Una aplicación de cálculo vectorial en mi carrera

FLUJO INCOMPRESIBLE NO VISCOSO

TRABAJO FINAL

UNIVERSIDAD POLITECNICO SANTIAGO MARIÑOEXTENSION SAN CRISTOBAL

C.I: 25.261.974

ESCUELA : 45

Alumnos: BORJAS DUARTE ROSSANA JOSE

Fecha de entrega

11/02/2016

3° SEMESTRE

El Cálculo es una herramienta fundamental para muchos temas de estudio de un ingeniero, ya que permite modelar matemáticamente situaciones reales como por ejemplo con aplicación a la industria.

De esta manera una aplicación, por ejemplo en el campo de Ingeniería Electrónica, aplicado a la industria es lo que respecta a fasores y al comportamiento de una señal eléctrica; así un fasor representa la magnitud y el desfase de un ángulo entre dos señales y èste presta un medio sencillo para analizar circuitos lineales excitados por fuentes senoidales en AC (corriente alterna). El fasor se relaciona con los vectores, solo que se llama fasor en lugar de vector, porque se basa mas en el tiempo que en el espacio y èste se puede representar en forma exponencial, polar o rectangular, así se puede aplicar en un circuito en el cual se busca la respuesta en estado estable y todas las fuentes independientes corresponden a una función seno y tienen la misma frecuencia. La representación fasorial es una transformación del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia.

Podemos ver que esto se relaciona directamente con el cálculo ya que un fasor es un vector que es utilizado para representar una onda de forma que el vector suma de varios fasores puede ser utilizado para determinar la magnitud y fase de varias ondas. Así como se mencionaba antes aplicado a la Electrónica los fasores se utilizan habitualmente en el análisis de circuitos en AC. Los fasores se usan para resolver problemas tal como, si existen varias ondas de frecuencia similar pero cada una de ellas tienen fases y amplitudes diferentes interfiriendo sobre un punto, lo que se pregunta es què puedo hacer yo para solucionar èsto y la respuesta es básicamente dibujar un fasor para cada una de las ondas y después aplicar la suma de vectores sobre ellos, así la suma de varias ondas sinusoidales de la misma frecuencia, permite leer la fase resultante como el ángulo del fasor resultante

v(t)=Vmcos(wt+b)

Lo anterior es la representación en el dominio del tiempo, ahora bien, lo que se trabaja como ya se ha mencionado varias veces, es la representación en el dominio fasorial trabajando con la frecuencia y esto es:

CÁLCULO VECTORIALEl cálculo vectorial proporciona una notación precisa para representar las ecuaciones matemáticas que sirven como modelo de las distintas situaciones físicas y, ayuda en gran medida a formar mentalmente la imagen de los conceptos físicos.1.1 MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALESSe llame magnitudes escalares a aquellas que quedan determinadas únicamente por su valor numérico. Son magnitudes escalares, por ejemplo: la temperatura, la masa de un cuerpo, el volumen, etc.Para definir otras magnitudes, además es necesario precisar otras características, como su dirección y sus sentido. Esta clase de magnitudes se llaman vectoriales y se representan gráficamente por medio de vectores. Ejemplos de magnitudes vectoriales serían la velocidad, la aceleración, o la fuerza.1.1.1 DEFINICIÓN DE VECTOR:Un vector es un segmento orientado en el espacio. Se puede caracterizar por cuatro elementos diferenciadores, que son:--Punto de aplicación u origen.--Dirección o línea de acción, que es la recta que contiene al vector.--Sentido del vector.--Módulo del vector, que es su longitud.Clasificaremos los vectores en libres, deslizantes, fijos y axiales.

