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Encontrar la serie de Fourier de la función definida por f(t)=t para el intervalo [-π ,π] y f(t+2π)=f(t)
f(t)
π
-3π -2π -π 0 π 2π 3π t
−π
La serie de Fourier de la función f (t ) se expresa:
f (t )=a0
2+∑n=1
∞ {(ancos( 2πntT ))+(bncos( 2πnt
T ))}Entonces tenemos que T=2π
f (t )=a0
2+∑n=1
∞
{(ancos (nt ) )+(bn sen (nt ) ) }
Ahora Calculamos los coeficientes de Fourier
a0=2T ∫
−T2
T /2
f (t)dt= 1π ∫−π
π
t dt=0 por ser f (t )impar .
an=2T ∫
−T2
T2
f (t ) cos (nt )dt=¿ 1π∫−π
π
t cos (nt )dt=0¿
Puesto que t cos (n t ) es una función impar
bn=2T ∫
−T2
T2
f ( t ) sen (nt )dt=1π ∫−π
π
t sen (nt )dt ;u=t ;du=dt ;v=−cos (nt )n
Integrando por partes y reemplazando los límites de integración.
bn=1π [−π cos (nπ )
n−π cos (−nπ )
n+sen (n π )n2 −
sen (−n π)n2 ]
Tenemos que
cos ( x )=cos (−x ) funcion par .
sen ( x )=−sen (−x ) funcionimpar .
Entonces
bn=1π [−2π cos (n π )
n+
2 sen (n π )n2 ]
Además
cos (nπ )= (−1 )n y sen (nπ )=0
bn=−2(−1)n
n
Reemplazando los coeficientes de Fourier en la formula General tenemos:
f ( t )=−2∑n=1
∞ (−1)n
nsen(nt)
Hallar la serie de Fourier de la función cuya grafica es:
f(t)
π2
-3π -2π -π 0 π 2π 3π t
−π2
Tenemos que la ecuación de f ( t )es:
f (t )=−t2+π2 Entonces:
f (t )=π2− t2 Además -π ≤t ≤ π ; f ( t+2π )=f ( t ) ;T=2π
Como tenemos la fórmula:
f (t )=a0
2+∑n=1
∞ {(ancos( 2πntT ))+(bncos( 2πnt
T ))}Procedemos a calcular los coeficientes de Fourier:
a0=2T ∫
−T2
T2
f (t )dt=1π∫−π
π
(π2−t 2 )dt
Integramos y reemplazamos los límites:
a0=1π [ π3+π 3−
π3
3−π3
3 ]=43π 2
Analizamos la función f ( t ) si es par o impar:
f ( t )=f (−t )
π2−t 2=π2−(−t)2
π2−t 2=π2−t 2
Entonces como tenemos que la función es par bn=0
Ahora analizamos an
an=2T ∫
−T2
T2
f (t ) cos (nt )dt=¿ 1π∫−π
π
(π 2−t 2) cos (nt )dt ¿
an=1π [π2∫
−π
π
cos (nt )dt−∫−π
π
t 2cos (nt )dt ];u=t 2;du=2 tdt ; v= sen (nt)n
Integrando por partes tenemos:
an=1π [( π2 sen (nt )
n−t
2 sen (nt )n )
−π
π
+∫−π
π 2 tsen(nt)n
dt ];u=t ;du=dt ; v=−cos (nt)n
an=1π [( π2 sen (nt )
n−t 2 sen (nt )
n−
2tcos (nt )n2 )
−π
π
+ 2n2 ∫
− π
π
cos (nt)dt ]an=
1π [( π2 sen (nt )
n−t 2 sen (nt )
n−
2tcos (nt )n2 +
sen (nt )n2 )
−π
π ]Tenemos que sen (nπ )=0 ;cos (n π )=cos (−nπ ) y cos (n π )=(−1)n entonces:
an=−4n2 (−1)n
Reemplazando los coeficientes de Fourier en la fórmula tenemos:
f (t )=2π 2
3−4∑
n=1
∞ (−1)n
n2 cos (nt)
