View
2
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
1
UNIVERSIDAD “ALONSO DE OJEDA” FACULTAD DE INGENIERIA
CIUDAD OJEDA - ZULIA
Guia de Cálculo II
EL CÁLCULO DESARROLLA TU MENTE TRANSFORMA TU VIVIR
b
a∫ (Disciplina + Esfuerzo + Consagración)dv = Profesionales Altamente Capacitados
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
2 CONTENIDO
Antiderivada .................................................................................................................5 Tabla de Integrales........................................................................................................5 Tabla de Derivadas ........................................................................................................6 Tabla de Identidades Trigonométricas ..............................................................................6 Integrales Inmediatas ....................................................................................................7
Ejemplos Ilustrativos............................................................................................7 EJERCICIOS PROPUESTOS ....................................................................................9
Técnicas De Integración ...............................................................................................10 Integración por Sustitución Elemental o Cambio de Variable ..............................................10
EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................16 Integración por partes..................................................................................................17
EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................22 Integración de Potencias del Seno y el Coseno.................................................................23
EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................29 Integración de Potencias de la Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante.........................30
EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................37 Integración Por Sustitución Trigonométrica .....................................................................38
EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................41 Integrales que contienen ax2+bx+c (Completación de Cuadrados)......................................42
EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................42 Integración De Funciones Racionales (Casos I Y II) ..........................................................44
EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................44 Integración De Funciones Racionales (Casos III y IV) .......................................................46
EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................46 Integral Definida .........................................................................................................48
EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................49 Longitud de Arco de una Curva Plana .............................................................................50
EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................50 Área bajo una curva.....................................................................................................53 Área entre dos curvas ..................................................................................................53
EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................54
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
3
¿Por qué la resolución de problemas?
El hombre en su quehacer práctico dentro de la sociedad es un “solucionador” de
problemas lo cual lo ubica por encima de los animales más inteligentes del mundo entero y
dentro de su entorno se hace más importante, ser capaz de resolver problemas, que obtener o
acumular y manejar una simple información. El lenguaje matemático se universaliza cada vez
mas, haciéndose más preciso y exacto, y menos propenso a ambigüedades por esto el estudio
de la Matemática nos debe llevar por el camino de la inteligencia y autorrealización hacia un
mundo cada vez mas humano y perfecto.
La presente guía constituye un recurso didáctico para ser utilizado en el aprendizaje del
Cálculo II, aquí se proponen ejercicios que abarcan todos los aspectos considerados como
fundamentales en todo el curso de esta cátedra.
Mi motivación principal al realizar esta guía es ofrecer al estudiante, que cursa su nivel
universitario; una compilación de ejercicios que conforman el background para las asignaturas
Cálculo I, II, III y IV así como también para las todas asignaturas del área numérica. La misma
es producto de la recopilación de ejercicios interesantes a través de la investigación e
integración de textos de diversos autores y sobre todo del mí propio intelecto.
Los propósitos de la esta guía se centran en:
Propiciar la independencia intelectual del educando a través de la resolución de
problemas que le permitan desarrollar sus habilidades para aprender a autorregular
y controlar sus pensamientos y acciones.
Generar situaciones que propicien en el estudiante la adquisición de conocimientos,
habilidades, actitudes y valores relativos al área intelectual, científica, tecnológica y
humanística.
Promover en el educando el desarrollo de la investigación, la creatividad, el auto
aprendizaje, la transferencia de conocimientos habilidades y destrezas y la formación
de valores favorables para el desempeño como estudiante, futuro profesional y
generación de relevo en una sociedad democrática y en un mundo cada vez mas
globalizado.
Propiciar en el estudiante el desarrollo del autoestima e incentivación que estimulen
el aprendizaje efectivo de la Matemática.
Apreciado estudiante para que pueda serte provechoso el contenido de esta guía te
aconsejo resolver paso a paso por lo menos el 80% de los ejercicios propuestos en cada grupo.
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
4 Los problemas y ejercicios se han distribuido y presentado con una jerarquización en
su nivel de dificultad de resolución de los más sencillos y significativo a lo más complejo e
interesante.
La realización ordenada de los ejercicios presentados en este material auxiliar conlleva al
afianzamiento de los hábitos de estudio no solo en Matemática sino también en todas las
asignaturas. Otro aspecto que considero fundamental en este trabajo es la abundante y variada
cantidad de ejemplos ilustrativos y ejercicios propuestos que se presentan agrupados por
objetivos y/o contenidos.
Estoy plenamente convencido que el uso adecuado de esta guía ayudara de forma
determinante y definitiva a los alumnos a superar las debilidades detectadas en los contenidos
matemáticos fundamentales.
Someto esta versión de la guía al criterio de mis colegas y alumnos con la finalidad de
realizar las modificaciones necesarias y enriquecerla con sus valiosos e importantes aportes a
través de sus criticas constructivas y poder así mejorarla para que pueda llevar por el camino
de la excelencia intelectual y profesional a los alumnos que la utilicen adecuadamente.
