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Ensayo Recibido 15 de diciembre 2010 Aceptado 19 febrero 2011
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 pp 186-202 ISSN 1683-0768
Aplicacioacuten de ecuaciones diferenciales parciales a problemas de transferencia de
calor
David Amurrio D
Dept de Ciencias Exactas e Ingenieriacutea Universidad Catoacutelica Boliviana C Maacuterquez esq
Pq J Trigo sn Cochabamba Bolivia
amurrioucbcbaedubo
Los grandes paradigmas que sustentan y delimitan las diferentes aacutereas del quehacer humano no son eternos Lentamente a lo largo de los antildeos de actividad profesional podemos percibir como estos se mueven casi imperceptiblemente cediendo ante las fuerzas creadas por el desarrollo del conocimiento y la emergencia de nuevas necesidades Ocasionalmente tenemos la fortuna de ser testigos del colapso estrepitoso de alguacuten paradigma y su reposicioacuten por otros que redefinen asiacute nuestros campos de accioacuten y nos obligan a modificar la curricula de nuestros estudiantes La transferencia de calor discutida ya por los antiguos (Heraacuteclito circa500 ac) y ldquocheville ouvriegravererdquo de la revolucioacuten industrial atraviesa ahora tiempos de cambio Temas como la crisis energeacutetica que se avecina la integracioacuten de procesos el calentamiento global y la necesidad de mayor eficiencia energeacutetica son algunos de los temas que deberaacuten afrontar nuestros futuros ingenieros
En su concepcioacuten moderna la transferencia de calor se inicia hace 200 antildeos [3] atraacutes cuando Jean Baptiste Joseph Fourier presentaba ante el Institut National en Paris sus primeros resultados sobre la propagacioacuten del calor en cuerpos soacutelidos1 Esquivando las complicadas poleacutemicas reinantes en su tiempo sobre la naturaleza del calor Fourier desarrolloacute su tesis sobre la propagacioacuten
1Meacutemoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides Presentado el 21 de diciembre de 1807 en el Institut National y transcrito por Poisson en el Nouveau Bulletin des Sciences para la Socieacuteteacute Philomatique de Paris tI p112-116 Ndeg 6 mars 1808 Paris Bernard
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 187
del calor en cuerpos soacutelidos Para poder desarrollar su planteamiento tuvo que crear una original herramienta matemaacutetica que le permitiese resolver las dificultades y explorar los alcances e implicaciones de su teoriacutea En su exposicioacuten Fourier aplicoacute su meacutetodo a problemas de flujo de calor en estado estacionario y no estacionario resolviendo problemas de transferencia de calor en cuerpos sencillos como una esfera un cilindro y una pared Pasados 2 siglos de su presentacioacuten inicial estudiantes cientiacuteficos e ingenieros se encuentran todaviacutea limitados a resolver analiacuteticamente problemas de transferencia de calor en una esfera un cilindro y una pared
El escaso progreso observado se debe a que las ecuaciones que describen el flujo de calor son ecuaciones diferenciales parciales aacuterea poco estudiada en la curricula de los ingenieros [5] Considerando los planteamientos baacutesicos para conduccioacuten de calor en un cuerpo en estado estacionario (eq 1) y no estacionario (eq 2) encontramos que soluciones analiacuteticas son accesibles solo en unos cuantos casos Descomponer el planteamiento inicial en series (teacutecnica desarrollada por el mismo Fourier) o adoptar meacutetodos numeacutericos implican procedimientos tediosos que finalmente son hasta irrelevantes por las posibilidades tan limitadas que tienen Problemas reales de conduccioacuten de calor en cuerpos tridimensionales donde ademaacutes intervienen consideraciones en la frontera y se inmiscuyen fenoacutemenos de conveccioacuten de calor y de radiacioacuten ameacuten de cambios de fase y generacioacuten de calor nunca han podido ser abordados de forma satisfactoria
02
2
2
2
2
2
=+
part
part+
part
part+
part
partgenq
z
T
y
T
x
Tk [1]
p
gen
C
q
z
T
y
T
x
T
t
T
ρα +
part
part+
part
part+
part
part=
part
part2
2
2
2
2
2
[2]
Nos encontramos ahora en un momento de transicioacuten El formidable desarrollo en teacutecnicas de coacutemputo que ha marcado estos uacuteltimos 40 antildeos nos ha llevado a un punto en el cual podemos empezar a arrancar a las ecuaciones en derivadas parciales de la oscuridad a la que fueron relegadas Remontando nuestras miradas a tiempos pasados podemos constatar coacutemo los 300 antildeos de reinado de la regla de caacutelculo fueron abruptamente terminados con la aparicioacuten en la deacutecada de los 70 de la calculadora electroacutenica que banalizoacute los caacutelculos de logaritmos y funciones trigonomeacutetricas La deacutecada de los 80 marcoacute la aparicioacuten de la computadora personal acompantildeada por la aplicacioacuten praacutectica de meacutetodos numeacutericos y la posibilidad de resolver modelos matemaacuteticos maacutes
188 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
complejos En la deacutecada de los 90 se constatoacute que los recursos de coacutemputo eran cada vez maacutes poderosos y veloces teacutecnicas como las de Runge-Kutta para la resolucioacuten de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias pasaron a formar parte de la curricula de los estudiantes de ingenieriacutea La pasada deacutecada ha visto la aparicioacuten de varios programas uacutetiles para la resolucioacuten de problemas de ecuaciones diferenciales parciales y el consecuente desafiacuteo de encontrar la mejor manera de integrarlos en la curricula
Meacutetodo numeacuterico con Matlabreg
Problemas de ecuaciones diferenciales parciales pueden ser planteados y resueltos con Matlab gracias a su herramienta pdetool [6] Aspectos resaltantes del programa seraacuten brevemente descritos a continuacioacuten pudiendo el interesado referirse a los manuales para mayor detalle
El programa se abre al escribir pdetool en la paacutegina principal de matlab resultando en la apertura de un GUI PDE Toolbox (se sugiere seleccionar la opcioacuten de Heat Transfer en lugar del Generic Scalar que aparece en la parte superior) El objeto a traveacutes del cual se desea conducir calor tiene que ser dibujado a escala (seleccionar Draw Mode en la pestantildea Draw) optando entre los botones marcados con un rectaacutengulo una elipse y un poliacutegono los cuales combinados de manera inclusiva (signo +) o exclusiva (signo -) en el espacio marcado Set formula terminan por reproducir el objeto deseado
Pasando enseguida a la pestantildea marcada Boundary (seleccionar Boundarymode) seleccionar sucesivamente cada borde y definir su estado respectivo
Las condiciones en la frontera ya pueden ser de tipo Dirichlet con temperaturas fijas o indeterminadas para paredes aisladas
aisladorh
TrhrTh
pared
rArr==
===sdot
00
1 [3]
O bien pueden corresponder a condiciones de tipo Neumann en el cual el flujo de calor estaacute determinado por condiciones externas
)()( infinminussdot=sdot TThTgradk paredfrontera [4]
Adoptando la nomenclatura del programa se deberaacute introducir el valor de temperatura externa multiplicado por la constante convectiva en g y el valor de la constante convectiva h en lugar de q
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 189
Para definir las condiciones al interior del objeto se debe seleccionar la pestantildea marcada PDE y luego optar por PDE Specification optando luego por un sistema de ecuaciones diferenciales parciales de tipo eliacuteptico (estado estacionario)
)())(( TThQTgradkdiv minussdot+=sdotminus infin [5]
Siendo esta uacuteltima ecuacioacuten ideacutentica a la ecuacioacuten [1] (el valor de h siendo nulo)
Para el estado no estacionario se optaraacute por el tipo paraboacutelico
)())((
TThQTgradkdivTC p minussdot+=sdotminussdotsdot infinρ [6]
Siendo eacutesta uacuteltima ecuacioacuten ideacutentica que la ecuacioacuten [2] (el valor de h siendo nulo)
La malla de elementos finitos se crea pulsando el botoacuten Mesh y optando por MeshMode y finalmente el problema se resuelve pulsando el botoacuten Solve ( en el caso del estado no estacionario se anotaraacute antes los valores iniciales de temperatura por medio de la opcioacuten Parameters bajo el mismo botoacuten de Solve)
Las temperaturas que corresponden a la solucioacuten del problema aparecen codificadas por color pudiendo antildeadirse opciones interesantes como las curvas de isotermas liacuteneas de flujo de calor temperaturas graficadas en un tercer eje etc (opciones presentes bajo la pestantildea Plot optando por PlotParameters)
Finalmente los resultados expresados como matrices correspondientes a las temperaturas puntuales las coordenadas de cada punto la identificacioacuten numeral de las mismas y los triaacutengulos definidos por familias de 3 puntos pueden ser todos exportados a la paacutegina principal de Matlab para ser alliacute procesadas (las pestantildeas de Mesh y Solve tienen la opciones de ExportMeshy ExportSolution)
Limitaciones del meacutetodo numeacuterico
Al concluir nuestros caacutelculos terminamos con valores de temperatura en funcioacuten de la posicioacuten (coordenadas x y) y tiempo (en el caso del estado no estacionario) En muy pocos casos sin embargo son las temperaturas T=f(x y t) la solucioacuten buscada a un problema real Las verdaderas respuestas buscadas a problemas reales estaacuten maacutes asociadas a los flujos de calor a predecir el destino final y el camino tomado por un sistema en base a sus condiciones iniciales en resumen a poder analizar y comprender una situacioacuten dada Otro peligro que
190 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
asecha al usuario es la naturaleza de ldquocaja negrardquo que tiene la solucioacuten No habiendo realizado personalmente los caacutelculos no tenemos coacutemo verificar su pertinencia Para contrarrestar estos aspectos hemos disentildeado una serie de praacutecticas que han sido aplicadas a lo largo de los uacuteltimos 5 antildeos [1] y que buscan inducir un entendimiento cabal de los fenoacutemenos de transferencia de calor guardando siempre una actitud criacutetica hacia el programa que ejecuta los caacutelculos Describimos a continuacioacuten algunas de las praacutecticas maacutes significativas porque consideramos que ya ha llegado el momento de integrar las ecuaciones diferenciales parciales en la curricula de los estudiantes de ingenieriacutea y esperamos que los ejemplos descritos contribuyan a establecer los paradigmas de su aplicacioacuten Todos los casos fueron resueltos con pdetool de Matlab y los resultados exportados a Matlab para ser procesados En varios casos nos encontramos al liacutemite de las capacidades del programa
Anaacutelisis de isotermas
Anteriormente al uso de meacutetodos numeacutericos los ingenieros desarrollaron meacutetodos graacuteficos para resolver problemas de transferencia de calor en 2 dimensiones Aunque el meacutetodo utilizado era muy limitado no pudiendo incorporar condiciones de conveccioacuten o radiacioacuten en las fronteras ni generacioacuten de calor al interior del objeto resta que el anaacutelisis que se realizaba sobre las isotermas y las liacuteneas de flujo retiene hoy en diacutea todo su valor para poder visualizar los flujos de calor y comprender la naturaleza y particularidades del problema que estamos analizando
Figura 1 Flujo de chocolate derretido en un tubo con aislante y un tutor con vapor para evitar su solidificacioacuten Un anaacutelisis de las isotermas nos permite
calcular el porcentaje de calor que el vapor pierde directamente hacia el
exterior (aproximadamente 40) el porcentaje de calor que le transfiere al
chocolate (60) y la proporcioacuten existente entre calor que le llega al chocolate
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 191
y el calor que eacuteste pierde hacia el exterior (relacioacuten de 5 a 3
aproximadamente) Tambieacuten es posible calcular la relacioacuten existente entre la
conductividad en el tubo respecto a la conductividad del aislante
Factores de forma y conveccioacuten
Para situaciones de flujo de calor en 2 dimensiones se recurrioacute en el pasado a la estimacioacuten de factores de forma S Estos uacuteltimos eran calculados en base a meacutetodos graacuteficos y permitiacutean tratar un problema dado como si eacuteste fuese simplemente un caso de flujo de calor unidimensional con el factor de forma realizando las correcciones necesarias para compensar el efecto en 2 dimensiones Existe una abundante literatura un tanto antigua en la cual se tiene expresiones para factores de forma aplicables a una gran cantidad de situaciones Todos los valores de S citados adolecen sin embargo de un defecto comuacuten a saber que en todos los casos se supone que las fronteras de los objetos estaacuten todos a la misma temperatura situacioacuten difiacutecilmente conciliable con la realidad en la cual condiciones variantes de conveccioacuten crean temperaturas diferentes sobre la superficie de los objetos a traveacutes de la cual se transfiere calor
Se ha retomado un ejemplo bastante comuacuten en los textos de transferencia de calor a saber el de un ducto circular rodeado por un aislante de seccioacuten cuadrada Dichos textos indican que el factor de forma para dicha situacioacuten puede calcularse por medio de la relacioacuten
=
r
a
LS
540ln
2π [7]
donde a es el lado del aislante y r es el radio del tubo
Dicho ejemplo ha sido retomado y resuelto bajo una serie de condiciones convectivas externas para poder determinar el factor de forma en funcioacuten de la constante convectiva externa Como el problema tiene 4 planos de simetriacutea es posible circunscribir el planteamiento a una octava parte del mismo (ver figura 2 superior) Se encontroacute para el ejemplo en cuestioacuten una relacioacuten lineal entre el factor de forma y la constante convectiva tal que S=04611h+512594 Si bien ambos meacutetodos dan resultados bastante similares cuando la constante convectiva es pequentildea al alcanzar los valores maacutes altos de h notamos que el error crece raacutepidamente alcanzando una diferencia de 30 cuando h=60
192 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
Figura 2 (arriba) Base de caacutelculo para el problema de conduccioacuten en una tuberiacutea de seccioacuten circular rodeada por un aislante se seccioacuten cuadrada
Noacutetese que para la pared inferior difiacutecilmente podriacutea argumentarse de que
estaacute a una temperatura constante (abajo) Flujos de calor calculados por el
meacutetodo de las ecuaciones diferenciales parciales y su comparacioacuten con
valores calculados con ayuda de los factores de forma
0 10 20 30 40 50 600
20
40
60
80
100
120
140
160
Constante convectiva h [Wm2K]
Calo
r [W
]
Fllujo de calor calculado por ecuacionesdiferenciales parciales
Flujo de calor calculado enbase al meacutetodo graacutefico
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 193
Conduccioacuten de calor en 3 dimensiones con generacioacuten interna
Un anaacutelisis de la reciente cataacutestrofe acaecida en Fukushima-Daiichi nos llevoacute naturalmente a interrogarnos sobre la temperatura a la que pueden llegar los pellets de material fisible cuando falla el sistema de enfriamiento El desafiacuteo matemaacutetico de este proyecto consistiacutea en calcular las temperaturas internas en un objeto en 3 dimensiones (pellets radioactivos) cuando el programa solo estaacute disentildeado para realizar caacutelculos en objetos de 2 dimensiones La simetriacutea del pellet obviamente permite reducir sus dimensiones a 2 expresadas como el eje radial y el eje axial Los estudiantes tuvieron que modificar el ingreso de las variables para tomar en cuenta aspectos como por ejemplo que las distancias creciacutean linealmente seguacuten los ejes pero que las aacutereas de transferencia variaban seguacuten el eje siendo eacuteste constante seguacuten el eje radial pero proporcional al eje axial De similar manera la cantidad de calor generado variaba linealmente seguacuten el eje axial pero al cuadrado del eje radial Para validar sus modificaciones se realizaron varios modelos exploratorios como por ejemplo el caacutelculo simple de conduccioacuten a traveacutes de un tubo representando este uacuteltimo como una pared en el cual el eje x corresponde al eje radial y comparando los resultados obtenidos con la solucioacuten analiacutetica del mismo
El modelo desarrollado permitioacute explorar una diversidad de situaciones como son por ejemplo
bull los efectos de la variacioacuten de la constante convectiva sobre la temperatura maacutexima y promedia en el pellet
bull para un volumen de pellet constante queacute relacioacuten de largo a diaacutemetro lleva a la maacutexima temperatura interna
bull coacutemo variacutean las temperaturas maacuteximas y promedias cuando el pellet cambia de forma (cilindro hueco esfera etc) etc
194 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
Figura 3 Temperaturas en un pellet de material fisible de 2 cm de largo (eje axial) y 2 cm de diaacutemetro (eje radial) Se adoptaron valores tiacutepicos de
generacioacuten de calor en pellets de combustible nuclear La figura ilustra la
situacioacuten cuando la constante convectiva cae a 200 Wm2K
Figura 4 Algunos valores calculados para los pellets radioactivos Efecto de la constante convectiva sobre la temperatura maacutexima (izquierda)
Temperatura maacutexima al interior de un pellet de volumen constante en
funcioacuten al radio del mismo (derecha)
Estado no estacionario y nuacutemero de Biot
Al abordar el tema de flujo de calor en estado no estacionario la primera solucioacuten con la que nos topamos es la solucioacuten de Newton caracterizada por el hecho de que la relacioacuten de conductividad respecto a convectividad es muy
00002
00040006
0008001
-001-0005
00005
0011800
2000
2200
2400
2600
2800
eje radial [m]eje axial [m]
Tem
pe
ratu
ra [
degC]
0 100 200 300 400 500 6001000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
Constante convectiva h [Wm2K]
Te
mp
era
tura
maacutex
ima
[degC
]
0006 0008 001 0012 0014 00162100
2200
2300
2400
2500
2600
2700
2800
radio [m]
Te
mp
era
tura
maacutex
ima
[degC
]
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grande En la praacutectica dicha condicioacuten estaacute cuantificada por un nuacutemero de Biot maacutes pequentildeo que 01
101 leequivk
hxNBi [8]
donde x1 = volumenaacuterea
El valor de 01 aparece maacutegicamente y muy pocos textos discuten el criterio detraacutes de dicha cifra su origen histoacuterico el rango de error que representa y las limitaciones existentes en cuanto a su aplicacioacuten a objetos con pequentildeos factores de esfericidad El anaacutelisis del estado estacionario por medio de aplicacioacuten de ecuaciones diferenciales parciales a una gran variedad de formas diferentes permitioacute apreciar mejor los liacutemites y alcances del criterio de NBilt01
Flujo de calor en 2 dimensiones y estado no estacionario
Cuando los textos de transferencia de calor [4] abordan el estado no estacionario encontramos una abundancia de graacuteficos en los cuales se puede inferir una temperatura reducida ya sea puntual ya sea promedio en funcioacuten a la relacioacuten existente entre dimensioacuten reducida conduccioacuten y conveccioacuten (hxk) y el tiempo reducido (αtx2)
Generalmente dichos graacuteficos se limitan a objetos sencillos como son una pared un cilindro y una esfera y tiacutepicamente adolecen de limitaciones en cuanto a los valores de conduccioacuten conveccioacuten y posicioacuten que podemos seleccionar resultando en que las aplicaciones praacutecticas que se les puede dar son un tanto limitadas
Hemos elaborado graacuteficos similares a los anteriormente descritos para objetos complejos En el caso ilustrado a continuacioacuten hemos tomado el nombre de nuestra publicacioacuten Acta Nova para crear un objeto cuyas paredes norte y este estaacuten aisladas y cuya temperatura cae desde 100ordmC a 0ordmC Los resultados obtenidos en pdetool (figura 5) fueron exportados a Matlab y procesados para calcular la temperatura promedio en funcioacuten al tiempo y la constante convectiva Finalmente se elaboraron los diagramas tiacutepicos para el sistema (figura 6) Los datos obtenidos tambieacuten fueron utilizados para explorar otros temas de intereacutes como ser el estudio de la evolucioacuten de los puntos de mayor tensioacuten mecaacutenica (por efecto de mayor gradiente de temperaturas) en funcioacuten al tiempo y la posicioacuten Noacutetese que dicho anaacutelisis es praacutecticamente imposible si nos limitamos a las graacuteficas tiacutepicas de temperatura reducida en funcioacuten al tiempo reducido
196 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
t =001
t =1
-10
-5
0
5
10
-5
0
50
20
40
60
80
100
120
Time=001 Color T Height T
985
99
995
100
1005
-10
-5
0
5
10
-5
0
5
0
20
40
60
80
100
120
Time=1 Color T Height T
75
80
85
90
95
100
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 197
t =10
t =50
-10
-5
0
5
10
-5
0
50
20
40
60
80
100
120
Time=10 Color T Height T
40
50
60
70
80
90
-10
-5
0
5
10
-5
0
5
0
20
40
60
80
100
120
Time=50 Color T Height T
10
20
30
40
50
60
70
80
90
198 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
t =100
t =200
-10
-5
0
5
10
-5
0
50
20
40
60
80
100
120
Time=100 Color T Height T
10
20
30
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50
60
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90
-10
-5
0
5
10
-5
0
50
20
40
60
80
100
120
Time=200 Color T Height T
10
20
30
40
50
60
70
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 199
t =300
t =600
-10
-5
0
5
10
-5
0
50
20
40
60
80
100
120
Time=300 Color T Height T
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
-10
-5
0
5
10
-5
0
50
20
40
60
80
100
120
Time=600 Color T Height T
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
200 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
t =1000
Figura 5 Evolucioacuten de temperaturas en funcioacuten a su posicioacuten y el tiempo para un cuerpo complejo
Figura 6 Evolucioacuten de la temperatura promedio reducida en funcioacuten al tiempo reducido para diferentes proporciones entre conveccioacuten y
conduccioacuten
-10
-5
0
5
10
-5
0
50
20
40
60
80
100
120
Time=1000 Color T Height T
1
2
3
4
5
6
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
10-3
10-2
10-1
100
Tiempo reducido X
Tem
pera
tura
reducid
a Y
hk
01
02
05
11523
410
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Max Planck y el congelado de papasprefritas
Los problemas de transicioacuten de fase son notoriamente difiacuteciles de modelar y pdetool no tiene ninguna opcioacuten para incorporar fenoacutemenos de generacioacuten de calor en cantidades limitadas (o en proporcioacuten a su masa) y en funcioacuten de la temperatura de modo que reacciones quiacutemicas en fase soacutelida estaacuten tambieacuten excluidas por el momento
Existe sin embargo un modelo sencillo para congelado propuesto por el gran fiacutesico alemaacuten Max Planck El planteamiento de Planck se resume a considerar la transicioacuten de fase como el factor limitante en la transferencia de calor de manera que el frente congelado penetra al interior del objeto en congelamiento con una velocidad limitada por la capacidad de conducir calor a traveacutes del hielo Dicho de manera maacutes matemaacutetica tenemos que
x
TTkA
dt
dxA x infinminus
=ρλ [9]
