Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

AÑO DE LA PROMOCIÓN DE LA INDUSTRIA RESPONSABLE Y EL COMPROMISO CLIMÁTICOUniversidad nacional“SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO”

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVLDEPARTAMENTO ACADÉMICO DE INGENIERÍA CIVILMATEMÁTICA II

HUARAZ –PERÚ

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL- MATEMÁTICA II

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2014ÍNDICE

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE VARIEBLES SEPARABLES

DEFINICIÓN 3

EJERCICIOS PROPUESTOS 4

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS REDUCTIBLES A VARIEBLES SEPARABLES

DEFINICIÓN 9

EJERCICIOS PROPUESTOS 10


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ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE VARIABLE SEPARABLEECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLESIniciaremos nuestras técnicas de solución a “Ecuaciones Diferenciales” con las ecuaciones más encillas de resolver. Este tipo de ecuaciones son resueltas directamente mediante una o dos integraciones.

DEFINICIÓN 1:

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma:

y’ = F(x, y)

Se dice de Variables Separables si es posible factorizar F(x, y) en la forma:

F(x, y) = f(x) · g(y)

Una EDO de variables separables puede resolverse usando la siguiente estrategia:- Procedimiento: Variables Separables- Entrada: Una EDO en la forma y0 = F(x, y)- Salida: La solución de la ED.

Paso I: Factorizar el segundo miembroFactorizar F(x, y) = f(x) · g(y), si tal factorización no es posible, se concluye quela ED no es de variables separables y el procedimiento no continua.

Paso II: Separar las variablesHacer álgebra para poner variables diferentes en lados diferentes: y’ = F(x, y)

dydx

= f(x) · g(y)

[dyg ( y )

¿= f(x)dx

Paso III: IntegrarIntegrando la expresión anterior con respecto a xobtenemos:

∫[1g ( y )

]dydx

dx = ∫f(x) dx


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o simplemente:

∫[1g ( y )

]dy = ∫f(x) dx + C

Paso IV: Despejar y OpcionalDebido a que “y” representa la función incógnita a determinar, lo ideal es determinarla porcompleto, es decir tener como solución una expresión de la forma:y = Expresión en xEn caso que este despeje sea posible, se dice que la solución está dada en forma explícita, encaso contrario (cuando no fue posible despejar y) se dice que la solución está dada en formaimplícita.

Ejemplo 1Resuelve la ED:dydx

= -2xy

Paso I: Primero revisamos si la Ecuación Diferencial es de Variables Separables:dydx

= -2xy

= (-2x)(1y

) = f(x).g(x)

Paso II: Separando las variables: y dy = -2x dxPaso III: Integrando:∫ ¿ y ) dy = ∫ ¿-2x )dxPaso IV: Resolviendo:12y2 = - x2 + C

La expresión 12y2 = - x2 + C representa una familia de soluciones: una solución para cada valor

de la constante C. Si graficamos las funciones para diferentes valores de C tenemos:


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PROBLEMA CON CONDICIONES INICIALESUn problema con valores (condiciones) iniciales consiste de una ecuación diferenciales y de unpunto del plano x − y:dydx

= f(x, y) sujeto a y(xo) = yo

El problema consiste en encontrar una función y = y(x) solución a la ecuación diferencial y queademás cumpla y(xo) = yo (es decir, que al evaluar dicha función en x = xo el valor resultante sea yo).

Generalmente este problema se resuelve primero encontrando la solución general (aparece C arbitraria) y posteriormente se sustituyen los datos del punto (xo, yo) para determinar el valor de C.

Ejemplo 2Resuelve el problema con condiciones iniciales:dydx

= -2xy

sujeto a y(1)=1

Por el ejemplo anterior la solución general es:12y2 = - x2 + C

Como el punto ¿¿, yo=1) Debe cumplir:1212 = - 12 + C

Por tanto C= 3/2 y la solución buscada es:12y2 = - x2 + 3/2 ó y2 = 3 – 2x2

DEFINICIÓN 2:Si en una ecuación diferencial ordinaria de primer grado y primer orden dydx

=g(x , y ), se reduce a la forma:


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M (x )dx+N ( y )dy=0(1)Donde M es una función solo de x y N es una función sola de y , a esta ecuación se conoces con el nombre de “Ecuación Diferencial Ordinaria de Variable Separable” y la solución general se obtiene por integración directa, es decir:∫M ( x )dx+∫N ( y )dy=C (2)

PROBLEMASProblema 1:Resolver la siguiente ecuación diferencial ordinaria de primer orden.. Hallar la solución que pasa por (0; 1).RESOLUCIÓN.

