FORMULAS de Www.vitutor.net

Fórmulas de Aritmética

Fracciones

Potencias

Potencias negativas

Radicales

Proporcionalidad

Sistema métrico decimal

Unidades inglesas

Divisibilidad

Fracciones

Número mixto

Para pasar de número mixto a fracción impropia ,

se deja el mismo denominador y el numerador es

la suma del producto del entero por el

denominador más el numerador , del número mixto.

Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes cuando el

producto de extremos es igual al producto de

medios.

Reducción de fracciones a común denominador

1º Se determina el denominador común , que será

el mínimo común múltiplo de los denominadores .

2º Este denominador, común, se divide por

cada uno de los denominadores, multiplicándose

el cociente obtenido por el numerador

correspondiente.

Suma y resta de fracciones

Con el mismo denominador

Se suman o se restan los numeradores y se

mantiene el denominador.

Con distinto denominador

En primer lugar se reducen los denominadores a

común denominador , y se suman o se restan los

numeradores de las fracciones equivalentes

obtenidas .

Multiplicación de fracciones

El producto de dos fracciones es otra fracción que

tiene:

Por numerador el producto de los numeradores .

Por denominador el producto de los

denominadores .

División de fracciones

El cociente de dos fracciones es otra fracción que

tiene:

Por numerador el producto de los extremos .

Por denominador el producto de los medios .

Potencia de fracciones

Propiedades

Fracción generatriz

Pasar de decimal exacto a fracción

Si la fracción es decimal exacta , la fracción tiene

como numerador el número dado sin la coma, y por

denominador, la unidad seguida de tantos ceros

como cifras decimales tenga.

Pasar de periódico puro a fracción generatriz

Si la fracción es periódica pura , la fracción

generatriz tiene como numerador el número dado

sin la coma, menos la parte entera, y por

denominador un número formado por tantos

nueves como cifras tiene el período.

Pasar de periódico mixto a fracción generatriz

Si la fracción es periódica mixta , la fracción

generatriz tiene como numerador el número dado

sin la coma, menos la parte entera seguida de las

cifras decimales no periódicas, y por

denominador, un numero formado por tantos

nueves como cifras tenga el período, seguidos de

tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no

periódica.

Potencias

Potencias de exponente 0

a0 = 1

50 = 1

Potencias de exponente 1

a1 = a

51 = 5

Potencias de exponente entero negativo

Potencias de exponente racional

Potencias de exponente racional y negativo

Multiplicación de potencias con la misma base

am · a n = am+n

25 · 22 = 25 + 2 = 27

División de potencias con la misma base

am : a n = am - n

25 : 22 = 25 - 2 = 23

Potencia de un potencia

(am)n=am · n

(25)3 = 21 5

Multiplicación de potencias con el mismo

exponente

an · b n = (a · b) n

23 · 43 = 83

División de potencias con el mismo exponente

an : b n = (a : b) n

63 : 33 = 23

Ejercicios

33 · 34 · 3 = 38

57 : 53 = 54

(53)4 = 512

(5 · 2 · 3) 4 = 304

(34)4 = 316

[(53)4]2 = (51 2)2 = 524

(82)3 =[( 23)2]3 = (26)3 = 218

(93)2 = [(32)3]2 = (36)2 = 312

25 · 24 · 2 = 210

27 : 26 = 2

(22)4 = 28

(4 · 2 · 3)4 = 244

(25)4 = 220

[(23 )4]0 = (21 2)0 = 20 = 1

(272)5 =[(33)2]5 = (36)5 = 330

(43)2 = [(22)3]2 = (26)2 = 212

(−2)2 · (−2)3 · (−2)4 = (−2)9 = −512

(−2)− 2 · (−2)3 · (−2)4 = (−2)5 = −32

2− 2 · 2− 3 · 24 = 2− 1 = 1/2

22 : 23 = 2− 1 = 1/2

2− 2 : 23 = 2− 5 = (1/2)5 = 1/32

22 : 2− 3 = 25 = 32

2− 2 : 2− 3 = 2

Potencias negativas

Potencias de base negativa

Para determinar el signo de una potencia de base

negativatendremos en cuenta que:

1. Las potencias de exponente par son

siemprepositivas .

26 = 64

(−2)6 = 64

2. Las potencias de exponente impar tiene

el mismo signo de la base.

23 = 8

(−2)3 = −8

Potencias de exponente negativo

La potencia de un número con exponente

negativo es igual al inverso del número elevado

a exponente positivo .

Ejercicios de potencias negativas

(−3)1 · (−3)3 · (−3)4 = (−3)8 = 6561

(−3)2 · (−3)3 · (−3)− 4 = −3

3− 2 · 3− 4 · 34 = 3− 2 = (1/3)2 = 1/9

5− 2 : 53 = 5− 5 = (1/5)5 = 1/3125

(−3)1 · [(−3)3]2 · (−3)− 4 = (−3)1 · (−3)6·

(−3)− 4 = (−3)3

Radicales

Fórmulas y propiedades de los radicales

Un radical es una expresión de la forma , en la

que n y a ; con tal que cuando a sea

negativo, n ha de ser impar.

Expresión de un radical en forma de potencia

Simplificación de radicales

Si existe un número natural que divida al índice y al

exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene

un radical equivalente.

Reducción de radicales a índice común

1Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices ,

que será el común índice

2Dividimos el común índice por cada uno de los

índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus

exponentescorrespondientes.

Extracción de factores fuera del signo radical

Se descompone el radicando en factores . Si:

Un exponente es menor que el índice, el factor

correspondiente se deja en el radicando .

Un exponente es igual al índice, el factor

correspondiente sale fuera del radicando .

Un exponente es mayor que el índice , se

divide dicho exponente por el índice .

El cociente obtenido es el exponente del factor

fuera del radicando y el resto es el exponente del

factor dentro del radicando.

Introducción de factores dentro del signo radical

Se introduce los factores elevados al índice

correspondiente del radical.

Suma de radicales

Solamente pueden sumarse (o restarse) dos

radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si

son radicales con el mismo índice e igual radicando.

Propiedades de los radicales

Producto de radicales

Radicales del mismo índice

Para multiplicar radicales con el mismo índice se

multiplican los radicandos y se deja el mismo índice .

Radicales de distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se

multiplican.

Cociente de radicales

Para dividir radicales con el mismo índice se

dividen los radicandos y se deja el mismo índice.

Radicales de distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se

dividen.

Potencia de radicales

Para elevar un radical a una potencia se eleva a

dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.

Raíz de un radical

La raíz de un radical es otro radical de igual

radicando y cuyo índice es el producto de los dos

índices.

Racionalizar radicales

Consiste en quitar los radicales del denominador , lo

que permite facilitar el cálculo de operaciones como la

suma de fracciones.

Podemos distinguir tres casos.

1Del tipo

Se multiplica el numerador y el denominador por

2Del tipo

Se multiplica numerador y denominador por .

3Del tipo , y en general cuando el

denominador sea un binomio con al menos un radical.

Se multiplica el numerador y denominador por el

conjugado del denominador.

