FACULTAD DE INFORMÁTICA Y ELECTRÓNICA ESCUELA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS LUNES 26 DE ENERO DEL 2015 MATEMATICA 2 INTEGRANTES: Mirian Tipán Priscila Zapata Edison Vargas Geovanny Guamán
1. FACULTAD DE INFORMTICA Y ELECTRNICA ESCUELA DE INGENIERA EN
SISTEMAS LUNES 26 DE ENERO DEL 2015 MATEMATICA 2 INTEGRANTES:
Mirian Tipn Priscila Zapata Edison Vargas Geovanny Guamn
2. TEOREMAS O CRITERIOS DE CONVERGENCIAS O DIVERGENCIA DE UNA
SERIE OBJETIVO GENERAL Analizar las series y su respectivas
convergencias y divergencias basados en los teoremas y criterios
que se plantean en el siguiente informe, profundisando los
conocimientos adquiridos anteriores al tema. OBJETIVO ESPECIFICO 1.
Utilizar todos los conocimientos aprendidos en clases anteriores
para poder solucinar problemas propuestos referentes a series 2.
Desarrollar ejercicios propuestos para favorecer el aprendisaje del
tema y llegar a la coprencion absoluta 3. Aplicar con soltura y
adecuadamente las herramientas matemticas adquiridas 4. Usar
correctamente el lenguaje matemtico de manera clara, concisa,
precisa y rigurosa INTRODUCCION SERIES Una serie es la adicin de
todos los terminos de la sucesio (an) y se denota mediante el
smbolo an =1 Tambin podemos usar las siguientes notaciones: = =1 =
1 + 2 + 3 + = lim 1 + 2 + 3 + =lim =1 Ademas de la suma:
a1+a2+a3+..+an; denominaremos n- sima suma parcial de la serie y la
denotaremos por Sn Ejemplo: A partir de la sucesin: {an}: 1/2; 1/4;
1/8; ; 1/2n ;
3. Construimos la serie: 1 2 + 1 4 + 1 8 + + 1 2 + = 1 2 =1
Luego: 1 2 + 1 4 + 1 8 + + 1 2 + = Se denomina n- sima suma parcial
Clasificacin: Las series que tienen todas sus sumandos,positivos se
denominan series de terminos positivos. Las que los tienen
altenativamente positivos y negativos, se denominan series
alternadas Aquellas en el orden de aparicion de los terminos
positivos y negativos es arbitrario se denominan serie de terminos
cualesquiera CONVERGENCIA En matemtica, la convergencia es una
propiedad de ciertas sucesiones. Es la unin de dos o ms cosas que
confluyen en un mismo punto. Si una sucesin tiene lmite, se dice
que es una sucesin convergente (todos los elementos de la sucesin
se aproximan tanto como queramos al valor lmite.) DIVERGENCIA Es el
Alejamiento progresivo entre s de dos o ms lneas o superficies. Es
diferente a la convergencia. Se dice que la Serie divergente es una
serie infinita que no es convergente, sea que la secuencia infinita
de las sumas parciales de la serie no tiene un lmite. La serie en
la que los trminos individuales no se aproximan a cero, es una
serie divergente. TEOREMA 1 Si lim an 0 entonces =1 an es
divergente Ejemplo: =
4. lim 2 225 = 1 2 0 Divergente Este lmite se resuelve
aplicando hoopital para levantar la indeterminada derivo arriba y
abajo = TEOREMA 2 DENOMINADO COMO SERIE ARMNICA Sea una serie de
tipo: 1 =1 Cumple las siguientes condiciones: Si p>1 entonces 1
=1 es convergente Si p 1 entonces =1 es divergente Ejemplo: = Donde
la serie equivale a =1 El cual -2 es el valor de p por ende la
serie cumple la segunda condicin: -2 1 entonces = por lo tanto es
divergente TEOREMA 3 SERIE GEOMTRICA Sea . =1 una sucesin geomtrica
de termino a y razn r, se llama serie Geomtrica a la sucesin de
sumas parciales. Donde a 0 y (a,r) R Por lo cual cumple las
siguientes condiciones: 1. Si -1
5. 2. Si r -1 y r 1 entonces . =1 se dice que es divergente
Ejemplo: = Donde la serie equivale a = Donde es el valor de r y 2
es el valor de a. Lo cual cumple la primera condicin: -1 < <
1 entonces = es convergente TEOREMA 4 CRITERIO DE LA INTEGRAL Si
f(x) es una funcin positiva y montonamente decreciente definida en
el intervalo [1, +) tal que f(n) = an para toda n, entonces: es
convergente si y slo si es finita. es divergente si y slo si es
infinito (-,+) Se cumplen las siguientes condiciones: a) Debe ser
decreciente an en el intervalo de [1, +). b) Donde el an =0 c) Que
se pueda integrar EJEMPLO:
6. TEOREMA 5 CONVERGENCIA ABSOLUTA Si =1 converge la =1 es
convergente Ejemplo: ( 4) 4+1 = =1 Es convergente 0 < ( 4 ) 4 +
1 1 4 + 1 < 1 4 = 1 2 1 2 Convergente Toda serie absolutamente
convergente es convergente TEOREMA 6 PRINCIPIO DE DALEMBERT
7. Si lim +1 = L = 1 FALLA L > 1 ES DIVERENTE L < 1
CONVERGENTE Ejemplo: 2 = =1 lim + 1 2 +1 2 = lim + 1 2 +1 2 = lim (
+ 1)(2 ) (2 +1)() = lim ( + 1) 2 = lim 2 = lim 1 2 = 1 2 1 2 < 1
2 =1 Convergente TEOREMA 7 CRITERIO DE LA RAZ Si lim = L = 1 FALLA
L > 1 ES DIVERENTE L < 1 CONVERGENTE Ejemplo: 1 (ln ) = =1
lim 1 (ln ) = lim 1 ln() = lim 1 ln() = 1 ln() = 0 0 < 1 1 (ln )
=1 Convergente