En primer lugar buscamos la solución general de la ecuación diferencial. Separando las variables e integrando,

De donde obtenemos Para obtener la solución particular que pasa por (0; 1) consideramos la solución positiva de la ecuación diferencial, esto es, Como ésta ha de pasar por (0;1), se debe tener y(0) = 1. Por tanto:

Luego, la solución particular buscada viene dada por:


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Problema 2:En un cultivo de bacterias el número inicial estimado es de 200. Si al cabo de 10 minutos es de 300. Indicar cuál será el número estimado al cabo de 20 minutos.Recuerde que el modelo utilizado en estos problemas es:dPdt

=kP

RESOLUCIÓN:Separando variables e integrando:1PdP=k dt

∫1PdP= ∫ k dt

Ln(P) = kt + CDespejando P, usando la fórmula:Ln(x) = N x=eN P= ekt+C P=eC .ekt P= C .ektPuesto que para t = 0 el número inicial es deP = 200:200 = C.ek .0 200 = C.e0200 = C.1200 = CY para t = 10, el número es de 300:300= C.ek .10300= 200.e10 k32 = e10 k

Usando la fórmula:eN=x N= Ln(x)


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10.k = Ln(32¿ k= 0.04054

Por tanto, para t=20 tendremos:P(t=20) = 200. ek .20P(t=20) = 200. e0,04054.20P(t=20) = 450

Problema 4:−( y2+x y2) y '+x2− y x2=0

RESOLUCIÓN:( y2+x y2) y '+x2− y x2=0 , agrupando términos

y2 (1+x ) dydx

+x2 (1− y )=0, separando términos tenemos

y2dy1− y

+ x2dx1+x

=0 , integrando ambos términos

∫ y2dy1− y

+∫ x2dx1+x

=c, de donde se tiene:

∫ y2dy1− y

=∫ y2+1−1(1− y)

=∫−(1− y )( y+1)(1− y)

dy+∫ 1(1− y )

dy=¿

−∫ ( y+1 )dy+¿∫ 1(1− y )

→− y2

2− y−¿|1− y|¿

∫ x2dy1+x

=∫ x2+1−1(1+x )

=∫ ( x+1 ) ( x−1 )(1+x )

dy+∫ 1(1+x )

dy→∫ ( x+1 )dy+∫ 1(1+x )

dy→x2

2+x−¿|1+ x|

Por lo tanto:

− y2

2− y−¿|1− y|+ x

2

2−x+¿|1+x|=c

Si multiplicamos por 2 a toda la expresión tenemos:

− y2−2 y−2∈|1− y|+x2−2 x+2∈|1+x|=c ó

( x+ y ) (x− y−2 )+2∈|1+x1−x|=c


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PROBLEMA N04.- −(x y2− y2+x−1 )dx+(x2 y )−2xy+x2+2 y−2 x+2¿ dy=0

Solución:Agrupando términos tenemos:

[ y2 ( x−1 )+( x−1 ) ]dx+ [ y ( x2−2x+2 ) ]dy=0Luego factorizando obtenemos:

( y2+1 ) ( x−1 )dx+( y+1 ) ( x2−2x )+2dy=0

Separando variables:

( x+1 )dxx2−2x+2

+ y+1y2+1

dy=0,luego integrando

∫ (x+1 )dxx2−2 x+2

+∫ y+1y2+1

dy=k , de donde

∫ ( x−1 )dxx2−2 x+2

u=x2−2 x+2→du=(2x−2 )dx→dx= du2 ( x−1 )

12∫

(x−1 )duu (x−1 )

→12∫duu

=12∈|u|→ 1

2∈|x2−2 x+2|

∫ y

y2+1dy , donde se puede saber

u= y2+1 , du=2 ydy ,dy= du2 y

+∫ dy

y2+1→ y=atanθ→tanθ→dy=secθ2dθ

12∫ 2 yy2+1

dy+¿∫ secθ2dθ

secθ2=¿ 12∫ 2 yudu2 y

+∫ dθ→ 12∈|u|+θ ¿¿

∴ 12∈|y2+1|+ 1

2arctany

Dado lo anterior tenemos:

12∈(x2−2 x+2 )+1

2∈|y2+1|+arctany=k

¿|(x2−2 x+2 ) ( y2+1 )|=−2arctany+k→ (x2−2x+2 ) ( y2+1 )=e(2arctany+ k ) c

PROBLEMA 5:


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−(1− y )e y dydx

+ y2

xInx=0

RESOLUCIÓN:

Separando variables:

(1− y )e y dy+ dxxInx

=0integrando tenemos :

∫ (1− y )y2

dy+∫ dxxInx

=c→−∫ ( y−1 )ex

y2dy+¿ (Inx )=c

−∫ ddy ( e

x

y )+¿ (Inx )=c dedonde :

−ex

y+¿ ( Inx )=c∴∈(Inx )= e

x

y+c

Problema 6:


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PROBLEMA 7:

Hallar la ecuación diferencial en y=−1cuando x=0 en la siguiente expresión, dar la gráfica.


