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Universidad Autonoma del Estado de Hidalgo
Instituto de Ciencias Basicas e IngenierıaLicenciatura en Fısica y Tecnologıa Avanzada
Academia de Matematicas y Fısica
Fisica lllCalor, Ondas y Fluidos
Palomares Maldonado Hector Miguel
Contents
1 Teoria: 21.1 Ecuacion de Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Ecuacion de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Movimiento Armonico Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Ecuacion de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Ejercicios 82.1 Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1 Estatica de Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.2 Dinamica de Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Movimiento Ondulatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Principios de la Termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1
1 Teoria:
Definicion de fluidosUn Fluido es un conjunto de partıculas que se mantienen unidas entre si. por fuerzas cohesivas debilesEstatica de fluidosEstudia el equilibrio de lıquidos y gases apartir de los conceptos densidad ρ y Presion P donde la densidad
del liquido esta dada:
ρ =masa
volumen
y la presion
P =|Fuerza|area
donde la unidad de la presion se le denomina pascales
1.1 Ecuacion de Continuidad
dm = ρdV (1)
donde m es la masa, ρ la densidad del fluido y V : el volumen del fluidocomo vemos en la figura que la diferencial del volumen esta dado por el area y el diferencial de longitud.
por lo que lo podemos sustituir quedando
dm = ρAdx (2)
El fluido desplazado lleva una cierta velocidad contante y es tangente sobre el tubo de corriente. recor-dando la formula de velocidad contante
v =dx
dt
obtenemos:
dm
dt= ρAv (3)
Si no existen una salida a lo largo del tubo de corriente, se puede observar que:
dm1
dt=dm2
dt(4)
Ahora veremos la dinamica en la entrada y salida, partiendo de las ecuaciones (3) y (4).
ρ1v1A1 = ρ2v2A2 (5)
Si el fluido es incompresible entonces se dice que la densidad es constante en cualquier punto.
ρ1 = ρ2
2
Obteniendo la siguiente ecuacion conocida como: ecuacion de continuad
v1A1 = v2A2 (6)observacion:
v · n = vcosθLa velocidad lleva la direccion normal respecto al area vx esto es igual a un escalar, este es nombrado
caudal
Q = v · nA (7)
supongamos que nA es un ”vector area”
Q = v ·A (8)
si el coseno del angulo que forman es 0
Q = vA (9)
igual conocemos que el caudal es volumen por unidad de tiempo.
1.2 Ecuacion de Bernoulli
figura 3
Bernoulli se baso en la conservacion de la energıa. donde las fuerzas son No conservativas
∆E =∑
w (10)
donde E es la energıa y w el trabajocon base a la (figura 3) podemos platear la siguiente ecuacion en base de las fuerzas y la velocidad del
fluido. ∑w = F1∆s1cos(0
◦) + F2∆s2cos(180◦)
∑= F1∆s1 − F22 (11)
sabemos que la presion se define por:
P =F
A(12)
donde la Fuerza es perpendicular y sustituyendo ecuacion (12) en (11)
3
∑w = P1A1∆s1 − P2A2∆s2 (13)
donde: A∆s = V el area del tubo de continuidad por el diferencial del desplazamiento del fluido es igualal diferencial volumen. ∑
w = P1∆V1 − P2∆V2 (14)
La cantidad de masa que se desplaza al inicio del tubo de corriente es la misma que se desplaza al finalm1 = m2
Rescribiendo la ecuacion (14) ∑w = (P1 − P2)∆V (15)
Recordando que la energıa mecanica dada por
E = k + u
∆E =1
2mv2 +mgy2 −
(1
2mv2 +mgy1
)Sustituyendo m = ρ∆V
∆E =
(1
2ρv2 + ρgy2 −
1
2ρv2 − ρgy1
)∆V (16)
Sustituyendo la ecuacion (10) la ecuaciones (15) y (16)
(1
2ρv2 + ρgy2 −
1
2ρv2 − ρgy1
)∆V = (P1 − P2) ∆V (17)
P21
2ρv2 + ρgy2 = P1
1
2ρv2 − ρgy1
P21
2ρv2 + ρgy2 −
(P1
1
2ρv2 − ρgy1
)= 0
∆
(P +
1
2ρv2 + ρgy
)= C (18)
podemos ver que la presion es contante en cualquier posicion en el tubo de corriente
P +1
2ρv2 + ρgy (19)
es conocida por Ecuacion de BenoulliP : presion Absoluta
1
2ρv2: presion dinamica
ρgy: presion estatica
4
1.3 Movimiento Armonico Simple
Ley de fuerza esta dada por la siguiente ecuacion
F = −kx (20)
El lector no debe confundir esta formula con la ley de hooke, Esta ley describe que una partıcula cualquierasi experimenta una fuerza, tendra un cierto movimiento. para comprender este movimiento, se estudiara elestado de dinamica de la partıcula ∑
Fx = max (21)
sustituyendo la fuerza de la ec(20) en (21)
−kx = max
Dado que la aceleracion de la partıcula se puede ver como:
ax =dvxdt
=d2x
dt2
sustituyendo la aceleracion como la segunda derivada de la posicion obtenemos una ecuacion diferencialde segundo orden con coeficientes constantes
md2x
dt2− kx = 0 (22)
d2x
dt2− k
mx = 0
Se escribio debido a que en el movimiento armonico simple existe una frecuencia y observamos que las
unidades dek
mtiene las mismas unidades. esta es conocida como frecuencia angular ω
d2
dt2+ ω2x = 0 (23)
esta es la ecuacion diferencial del movimiento armonico simple. resolviendo:m2 + ωm = ±ωi
x(t) = C1eiωt + C2e
−iωt (24)
dado a la identidad de Euler eθi = cosθ + isenθse puede escribir la ec(24) de la siguiente forma
x(t) = Acos(ωt) +Bsen(ωt) (25)
x(t) = Acos(ωt+ δ) (26)Donde: A (amplitud) y δ (angulo de face) son contantes y estan dadas a partir de las condiciones iniciales
Definicion desde el punto de vista cinematico: El movimiento Armonico simple es la proyeccion sobreuns recta, del movimiento de una partıcula que describe un movimiento circular uniforme
5
1.4 Ecuacion de Onda
dx = vdtx0 = x− vt
dado a esta relacion encontramos que el frente de una onda viajera esta dado mediante la siguientefuncion
y = f(x− vt) (27)
donde estan determinadas las posiciones de la onda desde posicion x0 inicial hasta un xconvenientemente realizamos un cambio de variable
u = x− vt
realizaremos primero el caso de la variacion de la onda debido a su posicion y despues respecto del tiempo
∂y
∂x=∂f(u)
∂x
Utilizado el concepto de la regla de la cadena
∂y
∂x=∂f(u)
∂u
∂u
∂x
se observa que el termino∂u
∂x= 1 obteniendo:
∂y
∂x=∂f(u)
∂u∂
∂x
(∂y
∂x
)=
∂
∂x
(∂f(u)
∂u
)Utilizado el concepto de la regla de la cadena
∂2y
∂x2=
∂
∂u
(∂
∂u
)(∂u
∂x
)∂2y
∂x2=∂2f(u)
∂2u(28)
Ahora se analizara y con respeto del tiempo.