Proporcionalidad

Razón

Proporción

Constante de proporcionalidad

Propiedad de las proporciones

Proporción continua

Medio proporcional

Tercero proporcional

Cuarto proporcional

Porcentajes

Repartos directamente proporcionales

Repartos inversamente proporcionales

Regla de tres simple directa

Regla de tres simple inversa

Regla de tres compuesta directa

Regla de tres compuesta inversa

Regla de tres compuesta mixta

Ejercicios

Ana compra 5 kg de patatas, si 2 kg cuestan 0.80 €,

¿cuánto pagará Ana?

Son magnitudes directamente proporcionales , ya

que a más kilos, más euros.

2 kg 0.80 €

5 kg x €

3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto

tardarán en construirlo 6 obreros?

Son magnitudes inversamente proporcionales , ya

que a más obreros tardarán menos horas.

3 obreros 12 h

6 obreros x h

11 obreros labran un campo rectangular de 220 m

de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros

serán necesarios para labrar otro campo análogo de

300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?

220 · 48 m² 6 días 11 obreros

300 · 56 m² 5 días x obreros

A más superficie más obreros. Directa.

A más días menos obreros. Inversa.

Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito

de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán

cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?

6 grifos 10 horas 1 depósito 400

4 grifos x horas 2 depósitos 500

A más grifos menos horas. Inversa.

A más depósitos más horas. Directa.

A más m³ más horas. Directa.

El precio de un ordenador es de 1200 € sin IVA.

¿Cuánto hay que pagar por él si el IVA es del 16%?

100 € 116 €

1200 € x €

Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen

un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar?

100 € 92 €

450 € x €

Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y

9000 €. Al cabo de un año han ganado 6 450 €. ¿Qué

cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto

directamente proporcional a los capitales aportados?

Se reparte una cantidad de dinero, entre tres

personas, directamente proporcional a 3, 5 y 7.

Sabiendo que a la segunda le corresponde 735 €. Hallar

lo que le corresponde a la primera y tercera.

Repartir 420 €, entre tres niños en partes

inversamente proporcionales a sus edades, que son 3, 5

Sistema métrico decimal

Medidas de longitudkilómetro km 1000 m

hectómetro hm 100 mdecámetro dam 10 m

metro m 1 mdecímetro dm 0.1 mcentímetro cm 0.01 mmilímetro mm 0.001 m

Medidas de masa

kilogramo kg 1000 g

hectogramo hg 100 g

decagramo dag 10 g

gramo g 1 g

decigramo dg 0.1 g

centigramo cg 0.01 g

miligramo mg 0.001

Otras unidades de masa

Tonelada métrica

1 t = 1000 kg

Quintal métrico

1 q = 100 kg

Medidas de capacidad

kilolitro kl 1000 l

hectolitro hl 100 l

decalitro dal 10 l

litro l 1 l

decilitro dl 0.1 l

centilitro cl 0.01 l

mililitro ml 0.001 l

Medidas de superficie

kilómetro cuadrado km2 1 000 000 m2

hectómetro cuadrado hm2 10 000 m2

decámetro cuadrado dam2 100 m2

metro cuadrado m2 1 m2

decímetro cuadrado dm2 0.01 m2

centímetro cuadrado cm2 0.0001 m2

milímetro cuadrado mm2 0.000001 m2

Unidades de superficie agrarias

Hectárea

1 Ha = 1 Hm2 = 10 000 m²

1 a = 1 dam2 = 100 m²

Centiárea

1 ca = 1 m²

Medidas de volumen

kilómetro cúbico km3 1 000 000 000 m3

hectómetro cúbico hm3 1 000 000m3

decámetro cúbico dam3 1 000 m3

metro m3 1 m3

decímetro cúbico dm3 0.001 m3

centímetro cúbico cm3 0.000001 m3

milímetro cúbico mm3 0.000000001 m3

Relación entre unidades de capacidad, volumen y masa

Capacidad VolumenMasa (de

1 kl 1 m³ 1 t

1 l 1 dm3 1 kg

1 ml 1 cm³ 1 g

Unidades inglesas

Medidas de longitud

Pulgada = 2.54 cm.

Pie = 12 pulgadas = 30.48 cm.

Yarda = 3 pies = 91.44 cm.

Braza = dos yardas = 1. 829 m.

Milla terrestre = 880 brazas = 1.609 kilómetros.

Milla náutica = 1.853 m.

Medidas de masa

Onza = 28.3 g.

Libra = 454 g.

Medidas de capacidad

Pinta (Gran Bretaña) = 0.568 l.

Pinta (EE.UU.) = 0.473 l.

Barril = 159 l.

Medidas de superficie

Acre = 4 047 m².

Divisibilidad

Un número es divisible por :

2, si termina en cero o número par.

24, 238, 1024.

3, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 3.

36, 564, 2040.

5, si termina en cero o cinco.

45, 515, 7525.

7, cuando la diferencia entre el número sin la cifra

de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es

0 ó múltiplo de 7.

34 - 2 · 3 = 28, es mútiplo de 7

10 - 5 · 2 = 0

226 - 1 · 2 = 224

Volvemos a repetir el proceso con 224.

22 - 4 · 2 = 14, es mútiplo de 7.

11 , si la diferencia entre la suma de las cifras que

ocupan los lugares pares y la de los impares es 0 ó

múltiplo de 11 .

(4 + 2) - (2 + 4) = 0

Otros criterios de divisblilidad

4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo

36, 404, 1 028.

6, si es divisible por 2 y por 3.

72, 324, 2 400

8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de

4000, 1048, 1 512.

9, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 9.

81, 900, 3 663.

10 , si la cifra de las unidades es 0.

130, 1440, 10 230

25 , si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo

de 25.

500, 1025, 1875.

125 , si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo

de 125.

1000, 1 125, 4 250.

Factorización de un número

Para factorizar un número o descomponerlo en

factores efectuamos sucesivas divisiones entre sus

divisores primoshasta obtener un uno como cociente .

Para realizar las divisiones util izaremos una barra

vertical , a la derecha escribimos los divisores primos y

a la izquierda los cocientes .

432 = 24 · 33

Fórmulas de Álgebra

Monomios

Polinomios

Binomio de Newton

Factorización de polinomios

Fracciones algebraicas

Ecuaciones

Sistemas de ecuaciones

Fórmulas de Álgebra lineal

Operaciones con matrices

Determinantes

Sistema Cramer

Método Gauss I

Método Gauss II

Discusión de sistemas

Monomio

Definición de monomio

Un monomio es una expresión algebraica en la

que las únicas operaciones que aparecen entre las

variables son el producto y la potencia de exponente

natural .

Partes de un monomio

Coeficiente

El coeficiente del monomio es el número que

aparece multiplicando a las variables.

Parte literal

La parte literal está constituida por las letras y

sus exponentes.

El grado de un monomio es la suma de todos los

exponentes de las letras o variables.

El grado de 2x 2 y 3 z es: 2 + 3 + 1 = 6

Monomios semejantes

Dos monomios son semejantes cuando tienen

la misma parte literal .

2x 2 y 3 z es semejante a 5x 2 y 3 z

Operaciones con monomios

Suma de monomios

Sólo podemos sumar monomios semejantes .

La suma de los monomios es otro monomio que

tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es

la suma de los coeficientes.

ax n + bx n = (a + b)x n

2x 2 y 3 z + 3x 2 y 3 z = 5x 2 y 3 z

Si los monomios no son semejantes se obtiene

un polinomio .

2x 2 y 3 + 3x 2 y 3 z

Producto de un número por un monomio

El producto de un número por un monomio es

otro monomio semejante cuyo coeficiente es

el producto del coeficiente de monomio por el

número .