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*Vectores libres. Vienen determinados por sus tres componentes cartesianas, tomamos como base de este sistema la base canónica, formada por los vectores y, j y k, perpendiculares entre sí y unitarios.Los vectores libres pueden trasladar su origen a cualquier punto del espacio manteniendo el módulo y el sentido constantes y su dirección paralela.Son ejemplos de vectores libres el momento de una fuerza o el vector que representa la fuerza que ejerce el viento sobre una cierta superficie.*Vectores deslizantes. Pueden trasladar su origen a lo largo de su línea de acción y vienen determinados por sus tres componentes cartesianas y por su recta soporte o línea de acción. Un ejemplo sería la fuerza que se ejerce sobre un sólido rígido.*Vectores fijos. Para determinarlos es necesario conocer sus cuatro elementos característicos; vienen dados pues por su módulo, dirección, sentido y punto de aplicación. Como ejemplo se puede citar la velocidad de una partícula móvil o la fuerza aplicada en un punto.*Vectores axiales. Son vectores que representan una magnitud angular. El módulo del vector indica el valor numérico de esa magnitud, la dirección del vector señala el eje de rotación, y el sentido del vector se hace corresponder con el sentido de giro a través de un convenio que se expresa mediante la regla de Maxwell: el sentido de la rotación es el sentido de giro de un sacacorchos cuando este avanza en el sentido que indica el vector. La velocidad angular de una partícula sometida a movimiento circular es un ejemplo de vector axial.Otras definiciones de vectores son las siguientes:1.-Vectores equipolentes son aquellos vectores libres que tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.2.- Los vectores de cualquier clase que tienen el mismo módulo, la misma dirección y sentidos contrarios se llaman vectores opuestos.1.2. Operaciones con vectores.La suma o resultante de dos vectores v1 y v2 es el vector que se obtiene de unir el origen de v1 con el extremo de v2, cuando éste se aplica en el extremo del primero.La definición vista para suma de vectores se llama regla de paralelogramo. La diferencia de dos vectores se define como el vector que resulta de sumar el primero con el opuesto del segundo.El producto de un número real k por un vector v es otro vector kv que tiene la misma dirección que v, el mismo sentido que v o el contrario, según que k sea positivo o negativo, y un módulo que resulta de multiplicar k por el módulo de v.Todo vector se puede expresar como el producto de su módulo por un vector unitario que tenga la misma dirección y el mismo sentido que él.1.2.3 PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORESEl producto escalar de dos vectores a y b es el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que esos vectores forman entre sí.El producto escalar de dos vectores es un escalar, y no un vector.--El producto escalar de dos vectores es igual que el producto escalar de uno de ellos por el vector de proyección ortogonal del otro sobre él.--El módulo de la proyección ortogonal de a sobre b es igual al producto escalar de a por b, dividido por el módulo de b, cuando la proyección an y b tienen el mismo sentido.--Si a y b son distintos de cero y ab es igual a cero, entonces los vectores a y b son perpendiculares.1.2.4 PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORESEl producto vectorial de a y b se designa por axb y tiene las siguientes características:--El módulo del producto vectorial es igual al producto de los módulos de los dos vectores por el seno del ángulo que forman.--La dirección de axb es la de la recta perpendicular a los vectores a y b.--El producto vectorial no es conmutativo.1.2.4.2. APLICACIONES DEL PRODUCTO VECTORIAL*Momento de un vector respecto de un punto. El momento se define como el producto vectorial del vector de posición del origen del vector respecto de O por el propio vector.

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*Momento de un par de vectores respecto de un punto. Se llama par de vectores al conjunto formado por dos vectores que tienen el mismo módulo, la misma dirección y sentidos contrarios. La suma o resultante de ambos es el vector nulo.*Momento de un vector con respecto a un eje. Se define como la proyección sobre dicho eje del momento de ese vector con respecto a un punto cualquiera del eje. El momento es independiente del punto elegido sobre el eje.1.3 DERIVACIÓN VECTORIAL.Cuando a cada punto (x, y, z) del espacio se le puede asociar un escalar que depende de sus coordenadas, F(x, y, z), se dice que hemos definido un campo escalar F. Un ejemplo de campo escalar sería el definido por las temperaturas en cada punto de la tierra en un instante determinado.Cuando un campo escalar es independiente del tiempo se llama campo escalar permanente o estacionario.Cuando un campo vectorial es independiente del tiempo se llama campo vectorial permanente o estacionario.VARIOS--Cuando decimos de una función que es derivable se quiere indicar que esa función tiene las primeras derivadas parciales continuas

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FLUJO INCOMPRESIBLE NO VISCOSO

Objetivos

Marco de Referenciaos conceptos de cálculo vectorial de los cuales se harán uso en el presente trabajo deben quedar bien definidos para el buen entendimiento de la teoría de fluidos. Para ello comenzaremos por definir lo que es un operador diferencial vectorial.L

Un operador diferencial vectorial es un operador lineal que actúa sobre campos vectoriales definidos sobre una variedad diferenciable.

Algunos ejemplos son

Operador rotacional

Operador gradiente Operador divergencia Operador laplaciano

El rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.

Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:

rot F ⃗ =∇×F ⃗Un campo cuyo rotacional es nulo en todos los puntos del espacio se denomina irrotacional o se dice que carece de fuentes vectoriales. Y si está definido sobre un dominio simplemente conexo entonces dicho campo puede expresarse como el gradiente de una función escalar, o dicho de otra forma, el campo deriva de un potencial (es decir, es conservativo):∇×f=0 en Ω simplemente conexo ⇒f=∇ϕ

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La divergenciade un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva, y si tiene "sumideros", la divergencia será negativa.

La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, y se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero:

Si div(F)<0 diremos que es un punto pozo o sumidero (compresion del fluido) Si div(F)>0 diremos que es un punto fuente (expansion de un fluido) Si div(F)=0 diremos que es un campo soleinoidal o incompresible (fluido incompresible)

El gradiente   de un campo escalar   es un campo vectorial. El vector gradiente de   evaluado en un

punto genérico   del dominio de   ( ), indica la dirección en la cual el campo   varía más rápidamente

y su módulo representa el ritmo de variación de   en la dirección de dicho vector gradiente. El gradiente se

representa con el operador diferencial nabla   seguido de la función. También puede representarse

mediante , o usando la notación . La generalización del concepto de gradiente a campos   vectoriales es el concepto de matriz Jacobiana.

El operador laplaciano o laplaciano es un operador diferencial elíptico de segundo orden, denotado como Δ, relacionado con ciertos problemas de minimización de ciertas magnitudes sobre un cierto dominio.Expresado en coordenadas cartesianas es igual a la suma de todas las segundas derivadas parciales no mixtas dependientes de una variable. Corresponde a div (grad φ), de donde el uso del

símbolo delta (Δ) o nabla cuadrado ( ) para representarlo. Si  , son un campo escalar y un campo vectorial respectivamente, el laplaciano de ambos puede escribirse en términos del operador nabla como:

Si div (grad (f))=0 diremos que es una función armónica

Marco de ReferenciaEl análisis aerodinámico de un vehículo se ha venido haciendo a través de la historia y hasta la actualidad utilizando el tradicional túnel de viento y las técnicas de ensayo en ruta. Este procedimiento tiene la ventaja que estamos frente a la observación experimental, tiene como inconvenientes el hecho de insumir un gran tiempo de desarrollo, un esfuerzo humano importante y un costo

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considerable para encontrar efectivamente lo que en definitiva es el objetivo del diseño de un vehículo, satisfacer la demanda del consumidor.

Sin embargo, para el diseño de cualquier vehículo dígase un avión, automóvil, hasta en la construcción de un barco, es de suma importancia el análisis detallado de los flujos de los fluidos que están en contacto con la superficie del móvil ya que, de esta forma se puede mejorar las medidas de seguridad y en otros casos la eficiencia de las maquinas.

Sabemos que los efectos viscosos quedan confinados, en flujos a altos números de Reynolds1(especialmente en flujos externos), dentro de la capa limite cerca de las superficies sólidas y a regiones desprendidas y estelas que aparecen cuando hay gradiente adverso de presiones. El flujo fuera de la capa limite es, esencialmente, no viscoso e incompresible.

Un flujo no viscoso es el flujo de un fluido ideal que se supone que no tienen viscosidad. En dinámica de fluidos hay problemas que se pueden resolver fácilmente mediante el supuesto simplificador de un flujo no viscoso, por lo que esta técnica nos brinda un análisis en cierto caso no tan detallado del flujo de un fluido,

pero sin embargo muy útil en el diseño geométrico de superficies sólidas.

Como se muestra en la figura la teoría no viscosa debería funcionar bien para los flujos externos de la figura, especialmente cerca de la parte frontal del cuerpo. Si hay desprendimiento de la capa limite en la parte posterior, la corriente desprendida deflactará y modificara las líneas de corriente no viscosas.

Para el desarrollo de dicha teoría se tendrá que recurrir a las principales ecuaciones del movimiento para un flujo no viscoso e incompresible, que son las de continuidad y cantidad de movimiento. En el presente trabajo, obtener dichas formulas no es nuestra prioridad por lo que no se explicaran a detalle su desarrollo.