Para finalizar quiero expresar mi mas alto nivel de agradecimiento a las autoridades de
la Universidad Alonso de Ojeda, a todo el personal que labora en esta ilustre universidad y a los
estudiantes, por brindarme la excelente oportunidad de realizar una labor dirigida a
engrandecer nuestro país al aportar mi humilde trabajo formando la generación de relevo que
enaltecerá nuestra cultura e idiosincrasia.
Pedro R. Guédez L
Prof. de Matemática
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
5 Antiderivada Definición: Antiderivada Una función F(x) se llama antiderivada de una función f(x), en un intervalo I, si F’(x) = f(x),∀ valor de x en el intervalo I Ejm. F(x) = 4x3 + x2 + 5 ⇒ f’(x) = 12x2 + 2x G(x) = 4x3 + x2 - 8 ⇒ g’(x) = 12x2 + 2x A(x) = 4x3 + x2 + C ⇒ h’(x) = 12x2 + 2x Teorema: Si F y G son dos funciones tales que f’(x) = g’(x) x I ∀ ∈ entonces C∃ tq F(X) =
G(X) + C ∀ x ∈ I Definición: Antidiferenciación es el procedimiento por medio del cual se determinan todas las antiderivadas de una función dada. El símbolo ∫ denota la operación de antidiferenciación y se escribe:
C)x(Fdx )x(F +=∫
Dos propiedades básicas de la antidiferenciación.
1.- dx )x(fadx )x(af ∫∫ =
2.- [ ] dx (x)f dx (x)f dx (x)f dx (x) f (x)f (x)f n21n21 ∫∫∫∫ +…++=+…++
Tabla de Integrales
1. ∫∫ −= vduuvdvu ; Integración por Partes 2. C)u(Tandu)u(Sec2 +=∫
3. Cudu +=∫ 4. C)u(Cotdu)u(Csc2 +−=∫
5. Ckukdu +=∫ Donde k es una constante 6. C)u(Secdu)u(Tan)u(Sec +=∫
7. C1n
uduu
1nn +
+=
+
∫ ; para n ≠ -1 8. C)u(Cscdu)u(Cot)u(Csc +−=∫
9. CuLnudu
+=∫ 10. Cauau
Lna21
au
du22
++−
=−∫ ; ( u2 > a2 )
11. Cedue uu +=∫ 11. Cauau
Lna21
ua
du22
+−+
=−∫ ; ( a2 > u2 )
13. CaLn
adua
uu +=∫ ; donde a>0 y a ≠ 1 14. C
au
arcSenua
du22
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=−
∫ ; donde a>0
15. C)u(Cosdu)u(Sen +−=∫ 16. Cau
arcSeca1
auu
du22
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=−
∫ ; donde a>0
17. C)u(Sendu)u(Cos +=∫ 18. Cau
arcTana1
ua
du22
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=+∫
19. C)u(SecLndu)u(Tan +=∫ 20. CauuLnau
du 22
22+±+=
±∫
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
6
21. C)u(SenLndu)u(Cot +=∫ 22. Cu)u(Tandu)u(Tan2 +−=∫
23. C)u(Tan)u(SecLndu)u(Sec ++=∫ 24. ( ) Cu)u(Cotdu)u(Cot2 ++−=∫
25. C)u(Cot)u(CscLndu)u(Csc +−=∫
26. Cau
arcSen2a
ua2u
duua2
2222 +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−=−∫
27. CauuLn2a
au2u
duau 222
2222 +±+±±=±∫
Tabla de Derivadas
1. uDnu)u(D x1nn
x−= 2. uD u Cos )u Sen(D xx = 3. 2
xx
u1
uD )u arcSen(D
−=
4. vDuD)vu(D xxx +=+ 5. uD u Sen- )u Cos(D xx = 6. 2
xx
u1
uD - )u arcCos(D
−=
7. uvDvuD)uv(D xxx += 8. uD uSec )u Tan(D x2
x = 9. 2x
xu1
uD )u arcTan(D
+=
10. 2xx
xv
vuDuvD)
vu
(D−
= 11. uD uCsc )u Cot(D x2
x −= 12. 2x
xu1
uD- )u arcCot(D
+=
13. uDe)e(D xuu
x = 14. uD Cot u Csc )u Csc(D xx −= 15. 1uu
uD )u arcSec(D
2
xx
−=
16. uD Ln(a) a)(aD xuu
x = 17. uD u Tanu Sec )u Sec(D xx = 18. 1uu
uD - )u arcCsc(D
2
xx
−=
19. uuD
Ln(u)D xx =
Tabla de Identidades Trigonométricas
1. 1)x(Sen)x(Cos 22 =+ 2. )x(Sen)x(Cos)x2(Cos 22 −=
