Sea (V,K,+,*), Espacio Vectorial,

S={ 1, 2,..., n}

Se dice que un vector es combinación lineal de un conjunto de

vectores

S = { 1, 2,..., n}

si es que existe alguna forma de expresarlo como suma de parte de

todos los vectores de S, multiplicados a cada uno de ellos por un

escalar cualquiera .

El vector es combinación lineal de los vectores S ssi tal que:

Ejemplo:

Sea , espacio Vectorial

S = {(1,-1,0),(-2,3,-1),(2,1,-3)}

Combinación Lineal:

---> 3(1,-1,0) + 4(-2,3,-1) - 2(2,1,-3) = (-9,7,2)

---> 4(1,-1-0) + 5(-2,3,-1) - 6(2,1,-3) = (­18,5, 13)

Para saber que un vector es combinación lineal de otro, procedemos de

la siguiente manera:

= 0

Se nos formara un sistema de ecuaciones, el cual tendrá dos opciones

por el hecho de ser un sistema de ecuaciones homogéneo:

Que tenga única solución, lo que significa que ninguno de los vectores

es combinación lineal de otros.

Que tenga infinitas soluciones, es decir algún vector es combinación

lineal de los otros.

Por Ejemplo:

Determine si es combinación lineal.

S = {(1,0) , (0,1)}

ą ( 1, 0 ) + ß( 0 , 1 ) = ( 0 , 0 )

(ą , ß) = ( 0 , 0 ) Realizamos la matriz ampliada 1 0 0

0 1 0

Al desarrollar el determinante de la matriz ampliada, podemos ver

que tiene única solución, debido a que su determinante es diferente

de cero, por lo tanto, ninguno de sus vectores es combinación lineal

de otro.

2. S = { ( 1,2,3 ), ( 2, -1,0), (3,1,3) }

Entonces, como primer

paso: a ( 1, 2, 3 ) + b ( 2 , -1, 0 ) + t (3, 1, 3 ) = ( 0 , 0 )

Al desarrollarlo

tenemos:(a , 2b ,3 t) + (a 2, - b , t) + (3a ,3 t) = ( 0, 0, 0 )

Al Hacer la matriz ampliada, tenemos:

1 2 3 0

2 -1 1 0

3 0 3 0

Al obtener el determinante , nos da como resultado igual a cero,

por lo que podemos concluir dos cosas, que el sistema no tiene

solución o tiene infinitas soluciones, pero como es un sistema de

ecuaciones homogéneas, concluimos que tiene infinitas

soluciones.