ANTIDERIVADA

• Curso: Cálculo Integral CB131U

• Prof: PEÑA QUIÑONES, Celestina

• FIIS – UNI

• 29/08/08

ANTIDERIVADADefinición.- Una función F se dice que es la antiderivada de la funciín f sobre ba, si

baxxfxF ,,' Ejemplos

1. Dada la función 23xxf algunas antiderivadas de f son: 3xxF , 53 xxF ,

2. Algunas antiderivadas de xxf cos son xsenxF , xsenxF

3. Dada la función 21

1

xxf

, sus

antiderivadas son: 1,1,arccos xxxF , 1,1, xxarcsenxF , CxCxarcsenxF ,1,1,

Teorema 1.- Si baf ,: tal que baxxf ,,0' , entonces f es una función

constante sobre ba, Teorema 2.- si f y g son dos funciones tales que baxxgxf ,,'' , entoces al menos una constante real C tal que basobreCxgxf ,,

Teorema 3.- Si F es una antiderivada

particular de f sobre ba, , entonces la antiderivada mas general es CCxF ,

Para el proceso de hallar la antiderivada mas general de una función f sobre un determinado intervalo se emplean los símbolos

1D , . De modo que:

Si CCxFdxxfxfxFdx

d,

Si CCxFxfDxfxFDx ,1

Con frecuencia el símbolo se conoce como integral no definida y el número real C constante de integración. En la expresión dxxf , dx indica que x es la

variable bajo el símbolo , de modo que las enpresiones dxxf , dtxf son diferentes

Ya que CxF es la antiderivada + general de f, para cada valor de la constante C, se tiene una antiderivada particular.

En consecuencia el sistema

baF

xfxF ', tiene

solución única. La condición baF se conoce como condición en la frontera de la ecuación diferencial xfxF '

Propiedades

1. Cxdx

2. adxxfadxxaf , 3. dxxgdxxfdxxgxf

4.

nnCn

xdxx

nn ,1,

1

1

5. Cxx

dxln

EJEMPLOS

Hallar la antiderivada de las siguientes funciones:

,

74,53,5

2

34

3

2

1

5

32 dx

x

xdxxxdxx

,9,

3

15 8 12

4 332

5

dxxx

xdx

xxx

dtxxxdx

x

xx 32

3

2 34

3

INTEGRALES INMEDIATAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Csenxdxxcos

Cxdxsenx cos

Cxdxx tansec2

Canxdxxec cotcos 2

Cxdxxx sectansec

Cecxdxxecx costancos

Integrales que dan como resultado Funciones trigonométricas inversas

Como

1. 1,11

1 1

22

xCxsen

x

dx

xarcsenxDx

aaxC

a

xsen

xa

dx

xaa

xsenDx ,,

1 1

2222

1

En general

1/,1

' 1

2

xuxCxusenxu

dxxu

Como

CCx

x

dx

xxDx ,tan

11

1tan 1

221

aCa

x

axa

dx,tan

1 122

aCa

xu

axua

dxxu,tan

1' 122

Como 1,sec

11

1sec 1

22

1

xCxxx

dx

xxxDx

Ya que 1

1sec

2

1

xxxDx

aaxCa

x

aaxx

dx,,sec

1 1

22

,sec1' 1

22

Ca

xu

aaxuxu

dxxu

aaxux ,/

APLICACIONES

1. Se estima que dentro de x meses cierta población cambiará a razón de x62 personas por mes. Estimar la población dentro de 9 meses, si la población actual es de 5,000 personas.

2. Un fabricante ha encontrado que el costo marginal es

400603 2 qq soles por unidad cuando se han producido q unidades. Si el costo de producción de las 2 primeras unidades es de 900 soles. ¿Cuánto será el costo total de producir las primeras 5 unidades?

3. Hallar una función cuya recta tangente en el punto

xfx, tiene pendiente 13 2 x y cuya gráfica pasa por el punto 6,2 .

4. Un comerciante recibe un cargamento de 10,000 Kg. de arroz para ser comercializados en un período de 5 meses a razón de 2,000 kilos por mes. Si el costo de almacenamiento es de S/.0.01 por kilo por mes. ¿Cuánto pagará el comerciante por el almacenamiento?.

5. Despues de aplicar los frenos, cierto

automóvil disminuye su velocidad a una razón constante de 22pies/seg2. Si al momento de aplicar los frenos el automovil viajaba a 45millas/hora (66pies/seg). ¿Cuánto recorre el automovil antes de detenerse por completo?

Integración por sustitución

xgu

Teorema.- (Regla de la cadena para la antiderivada)

Sea derivable y 1-1 sobre A y sea una función cuya antiderivada es F, entonces si

BAg : Bf :

CxgFCuFduufdxxgxgf '

xgu

Corolario.- Si es una función derivable sobre A ,

entonces si , 1,

1'

1

nn

xgdxxgxg

nn xgu

Ag :

NOTA

El cambio de variable será posible siempre que:

1. Exista la composición de la función f con g y que g sea 1-1 sobre A

2. La función g puede algebraica, trigonométrica, hiperbólica, etc.

xgu

Ejemplos.- Hallar la antiderivada de las siguientes funciones.

dxxxsen 2, dx

x

arcsenx 21, dx

xx

xarcdx

x

x

1

sec

1

arctan22

dxxxxdxx 3253943 3

12

dxxx

xdx

xx

x

3 3

2

2 6

2

382

63,

dxxx

t

dtt4

42

dxxxt

dtt4

4

35

3

5

,

dx

x

x

xx

dx214

32

1

4

dxx

x

x

dxx 22 tan

tan1

sec4 , dxxxdxxxsen 655 coscos

Integración por Partes

TEOREMA.- Si , entonces bavu ,:, duvuvdvu

NOTA.- Para aplicar ésta técnica, el integrando se tiene que descomponer en dos factores, de modo que sea fácil hallar la antiderivada de uno de los factores.

Hay casos donde se aplica la integración por partes para hallar ésta antiderivada.

También hay casos en los que el método de integración por partes y el método de sustitución o cambio de variable se podrán aplicar en forma indistinta y casos en los que sólo uno de los dos métodos es aplicable.

Ejemplos.- Hallar la antiderivada de las siguientes funciones

xdxsenxsenxdx 1 , dxxxxdxx 11 tantan

dxxxdxx 4sec 351 , dxx

xdxxx

16994

223

dxx

xxdx

xx

3

2

23 102

1 ,

311 4x

dxx

x

dxx

3

322 cos311

x

dxsenx

xx

dxx

dxx

x

xsenx

dxxsenx

431cos

cos

dxxsendxxx nn cos

dxxdxx nn tansec

Sustitución Trigonométrica1. Si el integrando contiene factores de la forma , es

conveniente usar la sustitución trigonométrica de la forma

2. Si el integrando contiene factores de la forma , es conveniente usar la sustitución trigonométrica

3. Si el integrando contiene factores de la forma , es conveniente usarla sustitución trigonométrica

2 2a x

2 2x a

2,0,sec ttax

2 2x a

2,

2,tan

ttax

2,

2, tasentx

Ejemplos.- Hallar la antiderivada de las siguientes funciones

1.

2

22

94

x

dxxdxx

2.

22 4125

1

x

dxdx

x

x

3.

22 4125

1

x

dxdx

x

x

4. dxxx

xx

dx4

52

2322

5. dxxxx

xx

dxx4 ,

52

1 2322

6.

dx

senx

xxdx

xx

x

4

cos ,

4

22

2

2