3. )x(Tan1)x(Sec 22 += 4. (x) Cos)x(Cos )x(Sen)x(Sen =−−=−
5. )x(Cot1)x(Csc 22 += 6. (x) Cot)x(Cot )x(Tan)x(Tan −=−−=−
7. 1)x(Csc)x(Sen = 8. (x) Csc)x(Csc )x(Sec)x(Sec −=−−=−
9. 1)x(Sec)x(Cos = 10. coh
)(Csc hco
)(Sen =θ=θ
11. 1)x(Cot)x(Tan = 12. cah
)(Sec hca
)(Cos =θ=θ
13. )x(Cos)x(Sen
)x(Tan = 14. coca
)(Cot caco
)(Tan =θ=θ
h = Hipotenusa co = Cateto Opuesto ca = Cateto Adyacente
θ
h co
ca
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
7
15. )x(Sen)x(Cos
)x(Cot = 16. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]x nm Cosx nm Cos21
nx Sen mx Sen +−−=
17. [ ])x2(Cos121
)x(Sen2 −= 18. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]x nm Cosx nm Cos
21
nx Cos mx Cos −++=
19. [ ])x2(Cos121
)x(Cos2 += 20. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]x nm Senx nm Sen21
nx Cos mx Sen −++=
21. )x(Cos)x(Sen2)x2(Sen = 22. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]x nm Senx nm Sen21
nx Sen mx Cos −−+=
Integrales Inmediatas Ejemplos Ilustrativos
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular ∫ dxx3 4
∫ dxx3 4
Cx53
C14
x3
dxx3
5
14
4
+=
++
⋅=
=
+
∫
Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular ∫ dxx
13
∫ dxx
13
Cx2
1
C2
x
C13
x
dxx
2
2
13
3
+−
=
+−
=
++−
=
=
−
+−
−∫
Ejemplo Ilustrativo 3 Calcular ∫ dxx x22 3 23
∫ dxx x22 3 23
23 3
113
22 x x dx
22 x dx
= ⋅
=
∫∫
111
3
143
22 xC
111
3
22 xC
143
+⋅
= ++
⋅= +
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
8 14
3
143
66x C
1433
x C7
= ⋅ +
= ⋅ +
Ejemplo Ilustrativo 4 Calcula ∫ −+ dx)x8x32(x2 322
∫ −+ dx)x8x32(x2 322
Cx38
x56
x34
Cx6
16x
56
x34
C15
x1614
x612
x4
dxx16dxx6dxx4
dx)x16x6x4(
653
653
151412
542
542
+⋅−⋅+⋅=
+⋅−⋅+⋅=
++⋅
−+
⋅+
+⋅
=
−+=
−+=
+++
∫ ∫∫∫
Ejemplo Ilustrativo 5 Calcula dy y
)1y2y( 24
∫−+
dy y
)1y2y( 24
∫−+
Cy25y4
9y2
C1y2
5y22
9y2
C
21
y
25y2
29
y
C1
21
y
123y2
127y
dyydyy2dyy
dyyy2y
dyyy2y
dyy
1
y
y2
y
y
212
52
9
21
25
29
21
25
29
121
123
127
21
23
27
21
23
27
212/122/14
21
21
2
21
4
+−+=
+−⋅
+=
+−+=
++
−−
+
⋅+
+=
−+=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−+=
+−
++
−
−
−−−
∫ ∫ ∫
∫
∫
∫
Ejemplo Ilustrativo 6 Calcula 3Sen(t) - 2Cos(t) dt⎡ ⎤⎣ ⎦∫
[ ]∫ dt 2Cos(t) - 3Sen(t)
C)t(sen2)tcos(3
dt Cos(t)2 - Sen(t)dt3
+−−=
= ∫ ∫
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
9 Ejemplo Ilustrativo 7 Calcula [ ]∫ + θθθθ d)(Sec2)(Cot )( Csc 2
[ ]∫ + θθθθ d)(Sec2)(Cot )( Csc 2
)(Tan2)( Csc
d)(Sec2d)(Cot )( Csc 2
θθ
θθθθθ
+−=
+= ∫∫
Ejemplo Ilustrativo 8 Calcula ∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+ dx)x(Cot 3
(x) Cot3
∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+ dx)x(Cot 3
(x) Cot3 [ ]
( )( ))x(sen)xsec(Ln3
)x(senLn)xsec(Ln3
C)x(senLn3)xsec(Ln3
dx)x(Cot3dx)x(Tan3
dx)x(Cot 3)x(Tan3
⋅=
+=
++=
+=
+=
∫∫∫
Ejemplo Ilustrativo 9 Calcula ⎛ ⎞
− +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ x x
2
32 e 4 dx
Cos (x)
⎛ ⎞− +⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ x x
2
32 e 4 dx
Cos (x) ( )= − +
= − +
= − + +
∫∫ ∫ ∫
2 x x
2 x x
xx
3Sec (x) 2 e 4 dx
3 Sec (x)dx 2 e dx 4 dx
