Curva v-t I
tΔt
Δt = Δx
Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es
Area = Δt
Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt
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Aacuterea Curva v-t II
tt1
t2
Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido
Δx =sum
k
Δxk =sum
k
kΔtk
en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral
Δx =sum
k
limΔtkrarr0kΔtk =int t2
t1
(t)dt
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Caso Aceleracioacuten Constante I
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo
0t
y un triangulo
12
at sdot t =12
at2
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Caso Aceleracioacuten Constante II
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Con ello el camino recorridoΔx es
Δx = 0t +12
at2
o empleando (1)
x(t)minus x0 = 0t +12
at2
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Aceleracioacuten Constante I
Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0
Δ = (t)minus 0
y correspondientemente el tiempo transcurrido sera
Δt = t minus t0
Por ello la aceleracioacuten sera
a =Δ
Δt=
(t)minus 0
t minus t0(8)
y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene
(t) = 0 + a(t minus t0)
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Aceleracioacuten Constante II
Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a
(t) = 0 + at (9)
Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando
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Aceleracioacuten Gravitacional I
Torre de Pisa (Italia)
Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento
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Aceleracioacuten Gravitacional II
z
z lt 0
a = minusg
bc
bc
Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que
(t) = 0 minus gt (10)
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Aceleracioacuten Gravitacional III
z
z gt 0
a = +g
bc
bc
En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva
(t) = 0 + gt (11)
La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo
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Posicioacuten
Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos
Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad
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Calculo del Camino
Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo
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Aacuterea Curva v-t I
tΔt
Δt = Δx
Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es
Area = Δt
Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt
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Aacuterea Curva v-t II
tt1
t2
Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido
Δx =sum
k
Δxk =sum
k
kΔtk
en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral
Δx =sum
k
limΔtkrarr0kΔtk =int t2
t1
(t)dt
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Caso Aceleracioacuten Constante I
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo
0t
y un triangulo
12
at sdot t =12
at2
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Caso Aceleracioacuten Constante II
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Con ello el camino recorridoΔx es
Δx = 0t +12
at2
o empleando (1)
x(t)minus x0 = 0t +12
at2
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
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Aceleracioacuten Constante II
Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a
(t) = 0 + at (9)
Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando
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Aceleracioacuten Gravitacional I
Torre de Pisa (Italia)
Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento
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Aceleracioacuten Gravitacional II
z
z lt 0
a = minusg
bc
bc
Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que
(t) = 0 minus gt (10)
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Aceleracioacuten Gravitacional III
z
z gt 0
a = +g
bc
bc
En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva
(t) = 0 + gt (11)
La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo
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Posicioacuten
Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos
Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad
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Calculo del Camino
Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo
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Aacuterea Curva v-t I
tΔt
Δt = Δx
Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es
Area = Δt
Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt
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Aacuterea Curva v-t II
tt1
t2
Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido
Δx =sum
k
Δxk =sum
k
kΔtk
en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral
Δx =sum
k
limΔtkrarr0kΔtk =int t2
t1
(t)dt
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Caso Aceleracioacuten Constante I
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo
0t
y un triangulo
12
at sdot t =12
at2
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Caso Aceleracioacuten Constante II
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Con ello el camino recorridoΔx es
Δx = 0t +12
at2
o empleando (1)
x(t)minus x0 = 0t +12
at2
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
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Aceleracioacuten Gravitacional I
Torre de Pisa (Italia)
Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento
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Aceleracioacuten Gravitacional II
z
z lt 0
a = minusg
bc
bc
Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que
(t) = 0 minus gt (10)
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Aceleracioacuten Gravitacional III
z
z gt 0
a = +g
bc
bc
En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva
(t) = 0 + gt (11)
La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo
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Posicioacuten
Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos
Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad
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Calculo del Camino
Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo
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Aacuterea Curva v-t I
tΔt
Δt = Δx
Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es
Area = Δt
Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt
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Aacuterea Curva v-t II
tt1
t2
Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido
Δx =sum
k
Δxk =sum
k
kΔtk
en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral
Δx =sum
k
limΔtkrarr0kΔtk =int t2
t1
(t)dt
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Caso Aceleracioacuten Constante I
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo
0t
y un triangulo
12
at sdot t =12
at2
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Caso Aceleracioacuten Constante II
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Con ello el camino recorridoΔx es
Δx = 0t +12
at2
o empleando (1)
x(t)minus x0 = 0t +12
at2
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
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Aceleracioacuten Gravitacional II
z