5 · 2x 2 y 3 z = 10x 2 y 3 z

Multiplicación de monomios

La multiplicación de monomios es

otro monomio que tiene por coeficiente el producto

de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene

multiplicando las potencias que tenga la misma

base , es decir, sumando los exponentes.

ax n · bx m = (a · b)x n +m

5x 2 y 3 z · 2 y 2 z 2 = 10 x 2 y 5 z 3

División de monomios

Sólo se pueden dividir monomios con la misma

parte literal y con el grado del dividendo mayor o

igual que el grado de la variable correspondiente

del divisor .

La división de monomios es otro monomio que

tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes

y cuya parte literal se obtiene dividiendo las

potencias que tenga la misma base , es decir,

restando los exponentes.

ax n : bx m = (a : b)x n − m

Si el grado del divisor es mayor , obtenemos

una fracción algebraica .

Potencia de un monomio

Para realizar la potencia de un monomio se eleva,

cada elemento de éste, al exponente de la potencia.

(ax n ) m = a m · x n · m

(2x 3 ) 3 = 2 3 (x 3 ) 3 = 8x 9

(-3x 2 ) 3 = (-3) 3 (x 3 ) 2 = −27x 6

Ejercicios resueltos de monomios

1 Indica cuales de las siguientes expresiones

son monomios . En caso afirmativo, indica

su grado y coeficiente .

1 3x 3

Grado del monomio : 3 , coefeciente : 3

2 5x − 3

No es un monomio , porque el exponente no es un

número natural.

3 3x + 1

No es un monomio , porque hay una suma.

Grado del monomio : 1 , coefeciente:

Grado del monomio : 4 , coefeciente:

No es un monomio , porque no tiene exponente

natural.

No es un monomio , porque la parte literal está

dentro de una raíz.

2 Realiza las sumas y restas de monomios.

1 2x 2 y 3 z + 3x 2 y 3 z = 5x 2 y 3 z

2 2x 3 − 5x 3 = −3x 3

3 3x 4 − 2x 4 + 7x 4 = 8x 4

4 2 a 2 b c 3 − 5a 2 b c 3 + 3a 2 b c 3 − 2 a 2 b c 3 = −2

a 2 b c 3

3 Efectúa los productos de monomios .

1 (2x 3 ) · (5x 3 ) = 10x 6

2 (12x 3 ) · (4x) = 48x 4

3 5 · (2x 2 y 3 z) = 10x 2 y 3 z

4 (5x 2 y 3 z) · (2 y 2 z 2 ) = 10 x 2 y 5 z 3

5 (18x 3 y 2 z 5 ) · (6x 3 y z 2 ) = 108x 6 y 3 z 7

6 (−2x 3 ) · (−5x) · (−3x 2 ) = −30x 6

4 Realiza las divisiones de monomios .

1 (12x 3 ) : (4x) = 3x 2

2 (18x 6 y 2 z 5 ) : (6x 3 y z 2 ) = 3x 3 y z 3

3 (36 x 3 y 7 z 4 ) : (12x 2 y 2 ) = 3xy 5 z 4

5 4x 3 y + 3x 2 y 2 − 8x 8

5 Calcula las potencias de los monomios .

1 (2x 3 ) 3 = 2 3 (x 3 ) 3 = 8x 9

2 (-3x 2 ) 3 = (-3) 3 (x 3 ) 2 = −27x 6

Operaciones con polinomios

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los

coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x 3

+ 5x − 3

Q(x) = 4x − 3x 2

+ 2x 3

1. Ordenamos los polinomios , si no lo están.

Q(x) = 2x 3

− 3x 2

P(x) + Q(x) = (2x 3 + 5x − 3) + (2x 3 − 3x 2 + 4x)

2. Agrupamos los monomios del mismo grado .

P(x) + Q(x) = 2x 3 + 2x 3 − 3 x 2 + 5x + 4x − 3

3. Sumamos los monomios semejantes .

P(x) + Q(x) = 4x 3 − 3x 2 + 9x − 3

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar al

minuendo el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x 3 + 5x − 3) − (2x 3 − 3x 2 + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x 3 + 5x − 3 − 2x 3 + 3x 2 − 4x

P(x) − Q(x) = 2x 3 − 2x 3 + 3x 2 + 5x− 4x − 3

P(x) − Q(x) = 3x 2 + x − 3

Multiplicación de polinomios

Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del

polinomio y como coeficientes el producto de los

coeficientes del polinomio por el número .

3 · ( 2x 3 − 3 x 2 + 4x − 2) = 6x 3 − 9x 2 + 12x − 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de

los monomios que forman el polinomio .

3 x 2 · (2x 3 − 3x 2 + 4x − 2) = 6x 5 − 9x 4 + 12x 3 − 6x 2

Multiplicación de polinomios

P(x) = 2x 2 − 3 Q(x) = 2x 3 − 3x 2 + 4x

Se multiplica cada monomio del primer

polinomio por todos los elementos segundo

polinomio.

P(x) · Q(x) = (2x 2 − 3) · (2x 3 − 3x 2 + 4x) =

= 4x 5 − 6x 4 + 8x 3 − 6x 3 + 9x 2 − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x 5 − 6x 4 + 2x 3 + 9x 2 − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la

suma de los grados de los polinomios que se

multiplican.

También podemos multiplicar polinomios de

siguiente modo:

División de polinomios

Resolver la división de polinomios:

P(x) = x 5 + 2x 3 − x − 8 Q(x) = x 2 − 2x + 1

P(x) : Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo . Si el

polinomio no es completo dejamos huecos en los

lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una

Dividimos el primer monomio del dividendo

entre el primer monomio del divisor.

x 5 : x 2 = x 3

Multiplicamos cada término del polinomio

divisor por el resultado anterior y lo restamos del

polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del

dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el

resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos

al dividendo.

2x 4 : x 2 = 2 x 2

Procedemos igual que antes.

5x 3 : x 2 = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x 2 : x 2 = 8

10x − 6 es el resto , porque su grado es menor

que el del divisor y por tanto no se puede continuar

dividiendo.

x 3 +2x 2 +5x+8 es el cociente .

División por Ruffini

Si el divisor es un binomio de la forma x — a ,

entonces util izamos un método más breve para hacer

la división , l lamado regla de Ruffini .

Resolver por la regla de Ruffini la división:

(x 4 −3x 2 +2) : (x −3)

1 Si el polinomio no es completo, lo

completamos añadiendo los términos que faltan

con ceros.

2 Colocamos los coeficientes del dividendo en

una línea.

3 Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del

término independendiente del divisor.

4 Trazamos una raya y bajamos el primer

coeficiente.

5 Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y

lo colocamos debajo del siguiente término.

6 Sumamos los dos coeficientes.

7 Repetimos el proceso anterior.

Volvemos a repetir el proceso.

Volvemos a repetir.