∂y
∂t=∂f(u)
∂t
por regla de la cadena se obtiene
∂y
∂t=∂f
∂u
∂u
∂t
Podemos ver de la ec(27)∂u
∂t= −v
sustituyendo este hecho:
6
∂y
∂t= −v ∂f
∂u∂
∂t
(∂y
∂t
)=
∂
∂t
(−v ∂f
∂u
)haciendo uso de la regla de la cadena obtenemos
∂2y
∂t2∂
∂u
(−v ∂f
∂u
)∂u
∂t∂2y
∂t2= v2
∂f
∂u
1
v2∂2y
∂t2=∂f
∂u(29)
Observemos que la ecuacion (28) y la ecuacion (29) tiene un termino en comun, por tanto la podemosrescribir como:
∂2y
∂x2=
1
v2
∂2y
∂t2(30)
Esta ultima ecuacion se la conoce como: Ecuacion Para una onda viajera.
7
2 Ejercicios
2.1 Fluidos
2.1.1 Estatica de Fluidos
1. Determine el aumento de presion de un fluido en una Jeringa, cuando la enfermera aplica una fuerzade 42.4N al piston de 1.12cm de diametroSolucion:
P =F
A
Ya que la la jeringa tiene forma de un cilindro en donde ejerce la presion es un circulo de area A = πD2
P =F
πD2
P =42N
(1.12× 10−2m)2
P = 4.29× 103Pa
2. La ventana de una oficina mide 3.43 por 2.08m. A causa de una tormenta, la presion externa del airedesiende a 0.962atm, mientras que la presion interna se mantiene a 1.00atm. ¿Que fuerza neta presionahacia afuera de la ventana?Solucion:La fuerza esta dada:
F = AdP
Donde A es el area A = (3.43m)(2.08m) y dP la diferencia de presion
F = (3.43m)(2.08m)[(1atm− 0..962atm)(1.01× 105Pa/atm)]
F = 2.74× 104N
3. Una caja hermetica esta parcialmente vacıa, con una tapa de 12in2 de superficie. ¿Que presion tienesi se necesita una fuerza de 108lb para quitar la tapa, y si la presion atmosferica es de 15lb/in2
Solucion:Tenemos la fuerza afuera de la caja F1 = P1A, F3 = 108lb fuerza a dentro de la caja F2 = P2A
F2 = F1 + F3
P2A = P1A+ F3
P2 = P1 +F3
A
P2 = 15lb/in2 +108lb
12in2
Tiene una presion de:P = 6.0lb
4. Los pulmones humanos pueden funcionar contra una diferencia de presion menor de 0.050atm ¿A quenivel bajo el agua puede nadar un buzo que respira a traves de un tubo largo?Solucion:Tenemos que la presion es:
δP = ρgh
h =δP
ρg
sea la densidad del agua, sustituyendo datos:
h =(0.050atm)(1.01× 105Pa/atm)
(1000kg/m3)(9.8m/s2)
h = 0.52m
8
5. ¿Cual serla altura de la atmosfera si la densdad del aire a) fuera constante, y b) disminuyera linealmentehasta cero con la altura?. Suponga una densidad de 1.21kg/m3 en el nivel del marSolucion:
a) Tenemos que la presion es:δP = ρgh
h =δP
ρg
sea la densidad del aire, sustituyendo datos:
h =1.01× 105Pa/atm
(1.21kg/m3)(9.8m/s2)
La altura si la densidad del aire fuera constante es:
h = 8.51× 103m
b)dP = ρg(ymax − y)dy
Integrando y rescribiendo la ecuacion anterior:∫ P2
P1
dP = −∫ max
0
ρg
(1− y
ymax
)dy
P2 − P1 = ρg
(y − y2
2ymax
)max0
P2 − P1 = ρg
(ymax −
y2max2ymax
)P2 − P1 = ρg
(ymax −
ymax2
)P2 − P1 =
ρgymax2
6. La presion en la superficie del planeta Venus es de 90atm (es decir 90 veces la de la superficie terrestre)¿Que longitud necesita un barometro de mercurio para medirla? Suponga que se conserva el mercurioa 0◦CSolucion:Por conservacion de la energia tenemos que la presion es:
P = ρgh
h =P
ρg
h =1.01× 105Pa
(1.36× 104kg/m3)(8.6m/s2)
h = 78m
sea 1.36× 104kg/m3 la densidad del Mercurio y g = 8.6m/s2 el valor de la gravedad en Venus
9
7. La tension de una cuerda que sostiene un bloque solido debajo de la superficie de un lıquido (de densi-dad mayor que el del solido) es de T0 = (mw−m)g, cuando el resipiente se halla en reposo. Demuestreque la tension T esta dada por T0(1 + a/g) cuando tiene una aceleracion vertical a hacia arriba
Solucion:por segunda ley de Newton
E −W − T = ma
donde E = mw(g + a) es el empuje W = mg el peso y T la tension de la cuerda
T = E −W −ma
T = mw(g + a)−mg −ma
Factorizando:T = mw(g + a)−m(g + a)
Factorizando:T = (mw −m)(g + a)
Factorizando g:
T = (mw −m)
[g
(1 +
a
g
)]T = (mw −m)g
(1 +
a
g
)sustituyendo T0 = (mw −m)g
T = T0
(1 +
a
g