Hemos adaptado el planteamiento de Planck a un problema de congelamiento en 2 dimensiones e incluido fenoacutemenos de conveccioacuten para disentildear un proceso de congelado en continuo de papas prefritas Los resultados obtenidos por caacutelculo fueron luego cotejados con datos experimentales obtenidos al medir la temperatura interna de una papa prefrita expuesta a aire friacuteo a diferentes temperaturas y velocidades de aire Se encontroacute una buena correlacioacuten entre los datos experimentales y los calculados Los detalles del modelo y de las mediciones realizadas seraacuten publicados proacuteximamente [2]
Figura 7 Datos experimentales de la temperatura en el centro de una papa prefrita en funcioacuten al tiempo [2] El aire externo estaba a -20degC y la raacutefaga de
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
tiempo [s]
Tem
pe
ratu
ra C
202 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
aire sobre la papa era de 84 ms El tiempo de congelado (transicioacuten de
fase) se inicia aproximadamente a los100 segundos y concluye a los 400
segundos intervalo de tiempo predicho por nuestro modelo con buena
precisioacuten
A manera de conclusioacuten
Se han expuesto algunos de los proyectos y praacutecticas abordados en los uacuteltimos 5 antildeos que requeriacutean el uso de ecuaciones diferenciales parciales Los proyectos y praacutecticas fueron disentildeados de manera a intentar romper con los moldes un tanto convencionales que limitan un aprendizaje significativo de la transferencia de calor Se buscoacute que los temas abordados no tuvieran una solucioacuten faacutecil y de hecho nunca se anuncioacute que las ecuaciones diferenciales parciales eran el meacutetodo a emplearse para un problema dado muchas de las praacutecticas desarrolladas aunque no descritas aquiacute requeriacutean otro tipo de tratamiento Tambieacuten se buscoacute realizar cruces entre los diferentes temas abordados en clases de manera que los estudiantes tuviesen que descubrir las relaciones existentes entre diferentes fenoacutemenos en accioacuten al interior de un problema dado Los estudiantes salieron especialmente beneficiados en la medida que pudieron explorar y jugar con ecuaciones diferenciales parciales aplicaacutendolas a la resolucioacuten de problemas reales y a tener que razonar criacuteticamente en la aplicacioacuten de un programa que realiza caacutelculos complejos
Bibliografiacutea
[1] Amurrio D Proyectos de semestre para Procesos Unitarios II
[2] Barrientos P Amurrio D 2012 Artiacuteculo en elaboracioacuten
[3] Fourier J Memoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides httpgallicabnffrark12148bpt6k33707f220uacuteltimoacceso 082011
[4] Geankoplis C Transfer Operations and Unit Processes Prentice Hall
[5] Kreyszig Advanced Engineering Mathematics Wiley
[6] Mathworks 2005 Partial Differential Equation Toolbox For use with Matlab Comsol AB Mathworks Inc
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 187
del calor en cuerpos soacutelidos Para poder desarrollar su planteamiento tuvo que crear una original herramienta matemaacutetica que le permitiese resolver las dificultades y explorar los alcances e implicaciones de su teoriacutea En su exposicioacuten Fourier aplicoacute su meacutetodo a problemas de flujo de calor en estado estacionario y no estacionario resolviendo problemas de transferencia de calor en cuerpos sencillos como una esfera un cilindro y una pared Pasados 2 siglos de su presentacioacuten inicial estudiantes cientiacuteficos e ingenieros se encuentran todaviacutea limitados a resolver analiacuteticamente problemas de transferencia de calor en una esfera un cilindro y una pared
El escaso progreso observado se debe a que las ecuaciones que describen el flujo de calor son ecuaciones diferenciales parciales aacuterea poco estudiada en la curricula de los ingenieros [5] Considerando los planteamientos baacutesicos para conduccioacuten de calor en un cuerpo en estado estacionario (eq 1) y no estacionario (eq 2) encontramos que soluciones analiacuteticas son accesibles solo en unos cuantos casos Descomponer el planteamiento inicial en series (teacutecnica desarrollada por el mismo Fourier) o adoptar meacutetodos numeacutericos implican procedimientos tediosos que finalmente son hasta irrelevantes por las posibilidades tan limitadas que tienen Problemas reales de conduccioacuten de calor en cuerpos tridimensionales donde ademaacutes intervienen consideraciones en la frontera y se inmiscuyen fenoacutemenos de conveccioacuten de calor y de radiacioacuten ameacuten de cambios de fase y generacioacuten de calor nunca han podido ser abordados de forma satisfactoria
02
2
2
2
2
2
=+
part
part+
part
part+
part
partgenq
z
T
y
T
x
Tk [1]
p
gen
C
q
z
T
y
T
x
T
t
T
ρα +
part
part+
part
part+
part
part=
part
part2
2
2
2
2
2
[2]
Nos encontramos ahora en un momento de transicioacuten El formidable desarrollo en teacutecnicas de coacutemputo que ha marcado estos uacuteltimos 40 antildeos nos ha llevado a un punto en el cual podemos empezar a arrancar a las ecuaciones en derivadas parciales de la oscuridad a la que fueron relegadas Remontando nuestras miradas a tiempos pasados podemos constatar coacutemo los 300 antildeos de reinado de la regla de caacutelculo fueron abruptamente terminados con la aparicioacuten en la deacutecada de los 70 de la calculadora electroacutenica que banalizoacute los caacutelculos de logaritmos y funciones trigonomeacutetricas La deacutecada de los 80 marcoacute la aparicioacuten de la computadora personal acompantildeada por la aplicacioacuten praacutectica de meacutetodos numeacutericos y la posibilidad de resolver modelos matemaacuteticos maacutes
188 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
complejos En la deacutecada de los 90 se constatoacute que los recursos de coacutemputo eran cada vez maacutes poderosos y veloces teacutecnicas como las de Runge-Kutta para la resolucioacuten de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias pasaron a formar parte de la curricula de los estudiantes de ingenieriacutea La pasada deacutecada ha visto la aparicioacuten de varios programas uacutetiles para la resolucioacuten de problemas de ecuaciones diferenciales parciales y el consecuente desafiacuteo de encontrar la mejor manera de integrarlos en la curricula
Meacutetodo numeacuterico con Matlabreg
Problemas de ecuaciones diferenciales parciales pueden ser planteados y resueltos con Matlab gracias a su herramienta pdetool [6] Aspectos resaltantes del programa seraacuten brevemente descritos a continuacioacuten pudiendo el interesado referirse a los manuales para mayor detalle
El programa se abre al escribir pdetool en la paacutegina principal de matlab resultando en la apertura de un GUI PDE Toolbox (se sugiere seleccionar la opcioacuten de Heat Transfer en lugar del Generic Scalar que aparece en la parte superior) El objeto a traveacutes del cual se desea conducir calor tiene que ser dibujado a escala (seleccionar Draw Mode en la pestantildea Draw) optando entre los botones marcados con un rectaacutengulo una elipse y un poliacutegono los cuales combinados de manera inclusiva (signo +) o exclusiva (signo -) en el espacio marcado Set formula terminan por reproducir el objeto deseado
Pasando enseguida a la pestantildea marcada Boundary (seleccionar Boundarymode) seleccionar sucesivamente cada borde y definir su estado respectivo
Las condiciones en la frontera ya pueden ser de tipo Dirichlet con temperaturas fijas o indeterminadas para paredes aisladas
aisladorh
TrhrTh
pared
rArr==
===sdot
00
1 [3]
O bien pueden corresponder a condiciones de tipo Neumann en el cual el flujo de calor estaacute determinado por condiciones externas
)()( infinminussdot=sdot TThTgradk paredfrontera [4]
Adoptando la nomenclatura del programa se deberaacute introducir el valor de temperatura externa multiplicado por la constante convectiva en g y el valor de la constante convectiva h en lugar de q
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 189
Para definir las condiciones al interior del objeto se debe seleccionar la pestantildea marcada PDE y luego optar por PDE Specification optando luego por un sistema de ecuaciones diferenciales parciales de tipo eliacuteptico (estado estacionario)
)())(( TThQTgradkdiv minussdot+=sdotminus infin [5]
Siendo esta uacuteltima ecuacioacuten ideacutentica a la ecuacioacuten [1] (el valor de h siendo nulo)
Para el estado no estacionario se optaraacute por el tipo paraboacutelico
)())((
TThQTgradkdivTC p minussdot+=sdotminussdotsdot infinρ [6]
Siendo eacutesta uacuteltima ecuacioacuten ideacutentica que la ecuacioacuten [2] (el valor de h siendo nulo)
La malla de elementos finitos se crea pulsando el botoacuten Mesh y optando por MeshMode y finalmente el problema se resuelve pulsando el botoacuten Solve ( en el caso del estado no estacionario se anotaraacute antes los valores iniciales de temperatura por medio de la opcioacuten Parameters bajo el mismo botoacuten de Solve)
Las temperaturas que corresponden a la solucioacuten del problema aparecen codificadas por color pudiendo antildeadirse opciones interesantes como las curvas de isotermas liacuteneas de flujo de calor temperaturas graficadas en un tercer eje etc (opciones presentes bajo la pestantildea Plot optando por PlotParameters)
Finalmente los resultados expresados como matrices correspondientes a las temperaturas puntuales las coordenadas de cada punto la identificacioacuten numeral de las mismas y los triaacutengulos definidos por familias de 3 puntos pueden ser todos exportados a la paacutegina principal de Matlab para ser alliacute procesadas (las pestantildeas de Mesh y Solve tienen la opciones de ExportMeshy ExportSolution)
Limitaciones del meacutetodo numeacuterico
Al concluir nuestros caacutelculos terminamos con valores de temperatura en funcioacuten de la posicioacuten (coordenadas x y) y tiempo (en el caso del estado no estacionario) En muy pocos casos sin embargo son las temperaturas T=f(x y t) la solucioacuten buscada a un problema real Las verdaderas respuestas buscadas a problemas reales estaacuten maacutes asociadas a los flujos de calor a predecir el destino final y el camino tomado por un sistema en base a sus condiciones iniciales en resumen a poder analizar y comprender una situacioacuten dada Otro peligro que
190 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
asecha al usuario es la naturaleza de ldquocaja negrardquo que tiene la solucioacuten No habiendo realizado personalmente los caacutelculos no tenemos coacutemo verificar su pertinencia Para contrarrestar estos aspectos hemos disentildeado una serie de praacutecticas que han sido aplicadas a lo largo de los uacuteltimos 5 antildeos [1] y que buscan inducir un entendimiento cabal de los fenoacutemenos de transferencia de calor guardando siempre una actitud criacutetica hacia el programa que ejecuta los caacutelculos Describimos a continuacioacuten algunas de las praacutecticas maacutes significativas porque consideramos que ya ha llegado el momento de integrar las ecuaciones diferenciales parciales en la curricula de los estudiantes de ingenieriacutea y esperamos que los ejemplos descritos contribuyan a establecer los paradigmas de su aplicacioacuten Todos los casos fueron resueltos con pdetool de Matlab y los resultados exportados a Matlab para ser procesados En varios casos nos encontramos al liacutemite de las capacidades del programa
Anaacutelisis de isotermas
Anteriormente al uso de meacutetodos numeacutericos los ingenieros desarrollaron meacutetodos graacuteficos para resolver problemas de transferencia de calor en 2 dimensiones Aunque el meacutetodo utilizado era muy limitado no pudiendo incorporar condiciones de conveccioacuten o radiacioacuten en las fronteras ni generacioacuten de calor al interior del objeto resta que el anaacutelisis que se realizaba sobre las isotermas y las liacuteneas de flujo retiene hoy en diacutea todo su valor para poder visualizar los flujos de calor y comprender la naturaleza y particularidades del problema que estamos analizando
Figura 1 Flujo de chocolate derretido en un tubo con aislante y un tutor con vapor para evitar su solidificacioacuten Un anaacutelisis de las isotermas nos permite
calcular el porcentaje de calor que el vapor pierde directamente hacia el
exterior (aproximadamente 40) el porcentaje de calor que le transfiere al
chocolate (60) y la proporcioacuten existente entre calor que le llega al chocolate
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 191
y el calor que eacuteste pierde hacia el exterior (relacioacuten de 5 a 3
aproximadamente) Tambieacuten es posible calcular la relacioacuten existente entre la
conductividad en el tubo respecto a la conductividad del aislante
Factores de forma y conveccioacuten
Para situaciones de flujo de calor en 2 dimensiones se recurrioacute en el pasado a la estimacioacuten de factores de forma S Estos uacuteltimos eran calculados en base a meacutetodos graacuteficos y permitiacutean tratar un problema dado como si eacuteste fuese simplemente un caso de flujo de calor unidimensional con el factor de forma realizando las correcciones necesarias para compensar el efecto en 2 dimensiones Existe una abundante literatura un tanto antigua en la cual se tiene expresiones para factores de forma aplicables a una gran cantidad de situaciones Todos los valores de S citados adolecen sin embargo de un defecto comuacuten a saber que en todos los casos se supone que las fronteras de los objetos estaacuten todos a la misma temperatura situacioacuten difiacutecilmente conciliable con la realidad en la cual condiciones variantes de conveccioacuten crean temperaturas diferentes sobre la superficie de los objetos a traveacutes de la cual se transfiere calor
Se ha retomado un ejemplo bastante comuacuten en los textos de transferencia de calor a saber el de un ducto circular rodeado por un aislante de seccioacuten cuadrada Dichos textos indican que el factor de forma para dicha situacioacuten puede calcularse por medio de la relacioacuten
=
r
a
LS
540ln
2π [7]
donde a es el lado del aislante y r es el radio del tubo
Dicho ejemplo ha sido retomado y resuelto bajo una serie de condiciones convectivas externas para poder determinar el factor de forma en funcioacuten de la constante convectiva externa Como el problema tiene 4 planos de simetriacutea es posible circunscribir el planteamiento a una octava parte del mismo (ver figura 2 superior) Se encontroacute para el ejemplo en cuestioacuten una relacioacuten lineal entre el factor de forma y la constante convectiva tal que S=04611h+512594 Si bien ambos meacutetodos dan resultados bastante similares cuando la constante convectiva es pequentildea al alcanzar los valores maacutes altos de h notamos que el error crece raacutepidamente alcanzando una diferencia de 30 cuando h=60
192 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
Figura 2 (arriba) Base de caacutelculo para el problema de conduccioacuten en una tuberiacutea de seccioacuten circular rodeada por un aislante se seccioacuten cuadrada
Noacutetese que para la pared inferior difiacutecilmente podriacutea argumentarse de que
estaacute a una temperatura constante (abajo) Flujos de calor calculados por el
meacutetodo de las ecuaciones diferenciales parciales y su comparacioacuten con
valores calculados con ayuda de los factores de forma
0 10 20 30 40 50 600
20
40
60
80
100
120
140
160
Constante convectiva h [Wm2K]
Calo
r [W
]
Fllujo de calor calculado por ecuacionesdiferenciales parciales
Flujo de calor calculado enbase al meacutetodo graacutefico
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 193
Conduccioacuten de calor en 3 dimensiones con generacioacuten interna
Un anaacutelisis de la reciente cataacutestrofe acaecida en Fukushima-Daiichi nos llevoacute naturalmente a interrogarnos sobre la temperatura a la que pueden llegar los pellets de material fisible cuando falla el sistema de enfriamiento El desafiacuteo matemaacutetico de este proyecto consistiacutea en calcular las temperaturas internas en un objeto en 3 dimensiones (pellets radioactivos) cuando el programa solo estaacute disentildeado para realizar caacutelculos en objetos de 2 dimensiones La simetriacutea del pellet obviamente permite reducir sus dimensiones a 2 expresadas como el eje radial y el eje axial Los estudiantes tuvieron que modificar el ingreso de las variables para tomar en cuenta aspectos como por ejemplo que las distancias creciacutean linealmente seguacuten los ejes pero que las aacutereas de transferencia variaban seguacuten el eje siendo eacuteste constante seguacuten el eje radial pero proporcional al eje axial De similar manera la cantidad de calor generado variaba linealmente seguacuten el eje axial pero al cuadrado del eje radial Para validar sus modificaciones se realizaron varios modelos exploratorios como por ejemplo el caacutelculo simple de conduccioacuten a traveacutes de un tubo representando este uacuteltimo como una pared en el cual el eje x corresponde al eje radial y comparando los resultados obtenidos con la solucioacuten analiacutetica del mismo
El modelo desarrollado permitioacute explorar una diversidad de situaciones como son por ejemplo
bull los efectos de la variacioacuten de la constante convectiva sobre la temperatura maacutexima y promedia en el pellet
bull para un volumen de pellet constante queacute relacioacuten de largo a diaacutemetro lleva a la maacutexima temperatura interna
bull coacutemo variacutean las temperaturas maacuteximas y promedias cuando el pellet cambia de forma (cilindro hueco esfera etc) etc
194 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
Figura 3 Temperaturas en un pellet de material fisible de 2 cm de largo (eje axial) y 2 cm de diaacutemetro (eje radial) Se adoptaron valores tiacutepicos de
generacioacuten de calor en pellets de combustible nuclear La figura ilustra la
situacioacuten cuando la constante convectiva cae a 200 Wm2K
Figura 4 Algunos valores calculados para los pellets radioactivos Efecto de la constante convectiva sobre la temperatura maacutexima (izquierda)
Temperatura maacutexima al interior de un pellet de volumen constante en
funcioacuten al radio del mismo (derecha)
Estado no estacionario y nuacutemero de Biot
Al abordar el tema de flujo de calor en estado no estacionario la primera solucioacuten con la que nos topamos es la solucioacuten de Newton caracterizada por el hecho de que la relacioacuten de conductividad respecto a convectividad es muy
00002
00040006
0008001
-001-0005
00005
0011800
2000
2200
2400
2600
2800
eje radial [m]eje axial [m]
Tem
pe
ratu
ra [
degC]
0 100 200 300 400 500 6001000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
Constante convectiva h [Wm2K]
Te
mp
era
tura
maacutex
ima
[degC
]
0006 0008 001 0012 0014 00162100
2200
2300
2400
2500
2600
2700
2800
radio [m]
Te
mp
era
tura
maacutex
ima
[degC
]
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 195
grande En la praacutectica dicha condicioacuten estaacute cuantificada por un nuacutemero de Biot maacutes pequentildeo que 01
101 leequivk
hxNBi [8]
donde x1 = volumenaacuterea
El valor de 01 aparece maacutegicamente y muy pocos textos discuten el criterio detraacutes de dicha cifra su origen histoacuterico el rango de error que representa y las limitaciones existentes en cuanto a su aplicacioacuten a objetos con pequentildeos factores de esfericidad El anaacutelisis del estado estacionario por medio de aplicacioacuten de ecuaciones diferenciales parciales a una gran variedad de formas diferentes permitioacute apreciar mejor los liacutemites y alcances del criterio de NBilt01
Flujo de calor en 2 dimensiones y estado no estacionario
Cuando los textos de transferencia de calor [4] abordan el estado no estacionario encontramos una abundancia de graacuteficos en los cuales se puede inferir una temperatura reducida ya sea puntual ya sea promedio en funcioacuten a la relacioacuten existente entre dimensioacuten reducida conduccioacuten y conveccioacuten (hxk) y el tiempo reducido (αtx2)
Generalmente dichos graacuteficos se limitan a objetos sencillos como son una pared un cilindro y una esfera y tiacutepicamente adolecen de limitaciones en cuanto a los valores de conduccioacuten conveccioacuten y posicioacuten que podemos seleccionar resultando en que las aplicaciones praacutecticas que se les puede dar son un tanto limitadas
Hemos elaborado graacuteficos similares a los anteriormente descritos para objetos complejos En el caso ilustrado a continuacioacuten hemos tomado el nombre de nuestra publicacioacuten Acta Nova para crear un objeto cuyas paredes norte y este estaacuten aisladas y cuya temperatura cae desde 100ordmC a 0ordmC Los resultados obtenidos en pdetool (figura 5) fueron exportados a Matlab y procesados para calcular la temperatura promedio en funcioacuten al tiempo y la constante convectiva Finalmente se elaboraron los diagramas tiacutepicos para el sistema (figura 6) Los datos obtenidos tambieacuten fueron utilizados para explorar otros temas de intereacutes como ser el estudio de la evolucioacuten de los puntos de mayor tensioacuten mecaacutenica (por efecto de mayor gradiente de temperaturas) en funcioacuten al tiempo y la posicioacuten Noacutetese que dicho anaacutelisis es praacutecticamente imposible si nos limitamos a las graacuteficas tiacutepicas de temperatura reducida en funcioacuten al tiempo reducido
196 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
t =001
t =1
-10
-5
0
5
10
-5
0
50
20
40
60
80
100
120
Time=001 Color T Height T
985
99
995
100
1005
-10
-5
0
5
10
-5
0
5
0
20
40
60
80
100
120
Time=1 Color T Height T
75
80
85
90
95
100
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 197
t =10
t =50
-10
-5
0
5
10
-5
0
50
20
40
60
80
100
120
Time=10 Color T Height T
40
50
60
70
80
90
-10
-5
0
5
10
-5
0
5
0
20
40
60
80
100
120
Time=50 Color T Height T
10
20
30
40
50
60
70
80
90
198 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
t =100
t =200
-10
-5
0
5
10
-5
0
50
20
40
60
80
100
120
Time=100 Color T Height T
10
20
30
40
50
60
70
80
90
-10
-5
0
5
10
-5
0
50
20
40
60
80
100
120
Time=200 Color T Height T
10
20
30
40
50
60
70
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 199
t =300
t =600
-10
-5
0
5
10
-5
0
50
20
40
60
80
100
120
Time=300 Color T Height T
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
-10
-5
0
5
10
-5
0
50
20
40
60
80
100
120
Time=600 Color T Height T
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
200 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
t =1000
Figura 5 Evolucioacuten de temperaturas en funcioacuten a su posicioacuten y el tiempo para un cuerpo complejo
Figura 6 Evolucioacuten de la temperatura promedio reducida en funcioacuten al tiempo reducido para diferentes proporciones entre conveccioacuten y
conduccioacuten
-10
-5
0
5
10
-5
0
50
20
40
60
80
100
120
Time=1000 Color T Height T
1
2
3
4
5
6
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
10-3
10-2
10-1
100
Tiempo reducido X
Tem
pera
tura
reducid
a Y
hk
01
02
05
11523
410
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 201
Max Planck y el congelado de papasprefritas
Los problemas de transicioacuten de fase son notoriamente difiacuteciles de modelar y pdetool no tiene ninguna opcioacuten para incorporar fenoacutemenos de generacioacuten de calor en cantidades limitadas (o en proporcioacuten a su masa) y en funcioacuten de la temperatura de modo que reacciones quiacutemicas en fase soacutelida estaacuten tambieacuten excluidas por el momento
