Universidad Fermín ToroDepartamento de Formación General

Escuela de IngenieríaCabudare

Integrante:Keilyn quevedoC.I: 24.537.434Seccion : saia A

Estructura Discreta Unidad I

Objetivo Unidad 1

Basados en la revisión bibliográfica, la discusión y ejercitación dirigida,

experimentar los métodos de demostración directa e indirecta.

Objetivos Específicos

Preguntas:

1. Definir, previa revisión Bibliográfica una proposición.

2. Identificar los conectivos lógicos de una proposición.

3. Identificar las distintas formas proposicionales.

4. Conocer las leyes del Álgebra proposicional.

5. Aplicar algunos métodos de demostración en Matemática e Ingeniería.

6. Construir una red de circuitos lógicos de una forma proposicional.

 

1. Definir, previa revisión Bibliográfica una proposiciónUna proposición es un enunciado cuyo contenido está sujeto a ser calificado como "verdadero" o "falso", pero no ambas cosas a la vez, es decir, toda proposición tiene una y solamente una alternativa 1: Verdadero 0: Falso

Ejemplo:

3+15=23 (F)

Algunos estudiantes son universitarios (v).

 

2. Identificar los conectivos lógicos de una proposición. 

Conectivos lógicos u operadores lógicos: son símbolos o conectivos que nos permiten construir otras proposiones; o simplemente unir dos o más proposiciones, a partir de proposiciones dadas. Existen una variedad de conectivos lógicos los cuales son:

Conectiva de la Negación: Sea p una proposición, la negación de p es otra proposición identificada por: ~ p, que se lee "no p", "no es cierto que p", "es falso que p", y cuyo valor lógico está dado por la negación de dicha proposición. 

P -P

V V

F F

P Q P^Q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

La conjunción:

 Sean p y q dos proposiciones. La conjunción de p y q es la proposición p Ù q, que se lee "p y q", y cuyo valor lógico está dado con la tabla o igualdad siguiente:

 Tabla de Verdad

La Disyunción inclusiva: Definición: Sean p y q dos proposiciones. La disyunción de p y q es la proposición p vq, que se lee "p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla siguiente:

Conectividad condicional Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “Si…….entonces…….” , cuyo símbolo es “ -> ” y se llama implicador. Ejemplo:  Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 3 (Verdadera). Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 4 (Falsa).

Tabla de la Verdad

P Q P- >Q1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

P Q P< - >Q

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

El Bicondicional:Sean p y q dos proposiciones. Se llama Bicondicional de p y qa la proposición p « q, que se lee "p si sólo si q", o "p es condición necesaria y suficiente para q", y cuyo valor lógico es dado por la siguiente tabla.

3. Identificar las distintas formas proposicionales.

Proposición Tautológica o Tautología

 Definición:Es aquella proposición molecular que es verdadera (es decir, todos los valores de verdad que aparecen en su tabla de verdad son 1) independientemente de los valores de sus variables. Ejemplo:Probar que P Ú ~ P es una tautología  P Ú ~ P1 1 00 1 1 

Contradicción

 Definición:Es aquella proposición molecular que siempre es falsa (es decir cuando los valores de verdad que aparecen en su tabla de verdad son todos 0) independientemente de los valores de sus variables proposicionales que la forman. Por ejemplo, la proposición molecular del ejemplo siguiente es una contradicción, p Ù ~ p, para chequearlo recurrimos al método de las tablas de verdad. Ejemplo: Probar que p Ù ~ p es una contradicción P Ù ~ p1 0 00 0 1

4. Conocer las leyes del Álgebra proposicional

Las leyes de álgebra de proposiciones son equivalencias lógicas que se pueden

demostrar con el desarrollo de las tablas de verdad del bicondicional. Las leyes de

álgebra de proposiciones son las siguientes:

5. Aplicar algunos métodos de demostración en Matemática e Ingeniería. 

Método directo

En matemática

Si n es un par entero. Demostrar, en forma directa el siguiente teorema

Si n es par, entonces n2 es par

n es par→ n2 es par

 

Demostración

1. n es par R: hipótesis

2. n = 2k, para algún entero k R: Definición de numero par

3. n2 = (2k2) R:: de 2 elevado al cuadrado

4. n2= 4k2 R: : de 3 potencia de producto

5. n2= 2(4k2 ) R: de 4, por descomposición de factores

6. n2 = 2k1 R: de 5, haciendo k1 = 2k2

7. n2 es par R: de 6, definición de numero par

 

Método indirecto

Este se basa en 2 métodos, método del contrarreciproco y método de reducción al absurdo

 

Método del contrarreciproco

Sea un número entero. Demostrar, mediante el método del contrarreciproco, el siguiente teorema:

Si n2 es par, entonces n es par.

Si n2 es par ® n es par

Solución

El contrarreciproco del teorema es:

n no es par ® n2 no es par

n es impar ® n2 es impar

Probemos esto último

1. n es impar R: hipótesis

2. n = 2k + 1, para algún entero k R: definición de un número entero impar.

3. n = (2k+1)2 R: de 2, elevado al cuadrado

4. n2 = 4k2 + 2(2k)(1) + 1 R: de 3, cuadrado de un binomio

5. n2 = 2 (2k2 + 2k) +1 R: de 4, factorizando

6. n2 = 2k1 +1 R: de 4, haciendo k1 = 2k2 + 2k

7.n2 es impar R: de 6, pero definición de entero impar

Método de reducción al absurdo

Debemos probar la validez del razonamiento

Raíz de 2 es real Ù raíz de 2 no es irracional → 0 (contradicción)

Demostración

1. raíz de 2 es real R: hipótesis

2. raíz de 2 no es irracional R: hipótesis

3. raíz de 2 es racional R: de 1 y 2

4. raíz de 2 = n/m, donde a y b son enteros i y m es diferente de (cero) R:definición de racional

5. n y m son primos entre si R: simplificación de la fracción n/m

6. raíz de 2 m = n R : de 5 pasando b a multiplicar

7. 2m2 = n2 R: de 6 elevado al cuadrado

8. N2 es par R: de 7 por definición de par

9. n es par R: por el ejemplo 3

10.n= 2k, para algún entero k R: por definición de par

11. m2= 4k2 R: de 10 elevado al cuadrado

12. m2= 2(2k2) R. de 11 factorizando

13. m2 es numero par R: de 12 por definición de par

14. m es numero par R: de 13 por el ejemplo

15. n y m no son primos entre si R: de 9 y 14, 2 es factor común

16. n y m son y no son primos (contradicción) R: de 5 y 15 por la ley de conjunción

17. raíz de 2 es irracional R: Ley de reducción del absurdo

6. Construir una red de circuitos lógicos de una forma proposicional