)8. Se ha propuesto trasladar en dirigibles enormes el gas natural de los campos del Mar del Norte,
utilizando el propio gas para el levantamiento. Calcule la fuerza necesaria para sujetarlo al suelopara realizar la descarga, cuando llegue totalmente cargado con 1.17×106m3 de gas a una densidad de0.796kg/m3. La densidad del aire es 1.21kg/m3. (En comparacion, el peso del dirigible es insignificante)Solucion:La fuerza de flotacion es:
Fb = ρV g
como existe una diferencia de densidad. Entonces
Fb = (ρaire − ρgas)V g
Fb = (1.21kg/m3 − 0.796kg/m3)(1.17× 106m3)(9.8m/s2)
Fb = 4.75× 106N
9. Calcule la densidad del vino rojo que Pascal utilizo en su barometro de 14m de largo. Suponga que elvino llenaba el tubo.Solucion: La presion se puede determinar como
P = ρgh
ρ =P
gh
ρ =1.01× 105Pa
(9.8m/s2)(14m)
ρ = 740kg/m3
10
10. Un objeto cubico de dimensiones L = 0.608m de lado y W = 4, 450N en el vacıo, esta colgado de unalambre en un tanque abierto en un lıquido cuya densidad es (ρ = 944kg/m3), como se aprecia en la b)Calcule la fuerza acendente total en el fondo del objeto. c) Determine la tension del alambre d)Calculela fuerza de flotacion en el objeto, aplicando el principio de ArquımedesSolucion:
a) Tenemos que la presion esta dada P = F/A y P = P0 +ρgh sustituyenddo la presion obtenemos:
Fd = (P0 +mgh)A
Sustituyendo los datos
Fd =
(1.01× 105Pa+ (944kg/m3)(9.8m/s2)
0.608m
2
)(0.608m)2
Fd = 3.84× 104N
b) de manera similar que el inciso a) pero h =3L
2
Fa = (P0 +mgh)A
Sustituyendo los datos
Fa =
(1.01× 105Pa+ (944kg/m3)(9.8m/s2)
3(0.608m)
2
)(0.608m)2
Fa = 9.05× 104N
c) Tenemos que la tension esta dada por
T = W + Fd − Fa
T = 4, 450N + 3.84× 104N − 9.05× 104N
T = 2350N
d) La fuerza de flotacion es:Fb = ρwVwg
Fb = (9.44kg/m3)(9.8m/s2)(0.608m)3
Fb = 2080N
11. Dos resipientes cilındricos identicos con su base situada en el mismo nivel contienen un lıquido dedensidad ρ. La superficie de las dos bases es A, solo que en un resipiente la altura del lıquido es h1 yen el otro es h2. Encuentre el trabajo realizado por la gravedad al igualar los dos niveles cuando losdos recipientes estan conectadosSolucion:Sabemos que el trabajo es igual a la energia potencial U = mgh la energia del los dos resipientes es:
U1 = (Ah1)(g)
(h12
)sabiendo que ρ =
m
ventonces m = ρv el volumen es area A por altura h, del mismo modo la energia
del recipiente 2
U1 = (ρAh2)(g)
(h22
)la energia final esta dada por:
Uf =ρhA(h1 + h2)2
4
11
por conservacion de la energia tenemos UI = UF
U1 + U2 = Uf
ρgAh212
+ ρgAh222− ρhA(h1 + h2)2
4= 0
Factorizando y realizando el binomio al cuadrado
ρgA
4
(2h21 + 2h22 − h21 − 2h1h2 − h22
)ρgA
4
(h21 − 2h1h2 + h22
)ρgA
4(h1 − h2)
2
12. El agua se halla a una profundidad D detras de la cara de la cara vertical de un dique, como se observaen la figura, Supongamos que W es el ancho del dique a) Calcule la fuerza horizontal resultante quesobre el ejerce la presion namometrica del agua, y b) la torca neta dedida a la ejercida alrededor deuna linea que cruza O parelelamente al ancho del dique c)¿Donde se encuentra la lınea de accion de lafuerza equivalente?Solucion:
a)
F =
∫ D
0
∫ W
0
Pdxdy
F =
∫ D
0
ρgyx|W0 dy
F = ρgW
∫ D
0
ydy
F = ρgWy
2
]D0
F =ρgD2W
2
b)
τ =
∫ D
0
∫ W
0
Pydxdy
τ =
∫ D
0
∫ W
0
ρg(D − y)ydxdy
τ =
∫ D
0
ρg(D − y)yWdy
τ = ρgDW
∫ D
0
ydy − ρgW∫ D
0
y2dy
τ = ρgDWD2
2− ρgW D3
3
τ = ρgWD3
2− ρgW D3
3
τ =ρgD3W
6
12
c)
d =τ
F
d =
ρgD3W
6ρgD2W
2
d =D
3
13. Demuestre que la densidad ρ del agua en una profundidad y en el mar, se relaciona con la densidadsuperficial por medio de ρs
ρ ≈ ρs[1 +
ρsg
By]
Donde B es modulo volumetrico del agua, ignore las variaciones de temperatura.Solucion:Tenemos que la densidad es ρ = m/V haciendo una aproximacion (multiplicando por 1):
δρ ≈ m
v
δV
V
δρ ≈ ρδVV
δρ ≈ ρδVV
multiplicando por 1 convenientemente
δρ ≈ ρδP δV