Existe sin embargo un modelo sencillo para congelado propuesto por el gran fiacutesico alemaacuten Max Planck El planteamiento de Planck se resume a considerar la transicioacuten de fase como el factor limitante en la transferencia de calor de manera que el frente congelado penetra al interior del objeto en congelamiento con una velocidad limitada por la capacidad de conducir calor a traveacutes del hielo Dicho de manera maacutes matemaacutetica tenemos que
x
TTkA
dt
dxA x infinminus
=ρλ [9]
Hemos adaptado el planteamiento de Planck a un problema de congelamiento en 2 dimensiones e incluido fenoacutemenos de conveccioacuten para disentildear un proceso de congelado en continuo de papas prefritas Los resultados obtenidos por caacutelculo fueron luego cotejados con datos experimentales obtenidos al medir la temperatura interna de una papa prefrita expuesta a aire friacuteo a diferentes temperaturas y velocidades de aire Se encontroacute una buena correlacioacuten entre los datos experimentales y los calculados Los detalles del modelo y de las mediciones realizadas seraacuten publicados proacuteximamente [2]
Figura 7 Datos experimentales de la temperatura en el centro de una papa prefrita en funcioacuten al tiempo [2] El aire externo estaba a -20degC y la raacutefaga de
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
tiempo [s]
Tem
pe
ratu
ra C
202 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
aire sobre la papa era de 84 ms El tiempo de congelado (transicioacuten de
fase) se inicia aproximadamente a los100 segundos y concluye a los 400
segundos intervalo de tiempo predicho por nuestro modelo con buena
precisioacuten
A manera de conclusioacuten
Se han expuesto algunos de los proyectos y praacutecticas abordados en los uacuteltimos 5 antildeos que requeriacutean el uso de ecuaciones diferenciales parciales Los proyectos y praacutecticas fueron disentildeados de manera a intentar romper con los moldes un tanto convencionales que limitan un aprendizaje significativo de la transferencia de calor Se buscoacute que los temas abordados no tuvieran una solucioacuten faacutecil y de hecho nunca se anuncioacute que las ecuaciones diferenciales parciales eran el meacutetodo a emplearse para un problema dado muchas de las praacutecticas desarrolladas aunque no descritas aquiacute requeriacutean otro tipo de tratamiento Tambieacuten se buscoacute realizar cruces entre los diferentes temas abordados en clases de manera que los estudiantes tuviesen que descubrir las relaciones existentes entre diferentes fenoacutemenos en accioacuten al interior de un problema dado Los estudiantes salieron especialmente beneficiados en la medida que pudieron explorar y jugar con ecuaciones diferenciales parciales aplicaacutendolas a la resolucioacuten de problemas reales y a tener que razonar criacuteticamente en la aplicacioacuten de un programa que realiza caacutelculos complejos
Bibliografiacutea
[1] Amurrio D Proyectos de semestre para Procesos Unitarios II
[2] Barrientos P Amurrio D 2012 Artiacuteculo en elaboracioacuten
[3] Fourier J Memoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides httpgallicabnffrark12148bpt6k33707f220uacuteltimoacceso 082011
[4] Geankoplis C Transfer Operations and Unit Processes Prentice Hall
[5] Kreyszig Advanced Engineering Mathematics Wiley
[6] Mathworks 2005 Partial Differential Equation Toolbox For use with Matlab Comsol AB Mathworks Inc
188 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
complejos En la deacutecada de los 90 se constatoacute que los recursos de coacutemputo eran cada vez maacutes poderosos y veloces teacutecnicas como las de Runge-Kutta para la resolucioacuten de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias pasaron a formar parte de la curricula de los estudiantes de ingenieriacutea La pasada deacutecada ha visto la aparicioacuten de varios programas uacutetiles para la resolucioacuten de problemas de ecuaciones diferenciales parciales y el consecuente desafiacuteo de encontrar la mejor manera de integrarlos en la curricula
Meacutetodo numeacuterico con Matlabreg
Problemas de ecuaciones diferenciales parciales pueden ser planteados y resueltos con Matlab gracias a su herramienta pdetool [6] Aspectos resaltantes del programa seraacuten brevemente descritos a continuacioacuten pudiendo el interesado referirse a los manuales para mayor detalle
El programa se abre al escribir pdetool en la paacutegina principal de matlab resultando en la apertura de un GUI PDE Toolbox (se sugiere seleccionar la opcioacuten de Heat Transfer en lugar del Generic Scalar que aparece en la parte superior) El objeto a traveacutes del cual se desea conducir calor tiene que ser dibujado a escala (seleccionar Draw Mode en la pestantildea Draw) optando entre los botones marcados con un rectaacutengulo una elipse y un poliacutegono los cuales combinados de manera inclusiva (signo +) o exclusiva (signo -) en el espacio marcado Set formula terminan por reproducir el objeto deseado
Pasando enseguida a la pestantildea marcada Boundary (seleccionar Boundarymode) seleccionar sucesivamente cada borde y definir su estado respectivo
Las condiciones en la frontera ya pueden ser de tipo Dirichlet con temperaturas fijas o indeterminadas para paredes aisladas
aisladorh
TrhrTh
pared
rArr==
===sdot
00
1 [3]
O bien pueden corresponder a condiciones de tipo Neumann en el cual el flujo de calor estaacute determinado por condiciones externas
)()( infinminussdot=sdot TThTgradk paredfrontera [4]
Adoptando la nomenclatura del programa se deberaacute introducir el valor de temperatura externa multiplicado por la constante convectiva en g y el valor de la constante convectiva h en lugar de q
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 189
Para definir las condiciones al interior del objeto se debe seleccionar la pestantildea marcada PDE y luego optar por PDE Specification optando luego por un sistema de ecuaciones diferenciales parciales de tipo eliacuteptico (estado estacionario)
)())(( TThQTgradkdiv minussdot+=sdotminus infin [5]
Siendo esta uacuteltima ecuacioacuten ideacutentica a la ecuacioacuten [1] (el valor de h siendo nulo)
Para el estado no estacionario se optaraacute por el tipo paraboacutelico
)())((
TThQTgradkdivTC p minussdot+=sdotminussdotsdot infinρ [6]
Siendo eacutesta uacuteltima ecuacioacuten ideacutentica que la ecuacioacuten [2] (el valor de h siendo nulo)
La malla de elementos finitos se crea pulsando el botoacuten Mesh y optando por MeshMode y finalmente el problema se resuelve pulsando el botoacuten Solve ( en el caso del estado no estacionario se anotaraacute antes los valores iniciales de temperatura por medio de la opcioacuten Parameters bajo el mismo botoacuten de Solve)
Las temperaturas que corresponden a la solucioacuten del problema aparecen codificadas por color pudiendo antildeadirse opciones interesantes como las curvas de isotermas liacuteneas de flujo de calor temperaturas graficadas en un tercer eje etc (opciones presentes bajo la pestantildea Plot optando por PlotParameters)
Finalmente los resultados expresados como matrices correspondientes a las temperaturas puntuales las coordenadas de cada punto la identificacioacuten numeral de las mismas y los triaacutengulos definidos por familias de 3 puntos pueden ser todos exportados a la paacutegina principal de Matlab para ser alliacute procesadas (las pestantildeas de Mesh y Solve tienen la opciones de ExportMeshy ExportSolution)
Limitaciones del meacutetodo numeacuterico
Al concluir nuestros caacutelculos terminamos con valores de temperatura en funcioacuten de la posicioacuten (coordenadas x y) y tiempo (en el caso del estado no estacionario) En muy pocos casos sin embargo son las temperaturas T=f(x y t) la solucioacuten buscada a un problema real Las verdaderas respuestas buscadas a problemas reales estaacuten maacutes asociadas a los flujos de calor a predecir el destino final y el camino tomado por un sistema en base a sus condiciones iniciales en resumen a poder analizar y comprender una situacioacuten dada Otro peligro que
190 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
asecha al usuario es la naturaleza de ldquocaja negrardquo que tiene la solucioacuten No habiendo realizado personalmente los caacutelculos no tenemos coacutemo verificar su pertinencia Para contrarrestar estos aspectos hemos disentildeado una serie de praacutecticas que han sido aplicadas a lo largo de los uacuteltimos 5 antildeos [1] y que buscan inducir un entendimiento cabal de los fenoacutemenos de transferencia de calor guardando siempre una actitud criacutetica hacia el programa que ejecuta los caacutelculos Describimos a continuacioacuten algunas de las praacutecticas maacutes significativas porque consideramos que ya ha llegado el momento de integrar las ecuaciones diferenciales parciales en la curricula de los estudiantes de ingenieriacutea y esperamos que los ejemplos descritos contribuyan a establecer los paradigmas de su aplicacioacuten Todos los casos fueron resueltos con pdetool de Matlab y los resultados exportados a Matlab para ser procesados En varios casos nos encontramos al liacutemite de las capacidades del programa
Anaacutelisis de isotermas
Anteriormente al uso de meacutetodos numeacutericos los ingenieros desarrollaron meacutetodos graacuteficos para resolver problemas de transferencia de calor en 2 dimensiones Aunque el meacutetodo utilizado era muy limitado no pudiendo incorporar condiciones de conveccioacuten o radiacioacuten en las fronteras ni generacioacuten de calor al interior del objeto resta que el anaacutelisis que se realizaba sobre las isotermas y las liacuteneas de flujo retiene hoy en diacutea todo su valor para poder visualizar los flujos de calor y comprender la naturaleza y particularidades del problema que estamos analizando
Figura 1 Flujo de chocolate derretido en un tubo con aislante y un tutor con vapor para evitar su solidificacioacuten Un anaacutelisis de las isotermas nos permite
calcular el porcentaje de calor que el vapor pierde directamente hacia el
exterior (aproximadamente 40) el porcentaje de calor que le transfiere al
chocolate (60) y la proporcioacuten existente entre calor que le llega al chocolate
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 191
y el calor que eacuteste pierde hacia el exterior (relacioacuten de 5 a 3
aproximadamente) Tambieacuten es posible calcular la relacioacuten existente entre la
conductividad en el tubo respecto a la conductividad del aislante
Factores de forma y conveccioacuten
Para situaciones de flujo de calor en 2 dimensiones se recurrioacute en el pasado a la estimacioacuten de factores de forma S Estos uacuteltimos eran calculados en base a meacutetodos graacuteficos y permitiacutean tratar un problema dado como si eacuteste fuese simplemente un caso de flujo de calor unidimensional con el factor de forma realizando las correcciones necesarias para compensar el efecto en 2 dimensiones Existe una abundante literatura un tanto antigua en la cual se tiene expresiones para factores de forma aplicables a una gran cantidad de situaciones Todos los valores de S citados adolecen sin embargo de un defecto comuacuten a saber que en todos los casos se supone que las fronteras de los objetos estaacuten todos a la misma temperatura situacioacuten difiacutecilmente conciliable con la realidad en la cual condiciones variantes de conveccioacuten crean temperaturas diferentes sobre la superficie de los objetos a traveacutes de la cual se transfiere calor
Se ha retomado un ejemplo bastante comuacuten en los textos de transferencia de calor a saber el de un ducto circular rodeado por un aislante de seccioacuten cuadrada Dichos textos indican que el factor de forma para dicha situacioacuten puede calcularse por medio de la relacioacuten
=
r
a
LS
540ln
2π [7]
donde a es el lado del aislante y r es el radio del tubo
Dicho ejemplo ha sido retomado y resuelto bajo una serie de condiciones convectivas externas para poder determinar el factor de forma en funcioacuten de la constante convectiva externa Como el problema tiene 4 planos de simetriacutea es posible circunscribir el planteamiento a una octava parte del mismo (ver figura 2 superior) Se encontroacute para el ejemplo en cuestioacuten una relacioacuten lineal entre el factor de forma y la constante convectiva tal que S=04611h+512594 Si bien ambos meacutetodos dan resultados bastante similares cuando la constante convectiva es pequentildea al alcanzar los valores maacutes altos de h notamos que el error crece raacutepidamente alcanzando una diferencia de 30 cuando h=60
192 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
Figura 2 (arriba) Base de caacutelculo para el problema de conduccioacuten en una tuberiacutea de seccioacuten circular rodeada por un aislante se seccioacuten cuadrada
Noacutetese que para la pared inferior difiacutecilmente podriacutea argumentarse de que
estaacute a una temperatura constante (abajo) Flujos de calor calculados por el
meacutetodo de las ecuaciones diferenciales parciales y su comparacioacuten con
valores calculados con ayuda de los factores de forma
0 10 20 30 40 50 600
20
40
60
80
100
120
140
160
Constante convectiva h [Wm2K]
Calo
r [W
]
Fllujo de calor calculado por ecuacionesdiferenciales parciales
Flujo de calor calculado enbase al meacutetodo graacutefico
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 193
Conduccioacuten de calor en 3 dimensiones con generacioacuten interna
Un anaacutelisis de la reciente cataacutestrofe acaecida en Fukushima-Daiichi nos llevoacute naturalmente a interrogarnos sobre la temperatura a la que pueden llegar los pellets de material fisible cuando falla el sistema de enfriamiento El desafiacuteo matemaacutetico de este proyecto consistiacutea en calcular las temperaturas internas en un objeto en 3 dimensiones (pellets radioactivos) cuando el programa solo estaacute disentildeado para realizar caacutelculos en objetos de 2 dimensiones La simetriacutea del pellet obviamente permite reducir sus dimensiones a 2 expresadas como el eje radial y el eje axial Los estudiantes tuvieron que modificar el ingreso de las variables para tomar en cuenta aspectos como por ejemplo que las distancias creciacutean linealmente seguacuten los ejes pero que las aacutereas de transferencia variaban seguacuten el eje siendo eacuteste constante seguacuten el eje radial pero proporcional al eje axial De similar manera la cantidad de calor generado variaba linealmente seguacuten el eje axial pero al cuadrado del eje radial Para validar sus modificaciones se realizaron varios modelos exploratorios como por ejemplo el caacutelculo simple de conduccioacuten a traveacutes de un tubo representando este uacuteltimo como una pared en el cual el eje x corresponde al eje radial y comparando los resultados obtenidos con la solucioacuten analiacutetica del mismo
El modelo desarrollado permitioacute explorar una diversidad de situaciones como son por ejemplo
bull los efectos de la variacioacuten de la constante convectiva sobre la temperatura maacutexima y promedia en el pellet
bull para un volumen de pellet constante queacute relacioacuten de largo a diaacutemetro lleva a la maacutexima temperatura interna
bull coacutemo variacutean las temperaturas maacuteximas y promedias cuando el pellet cambia de forma (cilindro hueco esfera etc) etc
194 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
Figura 3 Temperaturas en un pellet de material fisible de 2 cm de largo (eje axial) y 2 cm de diaacutemetro (eje radial) Se adoptaron valores tiacutepicos de
generacioacuten de calor en pellets de combustible nuclear La figura ilustra la
situacioacuten cuando la constante convectiva cae a 200 Wm2K
Figura 4 Algunos valores calculados para los pellets radioactivos Efecto de la constante convectiva sobre la temperatura maacutexima (izquierda)
Temperatura maacutexima al interior de un pellet de volumen constante en
funcioacuten al radio del mismo (derecha)
Estado no estacionario y nuacutemero de Biot
Al abordar el tema de flujo de calor en estado no estacionario la primera solucioacuten con la que nos topamos es la solucioacuten de Newton caracterizada por el hecho de que la relacioacuten de conductividad respecto a convectividad es muy
00002
00040006
0008001
-001-0005
00005
0011800
2000
2200
2400
2600
2800
eje radial [m]eje axial [m]
Tem
pe
ratu
ra [
degC]
0 100 200 300 400 500 6001000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
Constante convectiva h [Wm2K]
Te
mp
era
tura
maacutex
ima
[degC
]
0006 0008 001 0012 0014 00162100
2200
2300
2400
2500
2600
2700
2800
radio [m]
Te
mp
era
tura
maacutex
ima
[degC
]
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 195
grande En la praacutectica dicha condicioacuten estaacute cuantificada por un nuacutemero de Biot maacutes pequentildeo que 01
101 leequivk
hxNBi [8]
donde x1 = volumenaacuterea
El valor de 01 aparece maacutegicamente y muy pocos textos discuten el criterio detraacutes de dicha cifra su origen histoacuterico el rango de error que representa y las limitaciones existentes en cuanto a su aplicacioacuten a objetos con pequentildeos factores de esfericidad El anaacutelisis del estado estacionario por medio de aplicacioacuten de ecuaciones diferenciales parciales a una gran variedad de formas diferentes permitioacute apreciar mejor los liacutemites y alcances del criterio de NBilt01
Flujo de calor en 2 dimensiones y estado no estacionario
Cuando los textos de transferencia de calor [4] abordan el estado no estacionario encontramos una abundancia de graacuteficos en los cuales se puede inferir una temperatura reducida ya sea puntual ya sea promedio en funcioacuten a la relacioacuten existente entre dimensioacuten reducida conduccioacuten y conveccioacuten (hxk) y el tiempo reducido (αtx2)
Generalmente dichos graacuteficos se limitan a objetos sencillos como son una pared un cilindro y una esfera y tiacutepicamente adolecen de limitaciones en cuanto a los valores de conduccioacuten conveccioacuten y posicioacuten que podemos seleccionar resultando en que las aplicaciones praacutecticas que se les puede dar son un tanto limitadas
Hemos elaborado graacuteficos similares a los anteriormente descritos para objetos complejos En el caso ilustrado a continuacioacuten hemos tomado el nombre de nuestra publicacioacuten Acta Nova para crear un objeto cuyas paredes norte y este estaacuten aisladas y cuya temperatura cae desde 100ordmC a 0ordmC Los resultados obtenidos en pdetool (figura 5) fueron exportados a Matlab y procesados para calcular la temperatura promedio en funcioacuten al tiempo y la constante convectiva Finalmente se elaboraron los diagramas tiacutepicos para el sistema (figura 6) Los datos obtenidos tambieacuten fueron utilizados para explorar otros temas de intereacutes como ser el estudio de la evolucioacuten de los puntos de mayor tensioacuten mecaacutenica (por efecto de mayor gradiente de temperaturas) en funcioacuten al tiempo y la posicioacuten Noacutetese que dicho anaacutelisis es praacutecticamente imposible si nos limitamos a las graacuteficas tiacutepicas de temperatura reducida en funcioacuten al tiempo reducido
196 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
t =001
t =1
-10
-5
0
5
10
-5
0
50
20
40
60
80
100
120
Time=001 Color T Height T
985
99
995
100
1005
-10
-5
0
5
10
-5
0
5
0
20
40
60
80
100
120
Time=1 Color T Height T
75
80
85
90
95
100
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 197
t =10
t =50
-10
-5
0
5
10
-5
0
50
20
40
60
80
100
120
Time=10 Color T Height T
40
50
60
70
80
90
-10
-5
0
5
10
-5
0
5
0
20
40
60
80
100
120
Time=50 Color T Height T
10
20
30
40
50
60
70
80
90
198 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
t =100
t =200
-10
-5
0
5
10
-5
0
50
20
40
60
80
100
120
Time=100 Color T Height T
10
20
30
40
50
60
70
80
90
-10
-5
0
5
10
-5
0
50
20
40
60
80
100
120
Time=200 Color T Height T
10
20
30
40
50
60
70
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 199
t =300
t =600
-10
-5
0
5
10
-5
0
50
20
40
60
80
100
120
Time=300 Color T Height T
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
-10
-5
0
5
10
-5
0
50
20
40
60
80
100
120
Time=600 Color T Height T
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
200 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
t =1000
Figura 5 Evolucioacuten de temperaturas en funcioacuten a su posicioacuten y el tiempo para un cuerpo complejo
Figura 6 Evolucioacuten de la temperatura promedio reducida en funcioacuten al tiempo reducido para diferentes proporciones entre conveccioacuten y
conduccioacuten
-10
-5
0
5
10
-5
0
50
20
40
60
80
100
120
Time=1000 Color T Height T
1
2
3
4
5
6
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
10-3
10-2
10-1
100
Tiempo reducido X
Tem
pera
tura
reducid
a Y
hk
01
02
05
11523
410
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 201
Max Planck y el congelado de papasprefritas
Los problemas de transicioacuten de fase son notoriamente difiacuteciles de modelar y pdetool no tiene ninguna opcioacuten para incorporar fenoacutemenos de generacioacuten de calor en cantidades limitadas (o en proporcioacuten a su masa) y en funcioacuten de la temperatura de modo que reacciones quiacutemicas en fase soacutelida estaacuten tambieacuten excluidas por el momento
Existe sin embargo un modelo sencillo para congelado propuesto por el gran fiacutesico alemaacuten Max Planck El planteamiento de Planck se resume a considerar la transicioacuten de fase como el factor limitante en la transferencia de calor de manera que el frente congelado penetra al interior del objeto en congelamiento con una velocidad limitada por la capacidad de conducir calor a traveacutes del hielo Dicho de manera maacutes matemaacutetica tenemos que
x
TTkA
dt
dxA x infinminus
=ρλ [9]
Hemos adaptado el planteamiento de Planck a un problema de congelamiento en 2 dimensiones e incluido fenoacutemenos de conveccioacuten para disentildear un proceso de congelado en continuo de papas prefritas Los resultados obtenidos por caacutelculo fueron luego cotejados con datos experimentales obtenidos al medir la temperatura interna de una papa prefrita expuesta a aire friacuteo a diferentes temperaturas y velocidades de aire Se encontroacute una buena correlacioacuten entre los datos experimentales y los calculados Los detalles del modelo y de las mediciones realizadas seraacuten publicados proacuteximamente [2]
Figura 7 Datos experimentales de la temperatura en el centro de una papa prefrita en funcioacuten al tiempo [2] El aire externo estaba a -20degC y la raacutefaga de
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
tiempo [s]
Tem
pe
ratu
ra C
202 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
aire sobre la papa era de 84 ms El tiempo de congelado (transicioacuten de
fase) se inicia aproximadamente a los100 segundos y concluye a los 400
segundos intervalo de tiempo predicho por nuestro modelo con buena
precisioacuten
A manera de conclusioacuten