z lt 0
a = minusg
bc
bc
Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que
(t) = 0 minus gt (10)
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Aceleracioacuten Gravitacional III
z
z gt 0
a = +g
bc
bc
En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva
(t) = 0 + gt (11)
La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo
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Posicioacuten
Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos
Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad
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Calculo del Camino
Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo
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Aacuterea Curva v-t I
tΔt
Δt = Δx
Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es
Area = Δt
Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt
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Aacuterea Curva v-t II
tt1
t2
Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido
Δx =sum
k
Δxk =sum
k
kΔtk
en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral
Δx =sum
k
limΔtkrarr0kΔtk =int t2
t1
(t)dt
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Caso Aceleracioacuten Constante I
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo
0t
y un triangulo
12
at sdot t =12
at2
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Caso Aceleracioacuten Constante II
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Con ello el camino recorridoΔx es
Δx = 0t +12
at2
o empleando (1)
x(t)minus x0 = 0t +12
at2
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
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Aceleracioacuten Gravitacional III
z
z gt 0
a = +g
bc
bc
En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva
(t) = 0 + gt (11)
La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo
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Posicioacuten
Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos
Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad
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Calculo del Camino
Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo
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Aacuterea Curva v-t I
tΔt
Δt = Δx
Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es
Area = Δt
Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt
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Aacuterea Curva v-t II
tt1
t2
Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido
Δx =sum
k
Δxk =sum
k
kΔtk
en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral
Δx =sum
k
limΔtkrarr0kΔtk =int t2
t1
(t)dt
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Caso Aceleracioacuten Constante I
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo
0t
y un triangulo
12
at sdot t =12
at2
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Caso Aceleracioacuten Constante II
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Con ello el camino recorridoΔx es
Δx = 0t +12
at2
o empleando (1)
x(t)minus x0 = 0t +12
at2
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
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Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
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Posicioacuten
Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos
Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad
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Calculo del Camino
Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo
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Aacuterea Curva v-t I
tΔt
Δt = Δx
Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es
Area = Δt
Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt
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Aacuterea Curva v-t II
tt1
t2
Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido
Δx =sum
k
Δxk =sum
k
kΔtk
en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral
Δx =sum
k
limΔtkrarr0kΔtk =int t2
t1
(t)dt
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Caso Aceleracioacuten Constante I
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo
0t
y un triangulo
12
at sdot t =12
at2
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Caso Aceleracioacuten Constante II
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Con ello el camino recorridoΔx es
Δx = 0t +12
at2
o empleando (1)
x(t)minus x0 = 0t +12
at2
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Calculo del Camino
Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo
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Aacuterea Curva v-t I
tΔt
Δt = Δx
Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es
Area = Δt
Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt
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Aacuterea Curva v-t II
tt1
t2
Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido
Δx =sum
k
Δxk =sum
k
kΔtk
en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral
Δx =sum
k
limΔtkrarr0kΔtk =int t2
t1
(t)dt
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Caso Aceleracioacuten Constante I
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo
0t
y un triangulo
12
at sdot t =12
at2
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Caso Aceleracioacuten Constante II
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Con ello el camino recorridoΔx es
Δx = 0t +12
at2
o empleando (1)
x(t)minus x0 = 0t +12
at2
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
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Aacuterea Curva v-t I
tΔt
Δt = Δx
Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es
Area = Δt
Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt
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Aacuterea Curva v-t II
tt1
t2
Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido
Δx =sum
k
Δxk =sum
k
kΔtk
en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral
Δx =sum
k
limΔtkrarr0kΔtk =int t2
t1
(t)dt
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Caso Aceleracioacuten Constante I
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo
0t
y un triangulo
12
at sdot t =12
at2
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Caso Aceleracioacuten Constante II
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Con ello el camino recorridoΔx es
Δx = 0t +12
at2
o empleando (1)
x(t)minus x0 = 0t +12
at2
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
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Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
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Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Aacuterea Curva v-t II
tt1
t2
Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido
Δx =sum
k
Δxk =sum
k
kΔtk
en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral
Δx =sum
k
limΔtkrarr0kΔtk =int t2
t1
(t)dt
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Caso Aceleracioacuten Constante I
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo
0t
y un triangulo
12
at sdot t =12
at2
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Caso Aceleracioacuten Constante II
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Con ello el camino recorridoΔx es
Δx = 0t +12
at2
o empleando (1)
x(t)minus x0 = 0t +12
at2
