Ejercicios. Flujo Interno Viscoso Incompresible

CapCapíítulo tulo VIIIVIII

FLUJO INTERNO VISCOSO FLUJO INTERNO VISCOSO INCOMPRESIBLEINCOMPRESIBLE

Texto guía:

Jairo A. Sandoval, Ms. Eng.

ContenidoContenido

1. Introducción: Flujo laminar y turbulentoFlujo completamente desarrollado

2. Flujo laminar entre placas paralelas3. Flujo laminar en tuberías4. Distribución del esfuerzo cortante en tuberías

5. Perfil de velocidad turbulento en tuberías6. Consideraciones energéticas para flujo en tuberías7. Cálculo de las pérdidas de carga

8. Problemas típicos

Medición de flujo

9. Métodos directos de medición de flujo

10. Medición de flujo interno con restricciones

Flujo interno vs. Flujo externo

Flujo interno:

� Tuberías� Ductos� Toberas� Difusores� Contracciones� Expansiones� Válvulas� Accesorios

Incompresible: M < 0.3 →→→→ En Aire ~ 100 m/s

8.1. Introducción: Flujo laminar y turbulento

νµρ DVDV

Re ==Tubería:Recritico ~ 2300

Región no viscosa

Velocidad media: conservación de la masa →→→→ constante =m&

AVρρudAAρUmArea

≡== ∫0 &

Longitud de entrada para flujo laminar:

D ReL ⋅≈ 06.0

Para Rec:

Para obtener información sobre el perfil de velocidad usaremos las ecuaciones diferenciales que desarrollamos (laminar).

8.2. Flujo laminar entre placas paralelas

8.2.1. Placas estacionarias

8.2.2. Placas superior moviéndose a velocidad constante

8.2.1. Placas estacionarias

Aplicación: pérdidas de aceite en un cilindro, por ejemplo.

Consideraciones:� Incompresible� Estable� Viscoso� No varía en z (2-D)� No varía en x,

completamente desarrollado

1400≤=µ

ρ aVRe

constantey

p =∂∂=

∂∂

p ⋅−=∂∂ ρ

constantedy

p ==∂∂=

∂∂

∂∂=

µ 1cyx

∂∂=µ

∂∂=

20 c= ac

µµ12

∂∂= a

∂∂−=

La distribución de velocidades es:

� Distribución de esfuerzos cortantes,� Flujo volumétrico,� Caída de presión como función del caudal,� Velocidad media,� Punto de velocidad máxima,

Ahora podemos calcular:

� Distribución de esfuerzos cortantes:

∂∂+

∂∂==

vyxxy µττ

duµ= 212

∂∂=

duyx +

∂∂== µτ

� Flujo volumétrico:

� Caída de presión como función del caudal:

12µ=∆ ( )laVAVQ ⋅⋅==

� Velocidad media:

∫ ⋅=Area

� Punto de velocidad máxima:

� Transformación de coordenadas:punto medio

�Ejemplo: pérdidas en pistón hidráulico

T = 50°C, Aceite SAE 10W

¿Cuál es la fuga de líquido?

� Análisis:

� Suposiciones:

(1) Laminar (3) Incompresible(2) Permanente (4) Totalmente desarrollado

Verificar que sea laminar:

8.2.2. Placas superior moviéndose a velocidad constante

1500≤=µ

ρ aVRe

Aplicación: Lubricación de cojinetes.

Similar al caso anterior, diferentes condiciones de borde:

Reempezando:

Note que si ∂p/ ∂x = 0 →→→→ Variación lineal

� Distribución de esfuerzos cortantes:dy

duyx µτ =

� Velocidad media: ∫ ⋅=Area

� Distribución de Velocidades:

�Ejemplo: Torque y potencia en un cojinete

Un cojinete que soporta el cigüeñal de un M.C.I. es lubricado con aceite SAE 30 a 210°F. El diámetro del cojinete es 3” con una holgura de 0.0025/2”; el eje rota a 3600 rpm, la longitud del soporte es 1.25”. El cojinete no tiene carga y la holgura es simétrica. ¿Cuál es el torque requerido para rotar en cojinete?, ¿Cuál es la potencia disipada?