Se han expuesto algunos de los proyectos y praacutecticas abordados en los uacuteltimos 5 antildeos que requeriacutean el uso de ecuaciones diferenciales parciales Los proyectos y praacutecticas fueron disentildeados de manera a intentar romper con los moldes un tanto convencionales que limitan un aprendizaje significativo de la transferencia de calor Se buscoacute que los temas abordados no tuvieran una solucioacuten faacutecil y de hecho nunca se anuncioacute que las ecuaciones diferenciales parciales eran el meacutetodo a emplearse para un problema dado muchas de las praacutecticas desarrolladas aunque no descritas aquiacute requeriacutean otro tipo de tratamiento Tambieacuten se buscoacute realizar cruces entre los diferentes temas abordados en clases de manera que los estudiantes tuviesen que descubrir las relaciones existentes entre diferentes fenoacutemenos en accioacuten al interior de un problema dado Los estudiantes salieron especialmente beneficiados en la medida que pudieron explorar y jugar con ecuaciones diferenciales parciales aplicaacutendolas a la resolucioacuten de problemas reales y a tener que razonar criacuteticamente en la aplicacioacuten de un programa que realiza caacutelculos complejos
Bibliografiacutea
[1] Amurrio D Proyectos de semestre para Procesos Unitarios II
[2] Barrientos P Amurrio D 2012 Artiacuteculo en elaboracioacuten
[3] Fourier J Memoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides httpgallicabnffrark12148bpt6k33707f220uacuteltimoacceso 082011
[4] Geankoplis C Transfer Operations and Unit Processes Prentice Hall
[5] Kreyszig Advanced Engineering Mathematics Wiley
[6] Mathworks 2005 Partial Differential Equation Toolbox For use with Matlab Comsol AB Mathworks Inc
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 189
Para definir las condiciones al interior del objeto se debe seleccionar la pestantildea marcada PDE y luego optar por PDE Specification optando luego por un sistema de ecuaciones diferenciales parciales de tipo eliacuteptico (estado estacionario)
)())(( TThQTgradkdiv minussdot+=sdotminus infin [5]
Siendo esta uacuteltima ecuacioacuten ideacutentica a la ecuacioacuten [1] (el valor de h siendo nulo)
Para el estado no estacionario se optaraacute por el tipo paraboacutelico
)())((
TThQTgradkdivTC p minussdot+=sdotminussdotsdot infinρ [6]
Siendo eacutesta uacuteltima ecuacioacuten ideacutentica que la ecuacioacuten [2] (el valor de h siendo nulo)
La malla de elementos finitos se crea pulsando el botoacuten Mesh y optando por MeshMode y finalmente el problema se resuelve pulsando el botoacuten Solve ( en el caso del estado no estacionario se anotaraacute antes los valores iniciales de temperatura por medio de la opcioacuten Parameters bajo el mismo botoacuten de Solve)
Las temperaturas que corresponden a la solucioacuten del problema aparecen codificadas por color pudiendo antildeadirse opciones interesantes como las curvas de isotermas liacuteneas de flujo de calor temperaturas graficadas en un tercer eje etc (opciones presentes bajo la pestantildea Plot optando por PlotParameters)
Finalmente los resultados expresados como matrices correspondientes a las temperaturas puntuales las coordenadas de cada punto la identificacioacuten numeral de las mismas y los triaacutengulos definidos por familias de 3 puntos pueden ser todos exportados a la paacutegina principal de Matlab para ser alliacute procesadas (las pestantildeas de Mesh y Solve tienen la opciones de ExportMeshy ExportSolution)
Limitaciones del meacutetodo numeacuterico
Al concluir nuestros caacutelculos terminamos con valores de temperatura en funcioacuten de la posicioacuten (coordenadas x y) y tiempo (en el caso del estado no estacionario) En muy pocos casos sin embargo son las temperaturas T=f(x y t) la solucioacuten buscada a un problema real Las verdaderas respuestas buscadas a problemas reales estaacuten maacutes asociadas a los flujos de calor a predecir el destino final y el camino tomado por un sistema en base a sus condiciones iniciales en resumen a poder analizar y comprender una situacioacuten dada Otro peligro que
190 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
asecha al usuario es la naturaleza de ldquocaja negrardquo que tiene la solucioacuten No habiendo realizado personalmente los caacutelculos no tenemos coacutemo verificar su pertinencia Para contrarrestar estos aspectos hemos disentildeado una serie de praacutecticas que han sido aplicadas a lo largo de los uacuteltimos 5 antildeos [1] y que buscan inducir un entendimiento cabal de los fenoacutemenos de transferencia de calor guardando siempre una actitud criacutetica hacia el programa que ejecuta los caacutelculos Describimos a continuacioacuten algunas de las praacutecticas maacutes significativas porque consideramos que ya ha llegado el momento de integrar las ecuaciones diferenciales parciales en la curricula de los estudiantes de ingenieriacutea y esperamos que los ejemplos descritos contribuyan a establecer los paradigmas de su aplicacioacuten Todos los casos fueron resueltos con pdetool de Matlab y los resultados exportados a Matlab para ser procesados En varios casos nos encontramos al liacutemite de las capacidades del programa
Anaacutelisis de isotermas
Anteriormente al uso de meacutetodos numeacutericos los ingenieros desarrollaron meacutetodos graacuteficos para resolver problemas de transferencia de calor en 2 dimensiones Aunque el meacutetodo utilizado era muy limitado no pudiendo incorporar condiciones de conveccioacuten o radiacioacuten en las fronteras ni generacioacuten de calor al interior del objeto resta que el anaacutelisis que se realizaba sobre las isotermas y las liacuteneas de flujo retiene hoy en diacutea todo su valor para poder visualizar los flujos de calor y comprender la naturaleza y particularidades del problema que estamos analizando
Figura 1 Flujo de chocolate derretido en un tubo con aislante y un tutor con vapor para evitar su solidificacioacuten Un anaacutelisis de las isotermas nos permite
calcular el porcentaje de calor que el vapor pierde directamente hacia el
exterior (aproximadamente 40) el porcentaje de calor que le transfiere al
chocolate (60) y la proporcioacuten existente entre calor que le llega al chocolate
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 191
y el calor que eacuteste pierde hacia el exterior (relacioacuten de 5 a 3
aproximadamente) Tambieacuten es posible calcular la relacioacuten existente entre la
conductividad en el tubo respecto a la conductividad del aislante
Factores de forma y conveccioacuten
Para situaciones de flujo de calor en 2 dimensiones se recurrioacute en el pasado a la estimacioacuten de factores de forma S Estos uacuteltimos eran calculados en base a meacutetodos graacuteficos y permitiacutean tratar un problema dado como si eacuteste fuese simplemente un caso de flujo de calor unidimensional con el factor de forma realizando las correcciones necesarias para compensar el efecto en 2 dimensiones Existe una abundante literatura un tanto antigua en la cual se tiene expresiones para factores de forma aplicables a una gran cantidad de situaciones Todos los valores de S citados adolecen sin embargo de un defecto comuacuten a saber que en todos los casos se supone que las fronteras de los objetos estaacuten todos a la misma temperatura situacioacuten difiacutecilmente conciliable con la realidad en la cual condiciones variantes de conveccioacuten crean temperaturas diferentes sobre la superficie de los objetos a traveacutes de la cual se transfiere calor
Se ha retomado un ejemplo bastante comuacuten en los textos de transferencia de calor a saber el de un ducto circular rodeado por un aislante de seccioacuten cuadrada Dichos textos indican que el factor de forma para dicha situacioacuten puede calcularse por medio de la relacioacuten
=
r
a
LS
540ln
2π [7]
donde a es el lado del aislante y r es el radio del tubo
Dicho ejemplo ha sido retomado y resuelto bajo una serie de condiciones convectivas externas para poder determinar el factor de forma en funcioacuten de la constante convectiva externa Como el problema tiene 4 planos de simetriacutea es posible circunscribir el planteamiento a una octava parte del mismo (ver figura 2 superior) Se encontroacute para el ejemplo en cuestioacuten una relacioacuten lineal entre el factor de forma y la constante convectiva tal que S=04611h+512594 Si bien ambos meacutetodos dan resultados bastante similares cuando la constante convectiva es pequentildea al alcanzar los valores maacutes altos de h notamos que el error crece raacutepidamente alcanzando una diferencia de 30 cuando h=60
192 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
Figura 2 (arriba) Base de caacutelculo para el problema de conduccioacuten en una tuberiacutea de seccioacuten circular rodeada por un aislante se seccioacuten cuadrada
Noacutetese que para la pared inferior difiacutecilmente podriacutea argumentarse de que
estaacute a una temperatura constante (abajo) Flujos de calor calculados por el
meacutetodo de las ecuaciones diferenciales parciales y su comparacioacuten con
valores calculados con ayuda de los factores de forma
0 10 20 30 40 50 600
20
40
60
80
100
120
140
160
Constante convectiva h [Wm2K]
Calo
r [W
]
Fllujo de calor calculado por ecuacionesdiferenciales parciales
Flujo de calor calculado enbase al meacutetodo graacutefico
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 193
Conduccioacuten de calor en 3 dimensiones con generacioacuten interna
Un anaacutelisis de la reciente cataacutestrofe acaecida en Fukushima-Daiichi nos llevoacute naturalmente a interrogarnos sobre la temperatura a la que pueden llegar los pellets de material fisible cuando falla el sistema de enfriamiento El desafiacuteo matemaacutetico de este proyecto consistiacutea en calcular las temperaturas internas en un objeto en 3 dimensiones (pellets radioactivos) cuando el programa solo estaacute disentildeado para realizar caacutelculos en objetos de 2 dimensiones La simetriacutea del pellet obviamente permite reducir sus dimensiones a 2 expresadas como el eje radial y el eje axial Los estudiantes tuvieron que modificar el ingreso de las variables para tomar en cuenta aspectos como por ejemplo que las distancias creciacutean linealmente seguacuten los ejes pero que las aacutereas de transferencia variaban seguacuten el eje siendo eacuteste constante seguacuten el eje radial pero proporcional al eje axial De similar manera la cantidad de calor generado variaba linealmente seguacuten el eje axial pero al cuadrado del eje radial Para validar sus modificaciones se realizaron varios modelos exploratorios como por ejemplo el caacutelculo simple de conduccioacuten a traveacutes de un tubo representando este uacuteltimo como una pared en el cual el eje x corresponde al eje radial y comparando los resultados obtenidos con la solucioacuten analiacutetica del mismo
El modelo desarrollado permitioacute explorar una diversidad de situaciones como son por ejemplo
bull los efectos de la variacioacuten de la constante convectiva sobre la temperatura maacutexima y promedia en el pellet
bull para un volumen de pellet constante queacute relacioacuten de largo a diaacutemetro lleva a la maacutexima temperatura interna
bull coacutemo variacutean las temperaturas maacuteximas y promedias cuando el pellet cambia de forma (cilindro hueco esfera etc) etc
194 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
Figura 3 Temperaturas en un pellet de material fisible de 2 cm de largo (eje axial) y 2 cm de diaacutemetro (eje radial) Se adoptaron valores tiacutepicos de
generacioacuten de calor en pellets de combustible nuclear La figura ilustra la
situacioacuten cuando la constante convectiva cae a 200 Wm2K
Figura 4 Algunos valores calculados para los pellets radioactivos Efecto de la constante convectiva sobre la temperatura maacutexima (izquierda)
Temperatura maacutexima al interior de un pellet de volumen constante en
funcioacuten al radio del mismo (derecha)
Estado no estacionario y nuacutemero de Biot
Al abordar el tema de flujo de calor en estado no estacionario la primera solucioacuten con la que nos topamos es la solucioacuten de Newton caracterizada por el hecho de que la relacioacuten de conductividad respecto a convectividad es muy
00002
00040006
0008001
-001-0005
00005
0011800
2000
2200
2400
2600
2800
eje radial [m]eje axial [m]
Tem
pe
ratu
ra [
degC]
0 100 200 300 400 500 6001000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
Constante convectiva h [Wm2K]
Te
mp
era
tura
maacutex
ima
[degC
]
0006 0008 001 0012 0014 00162100
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radio [m]
Te
mp
era
tura
maacutex
ima
[degC
]
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 195
grande En la praacutectica dicha condicioacuten estaacute cuantificada por un nuacutemero de Biot maacutes pequentildeo que 01
101 leequivk
hxNBi [8]
donde x1 = volumenaacuterea
El valor de 01 aparece maacutegicamente y muy pocos textos discuten el criterio detraacutes de dicha cifra su origen histoacuterico el rango de error que representa y las limitaciones existentes en cuanto a su aplicacioacuten a objetos con pequentildeos factores de esfericidad El anaacutelisis del estado estacionario por medio de aplicacioacuten de ecuaciones diferenciales parciales a una gran variedad de formas diferentes permitioacute apreciar mejor los liacutemites y alcances del criterio de NBilt01
Flujo de calor en 2 dimensiones y estado no estacionario
Cuando los textos de transferencia de calor [4] abordan el estado no estacionario encontramos una abundancia de graacuteficos en los cuales se puede inferir una temperatura reducida ya sea puntual ya sea promedio en funcioacuten a la relacioacuten existente entre dimensioacuten reducida conduccioacuten y conveccioacuten (hxk) y el tiempo reducido (αtx2)
Generalmente dichos graacuteficos se limitan a objetos sencillos como son una pared un cilindro y una esfera y tiacutepicamente adolecen de limitaciones en cuanto a los valores de conduccioacuten conveccioacuten y posicioacuten que podemos seleccionar resultando en que las aplicaciones praacutecticas que se les puede dar son un tanto limitadas
Hemos elaborado graacuteficos similares a los anteriormente descritos para objetos complejos En el caso ilustrado a continuacioacuten hemos tomado el nombre de nuestra publicacioacuten Acta Nova para crear un objeto cuyas paredes norte y este estaacuten aisladas y cuya temperatura cae desde 100ordmC a 0ordmC Los resultados obtenidos en pdetool (figura 5) fueron exportados a Matlab y procesados para calcular la temperatura promedio en funcioacuten al tiempo y la constante convectiva Finalmente se elaboraron los diagramas tiacutepicos para el sistema (figura 6) Los datos obtenidos tambieacuten fueron utilizados para explorar otros temas de intereacutes como ser el estudio de la evolucioacuten de los puntos de mayor tensioacuten mecaacutenica (por efecto de mayor gradiente de temperaturas) en funcioacuten al tiempo y la posicioacuten Noacutetese que dicho anaacutelisis es praacutecticamente imposible si nos limitamos a las graacuteficas tiacutepicas de temperatura reducida en funcioacuten al tiempo reducido
196 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
t =001
t =1
-10
-5
0
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50
20
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Time=001 Color T Height T
985
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ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 197
t =10
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Time=50 Color T Height T
10
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30
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198 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
t =100
t =200
-10
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Time=100 Color T Height T
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Time=200 Color T Height T
10
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t =300
t =600
-10
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0
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Time=600 Color T Height T
2
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200 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
t =1000
Figura 5 Evolucioacuten de temperaturas en funcioacuten a su posicioacuten y el tiempo para un cuerpo complejo
Figura 6 Evolucioacuten de la temperatura promedio reducida en funcioacuten al tiempo reducido para diferentes proporciones entre conveccioacuten y
conduccioacuten
-10
-5
0
5
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0
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80
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Time=1000 Color T Height T
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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
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Tiempo reducido X
Tem
pera
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reducid
a Y
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01
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11523
410
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 201
Max Planck y el congelado de papasprefritas
Los problemas de transicioacuten de fase son notoriamente difiacuteciles de modelar y pdetool no tiene ninguna opcioacuten para incorporar fenoacutemenos de generacioacuten de calor en cantidades limitadas (o en proporcioacuten a su masa) y en funcioacuten de la temperatura de modo que reacciones quiacutemicas en fase soacutelida estaacuten tambieacuten excluidas por el momento
Existe sin embargo un modelo sencillo para congelado propuesto por el gran fiacutesico alemaacuten Max Planck El planteamiento de Planck se resume a considerar la transicioacuten de fase como el factor limitante en la transferencia de calor de manera que el frente congelado penetra al interior del objeto en congelamiento con una velocidad limitada por la capacidad de conducir calor a traveacutes del hielo Dicho de manera maacutes matemaacutetica tenemos que
x
TTkA
dt
dxA x infinminus
=ρλ [9]
Hemos adaptado el planteamiento de Planck a un problema de congelamiento en 2 dimensiones e incluido fenoacutemenos de conveccioacuten para disentildear un proceso de congelado en continuo de papas prefritas Los resultados obtenidos por caacutelculo fueron luego cotejados con datos experimentales obtenidos al medir la temperatura interna de una papa prefrita expuesta a aire friacuteo a diferentes temperaturas y velocidades de aire Se encontroacute una buena correlacioacuten entre los datos experimentales y los calculados Los detalles del modelo y de las mediciones realizadas seraacuten publicados proacuteximamente [2]
Figura 7 Datos experimentales de la temperatura en el centro de una papa prefrita en funcioacuten al tiempo [2] El aire externo estaba a -20degC y la raacutefaga de
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-25
-20
-15
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0
5
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15
tiempo [s]
Tem
pe
ratu
ra C
202 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
aire sobre la papa era de 84 ms El tiempo de congelado (transicioacuten de
fase) se inicia aproximadamente a los100 segundos y concluye a los 400
segundos intervalo de tiempo predicho por nuestro modelo con buena
precisioacuten
A manera de conclusioacuten
Se han expuesto algunos de los proyectos y praacutecticas abordados en los uacuteltimos 5 antildeos que requeriacutean el uso de ecuaciones diferenciales parciales Los proyectos y praacutecticas fueron disentildeados de manera a intentar romper con los moldes un tanto convencionales que limitan un aprendizaje significativo de la transferencia de calor Se buscoacute que los temas abordados no tuvieran una solucioacuten faacutecil y de hecho nunca se anuncioacute que las ecuaciones diferenciales parciales eran el meacutetodo a emplearse para un problema dado muchas de las praacutecticas desarrolladas aunque no descritas aquiacute requeriacutean otro tipo de tratamiento Tambieacuten se buscoacute realizar cruces entre los diferentes temas abordados en clases de manera que los estudiantes tuviesen que descubrir las relaciones existentes entre diferentes fenoacutemenos en accioacuten al interior de un problema dado Los estudiantes salieron especialmente beneficiados en la medida que pudieron explorar y jugar con ecuaciones diferenciales parciales aplicaacutendolas a la resolucioacuten de problemas reales y a tener que razonar criacuteticamente en la aplicacioacuten de un programa que realiza caacutelculos complejos
Bibliografiacutea
[1] Amurrio D Proyectos de semestre para Procesos Unitarios II
[2] Barrientos P Amurrio D 2012 Artiacuteculo en elaboracioacuten
[3] Fourier J Memoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides httpgallicabnffrark12148bpt6k33707f220uacuteltimoacceso 082011
[4] Geankoplis C Transfer Operations and Unit Processes Prentice Hall
[5] Kreyszig Advanced Engineering Mathematics Wiley
[6] Mathworks 2005 Partial Differential Equation Toolbox For use with Matlab Comsol AB Mathworks Inc
190 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
asecha al usuario es la naturaleza de ldquocaja negrardquo que tiene la solucioacuten No habiendo realizado personalmente los caacutelculos no tenemos coacutemo verificar su pertinencia Para contrarrestar estos aspectos hemos disentildeado una serie de praacutecticas que han sido aplicadas a lo largo de los uacuteltimos 5 antildeos [1] y que buscan inducir un entendimiento cabal de los fenoacutemenos de transferencia de calor guardando siempre una actitud criacutetica hacia el programa que ejecuta los caacutelculos Describimos a continuacioacuten algunas de las praacutecticas maacutes significativas porque consideramos que ya ha llegado el momento de integrar las ecuaciones diferenciales parciales en la curricula de los estudiantes de ingenieriacutea y esperamos que los ejemplos descritos contribuyan a establecer los paradigmas de su aplicacioacuten Todos los casos fueron resueltos con pdetool de Matlab y los resultados exportados a Matlab para ser procesados En varios casos nos encontramos al liacutemite de las capacidades del programa
Anaacutelisis de isotermas
Anteriormente al uso de meacutetodos numeacutericos los ingenieros desarrollaron meacutetodos graacuteficos para resolver problemas de transferencia de calor en 2 dimensiones Aunque el meacutetodo utilizado era muy limitado no pudiendo incorporar condiciones de conveccioacuten o radiacioacuten en las fronteras ni generacioacuten de calor al interior del objeto resta que el anaacutelisis que se realizaba sobre las isotermas y las liacuteneas de flujo retiene hoy en diacutea todo su valor para poder visualizar los flujos de calor y comprender la naturaleza y particularidades del problema que estamos analizando
Figura 1 Flujo de chocolate derretido en un tubo con aislante y un tutor con vapor para evitar su solidificacioacuten Un anaacutelisis de las isotermas nos permite
calcular el porcentaje de calor que el vapor pierde directamente hacia el
exterior (aproximadamente 40) el porcentaje de calor que le transfiere al
chocolate (60) y la proporcioacuten existente entre calor que le llega al chocolate
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 191
y el calor que eacuteste pierde hacia el exterior (relacioacuten de 5 a 3
aproximadamente) Tambieacuten es posible calcular la relacioacuten existente entre la
conductividad en el tubo respecto a la conductividad del aislante
Factores de forma y conveccioacuten
