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Ejemplos de convoluciones

1. Ejemplo. Calculemos la convolucion f ∗ g, donde

f(x) =

{x, x ∈ [0, 1];

0, x ∈ R \ [0, 1];g(x) = 1[0,1](x) =

{1, x ∈ [0, 1],

0, x ∈ R \ [0, 1].

Solucion. Como Spt(f) = [0, 1] y Spt(g) = [0, 1], Spt(f ∗ g) ⊆ [0, 2]. Por eso, tenemos quecalcular (f ∗ g)(x) solo para x ∈ [0, 2].

Sea x ∈ [0, 2]. Usamos la formula para g, el cambio de variable z = x − y, luego laformula para f :

(f ∗ g)(x) =

1∫0

f(x− y) dy =

x∫x−1

f(z) dz =

∫x−1≤z≤x

0≤z≤1

z dz =

∫max(0,x−1)≤z≤mın(x,1)

z dz.

Notemos que

max(0, x− 1) =

{0, x ≤ 1;

x− 1, x ≥ 1;mın(x, 1) =

{x, x ≤ 1;

1, x ≥ 1.

El punto “crıtico” es 1.

Caso 0 ≤ x ≤ 1:

(f ∗ g)(x) =

x∫0

z dz =z2

2

∣∣∣∣x0

=x2

2.

Caso 1 ≤ x ≤ 2;

(f ∗ g)(x) =

1∫x−1

z dz =z2

2

∣∣∣∣1x−1

=1

2

(2x− x2

)= −1

2(x− 2)x =

1

2− 1

2(x− 1)2.

La funcion f ∗ g debe ser continua porque f ∈ L1 y g ∈ L∞ ∩ C. Es facil ver que f ∗ gefectivamente es continua en todos los puntos de R, incluyendo los puntos 0, 1, 2.

2. f(x) =

{e−x, x ≥ 0;

0, x < 0;g(x) =

{x, x ∈ [0, 1];

0, x ∈ R \ [0, 1].

3. f(x) =

{x, x ∈ [−2, 2];

0, x ∈ R \ [−2, 2];g = 1[−1,1].

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4. f(x) = g(x) =

{x, x ∈ [0, 1];

0, x ∈ R \ [0, 1].

5. f = g = 1[0,1].

6. f(x) = g(x) =

{e−x, x ≥ 0;

0, x < 0.

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