Variable de frecuencia compleja

La herramienta matemática de la variable de frecuencia compleja para el análisis de las señales y los sistemas Este libro lo puede adquirir en Amazon ISBN 9783659049927

Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas Dr. Javier Cabrera Vázquez y Mtra. María Guadalupe Casillas Limón

2

ÍNDICE DE CONTENIDO

Libro Ingeniería de señales y sistemas lineales usando matlab

8 La variable de frecuencia compleja ....................................................................................... 4

8.1. Definición de la Transformada de Laplace ........................................................................... 4

8.2 Propiedades de La transformada de Laplace ............................................................. 10

8.3 Técnica de fracciones parciales .................................................................................... 23

8.4 Función de transferencia .............................................................................................. 28

8.5 Polos y ceros. ................................................................................................................ 31

8.6 El criterio de estabilidad BIBO ....................................................................................... 31

8.7 Simulaciónpara un sistema de primer orden .................................................................. 38

8.8 Simulación para un sistema segundo orden. ................................................................. 44

Actividad 12 ........................................................................................................................... 51

ANEXO Series de Fourier Con Matlab ................................................................................... 51

Bibliografia ................................................................................................................................... 59

Sobre los autores ........................................................................................................................ 60


4

8 La variable de frecuencia compleja

8.1. Definición de la Transformada de Laplace Algunas señales determinísticas que utilizamos en la práctica de la ingeniería por ejemplo (La función rampa y la función escalón) Son necesarias para excitar la entrada de un sistema LTI ¿existirá algún procedimiento de resolución para predecir la salida o respuesta del sistema a estas entradas?, podemos afirmar que si. En efecto existe una transformada idónea que opera con la mayoría de las funciones determinísticas y se le conoce como la Transformada de Laplace. La transformada de Laplace X(s) de la señal en el dominio del tiempo x (t) se define como la integral

(8.1.1)

Observaciones: 1.- Note el parecido con la definición de la transformada de Fourier, se dice que la transformada de Laplace es una extensión de ésta. 2.- En esta definición se adiciona un factor de convergencia

exponencial e tα−a fin de incorporar señales que no tienen

transformada de Fourier dado que este factor forzara a la integral de la definición de la transformada de Laplace a converger.

dtetxdtetxsX sttjw ∫∫∞

−∞

+−

−−

==0

)(0

)()( )(σ

)()( ttutx = )()( tAutx =


5

3- Esta integral define la transformada de Laplace unilateral o de un sólo lado, esto significa que la transformada de Laplace X(s) de una señal tiene implícita la suposición de que la señal x( t ) vale cero antes de ser “activada” por lo que se denomina causal, algunas veces se indica este supuesto escribiendo la señal como x ( t ) u(t), como por ejemplo la señal (Que es una función exponencial decreciente y causal ya que inicia en t=0 y vale cero para tiempos negativos). 4.- La cantidad 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔, se identifica como la variable de frecuencia compleja. 5.- A la señal x (t) y X(s) se les denomina parejas de transformadas; lo que significa dos representaciones alternativas de la misma cosa: la señal, se dice que estas dos guardan una relación univoca o en otras palabras una señal sólo le corresponde un sola transformada de Laplace y viceversa. Existencia de la transformada de Laplace: La transformada de Laplace existe para una señal siempre y cuando la integral de Laplace (8.1.1) converge, la integral de Laplace convergerá si x (t), cumple con:

a.- x (t) no tiene comportamientos anómalos es decir es una función continua y su variación esta acotada en un intervalo de tiempo finito en el dominio para t > 0; b.- Si es de orden exponencial cuando t tiende a infinito. Vale la pena aclarar esto, una función x (t) es de orden exponencial si existe una constante real positiva σ (σ> 0) tal que el producto │x(t)│e-σt tienda a cero cuando t tiende a infinito* es evidente que sólo ciertos valores de σ, harán que esto acontezca, el intervalo de valores de σ que asegura la convergencia definen la región de convergencia (ROC) de la transformada de Laplace para ilustrar esto vea los ejemplos 6.1 y 6.2

)()( tuAtx e tα−=


6

Ejemplo 8.1.1 Obtengamos la transformada de Laplace de la señal Escalón escalado en amplitud. Veamos el papel que juega el factor de orden exponencial 𝑒−𝜎𝑡;

dteAdttAusX tjtjt ee ∫∫∞

+−∞

−− ==0

)(

0

)1()()( ωσωσ

Ahora veamos que

* Existe si y sólo si en cuyo caso, esto garantiza que la exponencial es decreciente con el tiempo esto es Ya que al ser σ > 0 la función es una exponencial decreciente y se hace cero cuando el tiempo tiende a infinito.

Por lo que sustituyendo limites tenemos (donde se observa el papel fundamental de 𝑒−𝜎𝑡.

Ya que

Por lo que tenemos la primera pareja de transformada de Laplace

<=>

e tj

t)(lim ωσ +−

∞→

0lim )( =∞→

+−e tj

tωσ

[ ] ∞=

=

+−

+−=

t

t

tjejAsX 0

)()( ωσ

ωσ

[ ]ωσωσ j

Aj

AsX+

=−+

−= 10)(

)()( tAutx =

ssX 1)( =

)( ωσ js += ssX 1)( =

)()( tutx =


7

Ejemplo 8.1.2 Obtener la transformada de Laplace de

==== ∫∫∫∞

−+−∞

−−−∞

dteAdteAdteAesX tjtsstt

0

)2(

0

)2(

0

2)( ωσ

*Existe si y sólo si en cuyo caso, esto garantiza que la exponencial es decreciente

con el tiempo esto da Nuevamente si σ > 2 la función es una exponencial decreciente y se hace cero cuando el tiempo tiende a infinito.

Por lo que tenemos la segunda pareja de transformada de Laplace

)()( tuAtx e tα= <=> α−=

sAsX )(

[ ] 2)2(

2)(

0 −=−+−

−+−=

∞

sAtj

jAsX e ωαωσ

)()( 2 tuAtx e t=

e tj

t)2(lim −+−

∞→ωσ

0lim )2( =∞→

−+−e tj

tωσ

[ ]2

102

)(−

=−−+

−=s

AjAsXωσ


8

Ejemplo 8.1.3

Obtener la transformada de la funcion Rampa unitaria De

Ejemplo 8.1.4 Obtener la transformada de la funcion impulso De la propiedad de seleleccion del impulso

