GUIA N2 Ecuaciones Diferenciales y Mtodos Numricos

I. En cada uno de los ejercicios obtngase la ecuacin diferencial de la familia de curvas planas

descritas y bosqujense algunos miembros representativos de la familia

1. Rectas que pasan por el origen.

2. Rectas que pasan por el punto fijo . La no deben eliminarse.

3. Rectas con pendiente y la intercepcin con el eje y, iguales.

4. Rectas con la pendiente y la intercepcin con el eje x iguales.

5. Rectas con la suma algebraica de las intercepciones iguales a k.

6. Rectas a la distancia p del origen.

7. Circunferencias con centro en el origen.

8. Circunferencias con centros sobre el eje x.

9. Circunferencias de radio fijo r y tangentes al eje x.

10. Circunferencias tangentes al eje x.

11. Circunferencias con centro sobre la recta , y que pasen por el origen.

12. Circunferencias unitarias. Use el hecho de que el radio de curvatura es igual a uno.

13. Todas las circunferencias. Use la curvatura.

14. Parbolas con el vrtice sobre el eje x, con el eje paralelo al eje y, y con la distancia del foco

al vrtice igual a .

15. Parbolas con el vrtice sobre el eje y, con el eje paralelo al eje x, con la distancia del foco

al vrtice igual a .

16. Parbolas con el eje paralelo al eje y con la distancia del vrtice al foco igual a .

17. Parbolas con el eje paralelo al eje x, y con la distancia del vrtice al foco igual a .

18. Hgase el ejercicio 17, usando la diferenciacin respecto a y.

19. sese el hecho de que:

(

)

(

)

(

)

Para probar que las soluciones de los ejercicios 17 y 18 son equivalentes.

20. Parbolas con el vrtice y el foco sobre el eje x.

Soluciones

1. 2. 3. 4. 5. 6. [ ] 7. 8. 9. 10. [ ] [ ]

11. 12. [ ] 13. [ ] 14. 15. 16. 17.

18.

19. 20.

Ecuaciones de primer orden de variables separables

Una ecuacin diferencial es de variables separables si puede llevarse a la forma

Para resolver la ecuacin basta con encontrar una funcin , de modo que la

diferencial total cumpla:

II. En los ejercicios 1 al 6 obtenga la solucin particular que satisfaga la condicin inicial dada.

1.

.

2. 3. 4. 5. 6.

II. En los ejercicios 7 al 10 obtenga la solucin particular que satisfaga la condicin inicial dada.

7.

8.

9.

10. (

)

IV. Demuestre:

1. 2. 3. 4.

5.

6.

7. Una solucin de una ecuacin diferencial es singular si no se puede obtenerse de la

solucin general. Probar que: es una solucin singular e [

]

es la

solucin general de la ecuacin

8. Pruebe tiene solucin general con solucin

particular