Desarrollo Campo de velocidad

En el instante t, la velocidad u de cada elemento fluido centrado en (x, y, z) es una función vectorial u(x,y,z,t), que también indicaremos en forma compacta con u( xi,t) o u(r,t) donde r=(x,y,z). El campo de velocidad es un campo vectorial. Un

1Número adimensional que relaciona la densidad, viscosidad, velocidad y dimensión típica de un flujo en una expresión adimensional, y nos

indica si un flujo es laminar o turbulento

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ejemplo es el campo de velocidad de un fluido que rota con velocidad angular uniforme w alrededor de un eje ew. Este campo está representado en la figura

Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento

La ecuación de movimiento de un fluido expresa la Segunda Ley de Newton, esto es, que la tasa de cambio de la cantidad de movimiento de una dada porción de fluido es igual a la resultante de las fuerzas que actúan sobre esta porción. Existen diferentes formas, todas equivalentes, de escribir esta ley.

Forma integral lagrangiana (volumen material)

Sea V un volumen material rodeado por una superficie (obviamente también material) S. La cantidad de movimiento contenida en V es

Su derivada total respecto del tiempo (derivada material) es:

De forma diferencial

El potencial de velocidad

El movimiento de los fluidos perfectos (no viscosos) se describe mediante la ecuación de Euler (cantidad de movimiento):

Este tipo de flujos es muy importante pues en muchas situaciones de interés práctico, los efectos de la viscosidad de los fluidos reales quedan limitados a las regiones del espacio (muchas veces pequeñas) donde tienen lugar fuertes gradientes de la velocidad, mientras que en el grueso del flujo los efectos de la viscosidad son despreciables y el fluido se puede suponer ideal. En las regiones materiales de flujo ideal no se crea ni se destruye vorticosidad2, de manera que si en un dado instante ésta es nula, sigue siendo nula en todo otro momento, es por eso que estos flujos son irrotacionales, es decir que ∇ × = u 0 en todos los puntos del fluido. Si además el flujo es incompresible, el campo de velocidad satisface las condiciones

2Es una magnitud física empleada en mecánica de fluidos y en el mundo meteorológico para cuantificar la rotación de un fluido.

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La irrotacionalidad del campo de velocidad implica que v deriva de un potencial de velocidad φ, esto es

Donde la función escalar es el potencial de velocidades. La ecuación de la continuidad se convierte en la de Laplace

Y la de la cantidad de movimiento en la de Bernoulli

Muchos flujos de interés son esencialmente bidimensionales es decir, una de las tres coordenadas espaciales es ignorable y la correspondiente componente de la velocidad es nula (o unaconstante). Los flujos planos y los flujos con simetría axial son ejemplos de esta clase de flujos Consideremos los flujos planos. Es habitual elegir z como la coordenada ignorable, y que el flujo se desarrolla en el plano (x, y). En estos casos es útil introducir el concepto de la función corriente. Volvamos por un momento al caso general de un flujo incompresible en tres dimensiones. En virtud de la incompresibilidad, podemos siempre introducir una función vectorial A tal que:

En general el interés práctico de A es escaso, dado que estamos sustituyendo el campo de velocidad a determinar por otro campo vectorial, con lo cual no se hace un progreso significativo. Pero en el caso de los flujos planos, sí existe una ventaja, pues el campo de velocidad tiene sólo las componentes ux y uy que además no dependen de z. Por este motivo, la única componente no nula de A es Az ≡ψ, y de acuerdo a la ecuación de arriba se cumple que:

La función ψ se denomina función corriente y representa, como hemos visto, la componente perpendicular al plano del flujo del potencial vectorial A. Cabe observar que es posible introducir la función corriente para todos los flujos bidimensionales incompresibles (sean o no viscosos y sean o no irrotacionales), pues

basta que el flujo cumpla la condición ∇⋅u = 0. Por el contrario, el potencial de velocidad sólo se puede introducir para flujos irrotacionales (que por lo tanto son necesariamente invíscidos, barotrópicos y gobernados por fuerzas de volumen conservativas), pero no está limitado a los flujos bidimensionales.

Soluciones elementales en flujos planos

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Se puede construir varios flujos potenciales de interés a partir de tres tipos de soluciones elementales.

1. Corriente uniforme 2. Fuente o sumideros3. Torbellinos

Se pueden sumar los potenciales y las funciones de corriente de estos tres casos para generar varios resultados útiles. Para hacer esto contamos con el principio de superposición, que es válido por que la ecuación de Laplace es lineal. Sin embargo nuestro principal objetivo es definir los tres flujos potenciales más importantes.

Corriente uniforme.