Para situaciones de flujo de calor en 2 dimensiones se recurrioacute en el pasado a la estimacioacuten de factores de forma S Estos uacuteltimos eran calculados en base a meacutetodos graacuteficos y permitiacutean tratar un problema dado como si eacuteste fuese simplemente un caso de flujo de calor unidimensional con el factor de forma realizando las correcciones necesarias para compensar el efecto en 2 dimensiones Existe una abundante literatura un tanto antigua en la cual se tiene expresiones para factores de forma aplicables a una gran cantidad de situaciones Todos los valores de S citados adolecen sin embargo de un defecto comuacuten a saber que en todos los casos se supone que las fronteras de los objetos estaacuten todos a la misma temperatura situacioacuten difiacutecilmente conciliable con la realidad en la cual condiciones variantes de conveccioacuten crean temperaturas diferentes sobre la superficie de los objetos a traveacutes de la cual se transfiere calor
Se ha retomado un ejemplo bastante comuacuten en los textos de transferencia de calor a saber el de un ducto circular rodeado por un aislante de seccioacuten cuadrada Dichos textos indican que el factor de forma para dicha situacioacuten puede calcularse por medio de la relacioacuten
=
r
a
LS
540ln
2π [7]
donde a es el lado del aislante y r es el radio del tubo
Dicho ejemplo ha sido retomado y resuelto bajo una serie de condiciones convectivas externas para poder determinar el factor de forma en funcioacuten de la constante convectiva externa Como el problema tiene 4 planos de simetriacutea es posible circunscribir el planteamiento a una octava parte del mismo (ver figura 2 superior) Se encontroacute para el ejemplo en cuestioacuten una relacioacuten lineal entre el factor de forma y la constante convectiva tal que S=04611h+512594 Si bien ambos meacutetodos dan resultados bastante similares cuando la constante convectiva es pequentildea al alcanzar los valores maacutes altos de h notamos que el error crece raacutepidamente alcanzando una diferencia de 30 cuando h=60
192 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
Figura 2 (arriba) Base de caacutelculo para el problema de conduccioacuten en una tuberiacutea de seccioacuten circular rodeada por un aislante se seccioacuten cuadrada
Noacutetese que para la pared inferior difiacutecilmente podriacutea argumentarse de que
estaacute a una temperatura constante (abajo) Flujos de calor calculados por el
meacutetodo de las ecuaciones diferenciales parciales y su comparacioacuten con
valores calculados con ayuda de los factores de forma
0 10 20 30 40 50 600
20
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80
100
120
140
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Constante convectiva h [Wm2K]
Calo
r [W
]
Fllujo de calor calculado por ecuacionesdiferenciales parciales
Flujo de calor calculado enbase al meacutetodo graacutefico
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 193
Conduccioacuten de calor en 3 dimensiones con generacioacuten interna
Un anaacutelisis de la reciente cataacutestrofe acaecida en Fukushima-Daiichi nos llevoacute naturalmente a interrogarnos sobre la temperatura a la que pueden llegar los pellets de material fisible cuando falla el sistema de enfriamiento El desafiacuteo matemaacutetico de este proyecto consistiacutea en calcular las temperaturas internas en un objeto en 3 dimensiones (pellets radioactivos) cuando el programa solo estaacute disentildeado para realizar caacutelculos en objetos de 2 dimensiones La simetriacutea del pellet obviamente permite reducir sus dimensiones a 2 expresadas como el eje radial y el eje axial Los estudiantes tuvieron que modificar el ingreso de las variables para tomar en cuenta aspectos como por ejemplo que las distancias creciacutean linealmente seguacuten los ejes pero que las aacutereas de transferencia variaban seguacuten el eje siendo eacuteste constante seguacuten el eje radial pero proporcional al eje axial De similar manera la cantidad de calor generado variaba linealmente seguacuten el eje axial pero al cuadrado del eje radial Para validar sus modificaciones se realizaron varios modelos exploratorios como por ejemplo el caacutelculo simple de conduccioacuten a traveacutes de un tubo representando este uacuteltimo como una pared en el cual el eje x corresponde al eje radial y comparando los resultados obtenidos con la solucioacuten analiacutetica del mismo
El modelo desarrollado permitioacute explorar una diversidad de situaciones como son por ejemplo
bull los efectos de la variacioacuten de la constante convectiva sobre la temperatura maacutexima y promedia en el pellet
bull para un volumen de pellet constante queacute relacioacuten de largo a diaacutemetro lleva a la maacutexima temperatura interna
bull coacutemo variacutean las temperaturas maacuteximas y promedias cuando el pellet cambia de forma (cilindro hueco esfera etc) etc
194 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
Figura 3 Temperaturas en un pellet de material fisible de 2 cm de largo (eje axial) y 2 cm de diaacutemetro (eje radial) Se adoptaron valores tiacutepicos de
generacioacuten de calor en pellets de combustible nuclear La figura ilustra la
situacioacuten cuando la constante convectiva cae a 200 Wm2K
Figura 4 Algunos valores calculados para los pellets radioactivos Efecto de la constante convectiva sobre la temperatura maacutexima (izquierda)
Temperatura maacutexima al interior de un pellet de volumen constante en
funcioacuten al radio del mismo (derecha)
Estado no estacionario y nuacutemero de Biot
Al abordar el tema de flujo de calor en estado no estacionario la primera solucioacuten con la que nos topamos es la solucioacuten de Newton caracterizada por el hecho de que la relacioacuten de conductividad respecto a convectividad es muy
00002
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eje radial [m]eje axial [m]
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ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 195
grande En la praacutectica dicha condicioacuten estaacute cuantificada por un nuacutemero de Biot maacutes pequentildeo que 01
101 leequivk
hxNBi [8]
donde x1 = volumenaacuterea
El valor de 01 aparece maacutegicamente y muy pocos textos discuten el criterio detraacutes de dicha cifra su origen histoacuterico el rango de error que representa y las limitaciones existentes en cuanto a su aplicacioacuten a objetos con pequentildeos factores de esfericidad El anaacutelisis del estado estacionario por medio de aplicacioacuten de ecuaciones diferenciales parciales a una gran variedad de formas diferentes permitioacute apreciar mejor los liacutemites y alcances del criterio de NBilt01
Flujo de calor en 2 dimensiones y estado no estacionario
Cuando los textos de transferencia de calor [4] abordan el estado no estacionario encontramos una abundancia de graacuteficos en los cuales se puede inferir una temperatura reducida ya sea puntual ya sea promedio en funcioacuten a la relacioacuten existente entre dimensioacuten reducida conduccioacuten y conveccioacuten (hxk) y el tiempo reducido (αtx2)
Generalmente dichos graacuteficos se limitan a objetos sencillos como son una pared un cilindro y una esfera y tiacutepicamente adolecen de limitaciones en cuanto a los valores de conduccioacuten conveccioacuten y posicioacuten que podemos seleccionar resultando en que las aplicaciones praacutecticas que se les puede dar son un tanto limitadas
Hemos elaborado graacuteficos similares a los anteriormente descritos para objetos complejos En el caso ilustrado a continuacioacuten hemos tomado el nombre de nuestra publicacioacuten Acta Nova para crear un objeto cuyas paredes norte y este estaacuten aisladas y cuya temperatura cae desde 100ordmC a 0ordmC Los resultados obtenidos en pdetool (figura 5) fueron exportados a Matlab y procesados para calcular la temperatura promedio en funcioacuten al tiempo y la constante convectiva Finalmente se elaboraron los diagramas tiacutepicos para el sistema (figura 6) Los datos obtenidos tambieacuten fueron utilizados para explorar otros temas de intereacutes como ser el estudio de la evolucioacuten de los puntos de mayor tensioacuten mecaacutenica (por efecto de mayor gradiente de temperaturas) en funcioacuten al tiempo y la posicioacuten Noacutetese que dicho anaacutelisis es praacutecticamente imposible si nos limitamos a las graacuteficas tiacutepicas de temperatura reducida en funcioacuten al tiempo reducido
196 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
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ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 197
t =10
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198 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
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ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 199
t =300
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25
30
35
40
45
50
55
-10
-5
0
5
10
-5
0
50
20
40
60
80
100
120
Time=600 Color T Height T
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
200 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
t =1000
Figura 5 Evolucioacuten de temperaturas en funcioacuten a su posicioacuten y el tiempo para un cuerpo complejo
Figura 6 Evolucioacuten de la temperatura promedio reducida en funcioacuten al tiempo reducido para diferentes proporciones entre conveccioacuten y
conduccioacuten
-10
-5
0
5
10
-5
0
50
20
40
60
80
100
120
Time=1000 Color T Height T
1
2
3
4
5
6
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
10-3
10-2
10-1
100
Tiempo reducido X
Tem
pera
tura
reducid
a Y
hk
01
02
05
11523
410
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 201
Max Planck y el congelado de papasprefritas
Los problemas de transicioacuten de fase son notoriamente difiacuteciles de modelar y pdetool no tiene ninguna opcioacuten para incorporar fenoacutemenos de generacioacuten de calor en cantidades limitadas (o en proporcioacuten a su masa) y en funcioacuten de la temperatura de modo que reacciones quiacutemicas en fase soacutelida estaacuten tambieacuten excluidas por el momento
Existe sin embargo un modelo sencillo para congelado propuesto por el gran fiacutesico alemaacuten Max Planck El planteamiento de Planck se resume a considerar la transicioacuten de fase como el factor limitante en la transferencia de calor de manera que el frente congelado penetra al interior del objeto en congelamiento con una velocidad limitada por la capacidad de conducir calor a traveacutes del hielo Dicho de manera maacutes matemaacutetica tenemos que
x
TTkA
dt
dxA x infinminus
=ρλ [9]
Hemos adaptado el planteamiento de Planck a un problema de congelamiento en 2 dimensiones e incluido fenoacutemenos de conveccioacuten para disentildear un proceso de congelado en continuo de papas prefritas Los resultados obtenidos por caacutelculo fueron luego cotejados con datos experimentales obtenidos al medir la temperatura interna de una papa prefrita expuesta a aire friacuteo a diferentes temperaturas y velocidades de aire Se encontroacute una buena correlacioacuten entre los datos experimentales y los calculados Los detalles del modelo y de las mediciones realizadas seraacuten publicados proacuteximamente [2]
Figura 7 Datos experimentales de la temperatura en el centro de una papa prefrita en funcioacuten al tiempo [2] El aire externo estaba a -20degC y la raacutefaga de
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
tiempo [s]
Tem
pe
ratu
ra C
202 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
aire sobre la papa era de 84 ms El tiempo de congelado (transicioacuten de
fase) se inicia aproximadamente a los100 segundos y concluye a los 400
segundos intervalo de tiempo predicho por nuestro modelo con buena
precisioacuten
A manera de conclusioacuten
Se han expuesto algunos de los proyectos y praacutecticas abordados en los uacuteltimos 5 antildeos que requeriacutean el uso de ecuaciones diferenciales parciales Los proyectos y praacutecticas fueron disentildeados de manera a intentar romper con los moldes un tanto convencionales que limitan un aprendizaje significativo de la transferencia de calor Se buscoacute que los temas abordados no tuvieran una solucioacuten faacutecil y de hecho nunca se anuncioacute que las ecuaciones diferenciales parciales eran el meacutetodo a emplearse para un problema dado muchas de las praacutecticas desarrolladas aunque no descritas aquiacute requeriacutean otro tipo de tratamiento Tambieacuten se buscoacute realizar cruces entre los diferentes temas abordados en clases de manera que los estudiantes tuviesen que descubrir las relaciones existentes entre diferentes fenoacutemenos en accioacuten al interior de un problema dado Los estudiantes salieron especialmente beneficiados en la medida que pudieron explorar y jugar con ecuaciones diferenciales parciales aplicaacutendolas a la resolucioacuten de problemas reales y a tener que razonar criacuteticamente en la aplicacioacuten de un programa que realiza caacutelculos complejos
Bibliografiacutea
[1] Amurrio D Proyectos de semestre para Procesos Unitarios II
[2] Barrientos P Amurrio D 2012 Artiacuteculo en elaboracioacuten
[3] Fourier J Memoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides httpgallicabnffrark12148bpt6k33707f220uacuteltimoacceso 082011
[4] Geankoplis C Transfer Operations and Unit Processes Prentice Hall
[5] Kreyszig Advanced Engineering Mathematics Wiley
[6] Mathworks 2005 Partial Differential Equation Toolbox For use with Matlab Comsol AB Mathworks Inc
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 191
y el calor que eacuteste pierde hacia el exterior (relacioacuten de 5 a 3
aproximadamente) Tambieacuten es posible calcular la relacioacuten existente entre la
conductividad en el tubo respecto a la conductividad del aislante
Factores de forma y conveccioacuten
Para situaciones de flujo de calor en 2 dimensiones se recurrioacute en el pasado a la estimacioacuten de factores de forma S Estos uacuteltimos eran calculados en base a meacutetodos graacuteficos y permitiacutean tratar un problema dado como si eacuteste fuese simplemente un caso de flujo de calor unidimensional con el factor de forma realizando las correcciones necesarias para compensar el efecto en 2 dimensiones Existe una abundante literatura un tanto antigua en la cual se tiene expresiones para factores de forma aplicables a una gran cantidad de situaciones Todos los valores de S citados adolecen sin embargo de un defecto comuacuten a saber que en todos los casos se supone que las fronteras de los objetos estaacuten todos a la misma temperatura situacioacuten difiacutecilmente conciliable con la realidad en la cual condiciones variantes de conveccioacuten crean temperaturas diferentes sobre la superficie de los objetos a traveacutes de la cual se transfiere calor
Se ha retomado un ejemplo bastante comuacuten en los textos de transferencia de calor a saber el de un ducto circular rodeado por un aislante de seccioacuten cuadrada Dichos textos indican que el factor de forma para dicha situacioacuten puede calcularse por medio de la relacioacuten
=
r
a
LS
540ln
2π [7]
donde a es el lado del aislante y r es el radio del tubo
Dicho ejemplo ha sido retomado y resuelto bajo una serie de condiciones convectivas externas para poder determinar el factor de forma en funcioacuten de la constante convectiva externa Como el problema tiene 4 planos de simetriacutea es posible circunscribir el planteamiento a una octava parte del mismo (ver figura 2 superior) Se encontroacute para el ejemplo en cuestioacuten una relacioacuten lineal entre el factor de forma y la constante convectiva tal que S=04611h+512594 Si bien ambos meacutetodos dan resultados bastante similares cuando la constante convectiva es pequentildea al alcanzar los valores maacutes altos de h notamos que el error crece raacutepidamente alcanzando una diferencia de 30 cuando h=60
192 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
Figura 2 (arriba) Base de caacutelculo para el problema de conduccioacuten en una tuberiacutea de seccioacuten circular rodeada por un aislante se seccioacuten cuadrada
Noacutetese que para la pared inferior difiacutecilmente podriacutea argumentarse de que
estaacute a una temperatura constante (abajo) Flujos de calor calculados por el
meacutetodo de las ecuaciones diferenciales parciales y su comparacioacuten con
valores calculados con ayuda de los factores de forma
0 10 20 30 40 50 600
20
40
60
80
100
120
140
160
Constante convectiva h [Wm2K]
Calo
r [W
]
Fllujo de calor calculado por ecuacionesdiferenciales parciales
Flujo de calor calculado enbase al meacutetodo graacutefico
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 193
Conduccioacuten de calor en 3 dimensiones con generacioacuten interna
Un anaacutelisis de la reciente cataacutestrofe acaecida en Fukushima-Daiichi nos llevoacute naturalmente a interrogarnos sobre la temperatura a la que pueden llegar los pellets de material fisible cuando falla el sistema de enfriamiento El desafiacuteo matemaacutetico de este proyecto consistiacutea en calcular las temperaturas internas en un objeto en 3 dimensiones (pellets radioactivos) cuando el programa solo estaacute disentildeado para realizar caacutelculos en objetos de 2 dimensiones La simetriacutea del pellet obviamente permite reducir sus dimensiones a 2 expresadas como el eje radial y el eje axial Los estudiantes tuvieron que modificar el ingreso de las variables para tomar en cuenta aspectos como por ejemplo que las distancias creciacutean linealmente seguacuten los ejes pero que las aacutereas de transferencia variaban seguacuten el eje siendo eacuteste constante seguacuten el eje radial pero proporcional al eje axial De similar manera la cantidad de calor generado variaba linealmente seguacuten el eje axial pero al cuadrado del eje radial Para validar sus modificaciones se realizaron varios modelos exploratorios como por ejemplo el caacutelculo simple de conduccioacuten a traveacutes de un tubo representando este uacuteltimo como una pared en el cual el eje x corresponde al eje radial y comparando los resultados obtenidos con la solucioacuten analiacutetica del mismo
El modelo desarrollado permitioacute explorar una diversidad de situaciones como son por ejemplo
bull los efectos de la variacioacuten de la constante convectiva sobre la temperatura maacutexima y promedia en el pellet
bull para un volumen de pellet constante queacute relacioacuten de largo a diaacutemetro lleva a la maacutexima temperatura interna
bull coacutemo variacutean las temperaturas maacuteximas y promedias cuando el pellet cambia de forma (cilindro hueco esfera etc) etc
194 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
Figura 3 Temperaturas en un pellet de material fisible de 2 cm de largo (eje axial) y 2 cm de diaacutemetro (eje radial) Se adoptaron valores tiacutepicos de
generacioacuten de calor en pellets de combustible nuclear La figura ilustra la
situacioacuten cuando la constante convectiva cae a 200 Wm2K
Figura 4 Algunos valores calculados para los pellets radioactivos Efecto de la constante convectiva sobre la temperatura maacutexima (izquierda)
Temperatura maacutexima al interior de un pellet de volumen constante en
funcioacuten al radio del mismo (derecha)
Estado no estacionario y nuacutemero de Biot
Al abordar el tema de flujo de calor en estado no estacionario la primera solucioacuten con la que nos topamos es la solucioacuten de Newton caracterizada por el hecho de que la relacioacuten de conductividad respecto a convectividad es muy
00002
00040006
0008001
-001-0005
00005
0011800
2000
2200
2400
2600
2800
eje radial [m]eje axial [m]
Tem
pe
ratu
ra [
degC]
0 100 200 300 400 500 6001000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
Constante convectiva h [Wm2K]
Te
mp
era
tura
maacutex
ima
[degC
]
0006 0008 001 0012 0014 00162100
2200
2300
2400
2500
2600
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2800
radio [m]
Te
mp
era
tura
maacutex
ima
[degC
]
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 195
grande En la praacutectica dicha condicioacuten estaacute cuantificada por un nuacutemero de Biot maacutes pequentildeo que 01
101 leequivk
hxNBi [8]
donde x1 = volumenaacuterea
El valor de 01 aparece maacutegicamente y muy pocos textos discuten el criterio detraacutes de dicha cifra su origen histoacuterico el rango de error que representa y las limitaciones existentes en cuanto a su aplicacioacuten a objetos con pequentildeos factores de esfericidad El anaacutelisis del estado estacionario por medio de aplicacioacuten de ecuaciones diferenciales parciales a una gran variedad de formas diferentes permitioacute apreciar mejor los liacutemites y alcances del criterio de NBilt01
Flujo de calor en 2 dimensiones y estado no estacionario
Cuando los textos de transferencia de calor [4] abordan el estado no estacionario encontramos una abundancia de graacuteficos en los cuales se puede inferir una temperatura reducida ya sea puntual ya sea promedio en funcioacuten a la relacioacuten existente entre dimensioacuten reducida conduccioacuten y conveccioacuten (hxk) y el tiempo reducido (αtx2)
Generalmente dichos graacuteficos se limitan a objetos sencillos como son una pared un cilindro y una esfera y tiacutepicamente adolecen de limitaciones en cuanto a los valores de conduccioacuten conveccioacuten y posicioacuten que podemos seleccionar resultando en que las aplicaciones praacutecticas que se les puede dar son un tanto limitadas
Hemos elaborado graacuteficos similares a los anteriormente descritos para objetos complejos En el caso ilustrado a continuacioacuten hemos tomado el nombre de nuestra publicacioacuten Acta Nova para crear un objeto cuyas paredes norte y este estaacuten aisladas y cuya temperatura cae desde 100ordmC a 0ordmC Los resultados obtenidos en pdetool (figura 5) fueron exportados a Matlab y procesados para calcular la temperatura promedio en funcioacuten al tiempo y la constante convectiva Finalmente se elaboraron los diagramas tiacutepicos para el sistema (figura 6) Los datos obtenidos tambieacuten fueron utilizados para explorar otros temas de intereacutes como ser el estudio de la evolucioacuten de los puntos de mayor tensioacuten mecaacutenica (por efecto de mayor gradiente de temperaturas) en funcioacuten al tiempo y la posicioacuten Noacutetese que dicho anaacutelisis es praacutecticamente imposible si nos limitamos a las graacuteficas tiacutepicas de temperatura reducida en funcioacuten al tiempo reducido
196 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
t =001
t =1
-10
-5
0
5
10
-5
0
50
20
40
60
80
100
120
Time=001 Color T Height T
985
99
995
100
1005
-10
-5
0
5
10
-5
0
5
0
20
40
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80
100
120
Time=1 Color T Height T
75
80
85
90
95
100
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 197
t =10
t =50
-10
-5
0
5
10
-5
0
50
20
40
60
80
100
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Time=10 Color T Height T
40
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60
70
80
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-10
-5
0
5
10
-5
0
5
0
20
40
60
80
100
120
Time=50 Color T Height T
10
20
30
40
50
60
70
80
90
198 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
t =100
t =200
-10
-5
0
5
10
-5
0
50
20
40
60
80
100
120
Time=100 Color T Height T
10
20
30
40
50
60
70
80
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-10
-5
0
5
10
-5
0
50
20
40
60
80
100
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Time=200 Color T Height T
10
20
30
40
50
60
70
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 199
t =300
t =600
-10
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0