43Tan(x) 2e C
Ln4
EJERCICIOS PROPUESTOS
Integral Respuesta Integral Respuesta
1. ∫ dxx3 2 Cx3 + 2. ∫ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+ dx3x5x 23
Cx3x3
10x
52 2
32
5+−+
3. ∫ dxX
13
Cx21 2 +− − 4. dy7y∫ C
7Ln7y
+
5. ∫ 3 x
dx Cx
23 3
2+ 6. ( )dy 3y2y 23∫ − Cy
43
y31 46 ++
7. ∫ dxx3 32
Cx59 3
5+ 8. ( )( ) φφ−φ∫ d)(Tan3Cot2 C)(Cos)(SenLn 32 +φφ
9. ∫ x
dx Cx2 + 10. ∫ )x(Sen
dx2
C)x(Cot +−
11. ∫ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
dyy3y5 412 Cy4y
35 4
33 +− 12. ∫ )u(Cos
du C)u(Tan)u(SecLn ++
13. ∫−
dxX
x2x4 2
Cx4x2 2 +− 14. ∫ )t(Cosdt)t(Sen
C)t(SecLn +
15. ∫ dxax C3axx2
+ 16. ( ) dx1x2x2
∫ + C481
2x
x34
x2
34 +−++
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
10
17. ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− dx
X
22x
2
2
CX2
6x3
++ 18. ∫+−
dxX
5x6x3
CxLn5x63x3
++−
19. ∫ tdt
CtLn + 20. ∫ θθθ d)(Cos)(Sec3 C)(Tan +θ
21. dyey∫ Cey + 22. ∫ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++ dx5X
3
x
223
Cx5x3
x
12
++−−
23. ∫ dxx3 4 Cx53 5 + 24. ( )dt tt23 2∫ +− Ct
31
tt3 32 ++−
25. ∫ duu5 23
Cu2 25
+ 26. ( )dx1xx +∫ Cx32
x52 2
32
5++
27. dxx103 2∫ Cx6 35
+ 28. ∫ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − duuu 23
Cu21
u52 22
5+−
29. dxxx6 32∫ Cx59 3
10+ 30. dx
x
1x
33∫ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ Cx
23
x43 3
23
4++
31. dx e e 6 x23 x2∫ Cex + 32. ( )dx xx4 23∫ + Cx31
x 34 ++
33. ( )dx 5x4x6x4 23∫ +−− Cx5x2x2x 234 ++−−
34. ∫−+
dxx
4x4x2
Cx8x38
x52 2
12
32
5+−+
35. ( ) ( )[ ]dttCos2t Sen3∫ − C)t(Sen2)t(Cos3 +−−
36. ( )( ) θθ−θ∫ d)(Tan3Cot2 22 C)(Tan3)(Cot2 +θ+θ−θ−
37. ( ) ( )( )dt)t(TantSec5tCsc3 2∫ − ( ) C)t(Sec5)t(Cot3 ++−
Técnicas De Integración. Integración por Sustitución Elemental o Cambio de Variable Ejemplos Ilustrativos
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular dyy413∫ −
dyy413∫ − ( ) dyy41 31
∫ −= (A)
Cambio de variable
Sea 1-4y=u⇒ -4dy = du 4
dudy
−=⇒
Sustituyendo u y dy en (A) tenemos 13
13
duu
41
u du4
= ⋅−
=−
∫
∫
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
11 43
43
1 uC
443
3u C
16
= +−
−= +
Volviendo a la variable original “y” Quitando el cambio de variable
( )
( ) Cy4116
3
Cy41163
3 4
34
+−−
=
+−−
=
Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular ∫ dx 1) - (x x 1032
∫ dx 1) - (x x 1032 ∫= dxx1) - (x 2103 (1)
Cambio de variable
Sea 1 -x3 = v ⇒ 3x2dx = dv 3dv
dxx2 =⇒
Sustituyendo v y dv en (1) se tiene
C11v
3dv
v
11
10
+=
= ∫
Quitando el cambio de variable
C11
)1x(
C11v
113
11
+−
=
+=
Ejemplo Ilustrativo 3 Calcular ∫+
ds13s
s2
∫+
ds13s
s2
( )∫
+=
21
2 13s
sds
Haciendo 3s2+1 = x 6dx
sdsdxsds6 =⇒=⇒
12
12
dx6
x1 dx6 x
=
=
∫
∫
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
12 12
11
2
1x dx
6
1 xC
16 12
−
− +
=
= ⋅ +− +
∫
12
12
1 xC
162
1x C
3
= ⋅ +
= +
Volviendo a la variable original
( )C13s
31
C 13s31
2
21
2
++=
++=
Ejemplo Ilustrativo 4 Calcular θθ∫ d)(4 Cos
θθ∫ d)(4 Cos θθ∫= d)Cos(4
Hacemos 4θ =t4dt
ddtd4 =⇒=⇒ θθ
C )t(Sen41
dt)Cos(t41
4dt
)Cos(t
+=
=
=
∫∫
Ejemplo Ilustrativo 5 Calcular ∫ +dx
Cos(x)) (1
(x) 4Sen2
∫ +dx