Actividad 8.1.1 Completa la siguiente Tabla Dominio del tiempo

)(tx Dominio de la variable de frecuencia compleja s. )(sX

Escalón )()( tAutx =

Rampa )()( ttutr =

Función impulso

)()( ttutr =

ssee s

ts

dtttusXst

st22

00

1101)()( =

−=

−−==

∞−∞−

∫

)0()()(0

xdttxt =∫∞

δ1)()(

0

=== ∫∞

− ee ostdttsX δ

)(tδ

+=∫ αα

αα 1tdxx ee

xx


9

)(tδ Exponencial creciente

)(tue tα

Exponencial decreciente

)(tue tα−

Rampa amortiguada )(tute tα−

Función de crecimiento exponencial

)()1()( tuAtx e tα−−=

Sinusoide coseno )()cos( tutω

Sinusoide seno )()( tutsen ω

Coseno amortiguado

)()cos( tute t ωα−

ωαα

22)( +++

ss

Seno amortiguado )()( tutsene t ωα−

ωαω

22)( ++s

Tabla 8.1 Parejas de transformadas


10

8.2 Propiedades de La transformada de Laplace La transformada de Laplace es ampliamente utilizada como una transformada operacional. Esto es, es utilizada como una herramienta para resolver problemas. Hay dos razones para su uso tan expandido. Primero, un gran número de señales comunes tienen transformadas de Laplace sencillas. Segundo, varias de las propiedades de la transformada de Laplace permiten que sea aplicada a muchos problemas de interés práctico. Propiedad 1.- Linealidad: Dados los pares transformados de Laplace )()( 11 sXtx ↔ y )()( 22 sXtx ↔ y cualesquiera números reales a1 yb2 entonces:

)()()}()({ 22112211 sXsXtxtxL baba +=+ Terminología: Decimos que la transformada de Laplace es lineal porque sustenta la superposición. Ejemplo 8.2.1 Veamos la función de crecimiento exponencial y su transformada mediante la propiedad de linealidad.

)()()()1()( tuAetAutuAtx tte αα −− −=−= Su transformada es

)()(

αα

α +=

+−=

ssA

sA

sAsX

Fig.8.2.1 Función de crecimiento exponencial


11

Ejemplo 8.2.2 )()(

2)()]cos([)( tueeAtutAtx s

tjtjs

ωωω −+==

Definida la función:

)()()( 01 tuAetx s

tjω= Siguiendo encontramos que:

01 )}({

ωjsAtxL

−=

Similarmente tenemos:

02 )}({)}({ 0

ωω

jsAtueLtxL s

tj

+== −

Ahora tomamos 221Aba == en la propiedad del inicio del ejemplo.

Tenemos entonces que:

=+== )}()({)}()]{[cos()}({ 2211 txtxaLtutLtxL bsω

22)1(2

)1(2

}22

{)(ωωω

ωω

+=

−+

+=+= −

sAs

jsA

jsAeAeALsX tjtj

Propiedad 2.- Convolución: Dados los pares transformados de Laplace )()( sXtx ↔ y )()( sHth ↔ entonces:

)()(})()({)(0

sXsHdxthLsY =−= ∫∞

−

τττ

Ejemplo 8.2.3 La respuesta en el dominio del tiempo de una red de paso bajo (primer orden) a una entrada escalón unitario mediante la operación de convolución está dada por:

∫∞

−−−=

0

1)()()()( λλλ

λdxtuAety s

RCt

Note la dificultad que tendría resolver esta integral.


12

Sabemos que la respuesta al impulso de la red RC de paso bajo representa a dicho sistema LTI en el dominio del tiempo está dada por

)()( tuAeth RCt

−=

Cuya transformada de Laplace es la llamada función de transferencia H(s) que representa un sistema lineal de una red eléctrica en el dominio de la variable de frecuencia compleja:

α+=

+=

sA

RCs

AsH1

)(

Donde la constante de tiempo del sistema está definida como:

RCRC 1;1

=== αα

τ A= 1/RC supongamos que la red es excitada por un escalón

unitario u(t), cuya transformada de Laplace es 1/s,

Fig. 8.2.2 Entrada de excitación a la red RC Por lo tanto la salida utilizando la propiedad de convolución de la transformada de Laplace es;

ααα ++=

+=

+==

ssssA

ssAsXsHsY kk 21

)()1)(()()()(

Por la técnica de fracciones parciales:

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


13

αα ++=

+=

ssssAsY kk 21

)()(

𝑌(

𝑠

)

=

αααA

sA

sssA

ssk =+

=+

=== 001 )(

ααα

αα

AsA

ssAs

ssk −==+

+=

−=−=)()(

2

Tomando la transformada:

[ ] [ ] [ ] )(11)(11

1

)(1)()()( tutu

RC

RCtuAtuAtuAty eeee tttt αααα

ααα−−−− −=−=−=−=

Cuya respuesta en el tiempo es de la forma:

αααααα

+−=

++=

+=

+==

s

A

s

Assss

Ass

AsXsHsY kk 21

)()1)(()()()(


14

Fig.8.2.3 Salida de la red RC de paso bajo (primer orden) a una entrada escalón unitario. Propiedad 3.- Integración: Dados el par de transformadas de Laplace )()( sXtx ↔ tenemos:

)(1})({0

sXs

dxLt

=∫ λλ

Ejemplo la función rampa unitaria es la integral de la función paso unitario:

∫==t

duttutr0

)()()( ττ

20

11)1()}({1})({)}({sss

uLs

duLtrL s

t

s ==== ∫ τττ

Propiedad 4.-Diferenciación: Dado el par transformado de Laplace

)()( sXtx ↔ asumimos que:


15

Ejemplo se sabe que

La propiedad de diferenciación se puede extender a

)0´()0()()0()]0()([)}({ 2 −−−−=−−−−=••

xsxsXsxxssXstxL En general, la transformada de Laplace de la derivada del enésimo es:

)0()0(.....)0()(})(

{ )1()2()1( −−−−−−−= −−− nnnnn

n

xsxssXsd

tL

td

Ejemplos 8.2.4

Empleando las propiedades de derivación de la transformada de Laplace encuentre la solución a la ecuación diferencial que representa a un sistema:

)()( tdttud δ=

}{ } 101)0(1)({)( =+=−−== us

sdt

tudLtL δ

0)(12)('7)('' =++ tytyty


16

Ejemplo 8.2.5 Empleando las propiedades de la transformada de Laplace encuentre la solución a la ecuación diferencial:

Con condiciones iníciales y(0) =5 y y’(0)=1

[ ]

}

}

)(]2)(

)5

23

4()(

212

1108

)34(10)4(24

)4)(3(102)4(

414

1106

)43(10)3(23

)4)(3(102)3(

)4()3()4)(3(102

127102)(

0102127)(

0)(2)2(7)(742)(

0)(12)0(7)(7)0()0()(

43

2

2

2

'2

4[ tuty

sssY

sss

ssB

sss

ssA

sB

sA

sss

sssY

sssY

sYssYssY

sYyssYssY

ee

s

ss

yys

tt −−−=

+−

+=

−−=−+−

=+−+−

=−=++

++=

==+−

=+−+−

=−=++

++=

++

+=

+++

=++

+=

=−−++

=+−++−

=+−+−−

0)(2)('3)('' =++ tytyty

[ ])1(

2)2(

1)1)(2(

16523

165)(

016523)(

0)(2)5(3)(315)(

0)(2)0(3)(3)0()0()(

2

2

2

'2

++

+=

+++

=++

+=

=−−++

=+−+−−

=+−+−−

sk

sk

sss

sssY

sssY

sYssYssY

sYyssYsysY

s

ss

ys


17

Una forma alterna para encontrar el valor de los residuos es utilizando el programa matlab: b=[5,16]; a=[1,3,2]; [r,p,k]=residue(b,a) r = -6 11 p = -2 -1 k = [] Donde se debe tener cuidado en asociar cada residuo con su polo correspondiente:

