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8.- Análisis de
FourierDr. Servando López Aguayo
Agosto-Diciembre 2017
En la clase pasada…
Recordemos:
En esta clase:
Análisis de Fourier
La existencia de dos mundos!
Ah y recordemos hace tiempo… a los super campeones! ☺
Análisis de Fourier
La parte matemática ya la saben… en teoría.
Y la parte física también…. en teoría.
En esta sesión, nos concentraremos en ver
algunos fenómenos que ocurren en la versión
“computacional” del análisis de Fourier:
Series de Fourier
Transformada de Fourier
Transformada rápida de Fourier
Nuestro amigo Fourier Descomposición utilizando sumas de
ondas senoidales.
Recordemos: series de Fourier
¿Cómo obtengo los coeficientes?
¿Qué pasa si la función es par o impar?
Actividad 1 Calcular los coeficientes correspondientes de
la serie de Fourier de la función dada por:
Grafica la aproximación dada por la suma de Fourier usando 5, 10, 50 y 100 Términos.
Comentar y reportar los resultados obtenidos.
La transformada de Fourier
Recordemos el legendario par:
Si pensamos en su versión discreta… ¿qué
podemos concluir en relación
a las series de Fourier?
Extra: percepción visual de
las frecuencias
¿Vemos realmente el mundo
cómo es?
Principio de
incertidumbre
1.- Nuestras simulaciones son hechas en
un espacio discreto.
2.- Necesitamos que nuestras funciones
sean “limitadas en banda”.
Recordar:
Crear el vector x=-1 : .02 : 1;
Crear las funciones:
y1=cos(2*pi*f1*x);
y2=cos(2*pi*f2*x);
A) Graficar y1 & y2 con f1=1 y f2=52.
B) Graficar y1 & y2 con f1 =1 y f2=51
Contestar: ¿Qué se observa? ¿Por qué se da este fenómeno?
Actividad # 2
Errores al realizar el muestreo discreto de
funciones continuas.
En Fourier, se estila que el dominio en
frecuencia angular (kx) sea:
Aliasing
Matlab:
y plot(cos(1:1000),’.’)
Transformada discreta de
Fourier
Consideraciones:
La razón de muestreo:
Transformada discreta de
Fourier
Por lo tanto:
Por lo que se sólo se puede representar
un número FINITO de
frecuencias:
La DFT
Por lo que tenemos como la “DFT”:
La IDFT De manera similar con la transformada
inversa se tiene:
Sin embargo…
Hay varias consecuencias!
El dominio en frecuencias se vuelve
periódico.
Existe un compromiso entre el dominio
temporal y el dominio frecuencial.
Aliasing.
Manera alternativa de la DFT
Podemos reescribir la DFT como:
Vámonos al break!!
Regresamos en 10 minutos!!
Actividad 3 Programar la DFT y la IDFT.
Utilizando su programa, calcular la transformada de Fourier de un pulso Gaussiano que está dado por:
F(t) = exp(-t2)
Comprobar que su transformada de Fourier es otro pulso Gaussiano. Recuperar nuevamente F(t) utilizando la IDFT. Reportar y comentar resultados obtenidos.
Y con ustedes… la fft!
Fast Fourier Transform: es una manera de
calcular la DFT maximizando la velocidad
de cómputo.
Realizado por Cooley y Tuckey en 1965.
Idea de la FFT Utilizar la periodicidad del algoritmo, para
N=8 por ejemplo:
Idea de la FFT Realmente necesitamos calcular tantos
coeficientes?
Idea de la FFT
Por lo que tenemos:
Idea de la FFT
Y reacomodando términos:
Idea de la fft
Y utilizando la “operación mariposa”:
Idea de la FFT
Idea de la FFT Fin: ordenar previamente nuestro vector!
FFT
Eficiencia de la DFT:
Eficiencia de la FFT:
Vale la pena programar dicho algoritmo?
Actividad 4
Comparar el número de operaciones
usando la DFT vs la FFT para N datos,
donde N va de 2 a 4096 datos.
Reportar y comentar los resultados
obtenidos.
Y con Matlab? Tenemos los siguientes comandos: fft, ifft,
pero además fftshift y ifftshift.
Obtener la fft de los datos utilizados en la actividad pasada.
Actividad 4
Calcular la transformada de Fourier de un
pulso Gaussiano utilizando los comandos
de Matlab
Graficar, comentar y reportar los
resultados.
Y eso es todo!!
Listo mis estimados!!
Nos vemos el siguiente miércoles!!
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