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
W Gerber Fiacutesica en la Kinesiologiacutea - 12 Traslacioacuten - Teoriacutea 20082009 53 57
Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
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Caso Aceleracioacuten Constante I
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo
0t
y un triangulo
12
at sdot t =12
at2
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Caso Aceleracioacuten Constante II
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Con ello el camino recorridoΔx es
Δx = 0t +12
at2
o empleando (1)
x(t)minus x0 = 0t +12
at2
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
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Caso Aceleracioacuten Constante II
0
at(t)
0
t
12at sdot t
0t
bc
bc
bc
bc
Con ello el camino recorridoΔx es
Δx = 0t +12
at2
o empleando (1)
x(t)minus x0 = 0t +12
at2
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
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Ecuacioacuten de Movimiento
Si despejamos x(t) seobtiene asiacute
x(t) = x0 + 0t +12
at2 (12)
que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
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Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Contacto
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Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de(9)
t =(t)minus 0
a
y se introduce en (12) seobtiene
x = x0 +2
minus 20
2a(13)
Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
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x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
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Caminando
Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Contacto
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Observando I
Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
W Gerber Fiacutesica en la Kinesiologiacutea - 12 Traslacioacuten - Teoriacutea 20082009 53 57
Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
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Observando II
Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Observando III
Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
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ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
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Modelo Simplificado
En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de
h =
radic
l2 minusd2
4(14)
Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de
h = 065 m
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
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Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Aceleracioacuten del Pie I
Aceleracioacuten del Pie
Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)
x(t) =12
aat2 (15)
con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de
aa =2x(a)
2a
= 512 ms2
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
W Gerber Fiacutesica en la Kinesiologiacutea - 12 Traslacioacuten - Teoriacutea 20082009 55 57
Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
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Aceleracioacuten del Pie II
Aceleracioacuten del Pie
De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie
(t) = aat (16)
Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene
max = aaa = 256 ms
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
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Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Frenado del Pie I
Frenado del Pie
En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene
x(t) = maxt minus12
af t2 (17)
y para la velocidad (9)
(t) = max minus af t (18)
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
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Frenado del Pie II
Frenado del Pie
Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)
x =2
minus 2max
2af(19)
Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a
x(f ) =2
max
2af(20)
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
W Gerber Fiacutesica en la Kinesiologiacutea - 12 Traslacioacuten - Teoriacutea 20082009 53 57
Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
W Gerber Fiacutesica en la Kinesiologiacutea - 12 Traslacioacuten - Teoriacutea 20082009 55 57
Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
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Frenado del Pie III
Frenado del Pie
Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene
af =2
max
2x(f )= 607 ms2
Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo
2 = minus
max
af= 042 s
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
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Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
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Pie en Reposo
Desplazamiento Caderay Pie
Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)
=x(a) + x(f )
a + f + r= 0833 ms
que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
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Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
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Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
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Movimiento de la Rodilla II
xc
xk
xt
h
l1
l2
Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que
h =radic
l21 minus (xk minus xt)2
+radic
l22 minus (xk minus xc)2
(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia III
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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Correr
Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten
En la proacutexima clase veremos que causa este efecto
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Posicioacuten de la Rodilla
Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene
xk = xk1 + xk2 (22)
con
xk1 =hradic
(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2
minus (l1 minus l2)2 + h2)
2((xt minus xc)2 + h2)(23)
y
xk2 =x3
t minus xcx2t minus x2
cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)
2((xt minus xc)2 + h2)(24)
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
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1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
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1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
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1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
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1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
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Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books
Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books
Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books
ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books
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Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books
Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books
Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books
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Bibliografia IV
Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books
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