Propiedad 5.- Retardo en el Tiempo: Dado el par transformado de Laplace )()( sXtx ↔ para cualquier número positivo 0>st :

)()}({ sXettxL sts

s−=−

111

26

)1()2()1)(2(165

23165)( 2 +

++−

=+

++

=++

+=

++

+=

sssB

sA

sss

sssY

s

ee ttty −− +−= 116)( 2


18

Ejemplo8.2.6

Considere un pulso que comienza en el origen: 0),()()( ≥−−= ssss tttututp

Utilizando la linealidad de la transformada de Laplace y esta propiedad de retardo en el tiempo tenemos:

se

se

sttutuL

ss stst

sss

−− −=−=−−

11)}()({

Ejemplo 8.2.7 Obtenga la respuesta de un sistema modelado por 𝐻(𝑠) = 1

𝑠+1 si la

entrada es un pulso rectangular de 1volt de amplitud y tiene un periodo de T segundos.

Fig. 8.2.4 Señal de entrada Fig. 8.2.5 Señal de salida Utilizando la propiedad de convolución y la propiedad de retardo en el tiempo

𝑌(𝑠) = 𝐻(𝑠)𝑋(𝑠)

𝒀(𝒔) = (𝟏

𝒔 + 𝟏)(𝟏𝒔−𝟏𝒔𝒆−𝒔𝑻)

𝒀(𝒔) =𝟏𝒔−

𝟏𝒔 + 𝟏

− (𝟏𝒔𝒆−𝒔𝑻 +

𝟏𝒔 + 𝟏

𝒆−𝒔𝑻)

𝒚(𝒕) = (𝟏 − 𝒆−𝒕)𝒖(𝒕) − �𝟏 − 𝒆−(𝒕−𝑻)�𝒖(𝒕 − 𝑻)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


19

Propiedad 6.- Escalamiento en el Tiempo: Dado el par de transformadas de Laplace )()( sXtx ↔ entonces, para cualquier número positivo a:

)(1)}({asX

aatxL =

Propiedad 7.- Teorema del Valor Inicial: Dado el par transformado de Laplace )()( sXtx ↔ , suponga que existe:

)()(lim 00 +→= xtx

t Entonces tenemos:

)()(lim 0+∞→= xssX

s Ejemplo 8.2.8 Calcular el valor inicial en el dominio del tiempo de la función:

racionalFuncions

ssX

ss =

++

+=

6553

)( 2

2

Aplicando el teorema del valor inicial

3001

03651

53lim65

531

1

6553lim)0(

2

2

2

2

2

2

2

=++

+=

++

+

∞→=

++

+=

++

+∞→

=+

Ss

s

s

ss

sS

Ss

ss

ss

ss

sx

Comprobando: Tomando la transformada inversa de

{ }65

53)( 2

21

++

+=−

ss

sXs

sL

Mediante matlab encontramos los residuos con sus polos asociados b=[3,5,0]; a=[1,5,6]; [r,p,k]=residue(b,a) r =


20

-12.0000 2.0000 p = -3.0000 -2.0000 k = 3 Tal que

22

3123

6553

)( 2

2

++

+−=

++

+=

ssss

sXs

s

Tomado la transformada inversa de estas fracciones simples

)(2)(12)(3 23 tututu ee tt −− +− Cuyo valor inicial x(0+) =3 Comprobando el teorema de valor inicial. También:

5256

6553lim

2

2

++

=++

+∞→ s

ss

sdsd

ss

ss

326

5256

==++

ss

dsd


21

Propiedad 8.- Teorema del Valor Final: Dado el par transformado de Laplace Xstx ↔)( suponga que:

)(lim txt ∞→

Existe. Entonces tenemos que:

)(lim)(lim0

ssXtxst →∞→

=

Ejemplo 8.2.9 Sea la función en el tiempo

Si utilizamos la propiedad

1020

2020

)0(320)0(10)2(32010lim

2*3)2(10lim)

2310(

0lim)(

=+

=+

++=+++

=+++=

++

→=∞

sssss

sssss

sss

sx

Comprobando: La transformada inversa de )()310(

2310 2 tues

ss e t−++

+

Cuyo valor es 10 para cuando t tiende a infinito.

)()310()( 2 tutx e t−+=

∞→∞→

=+=+= −

tttutx e t 10010)()310lim()(lim 2

)(lim)(lim0

ssXtxst →∞→

=


22

Debemos ser cuidadosos al aplicar esta propiedad ya que solo es valido cuando la función racional de la transformada de Laplace tenga polos en el semiplano izquierdo del plano s entonces el limite de x(t) existe si el tiempo tiende a infinito. Propiedad 9.- Multiplicación por una exponencial

)()( αα +⇔− sXtxe t

Propiedad 10.- Multiplicación por coseno

[ ])()(5.0)()cos( jasXjasXtxat −++⇔ Propiedad 11.- Multiplicación por t

dssdXttx /)()( −⇔

Ejemplo encuentre la transformada de e tttx 25)( −= Se inicia con

[ ]2

5)(+

=s

txL

Y utilizando la propiedad de multiplicación por t

( )22

25

255

+=

+

−⇔−

ssdsdt e t


23

8.3 Técnica de fracciones parciales Normalmente se requiere interpretar la respuesta de un sistema volviendo al dominio del tiempo a partir de la trasformad inversa de Laplace, por lo general las funciones en el dominio de la variable de frecuencia compleja se dan como un cociente de polinomios la que denominamos funciones racionales, es una practica común utilizar la técnica de fracciones simples para facilitar mediante la tabla de parejas de transformada la vuelta al dominio del tiempo, veamos varias casos para obtener fracciones simples de funciones racionales. Todas las transformadas que nos interesen son funciones racionales de la forma.

𝑋(𝑠) =𝐵(𝑠)𝐴(𝑠) =

𝑏𝑚𝑠𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑠𝑚−1 + ⋯+ 𝑏1𝑠 + 𝑏0𝑎𝑛𝑠𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1 + ⋯+ 𝑎1𝑠 + 𝑎0

Donde 𝐵(𝑠) y 𝐴(𝑠) son los polinomios de la variable de frecuencia compleja de s. Los polinomios se pueden expresar en forma factorial en función de su raíz.