8 El último número obtenido , 56 , es el resto .

9 El cociente es un polinomio de grado inferior

en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes

son los que hemos obtenido.

x 3 + 3 x 2 + 6x +18

Ejercicios y problemas resueltos de polinomios

1 Dados los polinomios:

P(x) = 4x 2 − 1

Q(x) = x 3 − 3x 2 + 6x − 2

R(x) = 6x 2 + x + 1

S(x) = 1/2x 2 + 4

T(x) = 3/2x 2 +5

U(x) = x 2 + 2

Calcular:

1 P(x) + Q (x) =

= (4x 2 − 1) + ( x 3 − 3x 2 + 6x − 2) =

= x 3 − 3x 2 + 4x 2 + 6x − 2 − 1 =

= x 3 + x 2 + 6x − 3

2 P(x) − U (x) =

= (4x 2 − 1) − (x 2 + 2) =

= 4x 2 − 1 − x 2 − 2 =

= 3x 2 − 3

3 P(x) + R (x) =

= (4x 2 − 1) + (6x 2 + x + 1) =

= 4x 2 + 6x 2 + x − 1 + 1 =

= 10x 2 + x

4 2P(x) − R (x) =

= 2(4x 2 − 1) − (6x 2 + x + 1) =

= 8x 2 − 2 − 6x 2 − x − 1 =

= 2x 2 − x − 3

5 S(x) + T(x) + U(x) =

= (1/2x 2 + 4 ) + (3/2x 2 +5 ) + (x 2 + 2) =

= 1/2 x 2 + 3/2 x 2 + x 2 + 4 + 5+ 2 =

= 3x 2 + 11

6 S(x) − T (x) + U(x) =

= (1/2x 2 + 4) − (3/2x 2 +5) + (x 2 + 2) =

= 1/2x 2 + 4 − 3/2x 2 − 5 + x 2 + 2 =

2 Dados los polinomios:

P(x) = x 4 − 2x 2 − 6x − 1

Q(x) = x 3 − 6x 2 + 4

R(x) = 2x 4 −2 x − 2

Calcular:

P(x) + Q(x) − R(x) =

= (x 4 −2x 2 − 6x − 1) + (x 3 − 6x 2 + 4) − ( 2x 4 − 2x −

= x 4 −2x 2 − 6x − 1 + x 3 − 6x 2 + 4 − 2x 4 + 2 x + 2

= x 4 − 2x 4 + x 3 −2x 2 − 6x 2 − 6x + 2 x − 1 + 4 + 2

= −x 4 + x 3 − 8x 2 − 4x + 5

P(x) + 2 Q(x) − R(x) =

=(x 4 −2x 2 − 6x − 1) + 2(x 3 − 6x 2 + 4) − ( 2x 4 −2 x

− 2)=

= x 4 − 2x 2 − 6x − 1 +2x 3 − 12x 2 + 8 − 2x 4 + 2 x +

= x 4 − 2x 4 + 2x 3 −2x 2 − 12x 2 − 6x + 2x − 1 + 8 + 2

= −x 4 + 2x 3 − 14x 2 − 4x + 9

Q(x)+ R(x) − P(x)=

= (x 3 − 6x 2 + 4) + ( 2x 4 −2 x − 2) − (x 4 −2x 2 − 6x −

= x 3 − 6x 2 + 4 + 2x 4 −2 x − 2 − x 4 +2x 2 + 6x + 1=

= 2x 4 − x 4 + x 3 − 6x 2 +2x 2 −2 x + 6x + 4− 2 + 1=

= x 4 + x 3 − 4x 2 + 4x + 3

1 (x 4 −2x 2 +2 ) · (x 2 −2x +3) =

= x 6 −2x 5 + 3x 4 − 2x 4 + 4x 3 − 6x 2 + 2x 2 − 4x +6=

= x 6 −2x 5 − 2x 4 + 3x 4 + 4x 3 + 2x 2 − 6x 2 − 4x +6 =

= x 6 −2x 5 + x 4 + 4x 3 − 4x 2 − 4x + 6

2 (3x 2 − 5x) · (2x 3 + 4x 2 − x +2) =

= 6x 5 + 12x 4 − 3x 3 + 6x 2 − 10x 4 − 20x 3 + 5x 2 − 10x

= 6x 5 + 12x 4 − 10x 4 − 3x 3 − 20x 3 + 6x 2 + 5x 2 − 10x

= 6x 5 + 2x 4 − 23x 3 + 11x 2 − 10x

3 (2x 2 − 5x + 6) · (3x 4 − 5 x 3 − 6 x 2 + 4x − 3) =

= 6x 6 − 10x 5 − 12 x 4 + 8x 3 − 6 x 2 −

− 15x 5 + 25x 4 + 30x 3 − 20x 2 + 15x +

+18x 4 − 30x 3 − 36x 2 + 24x − 18 =

= 6x 6 − 10x 5 − 15x 5 − 12 x 4 + 25x 4 + 18x 4 +

+8x 3 − 30x 3 + 30x 3 − 6 x 2 − 20x 2 − 36x 2 + 15x + 24x

− 18 =

= 6x 6 − 25x 5 + 31x 4 + 8x 3 − 62x 2 + 39x − 18

3 Dividir los polinomios :

1 (x 4 − 2x 3 −11x 2 + 30x −20) : (x 2 + 3x −2)

2 (x 6 + 5x 4 + 3x 2 − 2x) : (x 2 − x + 3)

3 P(x) = 2x 5 + 2x 3 −x − 8 Q(x) = 3x 2 −2 x + 1

4 Dividir por Ruffini :

1 (x 3 + 2x +70) : (x+4)

2 (x 5 − 32) : (x − 2)

C(x) = x 4 + 2x 3 + 4x 2 + 8x + 16 R= 0

3 (x 4 −3x 2 +2 ) : (x −3)

C(x) = x 3 + 3 x 2 + 6x +18 R= 56

Fórmula del binomio de Newton

Podemos obtener los coeficientes por:

Números combinatorios .

Triángulo de Pascal .

Cálculo de término que ocupa el lugar k

Ejercicios resueltos del binomio de Newton

6 Hallar el término cuarto del desarrollo de .

7 Calcular el término cuarto del desarrollo de .

8 Encontrar el término quinto del desarrollo de .

9 Buscar el término octavo del desarrollo de

10 Hallar el término independiente del desarrollo

Ejercicio 1 resuelto

Hallar el término cuarto del desarrollo de .

Calcular el término cuarto del desarrollo de .

Encontrar el término quinto del desarrollo de .

Buscar el término octavo del desarrollo de

Hallar el término independiente del desarrollo

El exponente de a con el término independiente es 0, por tanto tomamos sólo la parte literal y la igualamos a a0.

Factorización de un polinomio

Para factorizar un polinomio y calcular sus

raíces vamos a seguir los siguientes pasos, cuando

sean posibles:

1º Factor común de un polinomio

Extraer factor común a un polinomio consiste en

aplicar la propiedad distributiva .

a · x + b · x + c · x =

= x (a + b + c)

Una raíz del polinomio será siempre x = 0

Descomponer en factores sacando factor

común y hallar las raíces de:

1 x 3 + x 2 = x 2 (x + 1)

La raíces son: x = 0 y x = − 1

2 2x 4 + 4x 2 = 2x 2 (x 2 + 2)

Sólo tiene una raíz X = 0; ya que el polinomio, x 2 +

2, no tiene ningún valor que lo anule; debido a que al

estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo,

por tanto es irreducible.

3 x 2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x

− a) · (x − b)

La raíces son x= a y x = b.