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Time=300 Color T Height T
5
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-10
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0
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0
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Time=600 Color T Height T
2
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200 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
t =1000
Figura 5 Evolucioacuten de temperaturas en funcioacuten a su posicioacuten y el tiempo para un cuerpo complejo
Figura 6 Evolucioacuten de la temperatura promedio reducida en funcioacuten al tiempo reducido para diferentes proporciones entre conveccioacuten y
conduccioacuten
-10
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0
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Time=1000 Color T Height T
1
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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
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Tiempo reducido X
Tem
pera
tura
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a Y
hk
01
02
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ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 201
Max Planck y el congelado de papasprefritas
Los problemas de transicioacuten de fase son notoriamente difiacuteciles de modelar y pdetool no tiene ninguna opcioacuten para incorporar fenoacutemenos de generacioacuten de calor en cantidades limitadas (o en proporcioacuten a su masa) y en funcioacuten de la temperatura de modo que reacciones quiacutemicas en fase soacutelida estaacuten tambieacuten excluidas por el momento
Existe sin embargo un modelo sencillo para congelado propuesto por el gran fiacutesico alemaacuten Max Planck El planteamiento de Planck se resume a considerar la transicioacuten de fase como el factor limitante en la transferencia de calor de manera que el frente congelado penetra al interior del objeto en congelamiento con una velocidad limitada por la capacidad de conducir calor a traveacutes del hielo Dicho de manera maacutes matemaacutetica tenemos que
x
TTkA
dt
dxA x infinminus
=ρλ [9]
Hemos adaptado el planteamiento de Planck a un problema de congelamiento en 2 dimensiones e incluido fenoacutemenos de conveccioacuten para disentildear un proceso de congelado en continuo de papas prefritas Los resultados obtenidos por caacutelculo fueron luego cotejados con datos experimentales obtenidos al medir la temperatura interna de una papa prefrita expuesta a aire friacuteo a diferentes temperaturas y velocidades de aire Se encontroacute una buena correlacioacuten entre los datos experimentales y los calculados Los detalles del modelo y de las mediciones realizadas seraacuten publicados proacuteximamente [2]
Figura 7 Datos experimentales de la temperatura en el centro de una papa prefrita en funcioacuten al tiempo [2] El aire externo estaba a -20degC y la raacutefaga de
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-25
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tiempo [s]
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202 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
aire sobre la papa era de 84 ms El tiempo de congelado (transicioacuten de
fase) se inicia aproximadamente a los100 segundos y concluye a los 400
segundos intervalo de tiempo predicho por nuestro modelo con buena
precisioacuten
A manera de conclusioacuten
Se han expuesto algunos de los proyectos y praacutecticas abordados en los uacuteltimos 5 antildeos que requeriacutean el uso de ecuaciones diferenciales parciales Los proyectos y praacutecticas fueron disentildeados de manera a intentar romper con los moldes un tanto convencionales que limitan un aprendizaje significativo de la transferencia de calor Se buscoacute que los temas abordados no tuvieran una solucioacuten faacutecil y de hecho nunca se anuncioacute que las ecuaciones diferenciales parciales eran el meacutetodo a emplearse para un problema dado muchas de las praacutecticas desarrolladas aunque no descritas aquiacute requeriacutean otro tipo de tratamiento Tambieacuten se buscoacute realizar cruces entre los diferentes temas abordados en clases de manera que los estudiantes tuviesen que descubrir las relaciones existentes entre diferentes fenoacutemenos en accioacuten al interior de un problema dado Los estudiantes salieron especialmente beneficiados en la medida que pudieron explorar y jugar con ecuaciones diferenciales parciales aplicaacutendolas a la resolucioacuten de problemas reales y a tener que razonar criacuteticamente en la aplicacioacuten de un programa que realiza caacutelculos complejos
Bibliografiacutea
[1] Amurrio D Proyectos de semestre para Procesos Unitarios II
[2] Barrientos P Amurrio D 2012 Artiacuteculo en elaboracioacuten
[3] Fourier J Memoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides httpgallicabnffrark12148bpt6k33707f220uacuteltimoacceso 082011
[4] Geankoplis C Transfer Operations and Unit Processes Prentice Hall
[5] Kreyszig Advanced Engineering Mathematics Wiley
[6] Mathworks 2005 Partial Differential Equation Toolbox For use with Matlab Comsol AB Mathworks Inc
192 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
Figura 2 (arriba) Base de caacutelculo para el problema de conduccioacuten en una tuberiacutea de seccioacuten circular rodeada por un aislante se seccioacuten cuadrada
Noacutetese que para la pared inferior difiacutecilmente podriacutea argumentarse de que
estaacute a una temperatura constante (abajo) Flujos de calor calculados por el
meacutetodo de las ecuaciones diferenciales parciales y su comparacioacuten con
valores calculados con ayuda de los factores de forma
0 10 20 30 40 50 600
20
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Constante convectiva h [Wm2K]
Calo
r [W
]
Fllujo de calor calculado por ecuacionesdiferenciales parciales
Flujo de calor calculado enbase al meacutetodo graacutefico
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 193
Conduccioacuten de calor en 3 dimensiones con generacioacuten interna
Un anaacutelisis de la reciente cataacutestrofe acaecida en Fukushima-Daiichi nos llevoacute naturalmente a interrogarnos sobre la temperatura a la que pueden llegar los pellets de material fisible cuando falla el sistema de enfriamiento El desafiacuteo matemaacutetico de este proyecto consistiacutea en calcular las temperaturas internas en un objeto en 3 dimensiones (pellets radioactivos) cuando el programa solo estaacute disentildeado para realizar caacutelculos en objetos de 2 dimensiones La simetriacutea del pellet obviamente permite reducir sus dimensiones a 2 expresadas como el eje radial y el eje axial Los estudiantes tuvieron que modificar el ingreso de las variables para tomar en cuenta aspectos como por ejemplo que las distancias creciacutean linealmente seguacuten los ejes pero que las aacutereas de transferencia variaban seguacuten el eje siendo eacuteste constante seguacuten el eje radial pero proporcional al eje axial De similar manera la cantidad de calor generado variaba linealmente seguacuten el eje axial pero al cuadrado del eje radial Para validar sus modificaciones se realizaron varios modelos exploratorios como por ejemplo el caacutelculo simple de conduccioacuten a traveacutes de un tubo representando este uacuteltimo como una pared en el cual el eje x corresponde al eje radial y comparando los resultados obtenidos con la solucioacuten analiacutetica del mismo
El modelo desarrollado permitioacute explorar una diversidad de situaciones como son por ejemplo
bull los efectos de la variacioacuten de la constante convectiva sobre la temperatura maacutexima y promedia en el pellet
bull para un volumen de pellet constante queacute relacioacuten de largo a diaacutemetro lleva a la maacutexima temperatura interna
bull coacutemo variacutean las temperaturas maacuteximas y promedias cuando el pellet cambia de forma (cilindro hueco esfera etc) etc
194 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
Figura 3 Temperaturas en un pellet de material fisible de 2 cm de largo (eje axial) y 2 cm de diaacutemetro (eje radial) Se adoptaron valores tiacutepicos de
generacioacuten de calor en pellets de combustible nuclear La figura ilustra la
situacioacuten cuando la constante convectiva cae a 200 Wm2K
Figura 4 Algunos valores calculados para los pellets radioactivos Efecto de la constante convectiva sobre la temperatura maacutexima (izquierda)
Temperatura maacutexima al interior de un pellet de volumen constante en
funcioacuten al radio del mismo (derecha)
Estado no estacionario y nuacutemero de Biot
Al abordar el tema de flujo de calor en estado no estacionario la primera solucioacuten con la que nos topamos es la solucioacuten de Newton caracterizada por el hecho de que la relacioacuten de conductividad respecto a convectividad es muy
00002
00040006
0008001
-001-0005
00005
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eje radial [m]eje axial [m]
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degC]
0 100 200 300 400 500 6001000
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Constante convectiva h [Wm2K]
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Te
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ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 195
grande En la praacutectica dicha condicioacuten estaacute cuantificada por un nuacutemero de Biot maacutes pequentildeo que 01
101 leequivk
hxNBi [8]
donde x1 = volumenaacuterea
El valor de 01 aparece maacutegicamente y muy pocos textos discuten el criterio detraacutes de dicha cifra su origen histoacuterico el rango de error que representa y las limitaciones existentes en cuanto a su aplicacioacuten a objetos con pequentildeos factores de esfericidad El anaacutelisis del estado estacionario por medio de aplicacioacuten de ecuaciones diferenciales parciales a una gran variedad de formas diferentes permitioacute apreciar mejor los liacutemites y alcances del criterio de NBilt01
Flujo de calor en 2 dimensiones y estado no estacionario
Cuando los textos de transferencia de calor [4] abordan el estado no estacionario encontramos una abundancia de graacuteficos en los cuales se puede inferir una temperatura reducida ya sea puntual ya sea promedio en funcioacuten a la relacioacuten existente entre dimensioacuten reducida conduccioacuten y conveccioacuten (hxk) y el tiempo reducido (αtx2)
Generalmente dichos graacuteficos se limitan a objetos sencillos como son una pared un cilindro y una esfera y tiacutepicamente adolecen de limitaciones en cuanto a los valores de conduccioacuten conveccioacuten y posicioacuten que podemos seleccionar resultando en que las aplicaciones praacutecticas que se les puede dar son un tanto limitadas
Hemos elaborado graacuteficos similares a los anteriormente descritos para objetos complejos En el caso ilustrado a continuacioacuten hemos tomado el nombre de nuestra publicacioacuten Acta Nova para crear un objeto cuyas paredes norte y este estaacuten aisladas y cuya temperatura cae desde 100ordmC a 0ordmC Los resultados obtenidos en pdetool (figura 5) fueron exportados a Matlab y procesados para calcular la temperatura promedio en funcioacuten al tiempo y la constante convectiva Finalmente se elaboraron los diagramas tiacutepicos para el sistema (figura 6) Los datos obtenidos tambieacuten fueron utilizados para explorar otros temas de intereacutes como ser el estudio de la evolucioacuten de los puntos de mayor tensioacuten mecaacutenica (por efecto de mayor gradiente de temperaturas) en funcioacuten al tiempo y la posicioacuten Noacutetese que dicho anaacutelisis es praacutecticamente imposible si nos limitamos a las graacuteficas tiacutepicas de temperatura reducida en funcioacuten al tiempo reducido
196 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
t =001
t =1
-10
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0
5
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ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 197
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198 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
t =100
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ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 199
t =300
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200 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
t =1000
Figura 5 Evolucioacuten de temperaturas en funcioacuten a su posicioacuten y el tiempo para un cuerpo complejo
Figura 6 Evolucioacuten de la temperatura promedio reducida en funcioacuten al tiempo reducido para diferentes proporciones entre conveccioacuten y
conduccioacuten
-10
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Tiempo reducido X
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410
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 201
Max Planck y el congelado de papasprefritas
Los problemas de transicioacuten de fase son notoriamente difiacuteciles de modelar y pdetool no tiene ninguna opcioacuten para incorporar fenoacutemenos de generacioacuten de calor en cantidades limitadas (o en proporcioacuten a su masa) y en funcioacuten de la temperatura de modo que reacciones quiacutemicas en fase soacutelida estaacuten tambieacuten excluidas por el momento
Existe sin embargo un modelo sencillo para congelado propuesto por el gran fiacutesico alemaacuten Max Planck El planteamiento de Planck se resume a considerar la transicioacuten de fase como el factor limitante en la transferencia de calor de manera que el frente congelado penetra al interior del objeto en congelamiento con una velocidad limitada por la capacidad de conducir calor a traveacutes del hielo Dicho de manera maacutes matemaacutetica tenemos que
x
TTkA
dt
dxA x infinminus
=ρλ [9]
Hemos adaptado el planteamiento de Planck a un problema de congelamiento en 2 dimensiones e incluido fenoacutemenos de conveccioacuten para disentildear un proceso de congelado en continuo de papas prefritas Los resultados obtenidos por caacutelculo fueron luego cotejados con datos experimentales obtenidos al medir la temperatura interna de una papa prefrita expuesta a aire friacuteo a diferentes temperaturas y velocidades de aire Se encontroacute una buena correlacioacuten entre los datos experimentales y los calculados Los detalles del modelo y de las mediciones realizadas seraacuten publicados proacuteximamente [2]
Figura 7 Datos experimentales de la temperatura en el centro de una papa prefrita en funcioacuten al tiempo [2] El aire externo estaba a -20degC y la raacutefaga de
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-25
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tiempo [s]
Tem
pe
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ra C
202 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
aire sobre la papa era de 84 ms El tiempo de congelado (transicioacuten de
fase) se inicia aproximadamente a los100 segundos y concluye a los 400
segundos intervalo de tiempo predicho por nuestro modelo con buena
precisioacuten
A manera de conclusioacuten
Se han expuesto algunos de los proyectos y praacutecticas abordados en los uacuteltimos 5 antildeos que requeriacutean el uso de ecuaciones diferenciales parciales Los proyectos y praacutecticas fueron disentildeados de manera a intentar romper con los moldes un tanto convencionales que limitan un aprendizaje significativo de la transferencia de calor Se buscoacute que los temas abordados no tuvieran una solucioacuten faacutecil y de hecho nunca se anuncioacute que las ecuaciones diferenciales parciales eran el meacutetodo a emplearse para un problema dado muchas de las praacutecticas desarrolladas aunque no descritas aquiacute requeriacutean otro tipo de tratamiento Tambieacuten se buscoacute realizar cruces entre los diferentes temas abordados en clases de manera que los estudiantes tuviesen que descubrir las relaciones existentes entre diferentes fenoacutemenos en accioacuten al interior de un problema dado Los estudiantes salieron especialmente beneficiados en la medida que pudieron explorar y jugar con ecuaciones diferenciales parciales aplicaacutendolas a la resolucioacuten de problemas reales y a tener que razonar criacuteticamente en la aplicacioacuten de un programa que realiza caacutelculos complejos
Bibliografiacutea
[1] Amurrio D Proyectos de semestre para Procesos Unitarios II
[2] Barrientos P Amurrio D 2012 Artiacuteculo en elaboracioacuten
[3] Fourier J Memoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides httpgallicabnffrark12148bpt6k33707f220uacuteltimoacceso 082011
[4] Geankoplis C Transfer Operations and Unit Processes Prentice Hall
[5] Kreyszig Advanced Engineering Mathematics Wiley
[6] Mathworks 2005 Partial Differential Equation Toolbox For use with Matlab Comsol AB Mathworks Inc
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 193
Conduccioacuten de calor en 3 dimensiones con generacioacuten interna
Un anaacutelisis de la reciente cataacutestrofe acaecida en Fukushima-Daiichi nos llevoacute naturalmente a interrogarnos sobre la temperatura a la que pueden llegar los pellets de material fisible cuando falla el sistema de enfriamiento El desafiacuteo matemaacutetico de este proyecto consistiacutea en calcular las temperaturas internas en un objeto en 3 dimensiones (pellets radioactivos) cuando el programa solo estaacute disentildeado para realizar caacutelculos en objetos de 2 dimensiones La simetriacutea del pellet obviamente permite reducir sus dimensiones a 2 expresadas como el eje radial y el eje axial Los estudiantes tuvieron que modificar el ingreso de las variables para tomar en cuenta aspectos como por ejemplo que las distancias creciacutean linealmente seguacuten los ejes pero que las aacutereas de transferencia variaban seguacuten el eje siendo eacuteste constante seguacuten el eje radial pero proporcional al eje axial De similar manera la cantidad de calor generado variaba linealmente seguacuten el eje axial pero al cuadrado del eje radial Para validar sus modificaciones se realizaron varios modelos exploratorios como por ejemplo el caacutelculo simple de conduccioacuten a traveacutes de un tubo representando este uacuteltimo como una pared en el cual el eje x corresponde al eje radial y comparando los resultados obtenidos con la solucioacuten analiacutetica del mismo
El modelo desarrollado permitioacute explorar una diversidad de situaciones como son por ejemplo
bull los efectos de la variacioacuten de la constante convectiva sobre la temperatura maacutexima y promedia en el pellet
bull para un volumen de pellet constante queacute relacioacuten de largo a diaacutemetro lleva a la maacutexima temperatura interna
bull coacutemo variacutean las temperaturas maacuteximas y promedias cuando el pellet cambia de forma (cilindro hueco esfera etc) etc
194 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
Figura 3 Temperaturas en un pellet de material fisible de 2 cm de largo (eje axial) y 2 cm de diaacutemetro (eje radial) Se adoptaron valores tiacutepicos de
generacioacuten de calor en pellets de combustible nuclear La figura ilustra la
situacioacuten cuando la constante convectiva cae a 200 Wm2K
Figura 4 Algunos valores calculados para los pellets radioactivos Efecto de la constante convectiva sobre la temperatura maacutexima (izquierda)
Temperatura maacutexima al interior de un pellet de volumen constante en
funcioacuten al radio del mismo (derecha)
Estado no estacionario y nuacutemero de Biot
Al abordar el tema de flujo de calor en estado no estacionario la primera solucioacuten con la que nos topamos es la solucioacuten de Newton caracterizada por el hecho de que la relacioacuten de conductividad respecto a convectividad es muy
00002
00040006
0008001
-001-0005
00005
0011800
2000
2200
2400
2600
2800
eje radial [m]eje axial [m]
Tem
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degC]
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2000
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Constante convectiva h [Wm2K]
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maacutex
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]
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]
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 195
grande En la praacutectica dicha condicioacuten estaacute cuantificada por un nuacutemero de Biot maacutes pequentildeo que 01
101 leequivk
hxNBi [8]
donde x1 = volumenaacuterea
El valor de 01 aparece maacutegicamente y muy pocos textos discuten el criterio detraacutes de dicha cifra su origen histoacuterico el rango de error que representa y las limitaciones existentes en cuanto a su aplicacioacuten a objetos con pequentildeos factores de esfericidad El anaacutelisis del estado estacionario por medio de aplicacioacuten de ecuaciones diferenciales parciales a una gran variedad de formas diferentes permitioacute apreciar mejor los liacutemites y alcances del criterio de NBilt01
Flujo de calor en 2 dimensiones y estado no estacionario
Cuando los textos de transferencia de calor [4] abordan el estado no estacionario encontramos una abundancia de graacuteficos en los cuales se puede inferir una temperatura reducida ya sea puntual ya sea promedio en funcioacuten a la relacioacuten existente entre dimensioacuten reducida conduccioacuten y conveccioacuten (hxk) y el tiempo reducido (αtx2)
Generalmente dichos graacuteficos se limitan a objetos sencillos como son una pared un cilindro y una esfera y tiacutepicamente adolecen de limitaciones en cuanto a los valores de conduccioacuten conveccioacuten y posicioacuten que podemos seleccionar resultando en que las aplicaciones praacutecticas que se les puede dar son un tanto limitadas
Hemos elaborado graacuteficos similares a los anteriormente descritos para objetos complejos En el caso ilustrado a continuacioacuten hemos tomado el nombre de nuestra publicacioacuten Acta Nova para crear un objeto cuyas paredes norte y este estaacuten aisladas y cuya temperatura cae desde 100ordmC a 0ordmC Los resultados obtenidos en pdetool (figura 5) fueron exportados a Matlab y procesados para calcular la temperatura promedio en funcioacuten al tiempo y la constante convectiva Finalmente se elaboraron los diagramas tiacutepicos para el sistema (figura 6) Los datos obtenidos tambieacuten fueron utilizados para explorar otros temas de intereacutes como ser el estudio de la evolucioacuten de los puntos de mayor tensioacuten mecaacutenica (por efecto de mayor gradiente de temperaturas) en funcioacuten al tiempo y la posicioacuten Noacutetese que dicho anaacutelisis es praacutecticamente imposible si nos limitamos a las graacuteficas tiacutepicas de temperatura reducida en funcioacuten al tiempo reducido
196 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
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t =1
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ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 197
t =10
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198 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
t =100
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ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 199
t =300
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200 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
t =1000
Figura 5 Evolucioacuten de temperaturas en funcioacuten a su posicioacuten y el tiempo para un cuerpo complejo