𝑋(𝑠) =𝐵(𝑠)𝐴(𝑠)

=𝑘(𝑠 − 𝑧1)(𝑠 − 𝑧2) … (𝑠 − 𝑧𝑚)(𝑠 − 𝑝1)(𝑠 − 𝑝2) … (𝑠 − 𝑝𝑛)

Donde: 𝑍𝑘 , 𝑘 = 1,2,3, … ,𝑚𝑆𝑜𝑛𝑙𝑎𝑠𝑟𝑎𝑐𝑖𝑐𝑒𝑠𝑑𝑒𝑙𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝐵(𝑠)

𝑃𝑘 , 𝑘 = 1,2,3, … ,𝑛𝑆𝑜𝑛𝑙𝑎𝑠𝑟𝑎𝑐𝑖𝑐𝑒𝑠𝑑𝑒𝑙𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝐴(𝑠) Las 𝑍𝑘recibe el nombre de ceros de la función racional 𝑋(𝑠), por que 𝑠 = 𝑍𝑘 , la función 𝑋(𝑠) es nula. Las 𝑃𝑘 se denominan polos, por que cuando 𝑠 = 𝑃𝑘 , 𝑋(𝑠) se hace infinita. Sea X(s) una función racional estrictamente propia (el grado del polinomio del denominador es mayor que el grado del polinomio del numerador), por lo que hay más polos que ceros (n > m) y si ninguno de los polos es una raíz repetida del polinomio 𝐴(𝑠) se podrá descomponer 𝑋(𝑠) en fracciones parciales donde los K son denominados residuos que incluso pueden ser mumeros complejos:

𝑋(𝑠) =𝑘1

𝑠 − 𝑝1+

𝑘2𝑠 − 𝑝2

+𝑘3

𝑠 − 𝑝3+ ⋯+

𝑘𝑛𝑠 − 𝑝𝑛


24

Ejemplo de caso 1: Este es el caso cuando las raíces del polinomio del denominador son reales y diferentes por lo que la función racional se puede descomponer en fracciones parciales de la siguiente manera.

43

221

)4)(2()6(2)(

++

++=

+++

=sK

sK

sK

sssssX

5.18

12)40)(20(

)60(2*)(*10

==++

−==

= sssXsK

s

24

8)42)(2(2

)62(2*)2()(*)2(22

−=−

=+−+−

+−+=+=

−= sssXsK

s

5.084

)4)(24(4)64(2*)4()(*)4(3

4==

++−−+−

+=+=−= s

ssXsKs

)(5.0)(2)(5.1)(4

5.02

25.1)( )4()2(:: 1

tuetuetutxsss

sX ttLT −− +−= →←+

++

−=−

Caso 2: Este es el caso cuando las raíces del polinomio del denominador son reales e iguales por lo que la función racional se puede descomponer en fracciones parciales de la siguiente manera.

22 )4(2,2

41,21

)4()6(8)(

++

++=

++

=sK

sK

sK

ssssX

31648

)40()60(8*)(*1 20

==++

=== s

ssXsKs

44

16)4(4)64(8*)4()(*)4(2,2 2

24

2 −=−

=+−+−

+=+=−= s

ssXsKs

=+=++

+=+= −−=

12

24

2 )6(8)4()6(8*)4()(*)4(1,2 ss

dsd

ssss

dsdsXs

dsdK

s

[ ] 31648

16608608608)61(8

424

21 −=−

=

−=

−=−=+

−=−=

−−

ss s

ssdsd

)()(4)(3)(3)()4(

44

33)( )4()4(..2

1

tuettuetutxsss

sX ttLT −− −−= →←+

−+

−=−


25

Caso 3: Este último caso que estudiaremos es el caso cuando surgen raíces en el polinomio del denominador que son números complejos conjugados este par de polos dan lugar a encontrar residuos también complejos conjugados los que se combinan para producir en el dominio del tiempo una onda sinusoidal amortiguada .

Sea El residuo esta asociado con el polo que tiene parte imaginaria Positiva el conjugado esta asociado con el polo que tiene parte imaginaria negativa Escribiendo el residuo complejo en su representación polar

Donde los residuos como se ve son eK tσ12 conjugados entre si por

lo tanto conocer el valor de uno de ellos es suficiente.

ωσ jp +=

pkk

sps

sX ∗

∗

−+

−= 1)( 1

)cos(2

)())(1()()1

11

)(

11()(keK

ekekekeKtxwt

tutjtupt

t

tjpt

∠+==

−+=+−− −

+−

=σ

ωσ ωσ

k1

k1−

[ ] )cos(2212)(

()())(1()(

11

)()(

1

)(

1

)(

1

)(

1

keKeeeKeekeekekek

wttx

tutjtx

tktJktJt

tjkjtjkjtj

∠+=+=

+=−+=

∠+−∠+

−∠−+∠−

+−

σωωσ

ωσωσωσ ωσ

ωσ jp −=∗


26

El ángulo de fase de la sinusoide amortiguada es el ángulo del residuo y la amplitud de la sinusoide es igual al doble de la magnitud del residuo, el exponente sigma es la parte real del polo complejo y la frecuencia angular de la sinusoidal amortiguada es la parte imaginaria del polo complejo. Por lo que la función racional se puede descomponer en fracciones parciales de la siguiente manera:

jsjsK

sK

SS

sssssX k

SS 4495.224495.222

21

2018624040

)104)(2()6(40)(

*

2232 ++

+−+

++

=+++

+=

++++

=

)4495.22)(4495.22(1042 jsjsss ++−+=++

66.266

160)10)2(4)2)((2(

)62(40*)2()(*)2(1 22==

+−+−++−

+=+=−= s

ssXsKs

=++−++

+−+=−+=

+−= )4495.22)(4495.22)(2()6(40*)4495.22()(*)4495.22(2

4495.22 jsjsssjssXjsK

js

K2=

=−+

=+

=+

=+++−++−

++−12

98.9716012

98.97160)899.4)(4495.2(

94495.24(40)4495.224495.22)(24495.22(

)64495.22(402

jj

jjj

jjjj

j

radMjk 5495.0,63.15165.833.131 −=∠==−−= θ Por tanto

radMjK 5495.0,63.15165.833.132* =∠==+−= θ Con matlab >> b=[40,240]; >> a=[1,6,18,20]; >> [r,p,k]=residue(b,a) r =


27

-13.3333 - 8.1650i -13.3333 + 8.1650i 26.6667 p = -2.0000 + 2.4495i -2.0000 - 2.4495i -2.0000 k = []

jsj

jsj

ssX

4495.22165.833.13

4495.22165.833.13

266.26)(

++−

−−++

−+

=

Finalmente transformando término a término de la tabla y tomando en cuenta

)()( βαθ

βαθ

jsM

jsM

−+−∠

+++∠ → [ ] )()cos(2 tutMe t θβα −−

)()549.04495.2cos()63.15(2)(66.26)( 22 turadtutx ee tt ++= −−

TRANSFORMACIONES INVERSAS DE LAPLACE PARA LOS TERMINOS QUE APARECEN EN LAS FRACCIONES PARCIALES Termino del desarrollo en fracciones parciales

Transformada inversa

asK+

)(tuK e at−

)( as n

K

+

)()1(

1 tun

K et atn −−

•Ι−

22)( βα +

+

+sDCs

)()()cos( tutsenCDtCe at

−+− β

βαβ

(*) βαβα jsjBA

jsjBA

−+−

+++

+

[ ] )()()cos(2 tutBsentAe t ββα +−


28

)()( βαθ

βαθ

jsM

jsM

−+−∠

+++∠

(*)

[ ] )()cos(2 tutMe t θβα −−

(*) Tómese en cuenta para el ejemplo No. 3.15

Tabla 8.3.1 Términos del desarrollo de fracciones parciales.