2º Igualdad notable

1 Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a suma

por diferencia.

a 2 − b 2 = (a + b) · (a − b)

Descomponer en factores y hallar las raíces

1 x 2 − 4 = (X + 2) · (X − 2)

Las raíces son X = − 2 y X = 2

2 x 4 − 16 = (x 2 + 4) · (x 2 − 4) = (X + 2) · (X − 2)

· (x 2 + 4)

Las raíces son X = − 2 y X = 2

2 Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un

binomio al cuadrado.

a 2 ± 2 a b + b 2 = (a ± b) 2

Descomponer en factores los trinomio

cuadrados perfectos y hallar sus raíces

La raíz es x = − 3.

La raíz es x = 2.

3º Trinomio de segundo grado

Para descomponer en factores el trinomio de

segundo grado P(x) = a x 2 + bx +c , se iguala a cero

y se resuelve la ecuación de 2º grado . Si las

soluciones a la ecuación son x 1 y x 2 , el polinomio

descompuesto será:

a x 2 + bx +c = a · (x -x 1 ) · (x -x 2 )

Descomponer en factores los trinomios de

segundo grado y hallar sus raíces

Las raíces son x = 3 y x = 2.

Las raíces son x = 3 y x = − 2.

Descomponer en factores los trinomios de

cuarto grado de exponentes pares y hallar sus

raíces

x 4 − 10x 2 + 9

x 2 = t

x 4 − 10x 2 + 9 = 0

t 2 − 10t + 9 = 0

x 4 − 10x 2 + 9 = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x −

x 4 − 2x 2 + 3

x 2 = t

t 2 − 2t + 3 = 0

x 4 − 2x 2 + 3 = (x 2 + 1) · (x + ) · (x − )

4º Factorización de un polinomio de grado

superior a dos

Utilizamos el teorema del resto y la regla de

Ruffini para calcular las raíces enteras.

Descomposición de un polinomio de grado

superior a dos y cálculo de sus raíces

P(x) = 2x 4 + x 3 − 8x 2 − x + 6

1 Tomamos los divisores del término

independiente: ±1, ±2, ±3.

2 Aplicando el teorema del resto sabremos para

que valores la división es exacta.

P(1) = 2 · 1 4 + 1 3 − 8 · 1 2 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 +

3 Dividimos por Ruffini .

4 Por ser la división exacta , D = d · c

(x −1) · (2x 3 + 3x 2 − 5x − 6 )

Una raíz es x = 1.

Continuamos realizando las mismas operaciones al

segundo factor.

Volvemos a probar por 1 porque el primer factor

podría estar elevado al cuadrado.

P(1) = 2 · 1 3 + 3 · 1 2 − 5 · 1 − 6≠ 0

P(−1) = 2 · (− 1) 3 + 3 ·(− 1) 2 − 5 · (− 1) − 6= −2 +

3 + 5 − 6 = 0

(x −1) · (x +1) · (2x 2 +x −6)

Otra raíz es x = -1.

El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la

ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo,

aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos

encontrar raíces enteras .

El 1 lo descartamos y seguimos probando por − 1.

P(−1) = 2 · (−1) 2 + (−1) − 6 ≠ 0

P(2) = 2 · 2 2 + 2 − 6 ≠ 0

P(−2) = 2 · (−2) 2 + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0

(x −1) · (x +1) · (x +2) · (2x −3 )

Sacamos factor común 2 en último binomio.

2x −3 = 2 (x − 3/2)

La factorización del polinomio queda:

P(x) = 2x 4 + x 3 − 8x 2 − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1)

· (x +2) · (x − 3/2)

Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2

Raíces son racionales

Puede suceder que el polinomio no tenga raíces

enteras y sólo tenga raíces racionales.

En este caso tomamos los divisores del término

independiente dividido entre los divisores del término

con mayor grado, y aplicamos el teorema del resto y la

regla de Ruffini.

P(x) = 12x 3 + 8x 2 − 3x− 2

Probamos por: .

Sacamos factor común 12 en el tercer factor.

Ejercicios resueltos de factorización de

polinomios

Factorizar los polinomios

1 9x 4 − 4x 2 =

x 2 · (9x 2 − 4) =

x 2 · (3x + 2) · (3x − 2)

2 x 5 + 20x 3 + 100x =

x · (x 4 + 20x 2 + 100) =

x · (x 2 + 10) 2

3 3x 5 − 18x 3 + 27x =

3x · (x 4 −6 x 2 + 9) =

= 3x · (x 2 − 3) 2

4 2x 3 − 50x =

=2x · (x 2 − 25 ) =

2x · (x + 5) · (x - 5)

5 2x 5 − 32x =

= 2x · (x 4 − 16 ) =

2x · (x 2 + 4) · (x 2 − 4) =

= 2x · (x 2 + 4) ·(x +2) · (x − 2)

6 2x 2 + x − 28

2x 2 + x − 28 = 0

2x 2 + x − 28 = 2 (x + 4) · (x − 7/2)

Descomponer en factores los polinomios

2 xy − 2x − 3y +6 =

= x · (y − 2) − 3 · (y − 2) =

= (x − 3) · (y − 2)

3 25x 2 − 1=

= (5x +1) ·(5x − 1)

4 36x 6 − 49 =

= (6x 3 + 7) · (6x 3 − 7)

5 x 2 − 2x +1 =

= (x − 1) 2

6 x 2 − 6x +9 =

= (x − 3) 2

7 x 2 − 20x +100 =

= (x − 10) 2

8 x 2 + 10x +25 =

= (x + 5) 2

9 x 2 + 14x +49 =

= (x + 7) 2

10 x 3 − 4x 2 + 4x =

= x · (x 2 − 4x +4) =

= x · (x − 2) 2

11 3x 7 − 27x =

= 3x · (x 6 − 9 ) =

= 3x · (x 3 + 3) · (x 3 − 3)

12 x 2 − 11x + 30

x 2 − 11x + 30 = 0

x 2 − 11x + 30 = (x −6) · (x −5)

13 3x 2 + 10x +3

3x 2 + 10x +3 = 0

3x 2 + 10x +3 = 3 (x − 3) · (x − 1/3)

14 2x 2 − x −1

2x 2 − x −1 = 0

2x 2 − x −1 = 2 (x − 1) · (x + 1/2)

Factorizar y hallar las raíces de los polinomios

1 2x 3 − 7x 2 + 8x − 3

P(1) = 2 · 1 3 − 7 · 1 2 + 8 · 1 − 3 = 0

(x −1 ) · (2x 2 − 5x + 3 )

P(1) = 2 · 1 2 −5 · 1 + 3 = 0

(x −1 ) 2 · (2x −3 ) = 2 (x − 3/2 ) · (x −1 ) 2

Las raíces son: x = 3/2 y x = 1

2 x 3 − x 2 − 4

{±1, ±2, ±4 }

P(1) = 1 3 − 1 2 − 4 ≠ 0

P(−1) = (−1) 3 − (−1) 2 − 4 ≠ 0

P(2) = 2 3 − 2 2 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0

(x − 2) · (x 2 + x + 2 )

x 2 + x + 2 = 0

(x − 2) · (x 2 + x + 2 )

Raíz: x = 2.

3 x 3 + 3x 2 −4 x − 12

{±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 }

P(1) = 1 3 + 3 · 1 2 − 4 · 1 − 12 ≠ 0

P(−1) = (−1) 3 + 3 · (−1) 2 − 4 · (−1) − 12 ≠ 0

P(2) = 2 3 + 3 · 2 2 − 4 · 2 − 12 = 8 + 12 − 8 − 12 =

(x − 2) · (x 2 + 5x +6)

x 2 + 5x +6 = 0

(x − 2) ·(x + 2) ·(x +3)

Las raíces son : x = 2, x = − 2, x = − 3.