V δP
Sabemos que el modulo volumetrico es B =V δP
δV
δρ ≈ ρδPB
y la presion es P = ρgy
ρf − ρ = ρ(ρgyB
)ρf = ρ+
(ρ2gy
B
)ρf = ρ
(1 +
ρgy
B
)
13
14. a) Demuestre que la densidad se puede escribir
ρ = ρ0eρgh/P0
b) Suponga la fuerza de resistencia al avance D debida al aire en un objeto que se desplaza conuna velocidad v, esta dada por D = CAρv2 Donde C es una constante, A es la seccion frontraldel area del objeto ρ la densidad del aire. Calcule la altitud en que la fuerza de resistencia alavance en un cohete sera maxima si este se lanza verticalmente y se mueve con una aceleracionacendente arSolucion:
a) la presion esta dada porP = ρgy
o biendP = ρgdy
dP
dy= −ρg
puesto que ρ es proporcional a P , tenemos
ρ
ρ0=
P
P0
dP
dy= −gρ0
P
P0
dP
P= −gρ0
P0dy∫ p
p0
dP
P= −
∫ h
0
gρ0P0
dy
que nos da
lnP
P0= −gρ0
P0h
oP = P0e
gρ0h/P0
b) Sabemos Que a = dv/dt o bien a = v/t y de las ecuaciones del movimiento en clasica
tenemos y = vt+1
2at2, v = 0 entonces el tiempo es t =
√2y
a
v = at
v = a
√2y
a
v =√
2ya
por otra parte tenemos que la resistencia es:
D = CAρv2
sustituyendo la velocidad y tambien del inciso anterior ρ = ρ0egρ0h/P0
D = CAρ0egρ0h/P0(2ya)
derivando:dD
dy= −gρ0
P0CAρ0e
gρ0h/P0(2ya) + 2CAρ0egρ0h/P0a
14
15. Demuestre que, en una atmosfera planetaria, la variacion de la presion con la altura (a temperaturaconstante) es
P = P0ek(1/r−1/R)
Donde se supone que g varia como 1/r2 (donde r es la distancia del centro del planeta) P0 es la presionen la superficie, R es el radio del planeta y k = (g0ρ0R
2)/P0
Solucion: Supongamos g = g0R2
r2la presion esta dada por
P = ρgr
o biendP = ρgdr
dP
dr= −ρg
puesto que ρ es proporcional a P , tenemos
ρ
ρ0=
P
P0
dP
dr= −gρ0
P
P0
dP
P= −gρ0
P0dr
sustituyamos gdP
P= −g0ρ0
P0
R2
r2dr∫ P
P0
dP
P= −g0ρ0R
2
P0
∫ r
R
dr
r2
Integrando
lnP
P0=g0ρ0R
2
P0
[1
r− 1
R
]P = P0e
g0ρ0R2
P0[ 1r−
1R ]
pero k =g0ρ0R
2
P0
P = P0ek(1/r−1/R)
2.1.2 Dinamica de Fluidos
15
2.2 Movimiento Ondulatorio
1. Una onda tiene una rapidez de 243m/s y una longitud de 3.27cm. Calcule a) su frecuencia, y b) superiodo.Solucion:
a)
f =v
λ
f =243m/s
3.27× 102cmf = 7.4× 103Hz
(b)
T =1
f
T =1
7.43× 103HzT = 1.3× 10−4s
2. Al mecer un bote, un nino produce ondas superficiales del agua en un lago tranquilo hasta ese momento.Se observa que el bote realiza 12 oscilaciones en 30s, y tambien que en 5.0s una cresta de onda llegaa la playa situada a 15m de distancia. Encuentre a) la frecuencia, b) la velocidad y c) la longitud deonda de las olas.Solucion:a)
f =1
T
f = 12
(1
30s
)f = 0.40Hz
b)
v =dx
dt
v =15m
5sv = 3m/s
c)
f =v
λ
λ =3m/s
0.4Hzλ = 7.5m
3. Una onda senoidal se propaga a traves de una cuerda. Un punto tarda 178 ms en pasar del desplaza-miento maximo al desplaza-miento cero. La longitud de onda es 1.38 m. Determine a) el periodo, b)la frecuencia y c) la rapidez de la onda.Solucion:
a)T = 4(178× 10−3s)T = 712× 10−3s
f =1
T
f =1
712× 10−3sf = 1.4Hz
v = fλv = (1.4Hz)(1.38m)v = 1.93m/s
16
4. Escriba una expresion que defina una onda transversal que se desplaza a lo largo de una cuerda en ladireccion +x, con una longitud de onda de 11.4cm, con una frecuencia de 385Hz y una amplitud de2.13cm.Solucion:
y(x, 0) = Asen2π
λx
y(x, t) = Asen2π
λf(u) donde: f(u) = x− vt
para determinar x de un movimiento transversal necesitamos definir el periodo T , de durante un tiempola onda recorre una distancia vT que debe corresponder a la longitud de onda.Solucion:
λ = vT
y(x, t) = Asen2π
(x
λ−(
1
T
)t
)y = (0.0213m)(sen2π)
(x
0.114)− (385z)t
)y = (0.0213m)sen ((55.1rad/m)x− 2420rad/s)t)
Rapidez de una onda en una cuerda estirada
5. Suponiendo que la rapidez de onda en una cuerda extendida dependa de la tension F y de la densidad
de masa lineal µ como v ∝ F a
µbpor medio de analisis dimensional demuestre que a =
1
2y b =
1
2.