8.4 Función de transferencia El concepto de la F. de T. Se encuentra en el centro del análisis de los sistemas mediante el uso de métodos de transformación: Sea un sistema LTI también que puede describirse mediante la siguiente ecuación diferencial:

)(.......)()()(.......)()(01

1

101

1

1 txbdt

txdbdt

txdbtyadt

tydadt

tydm

m

mm

m

mn

n

nn

n

na +++=+++ −

−

−−

−

−

Donde

)(tx es la entrada o excitación al sistema y )(ty es la salida o respuesta del sistema an y bm son coeficientes numéricos reales Su transformad de Laplace término a término:

=→→→→+++ −− inicialesscondicionedeosterlossYasYsasYsa n

nn

n min)(....)()( 01

1

inicialesscondicionedeosterlossXbsXsbsXsb mm

mm →→→→+++ −

− min)(....)()( 01

1 Esta expresión es una ecuación algebraica. Si suponemos condiciones iníciales iguales a cero o decimos que el sistema esta en reposo:

)()...()()....( 01

101

1 sXbsbsbsYasasa mm

mm

nn

nn +++=++ −

−−

−

01

1

01

1

.......)(

)()(

asasabsbsbsH

sXsY

nn

nn

mm

mm

+++++

== −−

−−


29

Donde Se define como la función de transferencia del sistema y esta dado como la transformada de Laplace de la salida sobre la transformada de Laplace de la entrada con condiciones iníciales nulas, por lo tanto un sistema LTI relajado (condiciones iníciales cero) puede describirse por tres representaciones:

¡) Ecuación diferencial:

)(.......)()()(.......)()(01

1

101

1

1 txbdt

txdbdt

txdbtyadt

tydadt

tydm

m

mm

m

mn

n

nn

n

na +++=+++ −

−

−−

−

−

ii) Función de transferencia: iii) Respuesta al Impulso: Ejemplo 8.4.1 Considere un sistema LTI relajado (condiciones iníciales nulas) el cual ésta representada por la siguiente ecuación diferencial:

)(3)(2)(2)(3)( txtxtytyty +′=+′+′′

Utilice la propiedad de derivada de la transformada de Laplace y encuentre la función de transferencia del sistema y su respuesta al impulso. Solución: Transformando término a término la ecuación se transforma en:

)(3)(2)(2)(3)( 2 sXssXsYssYssY +=++ Sacando término común Y(s)

)(sH

)()()(

sXsYsH =

1)()( −= sHth


30

{ } { }32)(23)( 2 +=++ ssXsssY La función de transferencia se obtiene de un sistema relajado tomando la transformada de Laplace de la salida entre la transformada de Laplace de la entrada

2332

)()()( 2 ++

+==

sss

sXsYsH

Utilizando la técnica de fracciones parciales tenemos;

)2(1

)1(1

)2()1(2332

2 ++

+=

++

+=

+++

sssB

sA

sss

b=[2,3]; a=[1,3,2]; [r,p,k]=residue(b,a) r = 1 1

p = -2 -1 k = [] Obtenemos la respuesta al impulso del sistema es;

)()()( 2 tuetueth tt −− +=


31

8.5 Polos y ceros. La función de transferencia de los sistemas LTI es una función racional (un cociente de polinomios) cuya forma general puede expresarse como:

NNNMMM

asas

bsbsbsQsPsH

+++

+++==

−

−

........

......)()()( 11

110

Se acostumbra normalizar el coeficiente de SN del denominador del polinomio haciéndolo 1. Si el grado N del denominador Q(s) es mayor que el grado M del numerador P(s), se dice que H(s) describe una función racional estrictamente Propia. Si N es mayor o igual que M, H(s) es una función racional propia. Polos y ceros de una función de transferecia racional H(s) = N(s) /D(s) Ceros: raíces del numerador N(s) Polos: raíces del denominador D(s)

8.6 El criterio de estabilidad BIBO Este criterio afirma: Un sistema es estable si el grado del polinomio del denominador de la F de T es mayor o igual que el grado del polinomio del numerador y los polos se ubican en el lado izquierdo del eje jw.


32

Si alguno de los polos cae en el eje jw el sistema se denomina marginalmente estable y es inestable. Otra posibilidad es que los polos estén localizados en el lado derecho en este caso el sistema es inestable.

Fig. 8.6.1 Plano s constelación de polos y su relación con la respuesta al impulso en el dominio del tiempo

Como se observa en la figura del plano s los polos en el plano izquierdo delejejw están relacionados con señales en el tiempo que decaen con el tiempo de aquí que si estos polos pertenecieran a una función de transferencia se ve que la respuesta al impulso decae con el tiempo.


33

Ejemplo 8.6.1 Los polos de La F. de T. están ubicados en s=-2 y en s=-1 y tenemos que el sistema es estable ya que La F. de T. es una razón de polinomios en s estrictamente propia y los polos se ubican en el lado izquierdo Del eje jw.

Fig. 8.6.2 Constelación de polos Código Matlab a=[1,3,2]; b=[2,3]; h=tf(b,a); pzmap(h)

-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Pole-Zero Map

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is


34

Ejemplo 8.6.2 Dibuje el diagrama de polos y ceros para la siguiente función de transferencia, determine si el sistema es estable condiciones: i) polos en el lado izquierdo del eje jw y ii) la función de transferencia deberá ser una función racional estrictamente propia, o propia además encuentre la función en el dominio del tempo h(t):

12

1)(2 ++

=ss

sH

b=[1]; a=[1,square(2),1]; >> [r,p,k]=residue(b,a) r = 0 - 0.5774i 0 + 0.5774i p = -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i k = []

Fig. 8.6.3localización de polos y ceros de La funciónde transferênciaracional estrictamente propia.