4 6x 3 + 7x 2 − 9x + 2

{±1, ±2}

P(1) = 6 · 1 3 + 7 · 1 2 − 9 · 1 + 2 ≠ 0

P(−1) = 6 · (−1) 3 + 7 · (−1) 2 − 9 · (−1) + 2 ≠ 0

P(2) = 6 · 2 3 + 7 · 2 2 − 9 · 2 + 2 ≠ 0

P(−2) = 6 · (−2) 3 + 7 · (−2) 2 − 9 · (−2) + 2 = − 48

+ 28 + 18 + 2 = 0

(x+2) · (6x 2 −5x +1)

6x 2 −5x +1 = 0

6 · (x + 2) · (x − 1/2) · (x − 1/3)

Raíces: x = − 2, x = 1/2 y x= 1/3

Fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es el cociente de dos

polinomios y se representa por:

Fracciones algebraicas equivalentes

Dos fracciones algebraicas

son equivalentes , y lo representamos por:

si se verifica que P(x) · S(x) = Q(x) · R(x) .

son fracciones algebraicas equivalentes porque:

(x + 2) · (x − 2) = x 2 − 4

Dada una fracción algebraica ,

si multiplicamos el numerador y el denominador de

dicha fracción por un mismo polinomio distinto de cero,

la fracción algebraica resultante es equivalente a la

Simplificación de fracciones algebraicas

Para simplificar una fracción

algebraica se divide el numerador y

el denominador de la fracción por un polinomio que

sea factor común de ambos.

Amplificación de fracciones algebraicas

Para amplificar una fracción

algebraica se multiplica el numerador y

el denominador de la fracción por un polinomio .

Reducción de fracciones algebraicas a común

denominador

1 Se descomponen los denominadores en

factores para hallarles el mínimo común múltiplo ,

que será el común denominador.

x 2 − 1 = (x+1) · (x − 1)

x 2 + 3x + 2 = (x+1) · (x + 2)

m.c.m.(x 2 − 1, x 2 + 3x + 2) = (x+ 1) · (x − 1) · (x +

2 Dividimos el común denominador entre

los denominadores de las fracciones dadas y el

resultado lo multiplicamos por

el numerador correspondiente.

Operaciones con fracciones algebraicas

Suma de fracciones algebraicas

Con el mismo denomiminador

Con distinto denomiminador

En primer lugar se ponen las fracciones

algebraicas a común denominador , posteriormente

se suman los numeradores .

Multiplicación de fracciones algebraicas

División de fracciones algebraicas

Ejercicios resueltos de fracciones algebraicas

1 Simplificar las fracciones algebraicas

2 Suma las fracciones algebraicas

3 Resta las fracciones algebraicas

4 Multiplica las fracciones algebraicas

5 Efectúa las operaciones .

6 Realiza las operaciones .

Fórmulas de ecuaciones

Pasos para resolver ecuaciones de primer grado

1º Quitar paréntesis.

2º Quitar denominadores.

3º Agrupar los términos en x en un miembro y

los términos independientes en el otro.

4º Reducir los términos semejantes.

5º Despejar la incógnita.

Fórmula de la ecuación de segundo grado

ax 2 + bx +c = 0

Ecuaciones de segundo grado incompletas

ax 2 = 0

ax 2 + bx = 0

x (ax + b) = 0

ax 2 + c = 0

Propiedades de las soluciones de la ecuación de

segundo grado

Ecuación de 2º grado a partir de sus soluciones

S = x 1 + x 2 y P = x 1 · x 2

Factorización de un trinomio

a x 2 + bx +c = 0

a · (x -x 1 ) · (x -x 2 ) = 0

Ecuaciones bicuadradas

Ecuaciones racionales

Para resolverlas se multiplican ambos

miembros de la ecuación por el mínimo común

múltiplo de los denominadores.

Debemos comprobar las soluciones , para

rechazar posibles soluciones extrañas provenientes de

la ecuación transformada (la resultante de multiplicar

por el mínimo común múltiplo), pero que no lo son de la

ecuación original.

Ecuaciones bicuadradas

ax 4 + bx 2 + c = 0

Para resolverlas, efectuamos el cambio x 2 = t, x 4 =

t 2 ; con lo que genera una ecuación de segundo grado

con la incógnita t:

at 2 + bt + c = 0

Por cada valor positivo de t habrá dos valores

También se puede realizar con la fórmula:

Ecuaciones con radicales

1º Se aísla un radical en uno de los dos miembros,

pasando al otro miembro el resto de los términos,

aunque tengan también radicales.

2º Se elevan al cuadrado los dos miembros.

3º Se resuelve la ecuación obtenida.

4º Se comprueba si las soluciones obtenidas

verifican la ecuación inicial . Hay que tener en

cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se

obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la

dada y, además las de la ecuación que se obtiene

cambiando el signo de uno de los miembros de la

ecuación.

5º Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten

las dos primeras fases del proceso hasta eliminarlos

todos.

Ecuaciones de grado superior a dos

Es una ecuación de cualquier grado escrita de la

forma P(x) = 0, el polinomio P(x) se

puede descomponer en factores de primer y

segundo grado , entonces basta i gualar a cero cada

uno de los factores y resolver las ecuaciones de

primer grado y de segundo grado resultantes .

Sistemas de ecuaciones

Resolver un sistema de ecuaciones consite en

encontrar los valores desconocidos de las variables que

satisfacen todas las ecuaciones.

Estudiaremos la resolución de los siguientes tipos

de sistemas:

Sistemas de dos ecuaciones con dos

incógnitas .

Sistemas de tres ecuaciones con tres

incógnitas .

Sistemas de ecuaciones no lineales .

Sistemas de dos ecuaciones con dos

incógnitas

Método de sustitución

1 Se despeja una incógnita en una de las

ecuaciones.

2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la

otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola

incógnita.

3 Se resuelve la ecuación.

4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en

la que aparecía la incógnita despejada.

5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución

del sistema.

Ejemplo

1 Despejamos una de las incógnitas en una de las

dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el

coeficiente más bajo.

2 Sustituimos en la otra ecuación la variable x,

por el valor anterior:

3 Resolvemos la ecuación obtenida:

4 Sustituimos el valor obtenido en la variable

despejada.

5 Solución

Método de igualación

1 Se despeja la misma incógnita en ambas

ecuaciones.

2 Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos

una ecuación con una incógnita.

3 Se resuelve la ecuación.

4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de

las dos expresiones en las que aparecía despejada la

otra incógnita.

del sistema.

Ejemplo

1 Despejamos , por ejemplo, la incógnita x de la

primera y segunda ecuación:

2 Igualamos ambas expresiones:

3 Resolvemos la ecuación:

4 Sustituimos el valor de y , en una de las

dos expresiones en las que tenemos despejada la x :

5 Solución :

Método de reducción

1 Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas

por los números que convenga.

2 La restamos, y desaparece una de las incógnitas.

3 Se resuelve la ecuación resultante.

4 El valor obtenido se sustituye en una de las

ecuaciones iniciales y se resuelve.

del sistema.

Ejemplo

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no

tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a

optar por suprimir la x, para que veamos mejor el

proceso.