� Suposiciones:

(1) Laminar(2) Permanente(3) Incompresible(4) Totalmente desarrollado(5) Semejante a 2 placas planas infinitas (ya que L/a =

1.25/0.0125 = 1000)(6) ∂p/ ∂x = 0, pues el flujo es simétrico en el cojinete

� Esquema y datos:

Lubricante: aceite SAE-30T = 210°F, ω = 3600 rpmµ = 9.6 × 10-3 N·s/m2 (Fig. A-2)

= 2.01 × 10-4 lbf ·s/ft2

� Análisis:

DDLT yx ⋅⋅= πτ

ωµτ =

0≥yxτ Actúa hacia la izquierda sobre la placa

LDT yx2

2τπ ⋅=El torque será:

La potencia será:

Verificación del flujo laminar:

< 1500

8.3. Flujo laminar en tuberías

Consideraciones:� Incompresible� Estable� Viscoso

� No varía en x, completamente desarrollado

� No varía en θ, simétrico

2300≤=µ

ρ DVRe

( ) 0== Rru

====θ

Ecuación de continuidad: ( ) ( ) ( ) 011 =

∂∂+

∂∂

rvrr θθ

Navier-Stokes dirección x:

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂−=

∂∂+

∂∂

θµρ

θρ θ

constanter

∂∂

∂∂=

∂∂ 1µ

vr x +

∂∂=

∂∂µ

∂∂=

∂∂µ

∂∂=

∂∂µ

pruvx ++

∂∂==

c1 debe ser igual a cero pues de lo contrario u(0) no tendría un valor finito:

pruvx +

∂∂==

µUsando la condición de frontera:

∂∂=

∂∂−=x

� Distribución de esfuerzos cortantes,� Flujo volumétrico,� Caudal como función de la caída de presión,� Velocidad media,� Punto de velocidad máxima,

Ahora podemos calcular:

� Distribución de esfuerzos cortantes:

∂∂+

∂∂=

v xrrx µτ

dvxrx µµτ ==

drrdA π2=

� Caudal en términos de la caída de presión:

� Velocidad media:

El perfil de velocidad se puede escribir en términos de U como:

�Ejemplo: Viscosímetro de capilaridad

Es posible construir un viscosímetro simple y preciso a partir de un tramo de tubería capilar; si se miden el flujo y la caída de presión, y se conoce la geometría del tubo, la viscosidad de un fluido newtoniano puede calcularse a partir de la ecuación:

Una prueba de cierto líquido en viscosímetro capilar brindó los siguientes resultados:

Determine la viscosidad del líquido.

� Suposiciones:

(1) Laminar(2) Permanente(3) Incompresible(4) Totalmente desarrollado(5) Tubo Horizontal

� Esquema y datos:

� Análisis:

Verificación del flujo laminar:

Asumiendo densidad similar a la del agua (999 kg/m3):

< 2300

Flujo en Tuberías y Ductos

� Tuberías� Ductos� Sistemas de flujo

∆p = ? en

Sin fricción → BernoulliCon fricción → Real

∆p → PérdidasMayores (tramos rectos)

Menores: Válvulas, accesorios, T’s, Y’s, codos …

Tubos y ductos → sección circular Otras formas:diámetro hidráulico

Flujo laminar: Sección 8.3Flujo turbulento: sigue !

8.4. Distribución del esfuerzo cortante en tuberías con flujo completamente desarrollado

costante

Esfuerzovs

Presión

Caída.

Apliquemos la ecuación de momentum componente x:

Consideraciones:1. Tubo horizontal, FBx = 02. Permanente

3. Incompresible4. Totalmente desarrollado

0 (1) 0 (2) 0 (3,4)

0, =xSF

22, =⋅+

∂∂+−

∂∂−= rdxr

ppF rxxS πτππ

022, =⋅+

∂∂−= rdxrdxx

pF rxxS πτπ x

prrx ∂

Varía lineal con r

El cortante en la pared, w:

pRRrrxw ∂

∂−=−= = 2ττ 0 si 0 <

∂∂>x

pRw ∂

∂−=2

Note que para nada se tocó la relación τ-u. Esta relación aplica para régimen laminar o turbulento.

Si se conoce la relación entre τ y u. (p.e. laminar newtoniano) se puede determinar la caída de presión analíticamente.

Para caso turbulento no es simple →→ resultados experimentales

adyacentes

capas entre

momentum

Transporte

aturbulenci

velocidad

nesFluctuacioPuede verse como un Esfuerzo extra (aparente)

y → distancia desde la pared del tubou → velocidad mediau’, v’ → componentes fluctuantes de la velocidad en x y yu’v’ →media en el tiempo del producto u’ v’

: Esfuerzo de Reynolds, cortante turbulento

Cerca de la pared: es dominante el esfuerzo constante laminar (viscoso)

Cerca del centro: es dominante el cortante turbulento

Cortante turbulento

8.5. Perfil de velocidad turbulento en tuberías

En flujo turbulento, el perfil de velocidades puede aproximarse como:

Donde n varía con Re, y U es la velocidad en el centro.

Otras expresiones útiles son:

Donde ReU es el número de Reynolds calculado con la velocidad máxima U, y V trazo es la velocidad media.

Para n = 6, ReV (con Vmedia) ≈ 15000.Para n = 10, ReV ≈ 2.7 × 106

8.6. Consideraciones energéticas para flujo en tuberías

Conservación de la energía:

Consideraciones:1. Wshaft = 0, Wother = 02. Wshear= 0 pues aunque

hay esfuerzos en las paredes, la velocidad es cero allí.