-0.5 -0.45 -0.4 -0.35 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

10.040.090.140.20.280.4

0.56

0.8

0.040.090.140.20.280.4

0.56

0.8

0.2

0.4

0.6

0.8

0.2

0.4

0.6

0.8

Pole-Zero Map

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is


35

abs( 0 - 0.5774i) ans = 0.5774 % valor absoluto Del resíduo >>angle(0 - 0.5774i) ans = -1.5708 r = 0 - 0.5774i 0 + 0.5774i p = -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i

866.0500.0577.0

866.0500.0577.00

121)( 2 +

−+

−+

=++

=j

sssH


)()( βαθ

βαθ

jsM

jsM

−+−∠

+++∠ → [ ] )()cos(2 tutMe t θβα −−

Ejemplo 8.6.3

14142.11)( 2 ++

=ss

sH

código: b=[1]; a=[1,1.4142,1]; [r,p,k]=residue(b,a) h=tf(b,a); pzmap(h)

)57.18860.0cos()5774.0(2)( 5.0 −= − tth e


36

Fig. 8.6.4 Constelación de polos y ceros del ejemplo r = 0 - 0.7071i 0 + 0.7071i p = -0.7071 + 0.7071i -0.7071 - 0.7071i k =[] El sistema anterior es estable dada la ubicación de los polos en el lado izquierdo del eje jw y la respuesta al impulso es de la forma: Para obtener su respuesta en el tiempo abs( 0 - 0.7071i) %magnitud de residuo ans = 0.7071 angle( 0 - 0.7071) % ángulo de fase del residuo ans = 3.1416

Real Axis

Imag

Axi

s

Pole-zero map

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


37

Portanto : Su respuesta al impulso es de la forma h(t) = 2(0.7071)e-0.7071t [cos(0.7071t)-0.7071]u(t) Uncosenoamortiguado .

Fig. 8.6.5 La respuesta al impulso h(t) =2(0.7071)e-0.7071t cos(0.7071t-0.7071), cosenoamortiguado.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2


38

8.7 Simulación para un sistema de primer orden Ejemplo 8.7.1

Sea una red eléctrica RC de paso bajo determinar la respuesta a una entrada escalón unitario.

Fig. 8.7.1 Circuito eléctrico La ecuación diferencial del sistema se forma a partir de la ley de Kirchhoff

dtd

Ctidonde

tdt

tdRCttRit

VVVVV

out

outout

outinp

=

+=+=

)(

)()(

)()()(

=+= )()(

)( tdt

tdRCt VVV out

outinp

Como se observa es una ecuación diferencial de primer orden. De la propiedad de derivación de la transformada de Laplace y considerando el sistema esta relajado,en reposo o condiciones iniciales iguales a cero.

Vinp(s) = Vout(s)[RCs + 1] Se transforma en una ecuación algebraica.

CVin (t) = tµ(t) Vo (t)


39

Obteniendo la función de transferencia que caracteriza al sistema:

𝑉𝑜𝑢𝑡(𝑠)𝑉𝑖𝑛𝑝(𝑠)

=1

[RCs + 1] =1𝑅𝐶

𝑅𝐶𝑅𝐶 𝑠 + 1

𝑅𝐶=

1/𝑅𝐶

𝑠 + 1𝑅𝐶

Tomando los parámetros: Damos valores a RC=0.01 y sustituyendo nuevas variables Vout(s)=C(s) es la transformada de la salida del sistema Vinp(s) =R(s) es la transformada de la entrada del sistema

La función de transferencia nos queda:

Donde G(S) =H(s) la función de transferencia del sistema Grafiquemos los polos con matlab de la función de transferencia

b=[100]; a=[1,100]; h=tf(b,a); % tf : function de transferencia pzmap(h),grid

[ ]100100

)()()(

+==

ssRsCsG


40

Fig.8.7.1 mapa de polos y ceros de la función de transferencia.

i) Observando la constelación de polos y en base al criterio de estabilidad podemos afirmar que éste sistema es estable por que la función de transferencia es una razón de polinomios estrictamente propia y que los polos están ubicados en el lado izquierdo del eje jw del plano s por lo tanto si excitamos el sistema con una entrada acotada la salida será acotada.

i) Además podemos obtener la respuesta al impulso ya

que sabemos de la pareja ℎ(𝑡) ↔ 𝐻(𝑠), entonces empleando la transformada inversa para nuestro ejemplo ℎ(𝑡) = 𝑠−1{𝐺(𝑠)} por lo que la respuesta al impulso que caracteriza el sistema en el dominio del tiempo es:

ℎ(𝑡) = 100𝑒−100𝑡

-100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

10.9940.9980.999111

1

1

0.9940.9980.999111

1

1

204060800

Pole-Zero Map

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is


41

Indaguemos como responderá nuestro sistema a una entrada escalón unitario. Utilizando la propiedad de convolución de la transformada de Laplace

Obtengamos el valor de los residuos k1 y k2 utilizando Matlab

b=[100];a=[1,100,0]; [r,p,k]=residue(b,a) r = -1 1 p = -100 0 k = []

De donde la respuesta total del sistema 𝐶(𝑠) consiste en dos partes la parte de la respuesta forzada o de estado estable debida ala entrada y la respuesta natural o llamada transitoria debida a la naturaleza de las componentes del sistema. Tomando la transformada inversa tenemos la respuesta en el tiempo de dicho sistema:

)100(21

)100(1001

)100(100)()()( 2 +

+=+

=+

==s

ksk

ssssRsGsC

s

)100(111

)100(100)()()(

+−=

+==

sssssRsGsC

)1()()()( 100100 ee tt tututc −− −=−=


42

𝑐(𝑡) → 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑢(𝑡)→ 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑐𝑒 𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒−100𝑡𝑢(𝑡)→ 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑠𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑖𝑛𝑔𝑢𝑒 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑙𝑎𝑝𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

Graficando la salida con matlab tendremos

Fig.8 .7.2 Respuesta al escalón unitario con alfa =100 Codigo matlab para la simulación del sistema: b=[100]; a=[1,100]; h=tf(b,a); t=[0:0.001:20]; f=ones(size(t)); %Señal de excitación. y=lsim(h,f,t); plot(t,y,'r','linewidth',5),grid

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


43

Veamos lo que pasa si alfa es igual a 0.5

Fig. 8.7.3 Respuesta al escalón unitario con alfa =0.5 CódigoMatlab de excitacion con otro parametro b=[0.5]; a=[1,0.5]; h=tf(b,a); t=[0:0.001:20]; f=ones(size(t)); %señal de entrada. y=lsim(h,f,t); plot(t,y,'r','linewidth',5),grid

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


44

8.8 Simulación para un sistema segundo orden.

Ejemplo 8.8.1

Sea un sistema mecánico el cual se excita mediante un escalón se requiere conocer la respuesta de éste.

Fig.8 .8.1 Sistema masa resorte amortiguador Donde: M: masa del móvil. K: constante elástica del resorte. c:coeficiente de amortiguamiento. f(t): fuerza aplicada al sistema. y(t):desplazamiento de la masa debido a la fuerza. La ecuación diferencial se deduce de la segunda ley de Newton

)()()()( 2

2

tKydt

tdycdt

tydMtf ++=

Ecuación diferencial de segundo orden.