Figura 6 Evolucioacuten de la temperatura promedio reducida en funcioacuten al tiempo reducido para diferentes proporciones entre conveccioacuten y
conduccioacuten
-10
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0
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Tiempo reducido X
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11523
410
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 201
Max Planck y el congelado de papasprefritas
Los problemas de transicioacuten de fase son notoriamente difiacuteciles de modelar y pdetool no tiene ninguna opcioacuten para incorporar fenoacutemenos de generacioacuten de calor en cantidades limitadas (o en proporcioacuten a su masa) y en funcioacuten de la temperatura de modo que reacciones quiacutemicas en fase soacutelida estaacuten tambieacuten excluidas por el momento
Existe sin embargo un modelo sencillo para congelado propuesto por el gran fiacutesico alemaacuten Max Planck El planteamiento de Planck se resume a considerar la transicioacuten de fase como el factor limitante en la transferencia de calor de manera que el frente congelado penetra al interior del objeto en congelamiento con una velocidad limitada por la capacidad de conducir calor a traveacutes del hielo Dicho de manera maacutes matemaacutetica tenemos que
x
TTkA
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dxA x infinminus
=ρλ [9]
Hemos adaptado el planteamiento de Planck a un problema de congelamiento en 2 dimensiones e incluido fenoacutemenos de conveccioacuten para disentildear un proceso de congelado en continuo de papas prefritas Los resultados obtenidos por caacutelculo fueron luego cotejados con datos experimentales obtenidos al medir la temperatura interna de una papa prefrita expuesta a aire friacuteo a diferentes temperaturas y velocidades de aire Se encontroacute una buena correlacioacuten entre los datos experimentales y los calculados Los detalles del modelo y de las mediciones realizadas seraacuten publicados proacuteximamente [2]
Figura 7 Datos experimentales de la temperatura en el centro de una papa prefrita en funcioacuten al tiempo [2] El aire externo estaba a -20degC y la raacutefaga de
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-25
-20
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tiempo [s]
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202 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
aire sobre la papa era de 84 ms El tiempo de congelado (transicioacuten de
fase) se inicia aproximadamente a los100 segundos y concluye a los 400
segundos intervalo de tiempo predicho por nuestro modelo con buena
precisioacuten
A manera de conclusioacuten
Se han expuesto algunos de los proyectos y praacutecticas abordados en los uacuteltimos 5 antildeos que requeriacutean el uso de ecuaciones diferenciales parciales Los proyectos y praacutecticas fueron disentildeados de manera a intentar romper con los moldes un tanto convencionales que limitan un aprendizaje significativo de la transferencia de calor Se buscoacute que los temas abordados no tuvieran una solucioacuten faacutecil y de hecho nunca se anuncioacute que las ecuaciones diferenciales parciales eran el meacutetodo a emplearse para un problema dado muchas de las praacutecticas desarrolladas aunque no descritas aquiacute requeriacutean otro tipo de tratamiento Tambieacuten se buscoacute realizar cruces entre los diferentes temas abordados en clases de manera que los estudiantes tuviesen que descubrir las relaciones existentes entre diferentes fenoacutemenos en accioacuten al interior de un problema dado Los estudiantes salieron especialmente beneficiados en la medida que pudieron explorar y jugar con ecuaciones diferenciales parciales aplicaacutendolas a la resolucioacuten de problemas reales y a tener que razonar criacuteticamente en la aplicacioacuten de un programa que realiza caacutelculos complejos
Bibliografiacutea
[1] Amurrio D Proyectos de semestre para Procesos Unitarios II
[2] Barrientos P Amurrio D 2012 Artiacuteculo en elaboracioacuten
[3] Fourier J Memoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides httpgallicabnffrark12148bpt6k33707f220uacuteltimoacceso 082011
[4] Geankoplis C Transfer Operations and Unit Processes Prentice Hall
[5] Kreyszig Advanced Engineering Mathematics Wiley
[6] Mathworks 2005 Partial Differential Equation Toolbox For use with Matlab Comsol AB Mathworks Inc
194 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
Figura 3 Temperaturas en un pellet de material fisible de 2 cm de largo (eje axial) y 2 cm de diaacutemetro (eje radial) Se adoptaron valores tiacutepicos de
generacioacuten de calor en pellets de combustible nuclear La figura ilustra la
situacioacuten cuando la constante convectiva cae a 200 Wm2K
Figura 4 Algunos valores calculados para los pellets radioactivos Efecto de la constante convectiva sobre la temperatura maacutexima (izquierda)
Temperatura maacutexima al interior de un pellet de volumen constante en
funcioacuten al radio del mismo (derecha)
Estado no estacionario y nuacutemero de Biot
Al abordar el tema de flujo de calor en estado no estacionario la primera solucioacuten con la que nos topamos es la solucioacuten de Newton caracterizada por el hecho de que la relacioacuten de conductividad respecto a convectividad es muy
00002
00040006
0008001
-001-0005
00005
0011800
2000
2200
2400
2600
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eje radial [m]eje axial [m]
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0 100 200 300 400 500 6001000
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Constante convectiva h [Wm2K]
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0006 0008 001 0012 0014 00162100
2200
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radio [m]
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ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 195
grande En la praacutectica dicha condicioacuten estaacute cuantificada por un nuacutemero de Biot maacutes pequentildeo que 01
101 leequivk
hxNBi [8]
donde x1 = volumenaacuterea
El valor de 01 aparece maacutegicamente y muy pocos textos discuten el criterio detraacutes de dicha cifra su origen histoacuterico el rango de error que representa y las limitaciones existentes en cuanto a su aplicacioacuten a objetos con pequentildeos factores de esfericidad El anaacutelisis del estado estacionario por medio de aplicacioacuten de ecuaciones diferenciales parciales a una gran variedad de formas diferentes permitioacute apreciar mejor los liacutemites y alcances del criterio de NBilt01
Flujo de calor en 2 dimensiones y estado no estacionario
Cuando los textos de transferencia de calor [4] abordan el estado no estacionario encontramos una abundancia de graacuteficos en los cuales se puede inferir una temperatura reducida ya sea puntual ya sea promedio en funcioacuten a la relacioacuten existente entre dimensioacuten reducida conduccioacuten y conveccioacuten (hxk) y el tiempo reducido (αtx2)
Generalmente dichos graacuteficos se limitan a objetos sencillos como son una pared un cilindro y una esfera y tiacutepicamente adolecen de limitaciones en cuanto a los valores de conduccioacuten conveccioacuten y posicioacuten que podemos seleccionar resultando en que las aplicaciones praacutecticas que se les puede dar son un tanto limitadas
Hemos elaborado graacuteficos similares a los anteriormente descritos para objetos complejos En el caso ilustrado a continuacioacuten hemos tomado el nombre de nuestra publicacioacuten Acta Nova para crear un objeto cuyas paredes norte y este estaacuten aisladas y cuya temperatura cae desde 100ordmC a 0ordmC Los resultados obtenidos en pdetool (figura 5) fueron exportados a Matlab y procesados para calcular la temperatura promedio en funcioacuten al tiempo y la constante convectiva Finalmente se elaboraron los diagramas tiacutepicos para el sistema (figura 6) Los datos obtenidos tambieacuten fueron utilizados para explorar otros temas de intereacutes como ser el estudio de la evolucioacuten de los puntos de mayor tensioacuten mecaacutenica (por efecto de mayor gradiente de temperaturas) en funcioacuten al tiempo y la posicioacuten Noacutetese que dicho anaacutelisis es praacutecticamente imposible si nos limitamos a las graacuteficas tiacutepicas de temperatura reducida en funcioacuten al tiempo reducido
196 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
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Figura 5 Evolucioacuten de temperaturas en funcioacuten a su posicioacuten y el tiempo para un cuerpo complejo
Figura 6 Evolucioacuten de la temperatura promedio reducida en funcioacuten al tiempo reducido para diferentes proporciones entre conveccioacuten y
conduccioacuten
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Max Planck y el congelado de papasprefritas
Los problemas de transicioacuten de fase son notoriamente difiacuteciles de modelar y pdetool no tiene ninguna opcioacuten para incorporar fenoacutemenos de generacioacuten de calor en cantidades limitadas (o en proporcioacuten a su masa) y en funcioacuten de la temperatura de modo que reacciones quiacutemicas en fase soacutelida estaacuten tambieacuten excluidas por el momento
Existe sin embargo un modelo sencillo para congelado propuesto por el gran fiacutesico alemaacuten Max Planck El planteamiento de Planck se resume a considerar la transicioacuten de fase como el factor limitante en la transferencia de calor de manera que el frente congelado penetra al interior del objeto en congelamiento con una velocidad limitada por la capacidad de conducir calor a traveacutes del hielo Dicho de manera maacutes matemaacutetica tenemos que
x
TTkA
dt
dxA x infinminus
=ρλ [9]
Hemos adaptado el planteamiento de Planck a un problema de congelamiento en 2 dimensiones e incluido fenoacutemenos de conveccioacuten para disentildear un proceso de congelado en continuo de papas prefritas Los resultados obtenidos por caacutelculo fueron luego cotejados con datos experimentales obtenidos al medir la temperatura interna de una papa prefrita expuesta a aire friacuteo a diferentes temperaturas y velocidades de aire Se encontroacute una buena correlacioacuten entre los datos experimentales y los calculados Los detalles del modelo y de las mediciones realizadas seraacuten publicados proacuteximamente [2]
Figura 7 Datos experimentales de la temperatura en el centro de una papa prefrita en funcioacuten al tiempo [2] El aire externo estaba a -20degC y la raacutefaga de
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-25
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tiempo [s]
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202 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
aire sobre la papa era de 84 ms El tiempo de congelado (transicioacuten de
fase) se inicia aproximadamente a los100 segundos y concluye a los 400
segundos intervalo de tiempo predicho por nuestro modelo con buena
precisioacuten
A manera de conclusioacuten
Se han expuesto algunos de los proyectos y praacutecticas abordados en los uacuteltimos 5 antildeos que requeriacutean el uso de ecuaciones diferenciales parciales Los proyectos y praacutecticas fueron disentildeados de manera a intentar romper con los moldes un tanto convencionales que limitan un aprendizaje significativo de la transferencia de calor Se buscoacute que los temas abordados no tuvieran una solucioacuten faacutecil y de hecho nunca se anuncioacute que las ecuaciones diferenciales parciales eran el meacutetodo a emplearse para un problema dado muchas de las praacutecticas desarrolladas aunque no descritas aquiacute requeriacutean otro tipo de tratamiento Tambieacuten se buscoacute realizar cruces entre los diferentes temas abordados en clases de manera que los estudiantes tuviesen que descubrir las relaciones existentes entre diferentes fenoacutemenos en accioacuten al interior de un problema dado Los estudiantes salieron especialmente beneficiados en la medida que pudieron explorar y jugar con ecuaciones diferenciales parciales aplicaacutendolas a la resolucioacuten de problemas reales y a tener que razonar criacuteticamente en la aplicacioacuten de un programa que realiza caacutelculos complejos
Bibliografiacutea
[1] Amurrio D Proyectos de semestre para Procesos Unitarios II
[2] Barrientos P Amurrio D 2012 Artiacuteculo en elaboracioacuten
[3] Fourier J Memoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides httpgallicabnffrark12148bpt6k33707f220uacuteltimoacceso 082011
[4] Geankoplis C Transfer Operations and Unit Processes Prentice Hall
[5] Kreyszig Advanced Engineering Mathematics Wiley
[6] Mathworks 2005 Partial Differential Equation Toolbox For use with Matlab Comsol AB Mathworks Inc
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 195
grande En la praacutectica dicha condicioacuten estaacute cuantificada por un nuacutemero de Biot maacutes pequentildeo que 01
101 leequivk
hxNBi [8]
donde x1 = volumenaacuterea
El valor de 01 aparece maacutegicamente y muy pocos textos discuten el criterio detraacutes de dicha cifra su origen histoacuterico el rango de error que representa y las limitaciones existentes en cuanto a su aplicacioacuten a objetos con pequentildeos factores de esfericidad El anaacutelisis del estado estacionario por medio de aplicacioacuten de ecuaciones diferenciales parciales a una gran variedad de formas diferentes permitioacute apreciar mejor los liacutemites y alcances del criterio de NBilt01
Flujo de calor en 2 dimensiones y estado no estacionario
Cuando los textos de transferencia de calor [4] abordan el estado no estacionario encontramos una abundancia de graacuteficos en los cuales se puede inferir una temperatura reducida ya sea puntual ya sea promedio en funcioacuten a la relacioacuten existente entre dimensioacuten reducida conduccioacuten y conveccioacuten (hxk) y el tiempo reducido (αtx2)
Generalmente dichos graacuteficos se limitan a objetos sencillos como son una pared un cilindro y una esfera y tiacutepicamente adolecen de limitaciones en cuanto a los valores de conduccioacuten conveccioacuten y posicioacuten que podemos seleccionar resultando en que las aplicaciones praacutecticas que se les puede dar son un tanto limitadas
Hemos elaborado graacuteficos similares a los anteriormente descritos para objetos complejos En el caso ilustrado a continuacioacuten hemos tomado el nombre de nuestra publicacioacuten Acta Nova para crear un objeto cuyas paredes norte y este estaacuten aisladas y cuya temperatura cae desde 100ordmC a 0ordmC Los resultados obtenidos en pdetool (figura 5) fueron exportados a Matlab y procesados para calcular la temperatura promedio en funcioacuten al tiempo y la constante convectiva Finalmente se elaboraron los diagramas tiacutepicos para el sistema (figura 6) Los datos obtenidos tambieacuten fueron utilizados para explorar otros temas de intereacutes como ser el estudio de la evolucioacuten de los puntos de mayor tensioacuten mecaacutenica (por efecto de mayor gradiente de temperaturas) en funcioacuten al tiempo y la posicioacuten Noacutetese que dicho anaacutelisis es praacutecticamente imposible si nos limitamos a las graacuteficas tiacutepicas de temperatura reducida en funcioacuten al tiempo reducido
196 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
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Figura 5 Evolucioacuten de temperaturas en funcioacuten a su posicioacuten y el tiempo para un cuerpo complejo
Figura 6 Evolucioacuten de la temperatura promedio reducida en funcioacuten al tiempo reducido para diferentes proporciones entre conveccioacuten y
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Max Planck y el congelado de papasprefritas
Los problemas de transicioacuten de fase son notoriamente difiacuteciles de modelar y pdetool no tiene ninguna opcioacuten para incorporar fenoacutemenos de generacioacuten de calor en cantidades limitadas (o en proporcioacuten a su masa) y en funcioacuten de la temperatura de modo que reacciones quiacutemicas en fase soacutelida estaacuten tambieacuten excluidas por el momento
Existe sin embargo un modelo sencillo para congelado propuesto por el gran fiacutesico alemaacuten Max Planck El planteamiento de Planck se resume a considerar la transicioacuten de fase como el factor limitante en la transferencia de calor de manera que el frente congelado penetra al interior del objeto en congelamiento con una velocidad limitada por la capacidad de conducir calor a traveacutes del hielo Dicho de manera maacutes matemaacutetica tenemos que
x
TTkA
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Hemos adaptado el planteamiento de Planck a un problema de congelamiento en 2 dimensiones e incluido fenoacutemenos de conveccioacuten para disentildear un proceso de congelado en continuo de papas prefritas Los resultados obtenidos por caacutelculo fueron luego cotejados con datos experimentales obtenidos al medir la temperatura interna de una papa prefrita expuesta a aire friacuteo a diferentes temperaturas y velocidades de aire Se encontroacute una buena correlacioacuten entre los datos experimentales y los calculados Los detalles del modelo y de las mediciones realizadas seraacuten publicados proacuteximamente [2]
Figura 7 Datos experimentales de la temperatura en el centro de una papa prefrita en funcioacuten al tiempo [2] El aire externo estaba a -20degC y la raacutefaga de
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aire sobre la papa era de 84 ms El tiempo de congelado (transicioacuten de
fase) se inicia aproximadamente a los100 segundos y concluye a los 400
segundos intervalo de tiempo predicho por nuestro modelo con buena
precisioacuten
A manera de conclusioacuten
Se han expuesto algunos de los proyectos y praacutecticas abordados en los uacuteltimos 5 antildeos que requeriacutean el uso de ecuaciones diferenciales parciales Los proyectos y praacutecticas fueron disentildeados de manera a intentar romper con los moldes un tanto convencionales que limitan un aprendizaje significativo de la transferencia de calor Se buscoacute que los temas abordados no tuvieran una solucioacuten faacutecil y de hecho nunca se anuncioacute que las ecuaciones diferenciales parciales eran el meacutetodo a emplearse para un problema dado muchas de las praacutecticas desarrolladas aunque no descritas aquiacute requeriacutean otro tipo de tratamiento Tambieacuten se buscoacute realizar cruces entre los diferentes temas abordados en clases de manera que los estudiantes tuviesen que descubrir las relaciones existentes entre diferentes fenoacutemenos en accioacuten al interior de un problema dado Los estudiantes salieron especialmente beneficiados en la medida que pudieron explorar y jugar con ecuaciones diferenciales parciales aplicaacutendolas a la resolucioacuten de problemas reales y a tener que razonar criacuteticamente en la aplicacioacuten de un programa que realiza caacutelculos complejos
Bibliografiacutea
[1] Amurrio D Proyectos de semestre para Procesos Unitarios II
[2] Barrientos P Amurrio D 2012 Artiacuteculo en elaboracioacuten
[3] Fourier J Memoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides httpgallicabnffrark12148bpt6k33707f220uacuteltimoacceso 082011
[4] Geankoplis C Transfer Operations and Unit Processes Prentice Hall
[5] Kreyszig Advanced Engineering Mathematics Wiley
[6] Mathworks 2005 Partial Differential Equation Toolbox For use with Matlab Comsol AB Mathworks Inc
196 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
t =001
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Figura 5 Evolucioacuten de temperaturas en funcioacuten a su posicioacuten y el tiempo para un cuerpo complejo
Figura 6 Evolucioacuten de la temperatura promedio reducida en funcioacuten al tiempo reducido para diferentes proporciones entre conveccioacuten y
conduccioacuten
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Max Planck y el congelado de papasprefritas
Los problemas de transicioacuten de fase son notoriamente difiacuteciles de modelar y pdetool no tiene ninguna opcioacuten para incorporar fenoacutemenos de generacioacuten de calor en cantidades limitadas (o en proporcioacuten a su masa) y en funcioacuten de la temperatura de modo que reacciones quiacutemicas en fase soacutelida estaacuten tambieacuten excluidas por el momento
Existe sin embargo un modelo sencillo para congelado propuesto por el gran fiacutesico alemaacuten Max Planck El planteamiento de Planck se resume a considerar la transicioacuten de fase como el factor limitante en la transferencia de calor de manera que el frente congelado penetra al interior del objeto en congelamiento con una velocidad limitada por la capacidad de conducir calor a traveacutes del hielo Dicho de manera maacutes matemaacutetica tenemos que
x
TTkA
dt
dxA x infinminus
=ρλ [9]
Hemos adaptado el planteamiento de Planck a un problema de congelamiento en 2 dimensiones e incluido fenoacutemenos de conveccioacuten para disentildear un proceso de congelado en continuo de papas prefritas Los resultados obtenidos por caacutelculo fueron luego cotejados con datos experimentales obtenidos al medir la temperatura interna de una papa prefrita expuesta a aire friacuteo a diferentes temperaturas y velocidades de aire Se encontroacute una buena correlacioacuten entre los datos experimentales y los calculados Los detalles del modelo y de las mediciones realizadas seraacuten publicados proacuteximamente [2]
Figura 7 Datos experimentales de la temperatura en el centro de una papa prefrita en funcioacuten al tiempo [2] El aire externo estaba a -20degC y la raacutefaga de
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-25
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202 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
aire sobre la papa era de 84 ms El tiempo de congelado (transicioacuten de
fase) se inicia aproximadamente a los100 segundos y concluye a los 400
segundos intervalo de tiempo predicho por nuestro modelo con buena
precisioacuten
A manera de conclusioacuten
Se han expuesto algunos de los proyectos y praacutecticas abordados en los uacuteltimos 5 antildeos que requeriacutean el uso de ecuaciones diferenciales parciales Los proyectos y praacutecticas fueron disentildeados de manera a intentar romper con los moldes un tanto convencionales que limitan un aprendizaje significativo de la transferencia de calor Se buscoacute que los temas abordados no tuvieran una solucioacuten faacutecil y de hecho nunca se anuncioacute que las ecuaciones diferenciales parciales eran el meacutetodo a emplearse para un problema dado muchas de las praacutecticas desarrolladas aunque no descritas aquiacute requeriacutean otro tipo de tratamiento Tambieacuten se buscoacute realizar cruces entre los diferentes temas abordados en clases de manera que los estudiantes tuviesen que descubrir las relaciones existentes entre diferentes fenoacutemenos en accioacuten al interior de un problema dado Los estudiantes salieron especialmente beneficiados en la medida que pudieron explorar y jugar con ecuaciones diferenciales parciales aplicaacutendolas a la resolucioacuten de problemas reales y a tener que razonar criacuteticamente en la aplicacioacuten de un programa que realiza caacutelculos complejos
Bibliografiacutea
[1] Amurrio D Proyectos de semestre para Procesos Unitarios II
[2] Barrientos P Amurrio D 2012 Artiacuteculo en elaboracioacuten
[3] Fourier J Memoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides httpgallicabnffrark12148bpt6k33707f220uacuteltimoacceso 082011
