7 Procesos Continuos - Espacio de Estado

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DEFINICIONES

La notación de espacio de estado busca representar por medio de ecuaciones diferenciales de primer orden, llamadas ecuaciones de estado, las relaciones dinámicas internas y externas de los sistemas físicos.

Anotación general:

),,(

),,(

tuxgy

tuxfx

Unidad académica: IngenieríasFacultad: Ingeniería ElectrónicaProfesor: Marisol OsorioE – mail: marisol.osorio@upb.edu.co

f y g son en general funciones no necesariamente lineales.

Si f y g son lineales e invariantes en el tiempo, las ecuaciones toman su forma matricial:

)()()(

)()()(

tDutCxty

tButAxtx

DEFINICIONES

A la ecuación para se le conoce como ecuación de estados y a la ecuación para y se le conoce como ecuación de salidas. Tanto x, como y y u son en general vectores.

Estado: Es un concepto que se refiere al comportamiento dinámico de un sistema en el tiempo. El estado de un sistema está determinado por el valor del conjunto mínimo de variables de estado que define el comportamiento dinámico del mismo para todo tiempo t>t0.

x

DEFINICIONES

Variables de Estado:

Conjunto de variables internas o externas, observables o no, medibles o no, que representan completamente el comportamiento dinámico de un sistema desde el punto de vista de la energía que se almacena en él. La cantidad de variables de estado que se requiere para representar un sistema determina el orden del mismo.

DEFINICIONES

La expresión matricial de las ecuaciones de estado es así:

)(

.

.

)(

)(

..

...

...

...

..

..

)(

.

.

.

)(

)(

...

...

...

...

...

)(

.

.

.

)(

)(

2

1

21

22221

11211

2

1

21

22221

11211

2

1

tu

tu

tu

bbb

bbb

bbb

tx

tx

tx

aaa

aaa

aaa

tx

tx

tx

rnrnn

r

r

nnnnn

n

n

n

DEFINICIONES

En un sistema físico usualmente se definen las variables de estado en relación con los elementos que almacenan energía.

Establecer así las variables de estado permite definir el diagrama de estado del sistema y obtener la función de transferencia del mismo definiendo como salida cualquiera de los estados del sistema.

DEFINICIONES

Diagrama de Estado:

Gráfico que representa el flujo de señal en el sistema y que permite describir ecuaciones de estado y ecuaciones diferenciales.

DEFINICIONES

Matriz de Transición de Estado:

Matriz función del tiempo, que representa el comportamiento en el tiempo de los estados y permite conocer su valor en todo momento conocidos los valores iniciales de los estados cuando la entrada al sistema es cero. Su relación con los estados del sistema es:

0)()( xttx

DEFINICIONES

MATRIZ DE TRANSICIÓN DE ESTADOS

)()()()()()()(

)()()()]()([)]([1

01

0

0

sBUAsIxAsIsXsBUxsXAsI

sBUsAXxssXtButAxLtxL

Se conoce como Φ(t) y puede hallarse por medio de la transformada de Laplace de la ecuación de estados así:

Puede observarse que el comportamiento de los estados en el dominio de la frecuencia, si las entradas del sistema se hacen cero, se puede determinar mediante la matriz inv(sI-A), si se conocen los estados iniciales del sistema. Obsérvese que entonces esta matriz coincide con la definición de Φ(t), pero en el dominio de la frecuencia, por lo que es llamada Φ(s).

MATRIZ DE TRANSICIÓN DE ESTADOS

Φ(t) puede encontrarse con la transformada inversa de Laplace de inv(sI-A), que similarmente a las expresiones escalares puede encontrarse así:

La transformada inversa se aplica sobre cada uno de los términos de la matriz inv(sI-A)

tat esLeas

L AAI

111 1

MATRIZ DE TRANSICIÓN DE ESTADOS

Φ(t) se halla con una serie parecida a la usada para funciones escalares:

Este método no es el más adecuado para cálculos analíticos, y queda reservado a las situaciones en las que la matriz de transición de estados debe calcularse numéricamente.