2

2 )(dt

tydMdtdvMMaf === dt

tdyvdtdva )(

==


45

Suponiendo condiciones iniciales iguales a cero para el sistema también se dice que el sistema esta relajado o en reposo y utilizando la transformada de Laplace

)()()()()1( 2 sYMKssY

McsYsF

M s ++=

Considerando los siguientes valores de los parámetros del sistema. La función de transferencia queda

El Mapa de polos y ceros de la función de transferencia se obtiene m=900; c=60;k=700;b=[1/m];a=[1,c/m,k/m]; h=tf(b,a); figure(1) pzmap(h),axis([-0.15,0,-1.5,1.5]),title('mapa polo-cero'),grid

Fig. 8.8.2Localización de polos damp(h);

400600

400804001

/1)()()(

22 ++=

++==

sMKs

Mc

MSFSYsH

ss


46

Eigenvalue Damping Freq. (rad/s) (Amortiguamiento) -3.33e-002 + 8.81e-001i 3.78e-002 8.82e-001 -3.33e-002 - 8.81e-001i 3.78e-002 8.82e-001

i) Como se observa de la fig. 6.8.2 los polos de la función de transferenciaestán ubicados en el lado izquierdo del eje jw del plano s por tanto el sistema esta estable ya que la función racional es estrictamente propia.

ii) También se puede leer que la respuesta a la muestra unitaria que caracteriza al sistema en el dominio del tiempo h(t) es una señal en forma de coseno amortiguado.

Utilizando la propiedad de convolución de la transformada de Laplace y suponiendo unaseñal de entrada de excitación en escalón unitario u(t) cuya transformada es 1/s tenemos como respuesta:


47

Obtengamos los valores de los residuos con matlab m=900; c=60; k=700; b=[1/900]; a=[1,60/900,600/400,0]; [r,p,k]=residue(b,a) r = 1.0e-003 * -0.3704 + 0.0101i -0.3704 - 0.0101i 0.7407 p = -0.0333 + 1.2243i -0.0333 - 1.2243i 0 k = []

jwsjwsssSsY kkk

s −++

+++=

++=

σσ

*

221

2 )900700

90060(9001

)(

=+++

=++

=0

900700

90060

9001

)900700

90060(9001

)(232 ssS

sYsss

=+++

=++

=0

900700

90060

9001

)900700

90060(9001

)(232 ssS

sYsss

=++

=

++==

)900700

90060(9001

1/1)()()(22 sSs

MKs

Mc

MsXsHsYss


48


)()( βαθ

βαθ

jsM

jsM

−+−∠

+++∠ → [ ] )()cos(2 tutMe t θβα −−

Transformado de numero complejo algebraico a numero complejo polar abs(0.0003704 + 0.0000101i) ans = 3.7054e-004 % Magnitud del residuo angle(0.0003704 + 0.0000101i) ans = 0.0273 %Angulo del residuo en radianes de donde

Nota:

i) Donde los residuos como se ve son eK tσ12 conjugados

entre si por lo tanto conocer el valor de uno de ellos es suficiente.

ii) El ángulo de fase de la sinusoide amortiguada es el ángulo del residuo y la amplitud de la sinusoide es igual al doble de la magnitud del residuo, el exponente sigma es la parte real del polo complejoy la frecuencia angular de la sinusoidal amortiguada es la parte imaginaria del polo complejo.

2243.10333.000001.00003.0

2243.10333.000001.000037.07407.0

)900600

90080(9001

)(*

2 −+−

+−+

++=

++=

sj

jsj

ssSsY

s

)27.0224.1cos()*7054.3(2)cos(2)(0017.0)( 0333.04

22 10 +=∠++= −− twttuty ekek tα


49

iii) Salida del sistema cuando se excita mediante una entrada de señal escalón unitario (cambio súbito en la entrada no recomendable para elevadores). Por lo que sugiero que pruebes con una señal de entrada en rampa; su magnitud crece en forma directa como lo hace el tiempo r(t) = t u(t) dominio del tiempo o ( 1/s2 Dominio de la variable de frecuencia compleja).

Fig. 8.8.3 Respuesta del sistema de segundo orden a una entrada escalón unitario. Código de simulación en Matlab m=900;c=60;k=700;b=[1/m];a=[1,c/m,k/m]; h=tf(b,a); t= [0:0.001:300]; f=ones(size(t)); % Señal de excitacion de entrada y=lsim(h,f,t); % commando de simulacion plot(t,y,'linewdth',4),grid

0 50 100 150 200 250 3000

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

-3


50

Respuesta del sistema mecanico a una entrada rampa.

>> m=900;c=60;k=700;b=[1/m];a=[1,c/m,k/m];

>> h=tf(b,a);

>> t= [0:0.001:30];

>> f=t.*ones(size(t));

>> y=lsim(h,f,t);

>> plot(t,y,'r','linewidth',2),grid

0 5 10 15 20 25 300

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045


51

Actividad 8 El alumno excitara un sistema mecánico de segundo orden con una función rampa y graficara la respuesta. Este trabajo lo puede presentar como el segundo proyecto del curso.

ANEXO Series de Fourier Con Matlab 1.- Graficar una señal periódica de potencia de tiempo continúo modelada por la serie de Fourier

𝑥(𝑡) = 𝑎0 + �−1𝑚+1(1𝑚

𝑚

1

)𝑠𝑒𝑛𝑜(𝑚𝜔𝑡);𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 = 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟.

Solución: como se observa de la representación en serie de Fourier la señal está compuesta de puros armónicos seno impares porque su forma de onda es una señal simetría impar y de media onda, con una componente promedio 𝑎0 , además el término antes del coeficiente de Fourier o de la amplitud de los armónicos seno impares hace que cada armónico tenga signo intercalado. t=[-2:.001:2]; % vector de tiempo f=1; % frecuencia en Hz. w=2*pi*f; % frecuencia angular x=1.5; %componente de promedio for m=1:1000; %número de armónicos x=x+((-1)^(m+1))*(1/m)*sin(m.*w.*t); % suma de la Amplitud de los armónicos end plot(t,x,'linewidth',2), grid % comando para graficar señales continuas Ver fig.1.1


52

Fig. 1.1 Una señal periódica de tiempo continúo de simetría impar y de

media onda de periodo T=1s y valor promedio 1.5 2.- Obtener los coeficientes de Fourier exponenciales de la siguiente señal de forma de onda en diente de sierra impar y de media onda

𝑥(𝑡) = (10𝑇𝑜𝑡 + 𝑘𝑇)

𝑥(𝑡) = 5 + � �−10𝜋𝑚

�∞

𝑚=1

sin(𝑚𝑤0𝑡)

𝑥(𝑡) = 5 + 2 � �5𝑗𝜋𝑚

� 𝑒−𝑗𝑚𝑤𝑡∞

𝑚=1

a) Código matlab usando la representacion trigonometrica:

t=[-1.5:0.001:1.5]; w=2*pi; x=5; for i=1:1000 x=x-(10/(pi*i))*sin(i*w.*t); end; plot(t,x,'linewidth',4),grid b).- Código matlab usando la representacion exponencial: t=[-1.5:0.001:1.5]; w=2*pi;x=5;for m=1:1000 x=x+2*((5*j)/(pi*m)).*exp(j*m*w.*t); end; plot(t,x,'linewidth',4),grid Ver fig. 1.2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5