Cos(x)) (1
(x) 4Sen2
∫ +=
2Cos(x)) (1
dx (x) Sen4
Hacemos 1+Cos(x) = u ⇒ Sen(x) dx = du
CCos(x) 1
4
Cu4
C1
u4
duu4
u
du4
1
2
2
++−
=
+−
=
+−
⋅=
=
=
−
−∫∫
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
13 Ejemplo Ilustrativo 6 Calcular ∫ + dx (2x)) Cot 2x) (Tan( 2
Desarrollando el producto notable 2(2x)) Cot 2x) (Tan( + se tiene 2(2x)) Cot 2x) (Tan( +
(2x)Csc(2x)Sec
22-(2x)Csc(2x)Sec
1-(2x)Csc21-(2x)Sec
(2x)Cot 12 (2x)Tan
(2x)Cot Cot(2x) 2Tan(2x) (2x)Tan
22
22
22
22
22
+=
++=
++=
+⋅+=
+⋅+=
Asi la integral original se transforma en
∫ + dx (2x)) Cot 2x) (Tan( 2 ∫ += dx (2x)) Csc 2x) ((Sec 22
Si cambiamos 2x por θ se tiene
2x = 2d
dxddx2θθθ =⇒=⇒
∫ +=2d
))( Csc )((Sec 22 θθθ
[ ]( ) C)(Cot)(Tan
21
d ))( Csc )d((Sec21 22
+−=
+= ∫ ∫θθ
θθθθ
Quitando el cambio se tiene finalmente
( ) C)x2(Cot)x2(Tan21
+−
Ejemplo Ilustrativo 7 Calcular ∫x
x
e -Sen(x) dx
e +Cos(x)
Cambio de variable: Sea ( )⇒x xe +Cos(x) = r e -Sen(x) dx = dr que al sustituir en la integral original se obtiene:
∫x
x
e -Sen(x) dx
e +Cos(x) = = + = +∫ xdr
Ln r C Ln e +Cos(x) Cr
Ejemplo Ilustrativo 8 Calcular ⋅
∫2
2
x Ln(x +1) dx
x +1
Cambio de variable:
Sea ⇒ = ⇒ =22 2
2x x dvLn(x +1) = v dx dv dx
2x +1 x +1 sustituyendo en la integral
original se obtiene: ⋅
∫2
2
x Ln(x +1) dx
x +1
22
xLn(x +1) dx
x +1dv
v2
= ⋅
= ⋅
∫
∫
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
14
2
1v dv
21 v
C2 2
= ⋅
= ⋅ +
∫
( )221x +1 C
4= ⋅ +
Ejemplo Ilustrativo 8 Calcular ∫arcSen(x)
2
e +x dx
1-x
La integral original se puede expresar como sigue:
∫arcSen(x)
2
e +x dx
1-x
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
= +
∫
∫ ∫
arcSen(x)
2 2
arcSen(x)
2 2
I1 I2
e x+ dx
1-x 1-x
e xdx dx
1-x 1-x
Resolviendo esta dos integrales por separado se obtiene:
= ∫arcSen(x)
2
eI1 dx
1-xpara I1 el cambio de variable será:
= ⇒ =− 2
dxarcSen(x) u du
1 x, por lo cual
=
= ⋅
= ⋅
= +
= +
∫
∫
∫
arcSen(x)
2
arcSen(x)
2
u
u1
arcSen(x)1
eI1 dx
1-xdx
I1 e1-x
I1 e du
I1 e C
I1 e C
= ∫ 2
xI2 dx
1-xpara I2 el cambio de variable será:
= ⇒ = ⇒−
2 dv1-x v -2xdx dv xdx=
2, asi tenemos que
2
2
xI2 dx
1-x1
I2 xdx1-x
=
= ⋅
∫
∫
12
1 dvI2
2v1 1
I2 dv2 v
= ⋅−
= ⋅−
∫
∫
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
15 -1
21I2 v dv
2
1I2
2
= ⋅−
=−
∫12v
1
2
2C+
12
2
2
22
I2 v C
I2 v C
I2 1-x C
= − +
= − +
= − +
La integral original es la suma de I1 e I2:
= +∫arcSen(x)
2
e +x dx I1 I2
1-x
= + − +
= − + +
= − +
arcSen(x) 21 2
arcSen(x) 21 2
arcSen(x) 2
e C 1-x C
e 1-x C C
e 1-x C
Ejemplo Ilustrativo 9 Calcular ( )123 2x 2 x dx−∫
La integral original se puede expresar como sigue:
( )123 2x 2 x dx−∫
( )122 2x 2 x xdx= −∫ Haciendo el cambio de variable:
( )
( )
( )
2
2 2
12
12 13
1312
13 14
13
12-x =u -2xdx=du xdx=- du
2
Como 2-x =u x =2-u
que al sustituir en la integral original se obtiene:1
2 u u du21
2u u du21
2 u du u du21 2 1
u u C2 13 14
1 1u 28 13u C
2 1821
364
⇒ ⇒
⇒
= − −
= − −
⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= − − +⎢ ⎥⎣ ⎦
= − ⋅ − +
= −
∫
∫
∫ ∫
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
132 2
132 2