...!3!2

3322

tAtA

AtIe tA

MATRIZ DE TRANSICIÓN DE ESTADOS

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Si en la ecuación

Las condiciones iniciales de los estados se hacen cero, la expresión para X(s) será:

)()()()( 10

1 sBUAsIxAsIsX

)()()( 1 sBUAsIsX

Si lo anterior se reemplaza en la ecuación de salidas, queda:

La matriz

Se llama matriz de transferencia del sistema.

)()()( 1 sBUAsICsY

BAsICsH 1)()(

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

CAMBIO DE BASE

Para analizar las diferentes propiedades de los sistemas definidos en espacio de estado y también por conveniencia, es necesario en ocasiones realizar cambios de base que consisten en la substitución de un vector de estados por otro a través de la transformación lineal.

Txz

z es el vector de estados nuevo, obtenido a partir del vector anterior x, por medio de la multiplicación del mismo por la matriz de cambio de base T.

Esta matriz es por definición cualquier matriz cuadrada regular, pero para determinados cambios de base específicos puede tomar formas predefinidas, como se verá.

CAMBIO DE BASE

Cuando la función para el cambio de base se reemplaza en las ecuaciones de estado y de salida se obtiene:

Y en la ecuación de salidas:

TBuzTATzBuzATzT 111

DuzCTy 1

CAMBIO DE BASE

Lo anterior puede escribirse:

Con:

Es de anotar que la función de transferencia del sistema no se modifica con el cambio de base realizado.

uDzCy

uBzAz~~

~~

DDCTc

TBBTATA

~~

~~

1

1

CAMBIO DE BASE

FORMAS CANÓNICAS

Son representaciones diversas de las ecuaciones de estado que se consiguen a través de cambios de base de la formulación original o a partir de la función de transferencia del sistema.

FORMA CANÓNICA DE JORDAN

Esta forma se consigue cuando la función de transferencia es expandida en sus fracciones parciales así:

n

n

s

r

s

r

s

rbsH

2

2

1

10)(

Las matrices que corresponden a esta expresión de la función de transferencia son las siguientes:

021

2

1

1

1

1

00

00

00

bDrrrC

BA

NnN

N

n

N

FORMA CANÓNICA DE JORDAN

Obsérvese que los elementos en la diagonal de AN corresponden a los polos del sistema, y son los eigenvalores o valores propios de A para cualquier formulación en espacio de estado del sistema. Si el sistema tiene polos repetidos, la expansión en fracciones parciales es más compleja y también la expresión matricial.

FORMA CANÓNICA DE JORDAN

En el caso de polos repetidos, H(s) expandida tiene la forma:

En este caso, el polo i-ésimo está repetido k veces.

n

nk

i

ki

i

i

i

i

s

r

s

r

s

r

s

r

s

rbsH

)()()(

221

1

10

FORMA CANÓNICA DE JORDAN

En este caso las matrices quedan:

011

1

1

1

0

0

1

1

00000

001000

000100

000000

000

0000

bDrrrrC

BA

NnkiiN

N

n

i

i

N

FORMA CANÓNICA DE JORDAN

Si un sistema se encuentra en otra representación, puede llevarse a la forma canónica de Jordan haciendo un cambio de base usando la matriz de transformación T construida con los vectores propios de A:

pi son vectores que cumplen con la ecuación

npppT 21

iii App

FORMA CANÓNICA DE JORDAN

También se conoce como la forma compañera I.

Cuando la función de transferencia puede expresarse de la forma:

01

1

1)(

asasasH

nn

nn

FORMA CANÓNICA DE JORDAN

Las matrices quedan de la forma:

Propuesto: Qué pasa cuando el polinomio en el denominador de la función de transferencia es diferente de 1?

01

000

0

0

0

1

0100

0010

00010121

Da

C

B

aaaa

A

n

nn

FORMA CANÓNICA CONTROLABLE

También se conoce como la forma compañera II.

Cuando la función de transferencia puede reorganizarse para que quede así:

)()(1

)()(1

)()( 0011 sUbsYas

sUbsYas

sUbsYannnnn

FORMA CANÓNICA CONTROLABLE

Las matrices quedan de la forma:

n

n

n

n

n

nnn

nnn

n

n

a

bD

aC

bab

bab

bab

bab

B

a

a

a

a

A

0001

000

100

010

001

00

11

22

11

0

1

2

1

FORMA CANÓNICA CONTROLABLE

CONTROLABILIDAD

Un sistema es controlable si y sólo si, es posible, por medio de la entrada, llevar al sistema, de cualquier estado inicial x0 a cualquier otro estado x(t) en un tiempo finito t.