Solucion:
[V ] = [F ]a[µ]−b
LT−1 = [MLT−2]a[ML−1]−b
LT−1 = Ma−bLa+bT−2a
−2a = 1→ a =1
2
a+ b = 0→ a = b→ 1
2= b
6. La ecuacion de una onda transversal que se desplaza por una cuerda esta dada por
y = (2.30mm)sen[(1.822rad/m)x− (588rad/s)t]
Calcule a) la amplitud, b) la longitud de onda, c) la frecuencia, d)la velocidad y e) la rapidez transver-sal de una partıcula de la cuerda.Solucion:
a. A = 2.30mm
b. λ =2πrad
T=
2πrad
1822rad/m= 3.45mm
c. f =ω
2π=
588rad/s
2πrad= 93Hz
d. v =ω
k=
588rad/s
1882rad/m= 0.323m/s
e. v = yω = (2.30mm)(588rad/s) = 1.35m/s
17
7. La ecuacion de una onda transversal que se desplaza por una cuerda muy larga esta dada por
y = (6.0cm)sen[2.0πrad/m)x+ (4.0πrad/m)t
Calcule a) la amplitud, b) la longitud de onda, c) la frecuencia, d)la velocidad e) la direccion de propa-gacion de la onda y f) la velocidad transversal maxima de una partıcula de la cuerda.Solucion:
a. A = 0.6m
b. λ =2πrad
2πrad/m
λ = 1m
c. f =4πrad/s
2πradf = 2Hz
d. v =4πrad/s
2πrad/m
v = 2m/s
f. v = yω
v = (0.06m)(4πrad/s)
v = 0.75m/s
8. Calcule la rapidez de una onda transversal en una cuerda de 2.15m de longitud y una masa de 62.5gbajo la tension de 487N .Solucion:
∂2y
∂x2=µ
F
∂2y2
∂2y2
=1
v2∂2y
∂t2
1
v2=µ
F
v =
√F
µ
v =
√√√√ 487N
0.0625kg
2.15m
v = 130m/s
9. La rapidez de una onda en una cuerda es 172m/s cuando la tension es 123N. ¿A que valor debemosaumentar la tension si queremos elevar la velocidad a 180m/s?Solucion:
del problema anterior podemos obtener la relacion
µ =F
v2
como es el mismo sistema, densidad lineal es igual en toda la cuerda
F1
v2=F2
V 2
F2 =(F1)(v2)
V 2
F2 =(123N)(180m/s)2
(172m/s)2
F2 = 135N
18
10. La ecuacion de una onda transversal en una cuerda es
y = (1.8mm)sen[(23.8rad/m)x+ (317rad/s)t]
La cuerda esta bajo la tension de 16.3N. Determine su densidad lineal de masa.Solucion:
v =317rad/s
23.8rad/m
v = 13.32m/s
µ =16.3N
(13.32m/s)2
µ = 0.019kg/m
11. Una onda transversal armonica simple se propaga a traves de una cuerda hacia la direccion izquierda(o − x) En la figura 18-24 se incluye una grafica del desplazamiento en funcion de la posicion en eltiempo t = 0. La tension de la cuerda es 3.6N y su densidad lineal es 25g/m Calcule a) la amplitud,b) la longitud de onda, c) la rapidez de onda, d) el periodo y e) la rapidez maxima de una partıculaen la cuerda. f) Anote una ecuacion que describa a la onda viajera
Solucion:
a) y = 5cm
b) λ = λf − λiλ = 5.5cm− 1.5cm
λ = 4.0cm
c) v =
√F
µ
v =
√3.6N
0.025kg/m
v = 12m/s
d) T =λ
vT =
0.40m
12m/sT = 3.33× 10−2s
e) v = λf =λ
T=ω
kω =
2π
Tv = yω
v =
(2π
T
)y v =
2π(0.05m)
3.33× 10−2sv = 9.4m/s
19
12. En la figura 18-25a, la cuerda 1 tiene densidad lineal de masa de 3.31g/m, y la 2 una densidad de masalineal de 4.87g/m. Estan bajo tension debido a un bloque suspendido de masa M = 511g. a) Calculela rapidez de onda en ellas. b) El bloque se divide ahora en dos (con M1 +M2 = M), y el aparato serearregla como se indica en la figura 18-25b. Determine M1 y M2, tal que la rapidez de onda de lasdos cuerdas sea igual.
Solucion:
∑F = ma TTen = ma Tten = (0.511kg)(9.8m/s2) = 5.01
como son 2 cuerdas, ejercen la misma fuerza sobre el bloque.