132 2
2-x 28 13(2-x ) C
12-x 28 26 13x C
3641
2-x 2 13x C364
− +
= − − + +
= − + +
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
16 EJERCICIOS PROPUESTOS
Integral Respuesta Integral Respuesta
1. ∫ − dyy41 ( ) Cy4161
23
+−− 2. ∫ +dx
e3
ex2
x2
Ce3Ln21 x2 ++
3. ∫ − dxx263 ( ) Cx2683
34
+−− 4. ∫⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
3 2
43
1
r
dr2r
C2r53
53
1+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
5. ∫ − dx9xx 2 ( ) C9x31 2
32 +− 6. ∫ dxx)
31
Sen( C3x
3Cos- +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
7. ∫ − dxx4x3 2 ( ) Cx4 23
2 +−− 8. ∫ dx)Sen(x6x 32 C)(x2Cos- 3 +
9. ( )∫ + dx1x2x62 ( )72 1x2
281
+ 10. ∫ dt)tCos(4t21 2 ( ) Ct4Sen
161 2 +
11. ( )∫+
32 1x
xdx
( )C
1x4
122+
+
− 12. ∫ dr)(rSecr 322 ( ) CrTan
31 3 +
13. ( )∫ − dxx49x5 3 22 ( ) Cx4983 3
52 +−− 14. ∫ θθ d)(2Csc2 C)Cot(2
21
- +θ
15. ( )∫ +− dx4x4x 34
2 ( ) C2x113
311
+− 16. ∫ − dx)x2(Cos2Sen(2x) [ ] C)x2(Cos231
23
+−
17. ∫ − dx5x3x 54 ( ) C5x3452 35 +− 18. dx)x(Cose )x(Sen∫ Ce )x(Sen +
19. ( )∫−
54
3
y21
dyy ( )44y2132
1
− 20. ( ) ( )∫ dy3y Cot 3y yCsc 22 ( ) C3y Csc
61
- 2 +
21. ∫− 4x1
xdx2 C)x(arcSen 2 + 22. ( )∫ + dxSen(x)2 Cos(x) 5 [ ] C)x(Sen2
61 6 ++
23. ∫ − dx4x33 ( ) C4x341
34
+− 24. ∫− )x(Tan9)x(Cos
dx22
C3
)x(TanarcSen +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
25. 2x
dxx31
1∫ + Cx31
122
3
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+− 26. ∫ + 2))x(Cos1(
dx )x(Sen4 C
)x(Cos14
++
27. ( )( )∫
++
+323
2
1x2x
dxx8x6 ( )
C1x2x
1223+
++− 28. dx
x1
x1Cos∫ +
+ Cx1sen2 ++
29. ( )∫ + dxx3x 541
3 ( ) ( ) C12x53x1354 34
53 +−+
30. ( )∫ − 7r1
rdr2 ( )( ) Cr11r6
156 6 +−− −
31. ( )( )∫
−
+
32
y3
dy3y ( )( ) Cy321y
43
31
+−+−
32. ∫ + 3t
tdt ( )( ) C3t6t
32
21
++−
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
17
33. ∫ − dxxx23 2 ( )( ) Cx236x6x5351
232 +−++−
34. ( )∫ − dxx2x1223 ( )( ) Cx22x13
3641 1322 +−+−
Integración por partes. Entre las aplicaciones mas importantes del método de integración por parte se encuentra la integración de :
a) Diferenciales que contienen productos. b) Diferenciales que contienen logaritmos c) Diferenciales que contienen Funciones Trigonométricas Inversas
Si u y v son funciones de la misma variable independiente se tiene que ∫udv = uv - ∫ vdu la cual es llamada fórmula de integración por partes. Esta fórmula expresa la ∫udv en términos de otra integral ∫vdu la cual es mas fácil de evaluar. Para evaluar cualquier integral por este método se debe elegir un cambio para u y dv, por lo general es recomendable que el dv sea el factor más complicado del integando. Otra recomendación es la siguiente regla para la elección de u L = Logarítmica. I = Trigonométrica Inversa A = Algebraica T = Trigonométrica Directa E = Exponencial Ejemplos Ilustrativos:
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 2
ln xdx
x∫
Tomando en cuenta la regla (L)IATE se hace u Ln(x)
dxdu
x
=
=
2
2
2
1
dxdv
xdx
dvx
dv x dx
v x1
vx
−
−
=
=
=
= −
= −
∫ ∫
∫ ∫
Sustituyendo en la fórmula de integración por partes se tiene:
2
ln xdx