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(x2+1 )dy+( y2+1 )dx=0

RESOLUCIÓN:

Dividimos entre (x2+1 ) ( y2+1 )

(x2+1 )dy(x2+1 ) ( y2+1 )

+( y2+1 )dx

(x2+1 ) ( y2+1 )=0

dy

( y2+1 )+ dx

(x2+1 )=0 , integramos

∫ dy

( y2+1 )+∫ dx

(x2+1 )=C→arctan (x )+arctan ( y )=C

Luego reemplazamos los datos en la ecuación:

arctan (0 )+arctan (−1 )=C→0+(−π4 )=C→C=−π4

Por lo tanto a ecuación diferencial será de la siguiente manera:

arctan (x )+arctan ( y )=−π4

Para determinar la gráfica:

Se sabe que: tan (arctan ( x ) )=x , por lo tanto aplicamos tangentea ambos miembros de la ecuación, lo cual obtendremos:

x+ y1−xy

=−1→x+ y=xy−1→xy−x− y−1

Se puede notar que la gráfica de la ecuación pertenece a una hipérbola equilátera oblicua cuyas asíntotas en x=1e y=1.

Veamos la gráfica:


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ECUACIONES DIFRENCIALES ORDINARIAS REDUCTIBLES A VARIABLE SEPARABLELas ecuaciones diferenciales de la forma siguiente

dydx

=f (ax+by+c )…(¿)

Donde a, b y c con constantes, cabe mencionar que la ecuación no es de variable separable por lo cual para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales, se transforma en una ecuación diferencial de variable separable, mediante la sustitución z=ax+by+c , de donde dydx

=1b( dzdx

−a) , que al remplazar en la ecuación (*), se obtiene una nueva ecuación diferencial, que es de variable separable, es decir 1b ( dzdx−a) ,de donde dz

dx=a+bf (x), separando la variable dz

a+bf ( z )=dx , que es la ecuación de variable separable.

PROBLEMAS:Problema 8:Hallar la solución general de la ecuación diferencial de:dydx

=sen (x− y+1)

RESOLUCIÓN:Como primer paso hacemos la sustitución:z=x− y+1

dzdx

=1−dydx,dydx

=1−dzdx

, luego de la sustitución1− dzdx

=sen(z ) Separando variables dx= dz1−sen ( z )

Integrando ∫ dx=¿∫ 11−sen (z)

1+sen(z )1+sen(z )

dz→∫dx=∫ 1+sen ( z )cos ( z )2

dz ¿

∫ dx=∫(sec ¿(z )¿¿2¿+sec ( z ) tan ( z))dz ¿

x=tan ( z)+sec ( z )+C , regresando a la variable “x”x=tan ( x− y+1 )+sec ( x+ y+1 )+C


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Problema 9:Resolver la ecuación diferencial:dydx

=4+√ y−4 x+8 Haciendo la sustituciónz= y−4 x+8 Derivando con respecto a “x” dz

dx=dydx

−4 , dydx

=4+ dzdxSustituyendo en la ecuación diferencial y separando variables

4+ dzdx

=4+√z→ dz√ z

=dx , integrando se tiene la solución general:2√z=x+C→2√ y−4 x+8=x+C

Problema 10:dydx

= ex+ y−x− yx+ y

∗¿

Sea z=x+ y→ dzdx

=1+ dydx

Reemplazando en (*) se obtiene:dzdx

−1= ez−zz

, separando variablesz e−zdz=dx→∫ z e− zdz=∫ dxMediante integración por partes:Sean: u=z→du=dz

dv=e−zdz→v=−e−z

∫ z e−zdz=ze− z+∫ e−zdz=z e− z−e− z+CLuego, −z e−z−e−z=x+CPor lo tanto, la solución dada en forma implícita viene dada por:−( x+ y ) e−( x+ y )−e−(x + y )=x+C

( x+ y ) e−(x + y )+e−( x+ y )=−x+C1


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Problema 11:¿Pueden separarse las variables en la ecuación diferencial y '=x+ y ey '=e2x−7 y?Respuesta: No, no pueden separarse, y ello parece que debería suceder siempre que las dos variables, la dependiente y la independiente, x e y en este caso, estén en los extremos de una suma o diferencia.Notar que la primera está en la forma normal, que es lineal no homogénea y es de primer orden. ¿Qué puede decirse de la segunda? ¿Tienen algo en común? Ver el siguiente ejemplo.Ejemplo: Sea la función:

f ( x , y )= cos (2x+5 y+3)(2x+5 y+3)2+2

+exp (2 x+5 y+3)

Si hacemos u=2x+5 y+3¿, podemos escribir f ( x , y )=g(u)

g (u )= cos (u )u2+2

+eu

Si nuestra ecuación es de la forma:y '=g (ax+by+c ) ,(b≠0)Entonces hacemos u=ax+by+c , y por tanto, derivando respecto a x tenemos u'=a+by '.despejando y ' obtenemos y '=u'−a

bSustituimos en la ecuación diferencial inicial:u'−ab

=g (u)

Y ahora solo resta separar variables (porque se puede realizar)e integrar.La solución general es:∫ dubg (u )+a

=x+C ,C∈R

Una vez resuelta la integral de la izquierda, recuperamos las variables x e y (se deshace el cambio)


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Problema 12:


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Engineering

Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera