Elaborado por:De Gracia, Yamileth

REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN

Definimos sistema de numeración como el conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para representar cantidades o datos numéricos.

Tienen como característica una base a la que referencian y que determina el diferente número de símbolos que lo componen. Nosotros utilizamos el sistema de numeración en base 10, compuesto por diez símbolos diferentes (del 0 al 9).

Los sistemas de numeración que utilizamos son sistemas posicionales, es decir, el valor relativo que cada símbolo representa quedará determinado por su valor absoluto y la posición que ocupe dicho símbolo en un conjunto.

SISTEMA DE NUMERACIÓN

Todos los sistemas posicionales están basados en el Teorema Fundamental de la Numeración (TFN), que sirve para relacionar una cantidad expresada en cualquier sistema de numeración con la misma cantidad expresada en el sistema decimal.

Viene dado por la fórmula siguiente: donde X es el valor absoluto del dígito en cuestión, i es la posición que ocupa el dígito con respecto al punto decimal y B es la base.

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA NUMERACIÓN

ii BX *

Un sistema de numeración posicional en base b usa un alfabeto de b símbolos distintos (o cifras), y cada posición tiene un peso especifico. Así, cada número se representará como una secuencia de cifras, contribuyendo cada una de ellas con un valor que dependerá de:

La cifra en sí. La posición de la cifra dentro de la secuencia

REPRESENTACIÓN POSICIONAL DE NÚMEROS

....... 432101234 nnnnnnnnnN

(Número expresado como secuencia de cifras donde cada pertenece al conjunto de símbolos)

...*********... 44

33

2´2

11

00

11

22

33

44

bnbnbnbnbnbnbnbnbnN

(Valor numérico del número N interpretado en base b)

in

ELEMPLO: supongamos que la base b es 10. El conjunto de símbolos será de 0 a 9. El número 345.2 puede representarse como:

1012 10*210*510*410*32.05403002.345

Utiliza la base b=2 y, por tanto, el alfabeto de símbolos será { 0,1 }.

REPRESENTACIÓN POSICIONAL Los valores de posición de la parte entera de un número

binario son las potencias positivas de dos:de derecha a izquierda

Los valores de posición de la parte fraccionaria de un número binario son las potencias negativas de dos:

de izquierda a derecha

EJEMPLO: el número binario 1101001

SISTEMAS DE NUMERACIÓN BINARIO

0123 45 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 -5-4-3 -21

1x2 0x2 0x2 1x2 0x2 1x2 2x11101001 0123456 =1x64 + 1x32 + 0x16 + 1x8 + 0x4 + 0x2 + 1x1= 64 + 32 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1= 105

El sistema numérico en base 8 se llama octal y utiliza los dígitos 0 a 7.

Los números octales pueden construirse a partir de números binarios agrupando cada tres dígitos consecutivos de estos últimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal.

SISTEMAS DE NUMERACIÓN OCTAL

0

1

2

3

4

5

6

7

000

001

010

011

100

101

110

111

NÚMERO OCTAL NÚMERO BINARIO

El sistema de numeración hexadecimal es un sistema de base 16.

En un sistema hexadecimal debe haber por tanto 16 dígitos distintos.

Como sólo disponemos de diez dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) necesitamos ampliar esa cantidad y se hace mediante letras, con la siguiente relación en sistema decimal:

SISTEMAS DE NUMERACIÓN HEXADECIMAL

A B C D E F

10 11 12 13 14 15

EJEMPLO: el número hexadecimal 3BD2 convertido a su equivalente decimal:

0123 2x16 13x16 11x16 x163 2x1 13x16 11x256 x40963

2 208 2816 12288 15314

Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido obtenidos (parte entera del número).

Ejemplo: para convertir al sistema binario el número 6710 haremos una serie de divisiones que arrojarán los restos siguientes:

CONVERSIÓN DE DECIMAL A BINARIO

67 : 2= 33Resto 133 : 2= 16Resto 116 : 2= 8Resto 0 8 : 2= 4Resto 0 4 : 2= 2Resto 0 2 : 2= 1Resto 0 1 : 2=0Resto 1

Tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria 1000011

EJERCICIO. Expresa en código binario el número 191

CONVERSIÓN DE DECIMAL A BINARIO

191 : 2= 95 Resto 1 95 : 2= 47 Resto 1 47 : 2= 23 Resto 1 23 : 2= 11 Resto 1 11 : 2= 5 Resto 1 5 : 2= 2 Resto 1 2 : 2=1 Resto 0 1 : 2=0 Resto 1

Tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria 10111111

La forma de pasar un número decimal a hexadecimal es dividiendo entre la base del sistema, en este caso 16. Veamos un ejemplo.

CONVERSIÓN DE DECIMAL A HEXADECIMAL

2654 : 16= 165 Resto 14 E 165 : 16= 10 Resto 5 10 : 16= 0 Resto 10 A

Tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra hexadecimal A5E

EJERCICIO: Convierte al sistema hexadecimal el siguiente número 409510

CONVERSIÓN DE DECIMAL A HEXADECIMAL

14095 : 16= 880 Resto 15 F 880 : 16= 55 Resto 0 55 : 16= 3 Resto 7 3: 16 =0 Resto 3

Tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra hexadecimal 370F

La conversión de un número decimal a octal se hace con la misma técnica que ya hemos utilizado en la conversión a binario y hexadecimal, mediante divisiones sucesivas por 8 y colocando los restos obtenidos en orden inverso.

EJEMPLO: Convierte el número 122 a base 8.

CONVERSIÓN DE DECIMAL A OCTAL

122 : 8= 15 Resto 2 15 : 8= 1 Resto 7 1 : 8= 0 Resto 1

Tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra octal 172

EJERCICIO. Convertir 1409510 a su equivalente en octal

CONVERSIÓN DE DECIMAL A OCTAL

14095 : 8= 1761 Resto 7 1761 : 8= 220 Resto 1 220 : 8= 27 Resto 4 27 : 8= 3 Resto 3 3 : 8= 0 Resto 3

Tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra octal 33417

El proceso para convertir un número del sistema binario al decimal es aún más sencillo; basta con desarrollar el número, teniendo en cuenta el valor de cada dígito en su posición, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado más a la derecha, y se incrementa en una unidad según vamos avanzando posiciones hacia la izquierda.

Por ejemplo, para convertir el número binario 10100112 a decimal, lo desarrollamos teniendo en cuenta el valor de cada bit:

= 1*26 + 0*25 + 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 1*64 + 0*32 + 1*16 + 0*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1= 64 + 0 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1= 83

CONVERSIÓN DE BINARIO A DECIMAL

EJERCICIO. Expresa, en el sistema decimal, los siguientes números binarios:110111, 111000.

=110111= 1*25 + 1*24 + 0*23 + 1*22 + 1*21 + 1*20 = 1*32 + 1*16 + 0*8 + 1*4 + 1*2 + 1*1= 32 + 16 + 0 + 4 + 2 + 1= 55

=111000= 1*25 + 1*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 0*20 = 1*32 + 1*16 + 1*8 + 0*4 + 0*2 + 0*1= 32 + 16 + 8 + 0 + 0 + 0= 56

CONVERSIÓN DE BINARIO A DECIMAL

La conversión entre números hexadecimales y binarios se realiza "expandiendo“ o "contrayendo" cada dígito hexadecimal a cuatro dígitos binarios.

Por ejemplo, para expresar en hexadecimal el número binario 1010011100112 bastará con tomar grupos de cuatro bits, empezando por la derecha, y reemplazarlos por su equivalente hexadecimal:

10102 = A16

01112 = 716

00112 = 316

y, por tanto: 1010011100112 = A7316

En caso de que los dígitos binarios no formen grupos completos de cuatro dígitos, se deben añadir ceros a la izquierda hasta completar el último grupo. Por ejemplo:1011102 = 001011102 = 2E16

CONVERSIÓN DE BINARIO A HEXADECIMAL

EJERCICIO. Convierte a hexadecimales los siguientes números binarios:10101001010111010102, 1110000111100002

1010100101011101010 Debemos agregar un 0 para completar el último grupo de bits 01010100101011101010

1010= 1*23 + 0* 22 + 1*21 + 0*20 = 10 A1110= 1*23 + 1* 22 + 1*21 + 0*20 = 14 E1010= 1*23 + 0* 22 + 1*21 + 0*20 = 10 A0100= 0*23 + 1* 22 + 0*21 + 0*20 = 4 0101= 0*23 + 1* 22 + 0*21 + 1*20 = 5

10101001010111010102 54AEA16

CONVERSIÓN DE BINARIO A HEXADECIMAL