Una corriente de velocidad U∞ constante tiene derivadas espaciales nulas y, por tanto, satisface idénticamente la condición de irrotacionalidad y la ecuación de continuidad. Supongamos primero que la corriente es en la dirección del eje x, las funciones φ y ψ resultantes son:

Integrando, obtenemos

Como las constantes C1 y C2 no afectan ni a las velocidades ni a las presiones, las ignoraremos

Esto es útil para problemas de perfil con ángulo de ataque.3

(a) Corriente en la dirección x, (b) Corriente a un ángulo α

Fuentes o sumideros

Supongamos un tubo delgado situado en el eje z, que estuviese perforado y emitiese transversalmente un caudal uniforme a lo largo de su longitud. Mirando a lo largo del eje z, veríamos un

3Ángulo que forman la cuerda geométrica de un perfil alar con la dirección del aire incidente.

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flujo radial como se muestra esquemáticamente en la figura. En flujo estacionario, la cantidad de fluido que atraviesa una superficie cilíndrica de radio r, cualquiera y longitud b es constante.

ó

Donde m es una constante. Si m es positivo tenemos una línea de fuentes o fuente bidimensional y un sumidero bidimensional si m es negativo. Obviamente las líneas de corriente de la fuente apuntan hacia afuera como se muestra en la figura, y la velocidad tangencial vϴ=0. Podemos obtener φ y ψ en coordenadas polares.

Integrando, obtenemos

Línea de fuentes o sumideros: las cuales tienen una forma más simple que las cartesianas.

Torbellino bidimensional

Supongamos ahora que invertimos los papeles de φ y ψ en la ecuación tendremos

Derivando cualquiera de ellas se obtiene la velocidad

Es un flujo circulatorio puro con una velocidad tangencial que disminuye como 1/r. Esta tiene una singularidad en el origen, donde la velocidad es infinita y φ y ψ no están definidas. De nuevo el núcleo del torbellino debe estar oculto en el interior de un cuerpo. La intensidad del torbellino K tiene las mismas dimensiones que la intensidad m de la fuente, esto es, velocidad por longitud.

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ConclusionesEste trabajo demuestra la importancia del cálculo vectorial en la carrera de mecánica, principalmente en mecánica de fluidos, aunque no solo se limita en mecánica sino tiene diversas aplicaciones en la mayoría de las ramas de la ingeniería, ya que nos facilita problemas comunes en la vida cotidiana.

En lo que concierne al tema desarrollado, la mecánica de fluidos es una ciencia un tanto compleja y abstracta que tienen una gran importancia en el mundo físico, y para poder comprenderla se requiere una serie de conocimientos previos y puntuales sobre matemáticas, en este caso hicimos uso de los conceptos de cálculo vectorial para explicar de un manera muy somerauna técnica para el análisis detallado de los flujos, el cual dichos análisis son importantes en el diseño de diversas piezas sólidas, desde un vehículo, bombas, hélices, turbinas, hasta en el construcción de rascacielos, ya que todas ellas se presentan en continuo contacto con un fluido, ya se liquidó o gaseoso; si no se considerasen dichos análisis y cálculos, los efectos serian catastróficos para los individuos. Sin embargo, algunos de los elementos a diseñar, el flujo de un fluido no provoca efectos considerables por lo que se hace uso de la técnica de cierto modo más sencilla para el análisis de flujos incompresibles no viscosos,donde un flujo no viscoso es el flujo de un fluido ideal que se supone que no tienen viscosidad.

Como conclusión final, cabe mencionar que se cumplieron los objetivos planteados, que me ayudaron a conocer más sobre lo que más adelante me espera en mi carrera, también me enriqueció en cuanto a ver las cosas de otra perspectiva, en tener un buen entendimiento interdisciplinario y relacionar todas las materias para que al final se concentren diversas herramientas que me ayudaran a solucionar cualquier problema que se me presente durante mi vida profesional.

Blibliografia y mesografia Frank M. White. (1979). Mecánica de fluidos. USA: McGraw-Hill.

Facultad de Ciencias Exactas. (2011). Flujos Potenciales. 2014, de Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires Sitio web: http://users.exa.unicen.edu.ar/~jdiez/files/mec_cont/apuntes/6FlujosPotenciales.pdf

Facultad de Ciencias Exactas. (2011). Flujos Ideales. 2014, de Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires Sitio web: http://users.exa.unicen.edu.ar/~jdiez/files/mec_cont/apuntes/5FlujosIdeales.pdf

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