cuerda 1
v =F
µ
v =2.5N
3.31× 10−3kg/mv = 27.5m/s
v =F
µ
v =2.5N
4.87× 10−3kg/mv = 22.7m/s
b)
como la rapidez de onda es igual, del inciso a) podemos escribir la siguiente relacion√F1
µ1=
√F2
µ2
F1
µ1=F2
µ2
M1a
µ1=M2a
µ2
podemos ver que existen dos relaciones las aceleraciones son las mismas y M = M1 +M2 rescribiendola ultima
M1
µ1=M −M1
µ2M1
µ1+M1
µ2=M
µ2
M1 =
M
µ2
1
µ1+
1
µ2
M1 =
0.511kg
4.8× 10−3(3.31× 10−3kg/m)−1 + 4.8× 10−3)−1
M1 = 0.2kgentonces:M2 = 0.511kg − 0.2kgM2 = 0.3kg
20
13. Un alambre de 10.3 m de largo y con una masa de 97.8 g, es estirado bajo una tension de 248 N. Sien sus extremos se generan dos pulsos separados en el tiempo por 29.6 ms. ¿donde se encontraran lospulsos?Solucion:
v =
√F
µ
v =
√F
m/L
v =
√√√√ 248N
9.78× 10−2kg
10.3mv = 162m/s
los dos pulsos viajan en direccion contrariaal alambre, la distancia x1 en un tiempo ty el otro a una distancia x2 en un tiempot+ 29.6ms, y tenemos x1 + x2 = 10.3m
La ecuacion de onda
14. . Una cuerda de 2.72m de largo, tiene una masa de 263g. Su tension es 36.1N . ¿Cual debe ser lafrecuencia de las ondas viajeras de 7.70mm. a fin de que la potencia transmitida promedio sea 85.5WSolucion:
µ =M
L
µ =263× 10−3kg
2.72mµ = 9.6× 10−2kg/m
v =
√F
µ
v =
√36.1N
9.6× 10−2kg/mv = 19.3m/s
Ppro =1
2µω2y2v
w =
√2Pproµω2y2v
w =
√2(85.5W
(9.6× 10−2)(7.7× 10−3m)(19.3m/s)
15. Un observador mide una intensidad de 1.13W/m2 a una distancia desconocida, de una fuente de ondasesfericas cuya salida de potencia se ignora. El observador camina 5.30m acercandose a la fuente, ymide una intensidad de 2.41W/m2 en este nuevo lugar. Calcule la salida de potencia de la fuente.Solucion::
I =pproA
dado que la potencia es igual podemos y la relacion de las distancias r2 = r1 − 5.30 donde R = 5.30decir:
4π(r1)2I1 = 4π(r1 −R)2I2(r1)2I1 = ((r1)2 − 2rR+R2)
−I1I2
(r1)2 + (r1)2 − 2rR+R2 = 0(1− I1
I2
)(r1)2 − 2rR+R2 = 0(
1− 1.13W/m2
2.41W/m2
)(r1)2 − 2(5.3m)r + (5.3m)2 = 0
(0.531)r2 − (10.6m)r + (28.1)r1,2 = 10.6±
√(10.6)2 − 4(0.53)(28.1)
r1 = 3.15m y r2 = 16.8mP = IAP = 4πr2I1P = 4π(16.8m)2(1.13W/m2)P = 4.01× 103W
21
16. a) Demuestre que la intensidad 1, es el producto de la densidad de energıa u (energıa por volumenunitario) y la rapidez de propagacion v de una perturbacion de onda. es decir, que I = uv. b) Calculela densidad de energıa en una onda sonora situada a 4.82km de una sirena de 47.5kW , suponiendo quelas ondas sean esfericas, que la propagacion sea isotropica sin absorcion atmosferica y que la velocidaddel sonido sea 343m/s.Solucion:
I =P
A
IUt
A
I =U
At
I =uV
At
I =uAd
At
I = ud
tI = vu
Transferencia de Ondas
17. ¿Que diferencia de fase entre dos ondas viajeras identicas en las demas dimensiones que siguen la mismadireccion en una cuerda estirada, originara una onda combinada con una amplitud 1.65 veces la de laamplitud comun de las dos ondas combinadas? Exprese su respuesta en grados y en radianes.Solucion:
y(, t) = y1(x, t) + y2(x, t)
ym[sen(kx−−φ1) + sen(kx−−φ2)]
y(x, t) = [2ymcos((φ1 + φ2)/2)]sen(kx− wt− φ)
2ymcos
(φ1 + φ2
2
)cos
(1.56ym
2ym= cos(0.825)
φ = cos−1(0.825)
φ = 68◦
18. Determine la amplitud de la onda resultante cuando se combinan dos ondas senoidales que tienen igualfrecuencia y que se desplazan en la misma direccion, si su amplitud es de 3.20cm y de 4.19cm, y si sufase difiere en π/2rad.Solucion
y = ym1sen(ωt) + ym2sen(ωt+ π/2)
y = ym1sen(ωt) + ym2cos(ωt)
haciendo la siguiente sustitucion A1 =ym1
ymy A2 =
ym2
ym
y = ym(Asenωt+A2ωt)
volviendo a hacer otra sustitucion A1 = cosθ y A2 = senθ y aplicando una identidad trigonometrica,Tenemos:
yymsen(ωt+ γ) y se observa que (A1)2 + (A2)2 = 1 por cos2θ + sen2θ = 1 quedando:
ym =√
(3.2cm)2 + (4.19cm)2
ym = 5.27cm
22
Ondas Estacionarias
19. Una cuerda fija en ambos extremos mide 8.36m de largo y tiene una masa de 122g. Esta sujeta a unatension de 96.7 y se hace vibrar. a) ¿Que rapidez tienen las ondas en la cuerda? b) ¿Cual es la longitudde onda de la onda estacionaria mas larga posible? c) Indique la frecuencia de esa onda.Solucion:
a)
v =
√F
µ
v=
√F
m/L
v=
√√√√ 96.7N
0.122kg
8.36mv= 81.4m/s
b)λ = 2Lλ = 16.7m
c)
fv
λ
f =81.4m/s
16.7mf = 4.8Hz
20. Una cuerda de nailon de una guitarra tiene una densidad de masa lineal de 7.16g/m, y se halla bajouna tension de 152N . Los soportes fijos estan separados por una distancia de 89.4cm. La cuerda vibraen el patron de onda estacionaria que aparece en la figura 18-27. Calcule a) la rapidez, b) la longitudde onda y c) la frecuencia de las ondas componentes cuya superposicion da origen a esta vibracion.