Restamos y resolvemos la ecuación:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación

inicial.

Solución:

Sistemas de tres ecuaciones con tres

incógnitas

Método de Gauss

Este método consiste en util izar el método de

reducción de manera que en cada ecuación

tengamos una incógnita menos que en la ecuación

precedente .

1º Ponemos como primera ecuación la que tenga

el como coeficiente de x: 1 ó -1 , en caso de que no

fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden

de las incógnitas.

2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación ,

para eliminar el término en x de la 2ª ecuación .

Después ponemos como segunda ecuación el resultado

de la operación:

3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª

ecuación , para eliminar el término en x .

4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª , trasformadas,

para hacer reducción y eliminar el término en y .

5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6º Encontrar las soluciones.

Ejemplo

de las incógnitas.

de la operación:

E' 2 = E 2 − 3E 1

E' 3 = E 3 − 5E 1

E'' 3 = E' 3 − 2E' 2

5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado .

− y + 4 ·1 = −2 y = 6

x + 6 −1 = 1 x = −4

Sistemas de ecuaciones no lineales

La resolución de estos sistemas se suele hacer por

el método de sustitución , para ello seguiremos los

siguientes pasos:

1º Se despeja una incógnita en una de las

ecuaciones, preferentemente en la de primer grado .

2º Se sustituye el valor de la incógnita

despejada en la otra ecuación.

3º Se resuelve la ecuación resultante.

4º Cada uno de l os valores obtenidos se

sustituye en la otra ecuación , se obtienen así los

valores correspondientes de la otra incógnita.

Ejemplo

La resolución de estos sistemas se suele hacer por

el método de sustitución , para ello seguiremos los

siguientes pasos:

1º Se despeja una incógnita en una de las

ecuaciones, preferentemente en la de primer grado .

y = 7 − x

2º Se sustituye el valor de la incógnita

despejada en la otra ecuación.

x 2 + (7 − x) 2 = 25

3º Se resuelve la ecuación resultante.

x 2 + 49 − 14x + x 2 = 25

2x 2 − 14x + 24 = 0

x 2 − 7x + 12 = 0

4º Cada uno de l os valores obtenidos se

sustituye en la otra ecuación , se obtienen así los

valores correspondientes de la otra incógnita.

x = 3 y = 7 − 3 y = 4

x = 4 y = 7 − 4 y = 3

Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones

por sustitución

por igualación

por reducción

Ejercicios y problemas de sistemas de tres

ecuaciones con tres incógnitas. Método de Gauss

Ejercicios y problemas resueltos de sistemas

no lineales

Ejercicios de sistemas por sustitución1

Ejercicios de sistemas por el método de

igualación

jercicio 2 resuelto

Ejercicios de sistemas resueltos por el método de

reducción

Ejercicios y problemas resueltos de sistemas de

tres ecuaciones

4 Un cliente de un supermercado ha pagado un total de

156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.5 Un videoclub está especializado en películas de tres

tipos: infantiles, oeste americano y terror. Se sabe que: El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan el 30% del total de las películas. El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del 60% de las de terror al representan la mitad del total de las películas. Hay 100 películas más del oeste que de infantiles. Halla el número de películas de cada tipo.6 Los lados de un triángulo miden 26, 28 y 34 cm. Con

centro en cada vértice se dibujan tres de conferencias, tangente entre sí dos a dos. Calcular las longitudes de los radios de las circunferencias.

1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el coeficiente en x más bajo .

2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación , para eliminar el término en x de la 2ª ecuación . Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

E'2 = E2 − 3E1

3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.

E'3 = E3 − 5E1

4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.

E''3 = E'3 − 2E'2

− y + 4 ·1 = −2 y = 6

x + 6 −1 = 1 x = −4

Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo,

sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.

leche x

jamón y

aceite z

leche 1 €

jamón 16 €

aceite 3 €

Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste americano y

terror. Se sabe que:

El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan el 30% del

total de las películas.

El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del 60% de las de terror al

representan la mitad del total de las películas.

Hay 100 películas más del oeste que de infantiles.

Halla el número de películas de cada tipo.

infantiles x

oeste y

terror z

Sustituimos el valor de y en las dos ecuaciones iniciales y multiplicamos la última

obtenida por 3.

infantiles 500 películas

oeste 600 películas

terror 900 películas

Los lados de un triángulo miden 26, 28 y 34 cm. Con centro en cada vértice se dibujan tres de

conferencias, tangente entre sí dos a dos. Calcular las longitudes de los radios de las circunferencias.

Ejercicios y problemas de sistemas de

ecuaciones no lineales

6 El producto de dos números es 4, y la suma de sus

cuadrados 17. ¿Cuáles son esos números?7 Halla una fracción equivalente a cuyos términos

elevados al cuadrado sumen 11848 El producto de dos números es 4, y la suma de sus

cuadrados 17. ¿Cuáles son esos números?

y = 7 − x

x2 + (7 − x)2 = 25

x2 + 49 − 14x + x2 = 25

2x2 − 14x + 24 = 0

x2 − 7x + 12 = 0

x = 3 y = 7 − 3 y = 4

x = 4 y = 7 − 4 y = 3

El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son esos números?

Halla una fracción equivalente a cuyos términos elevados al cuadrado sumen 1184.

El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son esos

números?

Fórmulas de Álgebra lineal

Operaciones con matrices

Suma y diferencia de matrices

Producto por un escalar por una matriz

Producto de matrices

M m x n x M n x p = M m x p

Matriz inversa

A · A -1 = A -1 · A = I

(A · B) -1 = B -1 · A -1

(A -1 ) -1 = A

(k · A) -1 = k -1 · A -1

Cálculo de la matriz inversa

Ejercicios

Dadas las matrices:

Calcular:

A + B; A - B; A x B; B x A; A t .

Sean las matrices:

Efectuar las siguientes operaciones:

(A + B) 2 ; (A - B) 2 ; (B) 3 ; A · B t · C.

Dadas las matrices:

1 Justificar si son posibles los siguientes productos:

1 (A t · B ) · C

(A t 3 x 2 · B 2 x 2 ) · C 3 x 2 = (A t · B ) 3 x 2 · C 3

No se puede efectuar el producto

porque el número de columnas de

(A t · B ) no coincide con el nº de filas de

2 (B · C t ) · A t

(B 2 x 2 · C t 2 x 3 ) · A t 3 x 2 = (B · C ) 2 x 3 · A t 3

=(B · C t · A t ) 2 x 2

2 Determinar la dimensión de M para que pueda

efectuarse el producto A · M · C

A 3 x 2 · M m x n · C 3 x 2 m = 2

3 Determina la dimensión de M para que C t · M sea

una matriz cuadrada.

C t 2 x 3 · M m x n m = 3

Demostrar que: A 2 - A - 2 I = 0 , siendo:

Sea A la matriz . Hallar A n , para n

Por qué matriz hay que premultiplicar la

matriz para que resulte la matriz .

Hallar la matriz inversa de:

Calcular el rango de las siguientes matrices:

|2|=2 ≠0

r(A) = 2

r(B) = 4

Eliminamos la tercera columna por ser nula, la

cuarta por ser proporcional a la primera, y la quinta

porque combinación lineal de la primera y segunda:

c 5 = -2 · c 1 + c 2

r(C) = 2

Determinantes

Orden 1

|a 11 | = a 11

Ejemplo

|5| = 5

Orden 2

= a 11 a 22 - a 12 a 21

Ejemplo

Orden 3

Regla de Sarrus

Los términos con signo + están formados por los

elementos de la diagonal principal y los de

las diagonales paralelas con su

correspondiente vértice opuesto .

