1. Autor: Br. Marina Mallol. Junio, 2014 Instituto
Universitario Politcnico Santiago Mario Extensin - Porlamar
Ingeniera de sistemas
2. Ejemplo dado el sistema de ecuaciones: 12x1+5x2-x3=15
X1-6x2-4x3=9 2x1-3x2+8x3=5 Con valores iniciales x1=, x2=3, x3=2
converger la solucin usando el mtodo de jacobi. Se chequea si la
matriz es diagonalmente dominante, si todas las desigualdades se
cumplen y la solucin debe converger por este mtodo . Solucin.
3. Para los valores iniciales X1=1 X2=3 X3=2 Luego. Despejamos
x1 de la ecuacin 1, x2 de 2 y x3 de 3
4. Ahora calculamos el error absoluto relativo aproximado De
las interacciones X1: X2: X3:
5. El mximo error absoluto relativo aproximado despus de la
primera iteracin es 86%
6. Considere dos plantas trmicas alimentando un sistema
elctrico de potencia. Los costos de combustibles asociados a cada
una de las dos unidades son: C1 = 4P1 + 0.01 P1 2 C2 = 2P2 + 0.03
P2 2 Observe que C1 la unidad ms econmica El objetivo es el de
minimizar el costo total de operacin mientras se satisfacen las
restricciones de igualdad: P1 + P2 = PD PD : Potencia Total
Demandada Utilizamos una funcin de costo aumentada con las
restricciones utilizando un multiplicador de Lagrange .
)(03.001.024 21 2 2 2 121 PPPPPPPC D
7. Derivando, las condiciones necesarias para la optimizacin
son: 4 + 0.02 P1 = 0 2 + 0.06 P2 = 0 P1 + P2 = PD eliminando P2 y
obtenemos una ecuacin para P1 0.08 P1 + (2-0.06 PD ) = 0 como PD es
informacin conocida, se encuentran las otras variables PD = 50 P1 =
12.5 P2 = 37.5 = 4.25 PD = 100 P1 = 50 P2 = 50 = 5 PD = 200 P1 =
125 P2 = 75 = 6.5 PD = 250 P1 = 162.5 P2 = 87.5 = 7.25
8. es diferente a 0 en todos los casos pues se cumple la
restriccin de igualdad Pi = PD, entre PD sea mayor, es mayor (mayor
costo marginal) P1 y P2 son positivos, pero estos valores obtenidos
podran violar restricciones de operacin mnimas y mximas de las
unidades generadoras. supongamos una restriccin de operacin en P1.
Imponiendo como ejemplo, restricciones de mnimo y mximo en la
planta ms barata esta restriccin se puede convertir en dos
restricciones: 50 P1 150 50 P1 0 P1 150 0
9. De acuerdo a la teora Kuhn Tucker , la funcin de costo
aumentada es las condiciones necesarias son: Considere el caso en
que PD = 50, en este caso se viola el lmite inferior y la solucin
ptima se obtiene utilizando P1 en el lmite inferior violado. Las
condiciones de optimalidad se dan con los requerimientos El lmite
superior no es violado, la solucin es: 4 + 0.02 P1 - 1 + 2 = 0 2 +
0.06 P2 = 0 P1 + P2 -PD = 0 1 ( 50 P1 ) = 0 2 ( P1 150 ) = 0
)150()50()()()( 121121 PPPPPPFPF D Ahora tenemos 5 ecuaciones en
lugar de tres P1 = 50 2 = 0 (No viola P1 = 150) P2 = 0 = 2 1 = 3
igi = 0
10. La solucin para el caso con PD = 250 viola el lmite mximo y
los resultados ptimos son: Cuando la demanda es de 100 o 200, no se
violan las restricciones de desigualdad por lo que P1 = 150 P2 =
100 1 = 0 2 = 1 = 8 1 = 2 = 0
11. Ejemplo: Cul es el rea mxima que puede tener un rectngulo
si la longitud de su diagonal es 4? Represente un rectngulo con
lados x e y, base y altura respectivamente. 4 x y La longitud de la
diagonal es 4, fjese que se forma un triangulo rectngulo. Funcin a
optimizar: maximizar en este caso: rea. rea de un rectngulo: A =
x.y 22 4 yx 22 16 yx Condicin a cumplir: De una manera ms
fcil:
12. xyAyAxA ,, yxgygxg 2,2, xy 2 )2( yx 422 yx Al tener
identificadas la funcin y la condicin, se determinan los
gradientes. As las ecuaciones de Lagrange son: .. (1) .. (2) .. (3)
2 2xxy )2( 2 yyx Al resolver el sistema, una de las formas puede
ser: Multiplicar la ecuacin (1) por x, y tambin la ecuacin (2) por
y, .. () .. (4) .. (5)
13. 22 22 yx 22 yx xy Se igualan las ecuaciones (4) y (5) Al
simplificar queda: Y Queda: 2 2xxy )2( 2 yyx 22 16 xx 2 216 x 8x
Luego una variable se expresa en funcin de la otra y se sustituye
en la ecuacin (3). Si y = x 422 yx
14. Como estamos midiendo distancias, x solo puede tomar