x∫
2
1 1 dxLn(x)
x x xLn(x) dx
observe que esta integral se resolvio al iniciox x
Ln(x) 1C
x x1
1 Ln(x) Cx
− −= ⋅ − ⋅
−= +
−= + +
= − +⎡ ⎤⎣ ⎦
∫
∫
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
18
Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular ∫ dx Senx x
Tomando en cuenta la regla LI(A)TE se hace
dxduxu=
=
)x(Cosv
dx)x(Sendv
dx)x(Sendv
−=
=
=
∫ ∫
Sustituyendo en la formula de integración por partes se tiene:
∫ dx Senx x
C)x(Sen)x(Cos
dx)x(Cos)x(Cos
duvvu
++−=
−−−=
⋅−⋅=
∫∫
Ejemplo Ilustrativo 3 Calcular ∫ dx Cosx ex
Siguiendo la regla LIA(T)E para seleccionar el cambio para u se tiene que la primera prioridad es Trigonométrica por lo que:
dx)x(Sendu)x(Cosu
−==
x
x
x
ev
dxedv
dxedv
=
=
=
∫ ∫
Sustituyendo en la formula de integración por partes se tiene:
xe C os(x) dx⋅∫
)A(dx)x(Sene)x(Cose
dx)x(Sene)x(Cose
duvvu
xx
xx
∫∫
∫
⋅+⋅=
⋅−−⋅=
⋅−⋅=
Para resolver la integral ∫ ⋅ dx)x(Senex usamos también la técnica de
integración por partes, para lo cual aplicamos la regla LIA(T)E
dx)x(Cosud
)x(Senu
=
=
x
x
x
ev
dxevd
dxevd
=
=
=
∫ ∫
Por lo cual
)B(dx)x(Cose)x(Senedx Sen(x) e
udvvudx Sen(x) e
xxx
x
∫∫∫∫
⋅−⋅=
⋅−⋅=
Sustituyendo la expresión (B) en la expresión (A)se tiene: x x x x
x x x x
e C os(x) dx e Cos(x) e Sen(x) e Cos(x)dx
e C os(x) dx e Cos(x)dx e Cos(x) e Sen(x)
= ⋅ + ⋅ − ⋅
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
∫ ∫∫ ∫
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
19 x x x
x x12
2 e Cos(x)dx e Cos(x) e Sen(x)
e Cos(x)dx e Cos(x) Sen(x) C
⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ + +⎡ ⎤⎣ ⎦
∫∫
Ejemplo Ilustrativo 4 Calcular ∫ dxx-1
x2
3
∫ dxx-1
x2
3
Observe que:
∫⋅
= dxx-1
xx2
2
Utilizando la regla LI(A)TE para seleccionar el cambio tiene que la primera prioridad es Algebraica por lo que:
xdx2duxu 2
==
∫ ∫
−=
−=
)A(
2
2
x1
xdxdv
x1
xdxdv
Para resolver la integral (A) se hace el cambio de variable
xdx2
dtdtxdx2tx1 2 =
−⇒=⇒=−
Por lo que:
2212
1
21
2x1tt
21
t21
dtt21
t2
dt
x1
xdx−−=−=−=⋅
−=
−=−=
−∫ ∫∫
−
Lo cual se simplifica en:
2
2x1
x1
xdx−−=
−∫
Asi la expresión (A) quedara como: 2x1v −−= Quedando la integral original al aplicar la formula de integración por partes como sigue:
∫ dxx-1
x2
3
)B(
222
222
xdx2x1x1x
xdx2x1x1x
duvvu
∫∫
∫
⋅−+−−=
⋅−−−−−=
⋅−⋅=
La integral (B) será resuelta en forma análoga a la integral (A) por un cambio de variable siendo w=1-x2 ⇒ dw=-2xdx así
( )3223
223
212 x1
32
)x1(32
w32
dwwdwwxdx2x1 −⋅−=−⋅−=⋅−=−=−=− ∫ ∫∫
Volviendo a la expresión (B) se tiene:
∫ dxx-1
x2
3
2 2 2
u v v du
x 1 x 1 x 2xdx
= ⋅ − ⋅
= − − − − − ⋅
∫∫
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
20 2 2 2
(B)
x 1 x 1 x 2xdx= − − + − ⋅∫
( )
( )
( )
32 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2x 1 x 1 x C
32
1 x x 1 x C3
2 21 x x x C
3 3
1 21 x x C
3 3
11 x x 2 C
3
= − − − ⋅ − +
⎡ ⎤= − − ⋅ + − +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= − − ⋅ + − +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= − − ⋅ + +⎢ ⎥⎣ ⎦
= − − ⋅ + +
Ejemplo Ilustrativo 5 Calcular ∫ xarctg(x)dx