3. Permanente4. Incompresible

5. Energía interna y presión uniformes en las secciones (1) y (2)

0 (1) 0 (1)0 (2)

∫ ⋅

VpuQ AdV

2 rr& ρ

∫∫

+++−=

VpuQ ρ

∫∫

++−=

ρρρ

Para no usar las integrales, definimos el coeficiente de energía cinética, α, de tal forma que:

En flujo laminar α = 2.0; en flujo turbulento:

Para n = 6, α = 1.08. Para n = 10, α = 1.03. Al incrementar la turbulencia, α→ 1.0

Entonces la ecuación de energía puede escribirse como:

Reorganizando tenemos:

Energía mecánica por unidad de masa en la sección transversal

Diferencia en la energía mecánica entre las secciones (1) y (2).

Conversión irreversible de la energía mecánica en energía térmica no

deseada (u2-u1) y calor.

A este último término lo llamaremos la energía total perdida por unidad de masa, hl,T, o pérdidas de carga.

[L 2/t2][FL/M]

� Pérdidas de carga:

Energía total perdida por unidad de masa:

Energía total perdida por unidad de peso del fluido:

8.7. Cálculo de las pérdidas de carga

...) ,accesorios (entradas,

menores

Pérdidas

rectos) (tramos

mayores

Pérdidas

de total

Pérdida

mT lll hhh +=

8.7.1. Pérdidas mayores: Factor de FricciónEn general tenemos que:

Donde:

[L 2/t2][FL/M]

Flujo desarrolladoen tubería de

sección constante

mT lll hhh +=

VV αα =

( ) lhzzgpp =−+−

Entonces,

( ) lhzzgpp =−+−

Si el tubo es horizontal, z1 = z2, y

La pérdida de carga mayor equivale a la caída de presión ( / ρ) en flujo completamente desarrollado a través de una tubería horizontal de área constante.

La pérdida de carga es independientede la orientación de la tubería.

a) Caso flujo laminarDe la ecuación 8.13c

Despejamos la caída de presión que podemos reemplazar en la ecuación 8.32 para las pérdidas mayores:

Por lo que las pérdidas mayores son:

Es práctico expresarlas en términos de Re:µ

ρ DVRe

Otra forma de expresar las pérdidas mayores es:

b) Caso flujo turbulento: Experimentalmente

rugosidad

Aplicando análisis dimensional,

De experimentación, la pérdida de carga adimensional es directamente proporcional a L/D, entonces

* ½, da

Factor de fricción (de Darcy):

Energía cinética por unidad de masa

Consecuentemente,

¿Esto significa que las pérdidas mayores son siempre proporcionales a la velocidad al cuadrado?

→ ¡CLARO QUE NO!Pero si son proporcionales a la velocidad, no al cuadrado claro.

� Factor de fricción flujo laminar: Re< 2300

� Factor de fricción flujo turbulento: Re> 2300

Hay varias correlaciones.

� Ecuación de Colebrook (1938):

Se recomienda usar en la primera iteración (error ≈ 1%):

� Rugosidades de diferentes tuberías (nuevas):

- Acero remachado

- Estaca de madera- Hierro fundido

- Hierro forjado- Tubo estirado

� Ecuación de Blasius (1938): para tubería lisa

510Re<<2300

� Nota sobre el factor de fricción:

A números de Reynolds muy grandes la mayor parte de los elementos rugosos de la pared del tubo sobresalen a través de la subcapa viscosa;El arrastre y por tanto la pérdida de presión, dependen sólo del tamaño de los elementos rugosos. Lo anterior recibe el nombre de flujo completamente rugoso. En éste régimen el factor de fricción depende sólo de e / D.

8.7.2. Pérdidas menores:

Dos opciones:� Coeficiente de pérdida� Longitud equivalente

� Coeficiente de pérdida:

� Longitud equivalente de tubería recta:

A continuación veremos:a. Entradas y salidas d. Válvulas y accesoriosb. Aumentos y contracciones e. Ductos no circularesc. Codos

a. Entradas y salidas:

b. Aumentos y contracciones:

� Para difusores: Coeficiente de recuperación de presión, Cp

El coeficiente de recuperación de presión, Cp , se relaciona con la pérdida de carga mediante:

donde, Cp i es el coeficiente de recuperación de presión en un fluido ideal (no viscoso):

c. Codos:

d. Válvulas y accesorios:

Diámetro hidráulico:

donde,A = Área de la sección transversalP = Perímetro mojado

e. Ductos no circulares:

En un ducto circular:

En un ducto rectangular, b*h:

Definiendo la relación proporcional, ar, cómo ar = h/b, entonces:

El diámetro hidráulico puede usarse para

8.7.3. Bombas y Ventiladores:

Balance de energía para el fluido en una bomba, despreciando la transferencia de calor:

La carga (o cabeza) de la bomba, ∆hpump, es la energía suministrada al fluido por unidad de masa:

En muchas situaciones los diámetros de entrada y salida son similares (y por tanto las velocidades) y la elevación despreciable. Entonces:

Si multiplicamos por

La energía consumida dependerá de la eficiencia de la bomba:

Por otro lado, si aplicamos la 1ª Ley a un tramo que contiene una bomba (o ventilador), la cabeza de la bomba puede verse como una pérdida negativa:

� Diámetros de tubería comercial:

�Energy Equation

8.8. Problemas típicos

Resumen:

�Major Losses

�Minor Losses

� Single Patha) Find Dp for a given L, D, and Q

Use energy equation directly

b) Find L for a given Dp, D, and QUse energy equation directly

Cómo solucionar problemas:

� Single Path (Continued)c) Find Q for a given Dp, L, and D

1. Manually iterate energy equation and friction factor formula to find V (or Q), or

2. Directly solve, simultaneously, energy equation and friction factor formula using (for example) Excel

d) Find D for a given Dp, L, and Q1. Manually iterate energy equation and friction factor formula to

find D, or2. Directly solve, simultaneously, energy equation and friction

factor formula using (for example) Excel

� Multiple-Path SystemsExample:

Cómo solucionar problemas:

� Multiple-Path Systems• Solve each branch as for single path

• Deben usarse estas dos reglas para determinar las restricciones qua acotan el problema:1. En los nodos no se acumula fluido (Qin = Quot)2. La presión en cada nodo es única

• To complete solution of problem1. Manually iterate energy equation and friction factor for

each branch to satisfy all constraints, or2. Directly solve, simultaneously, complete set of equations

using (for example) Excel

� Suposiciones:

(1) Permanente(2) Incompresible(3) Totalmente desarrollado(4) Viscoso(5) En turbulento α ≈ 1

� Análisis: Balance de energía

�� EJEMPLOS DE SISTEMAS DE UNA VEJEMPLOS DE SISTEMAS DE UNA VÍÍ AA

� Pérdidas mayores:

� Pérdidas menores:

Además:

Simplificando:

Despejando d:

Cómo conocemos el caudal:

Determinemos f y K:

51070.1 ×=Re

� Suposiciones:

(1) Permanente(2) ρ y µ constantes(3) Totalmente desarrollado(4) Viscoso(5) Tubo horizontal

(6) Sin pérdidas menores

� Análisis: Balance de energía en volúmenes de control 1 y 2

Para el CV1:

Para el CV2:

� Suposiciones:

(1) Permanente(2) V1 ≈ 0, α2 ≈ 1(3) Totalmente desarrollado(4) Viscoso(5) ρ y µ constantes

Iterar

Despejando V:

Como primera iteración, tomemos f de la región completamente rugosa:

03.0≈f

� Suposiciones:

(1) Permanente(2) V1 = V2 0; α1 ≈ α2; z1 = z2

(3) Totalmente desarrollado

(4) Viscoso e Incompresible(5) Pérdidas menores despreciables

∆∆∆∆pmax →→→→ Dmin

Necesitamos poner todo en términos de D: Re, f, V, …

Ahora debemos suponer un diámetro de tubería, por ejemplo 4”con un diámetro interno de:

Ahora debemos calcular Re y e / D para determinar f y poder despejar D, e iterar nuevamente.

inD 026.4=

Resolviendo para D encontramos: D= 5.54” (OJO CON LAS UNIDADES). Indicando que si f = 0.012 entonces el diámetro mínimo deberá ser el valor calculado.Tomemos entonces una tubería con diámetro nominal 6” y miremos si ∆∆∆∆P es menor que ∆∆∆∆Pmax. El diámetro interno es:

inD 065.6=

�� EJEMPLOS DE SISTEMAS DE VARIAS VEJEMPLOS DE SISTEMAS DE VARIAS V ÍÍ ASAS

Caídas de presión, h:

pl ==∆

Despreciando las pérdidas menores:

Toca ayudarse con el computador, sino ¿cuándo terminamos?

Flow Measurement

�Direct Methods• Examples: Accumulation in a Container; Positive

Displacement Flowmeter

�Restriction Flow Meters for Internal Flows• Examples: Orifice Plate; Flow Nozzle; Venturi;

Laminar Flow Element

� Linear Flow Meters• Examples: Float Meter (Rotameter); Turbine;

Vortex; Electromagnetic; Magnetic; Ultrasonic

Flow Measurement

�Traversing Methods• Examples: Pitot (or Pitot Static) Tube; Laser

Doppler Anemometer

Flow Measurement

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