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Criterios de Fluencia
2013 – 1erC
Resolución en régimen elástico
a) las ecuaciones de equilibrio estático
b) las ecuaciones de compatibilidad
c) las condiciones de contorno
d) las relaciones entre tensiones y deformaciones en el rango elástico
e) un criterio de fluencia que establezca la transición de la región elástica a la plástica
Espacio de Tensiones Espacio de tensiones:
Si se conserva el momento angular:
Espacio de tensiones:
Si el material es isótropo:
Espacio de tensiones:
Asumiremos que se conserva el momento angular y que el material es isótropo.
{ }),,,,,,,,( 9876543219 σσσσσσσσσ=R
jiij σσ =
{ }),,,,,( 6543216 σσσσσσ=R
≡
=
3
2
1
333231
232221
131211
000000
σσ
σ
σσσσσσσσσ
σ
{ } { }),,(),,( 3213213 IIIR == σσσ
Espacio de Tensiones Principales Definición:
Simetría:
Superficies de Fluencia Dominio elástico:
Superficie de fluencia:
Superficie de carga:
Donde F es una función escalar F = F(σ,α) y α una variable funcional adecuada que toma el valor cero si el material no sufrió deformación previa.
{
( ) }0,
),,,,,,,,,( 333231232221131211
<
==
ασσ
σσσσσσσσσσσ
Frealesnúmeros
E
ij
( ){ }00, ==∂ σσσ FE
( ){ }0, ==∂ ασσσ FE
Invariantes del Tensor de Tensiones
Sea las siguientes funciones son invariantes:
Si llamamos a la parte desviadora de ,
, entonces son invariantes:
Otros invariantes:
=
3
2
1
000000
σσ
σσ
3213
1332212
12
3211
)det(
)()(21
)(
σσσσ
σσσσσσσσ
σσσσσ
==
++−=−=
++===
I
II
TrI
ijij
ii
)(31
)(21
)(
33
22
11
σσσσ
σσσ
σ
TrJ
TrJ
TrIJ
kijkij
ijij
==
==
==
2/32
3
2
1
''
233)3cos(,
'2
3
JJdonde
fJ
fI
c
c
=
=
=
θθ
ρ
ξ
[ ]ijss = [ ]ijσσ =
kijkij
ijij
ij
sssIJ
ssIJ
sTrIJ
31''
21''
0)(''
33
22
11
==
==
===
≠=
=−=jiji
s ijkkijijij ,0,1
,31 δσδσ
Superficie de fluencia:
Criterio de fluencia:
Es una hipótesis con respecto al límite de elasticidad, bajo cualquier posible combinación de tensiones;
es un conjunto de relaciones matemáticas que, especializadas en un estado tensional particular, permiten inferir si el material entró en fluencia o permanece en régimen elástico.
Criterios de Fluencia
( ) ( ) ( )ασσασ yfF −=,
Criterios de Fluencia Criterio de Von Mises:
Criterios de Fluencia Criterio de Tresca:
Criterios de Fluencia Otros Criterios:
Criterio de Mohr-Coulomb: El material permanece en régimen elástico mientras se verifique:
φφσσσσ cos.2)()()',',( 3131321 csenJJIf <+−−=
Comparación entre T y VM Criterio de Von Mises:
Criterio de Tresca:
Y/2=k
Y/2 k
Tracción Uniaxial (TU): σ1=Y, σ2=σ3=0 (Y=σFluenciaTU =2τFluenciaTU) Corte Puro (CP): σ1=-σ3=k, σ2=0 (k=σFluenciaCP=τFluenciaCP)
Comparación entre T y VM En Tracción Uniaxial ambos criterios coinciden, pues en la fluencia vale:
En Corte Puro ambos criterios presentan la máxima diferencia, pues:
Cualquier estado tensional complejo representará una situación intermedia entre TU y CP:
YYT
YVM equiv
=−=−
==
0:
:
31
1
σσ
σσ
kT
kVM equiv
2:
33:
31
1
=−
==
σσ
σσ
( ) ( )2
:
2155,1
232
3:
3131YkT
YYYkVM
CPTU
equivCPequivTU
=⇒−=−
===⇒=
σσσσ
σσ
Comparación entre T y VM - Ejemplo Se ensayó una pieza de un material caracterizado por los siguientes parámetros: E = 210 GPa , ν= 0,33 , σy = 950 MPa, determinándose que su estado tensional (en el sistema de coordenadas elegido) queda descrito por:
Se desea saber si entró en fluencia.
Solución:
Por Criterio de Tresca (obteniendo previamente las tensiones principales):
Por Criterio de Von Mises:
Notar que, según T entró en fluencia y según VM no entró en fluencia.
MPa
−−=
800030004000
30000σ
( ) MPaMPaMPa y 950100090010031 =>=−−=− σσσ
( )( )[ ]
( )[ ] MPaMPaMPa
MPaMPa
yequiv
equiv
95086610005005002
1
86600300.68004004002
1
21222
21222222
=<=++⋅=
=+++++⋅=
σσ
σ
MPaMPaMPa 900,400,100 321 −=−== σσσ
Introducción a la Teoría de la Plasticidad
2013 – 1erC
Comentarios Preliminares Interés.
Problemas para su tratamiento matemático:
Pérdida del comportamiento lineal.
Falta de unicidad de la curva tracción-deformación.
Algunas hipótesis para facilitar su tratamiento:
Condición de fluencia.
Independencia de las tensiones esféricas.
Isotropía del material.
Comportamiento simétrico en tensión y compresión.
Comentarios Preliminares Esta introducción se limita a pequeñas deformaciones.
Trataremos la Plasticidad en Materiales Metálicos.
Generalmente no se trata:
(a) Anelasticidad, (b) Histéresis, (c) Efecto Bauschinger.
Resolución en régimen elasto-plástico a) las ecuaciones de equilibrio estático
b) las ecuaciones de compatibilidad
c) las condiciones de contorno
d) las relaciones entre tensiones y deformaciones en el rango elástico
e) un criterio de fluencia que establezca la transición de la región elástica a la plástica
f) las relaciones entre tensiones y deformaciones en el rango plástico
g) la variación de las condiciones de fluencia para un material que ya experimentó endurecimiento o ablandamiento
Modelos y Ecuaciones Concepto: Curva de Flujo.
Modelos Rehológicos:
Ecuación de Hollomon:
Valores Límites: 0 < n < 1
UTSUTS
n
nUTSdd
overificandK
εσεσ
εσ
σσ
==
=
=
),(
:,.
)(
Ejemplo de Aplicación Se tiene un acero tipo SAE 4130 que puede modelarse según la siguiente ecuación de Hollomon: σ = 1156 MPa ε0,118. Calcular las tensiones y deformaciones ingenieriles y verdaderas para carga máxima.
Solución:
De la relación de Hollomon se desprende que la deformación verdadera a carga máxima es:
n = εUTS = 0,118 Por tanto, la tensión verdadera será:
σUTS = 1156 MPa 0,1180,118 = 898,3 MPa La deformación ingenieril resulta:
eUTS = exp(εUTS) - 1 = 0,125 Como la deformación es uniforme hasta carga máxima, la tensión convencional se obtiene despejando de σUTS = sUTS (1+eUTS):
sUTS = σUTS / (1+eUTS) = 798,3 MPa
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