Modelo de redes

Método de redes

Sandielly Ortega Polanco1-10-8495

La modelación de redes permite la resolución de múltiples problemas de programación matemática mediante la implementación de algoritmos especiales creados para tal fin, conocidos como Algoritmos de optimización de redes. Dentro de los problemas más comúnmente resueltos mediante la modelación de redes se encuentran los ya vistos modelos de transporte, transbordo además de los muy conocidos modelos de determinación de cronograma de actividades para proyectos como lo son el PERT y el CPM.

Una gráfica es una serie de puntos llamados nodos que van unidos por unas líneas llamadas ramales o arcos.

Gráfica

RedUna red es una gráfica que presenta algún tipo de flujo en sus ramales. Por ejemplo una gráfica cuyo flujo en sus ramales sea la electricidad es una red eléctrica. En las redes se usa una simbología específica para denotar su tamaño y elementos que la constituyen, dicha notación es la (N, A) donde N representa el número de nodos que contiene la red y A representa el número de arcos o ramales.

CadenaUna cadena corresponde a una serie de elementos ramales que van de un nodo a otro. En el siguiente caso se resalta una cadena que va desde el nodo 1 hasta el nodo 7 y que se compone por los elementos [1-4, 4-7].

CicloUn ciclo corresponde a la cadena que une a un nodo con sigo mismo, en el siguiente ejemplo el ciclo está compuesto por la cadena [4-2, 2-5, 5-7, 7-4].

Ramal orientadoUn ramal o arco orientado es aquel que tiene un sentido determinado, es decir que posee un nodo fuente y un nodo destino.

Gráfica orientadaUna gráfica orientada es aquella en la cual todos sus ramales se encuentran orientados.

ÁrbolUn árbol es una gráfica en la cual no existen ciclos, como el siguiente ejemplo.

Árbol de expansiónUn árbol de expansión es aquel árbol que enlaza todos los nodos de la red, de igual manera no permite la existencia de ciclos.

2

5 6

4

3

1Nodo fuente

Nodo destino

Pablo Alexander Martínez1-09-8659

Algoritmo de árbol de expansión mínima

El algoritmo del árbol de expansión mínima es un modelo de optimización de redes que consiste en enlazar todos los nodos de la red de forma directa y/o indirecta con el objetivo de que la longitud total de los arcos o ramales sea mínima (entiéndase por longitud del arco una cantidad variable según el contexto operacional de minimización, y que puede bien representar una distancia o unidad de medida).

Sean N = {1,2,3,...,n} el conjunto de nodos de la red. Ck= Conjunto de nodos que se han enlazado de forma permanente en la iteración k Čk= Conjunto de nodos que hacen falta por enlazarse de forma permanente.

PASO CERO (0): CONCEPTUALIZACIÓN DEL ALGORITMO

Definir los conjuntos C0 = {ø} y Č0 = {N}, es decir que antes del paso 1 no se han enlazado de forma permanente nodo alguno, y por ende el conjunto que representa a los nodos que hacen falta por enlazarse de forma permanente es igual a la cantidad de nodos que existen en la red. PASO 1:Se debe de escoger de manera arbitraria un nodo en el conjunto Č0 llamado i el cual será el primer nodo permanente, a continuación se debe de actualizar el conjunto C1 = {i}, que significa que al tiempo en que el conjunto C1 gana el elemento i el conjunto Č0 pierde el elemento i por ende ahora será igual a Č1 = N - {i}, además se debe actualizar el subíndice de los conjuntos k, el cual ahora será igual a 2.

Se debe de seleccionar un nodo j del conjunto ČK-1 ("k-1" es el subíndice que indica que se está haciendo referencia al conjunto de la iteración inmediatamente anterior) el cual tenga el arco o ramal con menor longitud con uno de los nodos que se encuentran en el conjunto de nodos de enlace permanente CK-1. Una vez seleccionado se debe de enlazar de forma permanente lo cual representa que pasa a formar parte del conjunto de enlaces permanentes y deja de formar parte del conjunto que todavía se debe conectar para lograr la expansión. Al actualizar el algoritmo en este paso los conjuntos deben de quedar de la siguiente forma. CK = CK-1 + {j} mientras que ČK = ČK-1 - {j}

El paso general que define k que al mismo tiempo representa a las iteraciones debe de ejecutarse toda vez que el conjunto ČK no sea vacío, cuando este conjunto sea igual a vacío se tendrá el árbol de expansión mínima.

El entendimiento del algoritmo desde el punto de vista algebraico no es quizá el más simple, sin embargo mediante el ejemplo gráfico se verá que es un algoritmo muy sencillo de elaborar.

PASO 2: PASO GENERAL "K"