53

Fig. 1.2 Onda periodica de TC triangular impar oculta y media onda 3.- De la serie de Fourier se construye la gráfica en matlab

𝑥(𝑡) =𝐴2� (−1)

𝑚−12

∞

𝑚=1

(2𝐴𝑚𝜋

)𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜(𝑚𝑤𝑡)

Códigomatlab: t=[-1:0.001:1];f=1;w=2*pi*f;A=1; x=A/2; for m=1:2:999 x=x+(-1).^((m-1)/2).*(2*A./(m*pi)).*cos(w*m.*t); end; plot(t,x,'r','linewidth',4),grid Ver Fig. 1.3

+−+−+= .....)7cos(

71)5cos(

51)3cos(

31)cos(2

2)( ttttAAtx ωωωω

π

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


54

Fig. 1.3 Onda cuadrada periódica par y media onda 4.- Graficar una señal periódica de potencia cuadrada de tiempo continúo modelada por la serie de Fourier

∑∞

−∞==

m

tjmm e OXtx ω)(

∑∞

−∞=

=m

tjme OmcTAtx ω

πτωτ )

2(sin)( 0

0

t=[-1.5:0.001:1.5]; f=1; w=2*pi*f; A=1; x=A/2; tau=0.5; T=2*tau; for m=-999:2:999; x=x+(A*tau/T)*sinc(m*w*tau/(2*pi)).*exp(j*m*w.*t); end plot(t,x,'r','linewidth',2),grid Ver fig.1.4

-1 -0.5 0 0.5 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


55

Fig. 1.4 Tren de pulsos cuadrados simetría par y media onda

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


56

5.- Graficar una señal periódica o de potencia de tiempo continúo modelada por la serie de Fourier

𝑥(𝑡) = 0.5 + �2𝐴𝑚𝜋

��𝑠𝑖𝑛(𝑚𝜔𝑡) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 = 1,3,5∞

1

Represente la siguiente señal periódica mediante una serie de Fourier trigonométrica. La cual tiene una frecuencia fundamental de F0 = 1Khz. Observe que simetría tiene y que tipo de armónicos contiene. CódigoMatlab:

t=[-2:0.001:2]; A=1;f=1; w=2*pi*f; x=A/2; for m=1:2:999; x=x+(2*A/(m*pi)).*sin(m*w.*t); end plot(t,x,'linewidth',4),grid ver fig. 1.5

Fig. 1.5 tren de pulsos periódicos de simetría impar y media onda y periodo T=1 s por lo que contiene armónicos seno impares modelada por

𝑥(𝑡) = 0.5 + �2𝐴𝑚𝜋

��𝑠𝑖𝑛(𝑚𝜔𝑡) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 = 1,3,5∞

1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


57

6.- Graficar una señal periódica o de potencia de tiempo continúo modelada por la serie de Fourier

𝑥(𝑡) =2𝜋− � �

4𝜋� 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜(2𝑚𝑡)/(2𝑚 − 1)(2𝑚 + 1)

∞

𝑚=1

Señal de simetría par tiene solo armónicos coseno t=-2*pi:0.001:2*pi; x=2/pi; for m=1:1000 r=2*m; x=x-4/pi*(cos((2*m)*t)/((r-1)*(r+1))); end plot(t,x,'b','linewidth',4), title('Análisis de Fourier'); grid Ver fig. 1.6

Fig. 1.6 Señal periódica rectificada de onda completa

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Análisis de Fourier


58

7.- Graficar la serie de Fourier Representada por

𝑥(𝑡) =2𝜋− � �

4𝜋� 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜(2𝑚𝑡)/(2𝑚 − 1)(2𝑚 + 1)

∞

𝑚=1

Señal de simetría par tiene solo armónicos coseno t=-1:0.001:1;f=1;w=2*pi; x=2/pi; for m=1:10000 r=2*m; x=x-4/pi*(cos((w*m)*t)/((r-1)*(r+1))); end plot(t,x,'r','linewidth',4), title('Análisis de Fourier'); grid

Fig. 1.7 Señal periódica rectificada en onda completa

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Análisis de Fourier


59

Bibliografia

Eduard W. Kamen Bonnie S. Heck

Fundamentos de señales y Sistemas usando la web y matlab,

Pearson Prentice Hall, tercera edición 2012

Pablo Irarrázaval

Análisis de señales Mc. Graw Hill Interamericana. edición 2011

M. J. Roberts

Señales y sistemas. Análisis mediante métodos de transformada y MATLAB

Mc. Graw Hill, , México, primera edición 2011

Alan V. Oppenheim.

Señales y Sistemas Prentice Hall. edición 2012

Haykin y Van Veen.

Señales y Sistemas LimusaWiley,. Primera edición2012

DeloresEtter.

Solución de problemas de Ingeniería con Mat- Lab

Mc. Graw Hill. edición 2012


60

Sobre los autores

Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas,

Ingeniero en Comunicaciones y Electrónica por la Universidad de Guadalajara (1978). Grado de Maestría en Planeación de la Educación Superior en el Centro Universitario de Ciencias Económico Administrativas en la Universidad de Guadalajara (1997). Profesor investigador Titular C en el Departamento de Electrónica de la Universidad de Guadalajara en el área de control automático con una antigüedad de 28 años, e imparte la materia de Señales y Sistemas Lineales (transformada de Fourier, transformada de Laplace, Serie de Fourier aplica a señales y sistemas lineales) en la carrera de Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica.

Dr. Javier Cabrera Vázquez

Recibió el grado de Ingeniero en Comunicaciones y Electrónica del Instituto Politécnico Nacional en México D. F., el grado de Maestro en Ciencias de la Universidad de Guadalajara dentro del Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías en la ciudad de Guadalajara Jalisco y el grado de Doctor en Ciencias del Centro de Investigación y Estudios Avanzados del I. P. N. en el municipio de Zapopan Jalisco en 1991, 1998 y 2002 respectivamente. Es profesor-investigador Titular A del departamento de Electrónica e imparte curso sobre sistemas no lineales y tópicos avanzados de control. Cuenta con dos líneas de investigación principales una sobre la identificación parámetrica y la otra en el control discontinuo por modos deslizantes.

Mtra. María Guadalupe Casillas Limón Licenciada en Economía por la Universidad de Guadalajara grado de Maestría en Planeación de la Educación superior en el Centro Universitario de Ciencias Económico Administrativas de la Universidad de Guadalajara. Acadámica de tiempo completo asociada C en la Universidad de Guadalajara con 34 años de experiencia en docencia en el área de las ciencias económicas y dedicadas a la investigación educativa, imparte la materia de Economía y Entorno socioeconómico de México y América Latina en diferentes licenciaturas.

Engineering

Variable de frecuencia compleja