Cálculo diferencial e integral de una variable 1 Áreas entre curvas

11

Cálculo diferencial e integral de una variable

Áreas entre

curvas.

22

Cálculo diferencial e integral de una variable

Habilidades

1. Identifica los dos tipos de regiones regulares con respectoa los ejes coordenados.

2. Calcula área entre curvas.3. Calcula volúmenes por el método de las secciones

transversales.4. Calcula volúmenes por el método del disco.5. Calcula volúmenes por el método de la arandela.

33

Cálculo diferencial e integral de una variable

Regiones regulares

Una región regular R con respecto al eje X es aquélla que puede describirse como:

Región regular con respecto al eje X:

Se caracteriza porque cada curva y=f(x) e y=g(x) está descrita por una sóla regla de correspondencia en el intervalo [a,b].

R

y = f(x)

y = g(x)

X

Y

ba

xfyxg b,x/aRIyx,R 2

44

Cálculo diferencial e integral de una variable

Regiones regulares

Una región regular R con respecto al eje Y es aquélla que puede describirse como:

Región regular con respecto al eje Y:

Se caracteriza porque cada curva x=h(y) y x=i(y) está descrita por una sóla regla de correspondencia en el intervalo [c,d].

yhxyi d,y/cRIyx,R 2

x = h(y)

X

Yd

c

Rx = i (y)

55

Cálculo diferencial e integral de una variable

Área entre curvas

elemento diferencial de área:

Si la región es regular con respecto al eje X:

R

y = f(x)

y = g(x)

X

Y

ba x

b

a

dxg(x)f(x)A(R) ][

dAA(R)área de la región:

diferencial de área: dA=[f(x)-g(x)]dx

dx

f(x)-g(x)

66

Cálculo diferencial e integral de una variable

Área entre curvas

elemento diferencial de área:

Si la región es regular con respecto al eje Y:

diferencial de área: dA=[h(y)-i(y)]dy

d

c

dyi(y)h(y)A(R) ][

dAA(R)área de la región:

x = h(y)

X

Yd

c

Rx = i (y)

y dy

h(y)-i(y)

77

Cálculo diferencial e integral de una variable

Bibliografía

“Cálculo de una variable”

Cuarta edición

James Stewart

Secciones 6.1 y 6.2

Ejercicios 6.1 pág 438:1-30, 43-49.

Ejercicios 6.2 pág 448:1-36, 39-42, 45-69.

88

Cálculo diferencial e integral de una variable

Cálculo de áreas.

99

Cálculo diferencial e integral de una variable

1. Encuentre el área de la región dada en forma constructiva 2 2 2, / 2x y IR x y x x

Pasos:

1. Graficamos la región.

2. Encontramos los puntos de intersección.

3. Escogemos un rectángulo típico de aproximación.

4. Planteamos el diferencial de área.

5. Calculamos la integral.

1010

Cálculo diferencial e integral de una variable

1

0

22

22

2

2

dxxxxA

dxxxxdA

1111

Cálculo diferencial e integral de una variable

y

x0

y = f(x)

dx

dA = f(x)dx

a b( )

b

a

A f x dx ( )b

a

A f x dx

f(x)

dx

1212

Cálculo diferencial e integral de una variable

dx

y

x0 dx

y = f(x)

y = g(x)

f(x)

- g(x)

( ) - ( )b

a

A f x g x dx ( ) - ( )b

a

A f x g x dxdA =[f(x) - g(x)]dx

ba

1313

Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo

1. Determine el área de la región acotada por y = 0, y = cos x, x = 0; x = .

2. Calcule el área de la región acotada por las curvas y = sen x, y = cos x , x = 0, x = /2

1414

Cálculo diferencial e integral de una variable

1. Encuentre el área de la región dada en forma constructiva

22 6

, / 12

yx y IR x y

1515

Cálculo diferencial e integral de una variable

dy

y

x0

dyx = g(y)

d

c

( )d

c

A g y dy ( )d

c

A g y dy

dA = g(y)dy

g(y)

1616

Cálculo diferencial e integral de una variable

dy

y

x0

x = g(y)

d

c

d

c

dyf(y)-g(y)A d

c

dyf(y)-g(y)A

dA = [f(y) - g(y)]dy

f(y)- g(y)

x = f(y)

dy

1717

Cálculo diferencial e integral de una variable

1. Hallar el área de la curva x = - y2 + 3 ; x = 0.

2. Encontrar el área de la región xy = 1; x = 0,5 ; x = 2; y = 0.

1818

Cálculo diferencial e integral de una variable

2. Plantee las integrales que permiten calcular el área entre las curvas; y = lnx ; y = ex ; y = 0.5 ; y = 1

1. Encontrar el área entre las curvas y - x = 3; x1y2

1919

Cálculo diferencial e integral de una variable

3. Encontrar el valor del número K tal que la recta y = K divida la región limitada por las curvas y = x2 y y = 4 en dos regiones de áreas iguales.

4. ¿Para cuáles valores de m, la recta y = mx y la curva y = x/(x2 + 1) encierran una región? Hallar el área de dicha región.