Solucion:
a)
v =
√F
µ
v =
√152N
7.16× 10−3kg/mv = 146m/s
b)
λ =3
2(8.9× 10−1m)
λ = 0.6m
c)
f =v
λ
f =146m/s
0.6f = 245hz
21. La ecuacion de una onda transversal que se desplaza por una cuerda esta dada por
y = (0.15m)sen[(0.79rad/m)x− (13rad/s)t]
a) ¿Cual es desplazamiento en x = 2.3m, t = 0.16s? b) Escriba la ecuacion de una onda que, al sersumada a la onda en cuestion, producirıa ondas estacionarias en la cuerda. c) ¿Cual es el desplazamientode la onda estacionaria resultante en x = 2.3m, t = 0.16s?Solucion:a)y = −0.039m
b)y = (0.15m)sen[(0.79rad/m)x− (13rad/s)t]
c)
y = (0.30m)sen[(0.79rad/m)x− (13rad/s)t]cos[(13rad/s)(0.16s)]
y = −0.14m
23
22. Una cuerda vibra segun la ecuacion
y = (0.520cm)sen[(1.14rad/cm)x]cos[(137rad/s)t]
a) ¿Cuales son la amplitud y rapidez de las ondas componentes. cuya superposicion puede dar origena esta vibracion? b) Calcule la distancia entre los nodos. e) ¿Que velocidad tiene una partıcula de lacuerda en la posicion. x = 1.47cm en el tiempo t = 1.36s?Solucion:
a)amplitud 0.520cm
rapidez v =ω
k
v =137rad/s
1.14rad/cmv = 1.2m/s
b)
x =πrad
1.14rad/cmx = 0.0276m
c)
y = (0.520cm)sen[(1.14rad/cm)x]cos[(137rad/s)t]
dy
dt= v = −(0.520cm)(137rad/s)sen[(1.14rad/cm)(1.47cm]sen[(137rad/s)(1.36s]
v = 58.2cm/s
23. Las vibraciones de un diapason de 622Hz generan ondas estacionarias en una cuerda sujeta con grapasen ambos extremos. La rapidez de onda en la cuerda es 388m/s. La onda estacionaria tiene cuatrociclos y una amplitud de 1.90mm. a) ¿Que longitud tiene la cuerda? b) Escriba una ecuacion paraobtener el desplazamiento de la cuerda en funcion de la posicion y el tiempo.
a)
λ =v
f
λ =388m/s
622hzλ = 0.6m
x = nλ
2x = 2(0.6)x = 1.2m
b)
y(x, t) = ymsen(kx± ωt+ φ)
y(x, t) = (1.9mm)sen
(2π
0.624mx+ + +
2π
622st
)24. Una cuerda de violın de 15.0cm, fija por ambos extremos, vibra en su modo n = 1 . La rapidez de
las ondas en este alambre es de 250m/s, y la del sonido en el aire es de 348m/s. ¿Cuales son a) lafrecuencia. y b) la longitud de onda de la onda sonora emitida?Solucion:a)
fn =v
λn= n
v
2L
fn =250m/s
0.150mfn = 833Hz
b)
λ =v
f
λ =348m/s
883Hzλ = 0.4m
24
25. ¿Cuales son las tres frecuencias mas bajas de las ondas estacionarias en un alambre de 9.88m de largoque tiene una masa de 0.107kg, y que estiramos con una tension de 236N?Solucion:
v =
√FmL
fn = nv
2L
fn = n
√FmL
2L
fn = n
√√√√ FmL
4L2
fn = nF
4mL
f1 =236N
4(0.107kg)(9.88m)f1 = 7.47Hz
f2 = 2F
4mL= 2(7.47) = 14.9Hz
f3 = 3F
4mL= 3(7.47) = 22.4Hz
26. Un alambre de 1.48m de largo tiene una masa de 8.62g, y se halla bajo una tension de 122N . Estasostenido rıgidamente en ambos extremos y se hace vibrar. Calcule a) la rapidez de las ondas en elalambre, b) la longitud de onda de las ondas que producen ondas estacionarias de uno y dos ciclos enel alambre y c) las frecuencias de las ondas en b).Solucion:
a)
v =
√FmL
v =
√FL
m
v =
√(122N)(1.48m
8.62× 10−3kgv = 145m/s
λn = 2L
nλ1 = 2(1.48m)λ1 = 2.96mλ2 = 1.48m
c)
fn =v
λn
f1 =145m/s
2.96mf1 = 49Hz
f2 =145m/s
1.48mf2 = 98Hz
27. Se estira una cuerda de 75.6cm entre soportes fijos. Se observa que tiene frecuencias resonantes de 420y 315Hz, y ninguna otra entre esas dos frecuencias. a) ¿Cual es la frecuencia resonante mas baja dela cuerda? b) ¿Cual es la rapidez de onda en ella?Solucion:
fT = 420Hz −315Hz
fT = 105Hz
v = fλ
v = (105)Hz [2(0.756m)]
v = 160m/s
25
2.3 Principios de la Termodinamica
1. El punto de ebullicion y de fusion del agua en la escala Fahrenheit se escogio de modo que la diferenciaentre las dos temperaturas fuera 180F ◦, numero que se divide uniformemente entre 2, 3, 4, 5, 6 y 9.Disene una escala termometrica S en forma tal que el cero absoluto sea 0◦S y Tpe,agua − Tpf,agua =180S◦. a)¿Cual es la formula de conversion de Celsius a S? b) ¿Cuales son Tpe,agua y Tpf.agua en S?Solucion
Ts = TcTs = nTc − xcuando Ts = 0 n(−273.15◦)− x = 0x = 273.15◦nTs1 = n(100◦C)− xTs2 = n(0)− x