valores no negativos, as que se tiene un nico punto que es para x=8
, la altura y tambin vale. As se concluye que las dimensiones del
rectngulo corresponden con un cuadrado de lado 8. Su rea ser: A= 8
* 8 = 8
15. Dada una funcin de varias variables, sabemos que presenta
un punto crtico cuando su gradiente es nulo. Para identificar de qu
punto crtico se trata, debemos usar el criterio de la segunda
derivada. ste establece que dada una funcin f(x; y) que presenta un
punto crtico en (x0; y0), podemos calcular el siguiente
discriminante: 22 2 2 2 2 2 22 2 2 2 yx f y f x f y f xy f yx f x f
D Si D > 0 y > 0, se tiene un mnimo local en (x0; y0). Si D
> 0 y < 0, se tiene un mximo local en (x0; y0). Si D < 0,
se tiene un punto silla en (x0; y0). Finalmente, si D = 0 el
criterio de la segunda derivada no decide la naturaleza del punto
crtico en (x0; y0). Extremo no restrictos con 2 variables
16. Cuando se desea obtener los extremos absolutos de una
funcin en una cierta regin del dominio, se deben seguir los
siguientes pasos: 1) Hallar los puntos crticos de la funcin en el
dominio y calcular su valor en ellos. 2) Hallar los valores
extremos de la funcin sobre la frontera del dominio. 3) Determinar
los valores mximo y mnimo de entre todos los hallados en los dos
puntos anteriores. Hallar extremos restringidos significa
determinar los extremos de una funcin f(x; y) sujetos a una
restriccin g(x; y) = 0. Para ello debe plantearse la ecuacin
vectorial: El valor se conoce como multiplicador de Lagrange y es
un auxiliar para determinar los valores de las variables del
dominio que satisfacen la ecuacin vectorial y la restriccin. Si
existen varias restricciones, se plantean varios multiplicadores. f
= g Extremo no restrictos con 2 variables
17. 124);( 23 yxyxyxf 044 );();0;0(0043043 3 4 3 4 213 422
yxyxf PPxxxxyxf y x mximounes);(08);(comoyextremo;unes);(016);(
sillapuntounes)0;0(016)0;0( 1624 44 46 );( 4);( 4);( 6);( 3 4 3 4 3
4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 xx xy yy xx fD D x x yxD yxf yxf xyxf 1.)
Puntos crticos. Hallar y clasificar los puntos crticos de: Tenemos:
Ahora Solucin Extremo no restrictos con 2 variables
18. 2. y 3) Extremos absolutos. Hallar el valor mximo y mnimo
de la funcin f(x; y) = x2y(4 - x - y) en el tringulo limitado por
las rectas x = 0; y = 0; x + y = 6. 0)24(0)1()4(0 0)238(0)1()4(20 0
222 2 yxxyxyxx y f yxxyyxyxxy x f f Solucin a) Puntos crticos.
Primero debemos encontrar los puntos crticos de la funcin que se
encuentran en el dominio dado, que es el tringulo de extremos (0;
0), (6; 0), (0; 6). No interesa, a los efectos de obtener extremos
absolutos, determinar la naturaleza de los puntos crticos, sino
evaluar la funcin en ellos. Planteamos vemos que todos los puntos
con x = 0 son crticos. Si x 0, tenemos las siguientes posibilidades
para que ambas derivadas parciales sean nulas: )1;2(0240238
)0;4(40240 2 oresolviend 1 Pyxyx Pxyxy Extremo no restrictos con 2
variables
19. 3222 212)64)(6()4(66 xxxxxxyxyxxyyx 24600624212 232
yxyxxxxx dx d El primero de estos puntos pertenece a la frontera;
por lo tanto lo consideraremos cuando analicemos sta. En cuanto al
segundo punto, tenemos f(2; 1) = 2. b) Anlisis de la frontera. La
frontera se compone de tres tramos rectos. En x = 0 y y = 0 la
funcin asume el valor 0. En x + y = 6 podemos escribir: donde x va
variando de 0 a 6. Para determinar en qu punto del segmento de
recta x + y = 6 se produce un mximo o mnimo de esta funcin (en los
extremos del segmento asume el valor 0), podemos derivarla: De los
dos puntos obtenidos, (0; 6) es uno de los extremos del segmento,
donde la funcin vale 0, mientras que (4; 2) est dentro del segmento
oblicuo. Extremo no restrictos con 2 variables
20. Extremo no restrictos con 2 variables c) Evaluacin de la
funcin en los puntos obtenidos. Evaluando se tiene: f(segmento x =
0) = 0 f(segmento y = 0) = 0 f(2; 1) = 2 mximo absoluto f(4; 2) =
-64 mnimo absoluto
