UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMADE HONDURAS EN EL VALLE DE SULA

GUIA DE VARIABLE COMPLEJADEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

Profesor: M.J. Suazo

Intrucciones: Desarrolle los siguientes ejercicios en forma clara y ordenada, dejando en evidencialas resoluciones. Tenga presente que respuestas sin procedimiento no tendran ninguna validez.

FUNCIONES ELEMENTALES

1. Exprese los siguientes numeros de la forma x+ iy.

a) e2+3πi

b) e

2 + 5πi

4

c) log(−1 +√

3i)d) log(−3i)e) (1 + i)i+2

f) Encuentre el valor principal de [e(−1 +√

3i)]3πi

g) sen(3− i) + cos(1− 2i)h) senh(2− i)i) tan−1(2i)j) cosh−1(−1 + 2i)k) sen−1(−i)l) (1 + i tan 2)i

2) Resuelva las siguientes ecuaciones, encuentre todos los valores z tales que cumplan las igual-dades:a) ez = 1− ib) e2z = −4

c) log(z − 1) = 1 +π

2i

d) sec z = 2e) sen z = −3if) cos−1 z = 1 + ig) cos z = sen z

3) Probar que |ez2| ≤ e(|z|2), z ∈ C.

4) Escribir Re(e1/z en terminos de x y y. Defina en que conjunto esta funcion es armonica.5) Sean α1, α1, z ∈ C. Probar que si todas las potencias involucradas son valoeres principales,entonces:a) 1/zα1 = z−α1

b) zα1zα2 = zα1+α2

c) zα1/zα2 = zα1−α2

1

6) Demuestre la identidad sen(z1 + z2) = sen z1 cos z2 + cos z1 sen z2.7) Demuestre la identidad cos(z1 + z2) = cos z1 cos z2 − sen z1 sen z2.8) Sea f(z) = zsen z donde se ha usado el valor principal. Encuentre f ′(i).9) Demuestre que senh z = senhx cos y + i coshx sen y.10) Demuestre que cosh z = coshx cos y + i senhx sen y.

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