Los términos con signo - están formados por los

elementos de la diagonal secundaria y los de

las diagonales paralelas con su

correspondiente vértice opuesto .

a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 -

- a 13 a 22 a 31 - a 12 a 21 a 33 - a 11 a 23 a 32.

Ejemplo

3 · 2 · 4 + 2 · (-5) · (-2) + 1 · 0 · 1 -

- 1 · 2 · (-2) - 2 · 0 · 4 - 3 · (-5) · 1 =

= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) =

= 44 + 4 + 15 = 63

Orden 4

Una de las líneas del determinante tiene que estar

formada por elementos nulos, menos uno: el elemento

base o pivote , que valdrá 1 ó -1.

Seguiremos los siguientes pasos:

1. Si algún elemento del determinante vale

la unidad , se elige una de las dos líneas: la fila o la

columna , que contienen a dicho elemento (se debe

escoger aquella que contenga el mayor número

posible de elementos nulos ).

2. En caso negativo:

1. Nos fijamos en una línea que contenga el mayor

número posible de elementos

nulos y operaremos para que uno de los elementos

de esa línea sea un 1 ó -1 (operando con alguna línea

paralela ).

2. Dividiendo la línea por uno de sus

elementos , por lo cual deberíamos multiplicar el

determinante por dicho elemento para que su valor no

varie. Es decir sacamos factor común en una línea de

uno de sus elementos.

3. Tomando como referencia el elemento

base , operaremos de modo que todos los elementos

de la fila o columna , donde se encuentre, sean

ceros .

4. Tomamos el adjunto del elemento base , con lo

que obtenemos un determinante de orden

inferior en una unidad al original.

= 2(-58)

Propiedades de los determinantes

1. |A t |= |A|

El determinante de una matriz A y el de su

traspuesta A t son iguales.

2. |A|=0 Si:

Posee dos líneas iguales

Todos los elementos de una línea son nulos .

Los elementos de una línea son combinación

lineal de las otras.

F 3 = F 1 + F 2

3. Un determinante triangular es igual

al producto de los elementos de la diagonal

principal. .

4. Si en un determinante se cambian entre sí

dos líneas paralelas su determinante cambia de

signo.

5. Si a los elementos de una línea se le suman

los elementos de otra paralela multiplicados

previamente por un nº real el valor del

determinante no varía.

6. Si se multiplica un determinante por un

número real, queda multiplicado por dicho número

cualquier línea, pero sólo una.

7. Si todos los elementos de una fila o

columna están formados por dos sumandos, dicho

determinante se descompone en la suma de dos

determinantes.

8. |A·B| =|A|·|B|

El determinante de un producto es igual al

producto de los determinantes.

Método Cramer

El método de Cramer sirve para resolver sistemas

de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que

cumplan las dos condiciones siguientes:

El número de ecuaciones es igual al número de

incógnitas .

El determinante de la matriz de los coeficientes

es distinto de cero .

Tales sistemas se denominan sistemas de

Cramer .

Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes.

Y sean:

Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 ... , Δ n

los determinantes que se obtiene al sustituir

los coeficientes del 2º miembro (los términos

independientes) en la 1ª columna , en la 2ª

columna, en la 3ª columna y en la enésima

columna respectivamente.

Un sistema de

Cramer tiene una sola solución que viene dada por las

siguientes expresiones:

Ejercicios

Resolver por la método de Cramer:

Método Gauss

El método de Gauss consiste en transformar un

sistema de ecuaciones en otro equivalente de

forma que éste sea escalonado.

Para facilitar el cálculo vamos a transformar el

sistema en una matriz , en la que pondremos los

coeficientes de las variables y los términos

independientes (separados por una recta).

Sistemas de ecuaciones equivalentes

Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación

de ecuaciones dependientes. Si:

Todos los coeficientes son ceros.

Dos filas son iguales.

Una fila es proporcional a otra.

Una fila es combinación lineal de otras.

Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones

1º Si a ambos miembros de una ecuación de un

sistema se les suma o se les resta una misma

expresión , el sistema resultante es equivalente .

2º Si multiplicamos o dividimos ambos

miembros de las ecuaciones de un sistema por un

número distinto de cero , el sistema resultante

es equivalente .

3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un

sistema otra ecuación del mismo sistema ,

el sistema resultante es equivalente al dado.

4º Sin en un sistema se sustituye una ecuación

por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones

del sistema previamente multiplicadas o divididas

por números no nulos, resulta otro sistema

equivalente al primero.

5º Si en un sistema s e cambia el orden de las

ecuaciones o el orden de las incógnitas , resulta

otro sistema equivalente .

Ejercicios

Método Gauss

El método de Gauss consiste en util izar el método

de reducción de manera que en cada ecuación

tengamos una incógnita menos que en la ecuación

precedente .

de las incógnitas.

de la operación:

E' 2 = E 2 − 3E 1

E' 3 = E 3 − 5E 1

E'' 3 = E' 3 − 2E' 2

− y + 4 ·1 = −2 y = 6

x + 6 −1 = 1 x = −4

Ejercicios

Discusión de sistemas

1. Hallamos el rango de la matriz de los

coefecientes.

2. Calculamos el rango de la matriz ampliada.

3. Aplicamos el teorema de Rouché.

r = r' Sistema

Compatible.

o r = r'= n Sistema

Compatible Determinado.

o r = r'≠ n Sistema

Compatible Indeterminado.

r ≠ r' Sistema

Incompatible.

4. Si el sistema es compatible determinado se

resuelve por la regla de Cramer (tambíén se puede

resolver mediante el método de Gauss).

5. Si el sistema es compatible indeterminado

se resuelve teniendo en cuenta que :

El número de ecuaciones = rango

El número de parámetros = nº de incógitas

menos el rango

Sistemas homogéneos

Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas

tiene todos los términos independientes nulos se

dice que es homogéneo .

Admiten la solución trivial: x 1 = x 2 =... = x n = 0.

La condición necesaria y suficiente para que un

sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la

trivial es que el rango de la matriz de los

coeficientes sea menor que el nº de incógnitas , o

dicho de otra forma, que el determinante de la

matriz de los coeficientes sea nulo .

Ejercicios

Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:

1. Tomamos la matriz de los coeficientes y le

hallamos el rango.

r(A) = 3

2. Hallamos el rango de la matriz ampliada

r(A') = 3

3. Aplicamos el teorema de Rouché.

4. Se resuelve el sistema, si éste no es

incompatible, por la regla de Cramer o por el método

de Gauss

Tomamos el sistema que corresponde a la submatriz

de orden 3, que tiene rango 3, y lo resolvemos.

Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:

Discutir y resolver el sistema cuando sea

compatible.

1. Hallamos el rango de la matriz de los

coefecientes.

2. Hallamos el rango de la matriz ampliada.

3. Aplicamos el teorema de Rouché

4. Resolvemos el sistema compatible

determinado por la regla de Cramer (tambíén se

puede resolver mediante el método de Gauss).

Discutir y resolver el sistema cuando sea

compatible.

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