[4] Geankoplis C Transfer Operations and Unit Processes Prentice Hall
[5] Kreyszig Advanced Engineering Mathematics Wiley
[6] Mathworks 2005 Partial Differential Equation Toolbox For use with Matlab Comsol AB Mathworks Inc
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 197
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Figura 5 Evolucioacuten de temperaturas en funcioacuten a su posicioacuten y el tiempo para un cuerpo complejo
Figura 6 Evolucioacuten de la temperatura promedio reducida en funcioacuten al tiempo reducido para diferentes proporciones entre conveccioacuten y
conduccioacuten
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Max Planck y el congelado de papasprefritas
Los problemas de transicioacuten de fase son notoriamente difiacuteciles de modelar y pdetool no tiene ninguna opcioacuten para incorporar fenoacutemenos de generacioacuten de calor en cantidades limitadas (o en proporcioacuten a su masa) y en funcioacuten de la temperatura de modo que reacciones quiacutemicas en fase soacutelida estaacuten tambieacuten excluidas por el momento
Existe sin embargo un modelo sencillo para congelado propuesto por el gran fiacutesico alemaacuten Max Planck El planteamiento de Planck se resume a considerar la transicioacuten de fase como el factor limitante en la transferencia de calor de manera que el frente congelado penetra al interior del objeto en congelamiento con una velocidad limitada por la capacidad de conducir calor a traveacutes del hielo Dicho de manera maacutes matemaacutetica tenemos que
x
TTkA
dt
dxA x infinminus
=ρλ [9]
Hemos adaptado el planteamiento de Planck a un problema de congelamiento en 2 dimensiones e incluido fenoacutemenos de conveccioacuten para disentildear un proceso de congelado en continuo de papas prefritas Los resultados obtenidos por caacutelculo fueron luego cotejados con datos experimentales obtenidos al medir la temperatura interna de una papa prefrita expuesta a aire friacuteo a diferentes temperaturas y velocidades de aire Se encontroacute una buena correlacioacuten entre los datos experimentales y los calculados Los detalles del modelo y de las mediciones realizadas seraacuten publicados proacuteximamente [2]
Figura 7 Datos experimentales de la temperatura en el centro de una papa prefrita en funcioacuten al tiempo [2] El aire externo estaba a -20degC y la raacutefaga de
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-25
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202 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
aire sobre la papa era de 84 ms El tiempo de congelado (transicioacuten de
fase) se inicia aproximadamente a los100 segundos y concluye a los 400
segundos intervalo de tiempo predicho por nuestro modelo con buena
precisioacuten
A manera de conclusioacuten
Se han expuesto algunos de los proyectos y praacutecticas abordados en los uacuteltimos 5 antildeos que requeriacutean el uso de ecuaciones diferenciales parciales Los proyectos y praacutecticas fueron disentildeados de manera a intentar romper con los moldes un tanto convencionales que limitan un aprendizaje significativo de la transferencia de calor Se buscoacute que los temas abordados no tuvieran una solucioacuten faacutecil y de hecho nunca se anuncioacute que las ecuaciones diferenciales parciales eran el meacutetodo a emplearse para un problema dado muchas de las praacutecticas desarrolladas aunque no descritas aquiacute requeriacutean otro tipo de tratamiento Tambieacuten se buscoacute realizar cruces entre los diferentes temas abordados en clases de manera que los estudiantes tuviesen que descubrir las relaciones existentes entre diferentes fenoacutemenos en accioacuten al interior de un problema dado Los estudiantes salieron especialmente beneficiados en la medida que pudieron explorar y jugar con ecuaciones diferenciales parciales aplicaacutendolas a la resolucioacuten de problemas reales y a tener que razonar criacuteticamente en la aplicacioacuten de un programa que realiza caacutelculos complejos
Bibliografiacutea
[1] Amurrio D Proyectos de semestre para Procesos Unitarios II
[2] Barrientos P Amurrio D 2012 Artiacuteculo en elaboracioacuten
[3] Fourier J Memoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides httpgallicabnffrark12148bpt6k33707f220uacuteltimoacceso 082011
[4] Geankoplis C Transfer Operations and Unit Processes Prentice Hall
[5] Kreyszig Advanced Engineering Mathematics Wiley
[6] Mathworks 2005 Partial Differential Equation Toolbox For use with Matlab Comsol AB Mathworks Inc
198 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
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Figura 5 Evolucioacuten de temperaturas en funcioacuten a su posicioacuten y el tiempo para un cuerpo complejo
Figura 6 Evolucioacuten de la temperatura promedio reducida en funcioacuten al tiempo reducido para diferentes proporciones entre conveccioacuten y
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Max Planck y el congelado de papasprefritas
Los problemas de transicioacuten de fase son notoriamente difiacuteciles de modelar y pdetool no tiene ninguna opcioacuten para incorporar fenoacutemenos de generacioacuten de calor en cantidades limitadas (o en proporcioacuten a su masa) y en funcioacuten de la temperatura de modo que reacciones quiacutemicas en fase soacutelida estaacuten tambieacuten excluidas por el momento
Existe sin embargo un modelo sencillo para congelado propuesto por el gran fiacutesico alemaacuten Max Planck El planteamiento de Planck se resume a considerar la transicioacuten de fase como el factor limitante en la transferencia de calor de manera que el frente congelado penetra al interior del objeto en congelamiento con una velocidad limitada por la capacidad de conducir calor a traveacutes del hielo Dicho de manera maacutes matemaacutetica tenemos que
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=ρλ [9]
Hemos adaptado el planteamiento de Planck a un problema de congelamiento en 2 dimensiones e incluido fenoacutemenos de conveccioacuten para disentildear un proceso de congelado en continuo de papas prefritas Los resultados obtenidos por caacutelculo fueron luego cotejados con datos experimentales obtenidos al medir la temperatura interna de una papa prefrita expuesta a aire friacuteo a diferentes temperaturas y velocidades de aire Se encontroacute una buena correlacioacuten entre los datos experimentales y los calculados Los detalles del modelo y de las mediciones realizadas seraacuten publicados proacuteximamente [2]
Figura 7 Datos experimentales de la temperatura en el centro de una papa prefrita en funcioacuten al tiempo [2] El aire externo estaba a -20degC y la raacutefaga de
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aire sobre la papa era de 84 ms El tiempo de congelado (transicioacuten de
fase) se inicia aproximadamente a los100 segundos y concluye a los 400
segundos intervalo de tiempo predicho por nuestro modelo con buena
precisioacuten
A manera de conclusioacuten
Se han expuesto algunos de los proyectos y praacutecticas abordados en los uacuteltimos 5 antildeos que requeriacutean el uso de ecuaciones diferenciales parciales Los proyectos y praacutecticas fueron disentildeados de manera a intentar romper con los moldes un tanto convencionales que limitan un aprendizaje significativo de la transferencia de calor Se buscoacute que los temas abordados no tuvieran una solucioacuten faacutecil y de hecho nunca se anuncioacute que las ecuaciones diferenciales parciales eran el meacutetodo a emplearse para un problema dado muchas de las praacutecticas desarrolladas aunque no descritas aquiacute requeriacutean otro tipo de tratamiento Tambieacuten se buscoacute realizar cruces entre los diferentes temas abordados en clases de manera que los estudiantes tuviesen que descubrir las relaciones existentes entre diferentes fenoacutemenos en accioacuten al interior de un problema dado Los estudiantes salieron especialmente beneficiados en la medida que pudieron explorar y jugar con ecuaciones diferenciales parciales aplicaacutendolas a la resolucioacuten de problemas reales y a tener que razonar criacuteticamente en la aplicacioacuten de un programa que realiza caacutelculos complejos
Bibliografiacutea
[1] Amurrio D Proyectos de semestre para Procesos Unitarios II
[2] Barrientos P Amurrio D 2012 Artiacuteculo en elaboracioacuten
[3] Fourier J Memoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides httpgallicabnffrark12148bpt6k33707f220uacuteltimoacceso 082011
[4] Geankoplis C Transfer Operations and Unit Processes Prentice Hall
[5] Kreyszig Advanced Engineering Mathematics Wiley
[6] Mathworks 2005 Partial Differential Equation Toolbox For use with Matlab Comsol AB Mathworks Inc
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 199
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Figura 5 Evolucioacuten de temperaturas en funcioacuten a su posicioacuten y el tiempo para un cuerpo complejo
Figura 6 Evolucioacuten de la temperatura promedio reducida en funcioacuten al tiempo reducido para diferentes proporciones entre conveccioacuten y
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ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 201
Max Planck y el congelado de papasprefritas
Los problemas de transicioacuten de fase son notoriamente difiacuteciles de modelar y pdetool no tiene ninguna opcioacuten para incorporar fenoacutemenos de generacioacuten de calor en cantidades limitadas (o en proporcioacuten a su masa) y en funcioacuten de la temperatura de modo que reacciones quiacutemicas en fase soacutelida estaacuten tambieacuten excluidas por el momento
Existe sin embargo un modelo sencillo para congelado propuesto por el gran fiacutesico alemaacuten Max Planck El planteamiento de Planck se resume a considerar la transicioacuten de fase como el factor limitante en la transferencia de calor de manera que el frente congelado penetra al interior del objeto en congelamiento con una velocidad limitada por la capacidad de conducir calor a traveacutes del hielo Dicho de manera maacutes matemaacutetica tenemos que
x
TTkA
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=ρλ [9]
Hemos adaptado el planteamiento de Planck a un problema de congelamiento en 2 dimensiones e incluido fenoacutemenos de conveccioacuten para disentildear un proceso de congelado en continuo de papas prefritas Los resultados obtenidos por caacutelculo fueron luego cotejados con datos experimentales obtenidos al medir la temperatura interna de una papa prefrita expuesta a aire friacuteo a diferentes temperaturas y velocidades de aire Se encontroacute una buena correlacioacuten entre los datos experimentales y los calculados Los detalles del modelo y de las mediciones realizadas seraacuten publicados proacuteximamente [2]
Figura 7 Datos experimentales de la temperatura en el centro de una papa prefrita en funcioacuten al tiempo [2] El aire externo estaba a -20degC y la raacutefaga de
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-25
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aire sobre la papa era de 84 ms El tiempo de congelado (transicioacuten de
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segundos intervalo de tiempo predicho por nuestro modelo con buena
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A manera de conclusioacuten
Se han expuesto algunos de los proyectos y praacutecticas abordados en los uacuteltimos 5 antildeos que requeriacutean el uso de ecuaciones diferenciales parciales Los proyectos y praacutecticas fueron disentildeados de manera a intentar romper con los moldes un tanto convencionales que limitan un aprendizaje significativo de la transferencia de calor Se buscoacute que los temas abordados no tuvieran una solucioacuten faacutecil y de hecho nunca se anuncioacute que las ecuaciones diferenciales parciales eran el meacutetodo a emplearse para un problema dado muchas de las praacutecticas desarrolladas aunque no descritas aquiacute requeriacutean otro tipo de tratamiento Tambieacuten se buscoacute realizar cruces entre los diferentes temas abordados en clases de manera que los estudiantes tuviesen que descubrir las relaciones existentes entre diferentes fenoacutemenos en accioacuten al interior de un problema dado Los estudiantes salieron especialmente beneficiados en la medida que pudieron explorar y jugar con ecuaciones diferenciales parciales aplicaacutendolas a la resolucioacuten de problemas reales y a tener que razonar criacuteticamente en la aplicacioacuten de un programa que realiza caacutelculos complejos
Bibliografiacutea
[1] Amurrio D Proyectos de semestre para Procesos Unitarios II
[2] Barrientos P Amurrio D 2012 Artiacuteculo en elaboracioacuten
[3] Fourier J Memoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides httpgallicabnffrark12148bpt6k33707f220uacuteltimoacceso 082011
[4] Geankoplis C Transfer Operations and Unit Processes Prentice Hall
[5] Kreyszig Advanced Engineering Mathematics Wiley
[6] Mathworks 2005 Partial Differential Equation Toolbox For use with Matlab Comsol AB Mathworks Inc
200 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
t =1000
Figura 5 Evolucioacuten de temperaturas en funcioacuten a su posicioacuten y el tiempo para un cuerpo complejo
Figura 6 Evolucioacuten de la temperatura promedio reducida en funcioacuten al tiempo reducido para diferentes proporciones entre conveccioacuten y
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Max Planck y el congelado de papasprefritas
Los problemas de transicioacuten de fase son notoriamente difiacuteciles de modelar y pdetool no tiene ninguna opcioacuten para incorporar fenoacutemenos de generacioacuten de calor en cantidades limitadas (o en proporcioacuten a su masa) y en funcioacuten de la temperatura de modo que reacciones quiacutemicas en fase soacutelida estaacuten tambieacuten excluidas por el momento
Existe sin embargo un modelo sencillo para congelado propuesto por el gran fiacutesico alemaacuten Max Planck El planteamiento de Planck se resume a considerar la transicioacuten de fase como el factor limitante en la transferencia de calor de manera que el frente congelado penetra al interior del objeto en congelamiento con una velocidad limitada por la capacidad de conducir calor a traveacutes del hielo Dicho de manera maacutes matemaacutetica tenemos que
x
TTkA
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=ρλ [9]
Hemos adaptado el planteamiento de Planck a un problema de congelamiento en 2 dimensiones e incluido fenoacutemenos de conveccioacuten para disentildear un proceso de congelado en continuo de papas prefritas Los resultados obtenidos por caacutelculo fueron luego cotejados con datos experimentales obtenidos al medir la temperatura interna de una papa prefrita expuesta a aire friacuteo a diferentes temperaturas y velocidades de aire Se encontroacute una buena correlacioacuten entre los datos experimentales y los calculados Los detalles del modelo y de las mediciones realizadas seraacuten publicados proacuteximamente [2]
Figura 7 Datos experimentales de la temperatura en el centro de una papa prefrita en funcioacuten al tiempo [2] El aire externo estaba a -20degC y la raacutefaga de
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-25
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202 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
aire sobre la papa era de 84 ms El tiempo de congelado (transicioacuten de
fase) se inicia aproximadamente a los100 segundos y concluye a los 400
segundos intervalo de tiempo predicho por nuestro modelo con buena
precisioacuten
A manera de conclusioacuten
Se han expuesto algunos de los proyectos y praacutecticas abordados en los uacuteltimos 5 antildeos que requeriacutean el uso de ecuaciones diferenciales parciales Los proyectos y praacutecticas fueron disentildeados de manera a intentar romper con los moldes un tanto convencionales que limitan un aprendizaje significativo de la transferencia de calor Se buscoacute que los temas abordados no tuvieran una solucioacuten faacutecil y de hecho nunca se anuncioacute que las ecuaciones diferenciales parciales eran el meacutetodo a emplearse para un problema dado muchas de las praacutecticas desarrolladas aunque no descritas aquiacute requeriacutean otro tipo de tratamiento Tambieacuten se buscoacute realizar cruces entre los diferentes temas abordados en clases de manera que los estudiantes tuviesen que descubrir las relaciones existentes entre diferentes fenoacutemenos en accioacuten al interior de un problema dado Los estudiantes salieron especialmente beneficiados en la medida que pudieron explorar y jugar con ecuaciones diferenciales parciales aplicaacutendolas a la resolucioacuten de problemas reales y a tener que razonar criacuteticamente en la aplicacioacuten de un programa que realiza caacutelculos complejos
Bibliografiacutea
[1] Amurrio D Proyectos de semestre para Procesos Unitarios II
[2] Barrientos P Amurrio D 2012 Artiacuteculo en elaboracioacuten
[3] Fourier J Memoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides httpgallicabnffrark12148bpt6k33707f220uacuteltimoacceso 082011
[4] Geankoplis C Transfer Operations and Unit Processes Prentice Hall
[5] Kreyszig Advanced Engineering Mathematics Wiley
[6] Mathworks 2005 Partial Differential Equation Toolbox For use with Matlab Comsol AB Mathworks Inc
ACTA NOVA Vol 5 Nordm 1 marzo 2011 ISSN 1683-0768 Ensayos 201
Max Planck y el congelado de papasprefritas
Los problemas de transicioacuten de fase son notoriamente difiacuteciles de modelar y pdetool no tiene ninguna opcioacuten para incorporar fenoacutemenos de generacioacuten de calor en cantidades limitadas (o en proporcioacuten a su masa) y en funcioacuten de la temperatura de modo que reacciones quiacutemicas en fase soacutelida estaacuten tambieacuten excluidas por el momento
Existe sin embargo un modelo sencillo para congelado propuesto por el gran fiacutesico alemaacuten Max Planck El planteamiento de Planck se resume a considerar la transicioacuten de fase como el factor limitante en la transferencia de calor de manera que el frente congelado penetra al interior del objeto en congelamiento con una velocidad limitada por la capacidad de conducir calor a traveacutes del hielo Dicho de manera maacutes matemaacutetica tenemos que
x
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=ρλ [9]
Hemos adaptado el planteamiento de Planck a un problema de congelamiento en 2 dimensiones e incluido fenoacutemenos de conveccioacuten para disentildear un proceso de congelado en continuo de papas prefritas Los resultados obtenidos por caacutelculo fueron luego cotejados con datos experimentales obtenidos al medir la temperatura interna de una papa prefrita expuesta a aire friacuteo a diferentes temperaturas y velocidades de aire Se encontroacute una buena correlacioacuten entre los datos experimentales y los calculados Los detalles del modelo y de las mediciones realizadas seraacuten publicados proacuteximamente [2]
Figura 7 Datos experimentales de la temperatura en el centro de una papa prefrita en funcioacuten al tiempo [2] El aire externo estaba a -20degC y la raacutefaga de
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
tiempo [s]
Tem
pe
ratu
ra C
202 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
aire sobre la papa era de 84 ms El tiempo de congelado (transicioacuten de
fase) se inicia aproximadamente a los100 segundos y concluye a los 400
segundos intervalo de tiempo predicho por nuestro modelo con buena
precisioacuten
A manera de conclusioacuten
Se han expuesto algunos de los proyectos y praacutecticas abordados en los uacuteltimos 5 antildeos que requeriacutean el uso de ecuaciones diferenciales parciales Los proyectos y praacutecticas fueron disentildeados de manera a intentar romper con los moldes un tanto convencionales que limitan un aprendizaje significativo de la transferencia de calor Se buscoacute que los temas abordados no tuvieran una solucioacuten faacutecil y de hecho nunca se anuncioacute que las ecuaciones diferenciales parciales eran el meacutetodo a emplearse para un problema dado muchas de las praacutecticas desarrolladas aunque no descritas aquiacute requeriacutean otro tipo de tratamiento Tambieacuten se buscoacute realizar cruces entre los diferentes temas abordados en clases de manera que los estudiantes tuviesen que descubrir las relaciones existentes entre diferentes fenoacutemenos en accioacuten al interior de un problema dado Los estudiantes salieron especialmente beneficiados en la medida que pudieron explorar y jugar con ecuaciones diferenciales parciales aplicaacutendolas a la resolucioacuten de problemas reales y a tener que razonar criacuteticamente en la aplicacioacuten de un programa que realiza caacutelculos complejos
Bibliografiacutea
[1] Amurrio D Proyectos de semestre para Procesos Unitarios II
[2] Barrientos P Amurrio D 2012 Artiacuteculo en elaboracioacuten
[3] Fourier J Memoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides httpgallicabnffrark12148bpt6k33707f220uacuteltimoacceso 082011
[4] Geankoplis C Transfer Operations and Unit Processes Prentice Hall
[5] Kreyszig Advanced Engineering Mathematics Wiley
[6] Mathworks 2005 Partial Differential Equation Toolbox For use with Matlab Comsol AB Mathworks Inc
202 middot Amurrio D Aplicacioacuten de Ecuaciones Diferenciales Parciales a problemas dehellip
aire sobre la papa era de 84 ms El tiempo de congelado (transicioacuten de
fase) se inicia aproximadamente a los100 segundos y concluye a los 400
segundos intervalo de tiempo predicho por nuestro modelo con buena
precisioacuten
A manera de conclusioacuten
Se han expuesto algunos de los proyectos y praacutecticas abordados en los uacuteltimos 5 antildeos que requeriacutean el uso de ecuaciones diferenciales parciales Los proyectos y praacutecticas fueron disentildeados de manera a intentar romper con los moldes un tanto convencionales que limitan un aprendizaje significativo de la transferencia de calor Se buscoacute que los temas abordados no tuvieran una solucioacuten faacutecil y de hecho nunca se anuncioacute que las ecuaciones diferenciales parciales eran el meacutetodo a emplearse para un problema dado muchas de las praacutecticas desarrolladas aunque no descritas aquiacute requeriacutean otro tipo de tratamiento Tambieacuten se buscoacute realizar cruces entre los diferentes temas abordados en clases de manera que los estudiantes tuviesen que descubrir las relaciones existentes entre diferentes fenoacutemenos en accioacuten al interior de un problema dado Los estudiantes salieron especialmente beneficiados en la medida que pudieron explorar y jugar con ecuaciones diferenciales parciales aplicaacutendolas a la resolucioacuten de problemas reales y a tener que razonar criacuteticamente en la aplicacioacuten de un programa que realiza caacutelculos complejos
Bibliografiacutea
[1] Amurrio D Proyectos de semestre para Procesos Unitarios II
[2] Barrientos P Amurrio D 2012 Artiacuteculo en elaboracioacuten
[3] Fourier J Memoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides httpgallicabnffrark12148bpt6k33707f220uacuteltimoacceso 082011
[4] Geankoplis C Transfer Operations and Unit Processes Prentice Hall
[5] Kreyszig Advanced Engineering Mathematics Wiley
[6] Mathworks 2005 Partial Differential Equation Toolbox For use with Matlab Comsol AB Mathworks Inc
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