Un sistema es observable si, y sólo si, es posible conocer un estado arbitrario anterior x(t) con solamente un registro finito y(τ) de la salida. (0≤ τ≤T).

OBSERVABILIDAD

CONDICIONES DE CONTROLABILIDAD

Para juzgar controlabilidad es posible tomar alguno de los siguientes caminos:

1. Llevar el sistema a su forma canónica de Jordan.

Si en esta forma sin polos repetidos, ninguno de los elementos de B es igual a cero, el sistema es controlable. En caso de que haya polos repetidos, es posible que los elementos de B que correspondan al bloque de Jordan de polos repetidos, sean iguales a cero, excepto el primero de ellos.

2. Construir la matriz de controlabilidad:

Si esta matriz tiene rango n, el sistema es controlable.

BAABBS n 1

CONDICIONES DE CONTROLABILIDAD

Para juzgar observabilidad es posible tomar alguno de los siguientes caminos:

1. Llevar el sistema a su forma canónica de Jordan.

Si en esta forma sin polos repetidos, ninguno de los elementos de C es igual a cero, el sistema es observable. En caso de que haya polos repetidos, es posible que los elementos de C que correspondan al bloque de Jordan de polos repetidos, sean iguales a cero, excepto el primero de ellos.

CONDICIONES DE OBSRVABILIDAD

2. Construir la matriz de observabilidad:

Si esta matriz tiene rango n, el sistema es controlable.

1nCA

CA

C

V

CONDICIONES DE OBSRVABILIDAD

CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD

Si se define una matriz M:

1000

1

00

10

1

1

231

121

n

n

n

a

aaa

aaa

M

Es posible definir una matriz de cambio de base a forma controlable:

En donde S es la matriz de controlabilidad.

Es posible definir una matriz de cambio de base a forma observable:

En donde S es la matriz de observabilidad.

SMP

1 MVQ

CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD

DISEÑO DE CONTROLADORES DE

ESTADOS

En un proceso en que todos los estados sean accesibles, es posible realizar una “asignación de polos” por medio de una matriz de ganancia:

Para un sistema en notación de espacio de estado, el uso de esta matriz G para implementar la ley de control u=-Gx hace que la ecuación de estados quede:

][ 21 ngggG

xBGAx

Aparece entonces una matriz dinámica de lazo cerrado AC cuyos valores propios determinarán la dinámica del sistema:

Si estos valores propios se sintonizan adecuadamente, es posible que la dinámica del sistema se comporte como se desea (teóricamente).

BGAAC

DISEÑO DE CONTROLADORES DE

ESTADOS

Si el sistema se encuentra en su forma controlable, esto es particularmente fácil, porque

Y basta hacer que ai+gi=â donde â serían los coeficientes de la ecuación característica del sistema con la dinámica deseada.

0100

0010

00010112211

nnnn gagagaga

A

DISEÑO DE CONTROLADORES DE

ESTADOS

DISEÑO DE OBSERVADORES

En el diseño de controladores se supuso acceso asegurado a los estados del sistema, pero esto no siempre es posible.

Si el sistema es observable, es posible definir un sistema dado por:

La idea es hacer decrecer asintóticamente el error dado por:

KyuBxAx ˆˆˆ̂

uBBxAKCaeA

KCxuBexABuAxxxe

)ˆ()ˆ(ˆ

ˆ)(ˆ

Para esto puede hacerse:

K es una matriz definida:

K debe ser tal que asegure que el error decrezca asintóticamente.

BB

KCAA

ˆ

ˆ

nk

k

k

K2

1

DISEÑO DE OBSERVADORES

Si el sistema se encuentra en su forma observable, esto es particularmente fácil, porque

Y basta hacer que ai+ki /an=â donde â serían los coeficientes de la ecuación característica del sistema con la dinámica deseada

000

100

010

001

0

11

22

11

n

n

n

n

nn

nn

a

ka

a

ka

a

ka

a

ka

A

DISEÑO DE OBSERVADORES