Ts1 − Ts2 = 100◦C(n)− x− 0(n) + xTs1 − Ts2 = 180◦S(100◦C)(n) = 180◦Sn = 1.8
◦S◦C
x = (273.15◦C)(1.8◦S◦C ) = 491.67◦S
Ts = (1.8◦S◦C )(Tc)− 49167◦
2. El cero absoluto es −273.15◦C. Encuentre el cero absoluto en la escala Fahrenheit.Solucion:
TF =9
5◦C + 32◦F
TF =9
5(−273.15◦C) + 32◦F
TF = −459◦F
3. Repita el ejercicio 1, pero escoja la nueva escala termometrica Q de manera que el cero absoluto 0◦Qy Tpe−agua − Tpf−agua = 100Q◦. a) ¿Cual es la formula de conversion de Celsius a ◦Q? b) ¿Cual esTpe.agua y Tpf−agua en Q? c) Esta escala existe en realidad. ¿Cual es su nombre oficial?Solucion:
Ts = mTc + b
0 = m(−273.15◦C) + b
b = 273.15◦C ·m
Ts1 − Ts2 = 100◦C(m) + b− (0◦)(m)− b
Ts1 − Ts2 = 100◦Q
100◦C(m) = 100◦Q
m = 1◦Q◦C
Ts = Tc + 273.15◦S
26
4. a) La temperatura en la superficie solar es de unos 6, 000K. Expresela en la escala Fahrenheit. b)Exprese la temperatura normal del cuerpo humano, 37.0◦C, en la escala Fahrenheit. c) En EstadosUnidos continental, la temperatura mas baja que se ha registrado es −70◦F en Rogers Pass (Montana).Expresela en la escala Celsius. d) Exprese el punto normal de ebullicion del oxıgeno, −183◦C en laescala Fahrenheit. e) ¿En que temperatura Fahrenheit un cuarto le parecerıa demasiado caluroso?Solucion:
a) Tf =9
5Tc + 32
Tf =9
5(6000◦k − 273.15)
Tf = 1000◦F
b) Tf =9
5Tc + 32
Tf =9
5(37◦C) + 32
Tf = 98.6◦F
Tc =5
9Tf − 32
Tc =5
9(98.6◦F )− 32
c) Tc =5
9(−70◦F )− 32
Tc = −57◦C
d) Tf =9
5(183◦C) + 32
Tf = −297◦F
5. Si el medico le dice que tiene usted una temperatura de 310K, ¿deberıa preocuparse? Explique surespuesta.Solucion:
Tk = T − 273.15◦
Tf =9
5Tk + 32
Tf =9
5(310◦K − 273.15) + 32
Tf = 98.3◦
6. ¿A que temperatura es la lectura de la escala Fahrenheit igual a a) el doble de la de Celsius, y b) lamitad de esta?Solucion:
T = 2
(5
9
)(T − 32)
9
10= T − 32
9
10T − T = −32
− 1
10T = −32
T = 320◦
T =1
2
(5
9
)(T − 32)
18
5T − T = −32
13
5T = −32
T =(−32)(5)
13T = −12.3◦
27
7. a) Aplique la ley del gas ideal y la definicion del coeficiente de expansion volumetrica (Ec. 21-12) parademostrar que β = 1/T en un gas ideal a presion constante. b) ¿En que unidades debe expresarse T?Si se expresa en ellas, ¿puede expresar en unidades de (C◦)−1? c) Estime el valor de β para un gasideal temperatura ambiente.Solucon:
a)4V = βV · 4TPV = nRTPdV = nRdTdV
dT=nR
PdV
dTV
=
nR
PV
β =nR
PV
unidades β =[1]
[T ]
b)β En Kelvisc)
β ≈ 1
300/kβ ≈ 3.3× 10−3
8. a) Calcule el volumen ocupado por 1.00 mol de un gas ideal en condiciones normales, es decir, con unpresion de 1.00atm(= 1.01× 105Pa) y una temperatura de 0◦C(273K). b) Demuestre que el numerode moleculas por centımetro cubico (el numero de Loschmidt) es 2.68× 1019 en tales condicionesSolucionPV = nRT
V =nRT
P
V =(1mol)(8.31J/mol)(273◦K)
(1.01× 105Pa)V = 2.25× 10−2m3
N◦moleculas =N◦avogadro
V
N◦moleculas =6.02× 1023mol−1
2.25× 10−2m3
2.68× 1019
9. El mejor vacıo que puede conseguirse en el laboratorio corresponde a una presion aproximada de 10−18
atm o 1.01× l0−13 Pa. ¿Cuantas moleculas hay por centımetro cubico en el a 22◦C?Solucion:
PV = nRT
n
V=
P
RT
n
V=
1.01× 10−13pa
(8.31J/K)(295K)
n
V= 25
1
m3
10. Cierta cantidad de un gas ideal a 12.0◦C y a una presion de 108 kPa ocupa un volumen de 2.47m3. a)¿Cuantas moleculas del gas hay? b) Si la presion llega ahora a 316 kPa y si elevamos la temperaturaa 31.0◦C. ¿que volumen ocupara el gas?
PV = nRT
n =PV
RT
n =(108× 103Pa)(2.47m3)
(8.31J/K)(273K + 12K))n = 113mol
v =nRT
P
V =(113mol)(8.31J/k)(31◦K + 273◦K)
316× 103PaV = 0.903m3
28
11. Gas oxıgeno con un volumen de 1.130cm3 a 42.0◦C y una presion de 101 kPa se expande hasta quesu volumen es 1, 530cm3 y su presion es 106 kPa. Encuentre a) el numero de moles de oxıgeno delsistema. y b) su temperatura finalSolucion:
PV = nRT
n =PV
RT
n =(101× 105Pa)(1.530× 10−3m3)
(8.31J)(315K)
n = 4.36× 10−2
TiPiVi
=TfPfVf
Tf =TiPfVfP1Vf
Tf =(315)(1.06× 105Pa)(1.530× 10−3m3)
(1.01× 105Pa)(1.130× 10−3m3)
Tf = 448K
29
