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ecua
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GUIA N2 Ecuaciones Diferenciales y Mtodos Numricos
I. En cada uno de los ejercicios obtngase la ecuacin diferencial de la familia de curvas planas
descritas y bosqujense algunos miembros representativos de la familia
1. Rectas que pasan por el origen.
2. Rectas que pasan por el punto fijo . La no deben eliminarse.
3. Rectas con pendiente y la intercepcin con el eje y, iguales.
4. Rectas con la pendiente y la intercepcin con el eje x iguales.
5. Rectas con la suma algebraica de las intercepciones iguales a k.
6. Rectas a la distancia p del origen.
7. Circunferencias con centro en el origen.
8. Circunferencias con centros sobre el eje x.
9. Circunferencias de radio fijo r y tangentes al eje x.
10. Circunferencias tangentes al eje x.
11. Circunferencias con centro sobre la recta , y que pasen por el origen.
12. Circunferencias unitarias. Use el hecho de que el radio de curvatura es igual a uno.
13. Todas las circunferencias. Use la curvatura.
14. Parbolas con el vrtice sobre el eje x, con el eje paralelo al eje y, y con la distancia del foco
al vrtice igual a .
15. Parbolas con el vrtice sobre el eje y, con el eje paralelo al eje x, con la distancia del foco
al vrtice igual a .
16. Parbolas con el eje paralelo al eje y con la distancia del vrtice al foco igual a .
17. Parbolas con el eje paralelo al eje x, y con la distancia del vrtice al foco igual a .
18. Hgase el ejercicio 17, usando la diferenciacin respecto a y.
19. sese el hecho de que:
(
)
(
)
(
)
Para probar que las soluciones de los ejercicios 17 y 18 son equivalentes.
20. Parbolas con el vrtice y el foco sobre el eje x.
Soluciones
1. 2. 3. 4. 5. 6. [ ] 7. 8. 9. 10. [ ] [ ]
11. 12. [ ] 13. [ ] 14. 15. 16. 17.
18.
19. 20.
Ecuaciones de primer orden de variables separables
Una ecuacin diferencial es de variables separables si puede llevarse a la forma
Para resolver la ecuacin basta con encontrar una funcin , de modo que la
diferencial total cumpla:
II. En los ejercicios 1 al 6 obtenga la solucin particular que satisfaga la condicin inicial dada.
1.
.
2. 3. 4. 5. 6.
II. En los ejercicios 7 al 10 obtenga la solucin particular que satisfaga la condicin inicial dada.
7.
8.
9.
10. (
)
IV. Demuestre:
1. 2. 3. 4.
5.
6.
7. Una solucin de una ecuacin diferencial es singular si no se puede obtenerse de la
solucin general. Probar que: es una solucin singular e [
]
es la
solucin general de la ecuacin
8. Pruebe tiene solucin general con solucin
particular
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