Siguiendo la regla L(I)ATE se tiene que el cambio mas indicado para u es Trigonométrica inversa por lo que: =
2
u arctg(x)dx
du=x +1
=
=
∫ ∫2
dv xdx
dv= xdx
1v x
2
Luego la integral original al aplicar la formula de integración por partes quedará como sigue:
∫ xarctg(x)dx = ⋅ − ⋅
= − ⋅+
= −++ −
= −+
⎡ ⎤⎛ ⎞+ −= − +⎢ ⎥⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤−⎛ ⎞= − +⎢ ⎥⎜ ⎟+⎝ ⎠⎣ ⎦⎡= − +⎢ +⎣
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
22
2
22
2
22
2
22
2 2
22
22
u v v du
1 1 xx arctg(x) dx
2 2 x 11 1 x
x arctg(x) dx2 2 x 11 1 x 1 1
x arctg(x) dx2 2 x 1
1 x 1 1x arctg(x) dx
2 x 1 x 1
1 1x arctg(x) 1 dx
2 x 1
1 1x arctg(x) dx dx
2 x 1⎤⎥⎦
⎡ ⎤= − + +⎣ ⎦21
x arctg(x) x arctg(x) C2
Ejemplo Ilustrativo 6 Calcular 2x Sen (3x)dx⋅∫
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
21 2x Sen (3x)dx⋅∫ ( )x 1 2 1 C os(6x) dx
1x xC os(6x) dx
2
⎡ ⎤= −⎣ ⎦
= −⎡ ⎤⎣ ⎦
∫
∫
2
I1
1xdx xC os(6x)dx
21 1
xdx xC os(6x)dx2 2x 1
xC os(6x)dx4 2
⎡ ⎤= −⎣ ⎦
= −
= −
∫ ∫
∫ ∫
∫
La integral I1 se resuelve usando el metodo de integración por partes Siguiendo la regla LI(A)TE se tiene que el cambio mas indicado para u es Trigonométrica inversa por lo que: u xdu=dx=
dv C os(6x)dx
dv C os(6x)dx
6x = z 6dx = dz
dz dx =
6dz
dv C os(z)6
1dv C os(z)dz
6v = Sen(z)
1v Sen(6x)
6
=
=
=
=
=
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
Resolviendo la integral I1 al aplicar la formula de integración por partes quedará
como sigue:
I1
1I1 xC os(6x)dx
2
xSen(6x)1 1I1 Sen(6x)dx
2 6 6
=
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
∫
1I1 xSen(6x) Sen(6x)dx
12 6x = r 6dx = dr
dr dx =
6
⎡ ⎤= −⎣ ⎦∫
1 drI1 xSen(6x) Sen(r)
12 6⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦∫
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
22 1 1
I1 xSen(6x) Sen(r)dr12 72
= − ∫
1 1I1 xSen(6x) Sen(6x)dr
12 721 1
I1 xSen(6x) Cos(6x)12 72
= −
= +
∫
2x Sen (3x)dx⋅∫ 2
I1
2
2
2
x 1xC os(6x)dx
4 2
x 1 1xSen(6x) Cos(6x) C
4 12 72
x 1 1xSen(6x) Cos(6x) C
4 12 721
18x 6xSen(6x) Cos(6x) C72
= −
⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦
= − − +
⎡ ⎤= − − +⎣ ⎦
∫
EJERCICIOS PROPUESTOS
Integral Respuesta Integral Respuesta
1. ∫ dxxe x3 C31
xe31 x3 +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ − 2. ∫ dxxLn C1)- x (Ln x +
3. ∫ dx x Sen x C x Cos x - x Sen + 4. ( )∫ +dx
1x
xe2
x
C1x
ex
++
5. ∫ dxx
xLn2
( ) C1xLnx1
++− 6. ∫−
dxx1
x2
3
( )( ) cx-12x31 2
122 ++−
7. ∫ dxex x2 ( ) C2 2x- xe 2x ++ 8. ∫ − dxex2x3 ( ) C1xe
21 2x2
++− −
9. ∫ − dxex x2 ( ) C2x2xe 2x +++− −
10. ∫ dx 3x Sen x 2 C6x Cos 721
- 12
6x Sen x-x
41 2 +
11. ∫ dy y Sec y 2 C y CosLn y Tany ++
12. ∫ dx x) Ln(Cos x Sen ( ) C x CosLn-1 x Cos +
13. ∫ dx x Cos ex ( ) C x Senx Cose21 x ++
14. ∫ dx 2x
Sen x C 2x
Cos 2x - 2x
4Sen +
15. ( )∫ dxxLn2
C2xx Ln 2x- xLn x 2 ++
16. ∫ dx x Csc x 2 Cx SenLn x Cot x- ++
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
23
17. ∫ dx x arcTan x ( )[ ] Cxx arcTan1x21 2 +−+
18. ( )dxxLn Sen∫ ( ) ( )[ ] CxLn CosxLn Sen2x
+−
19. ( )dxxLn Cos∫ ( ) ( )[ ] CxLn CosxLn Sen2x
++
20. ( ) dx 1x2 Cos x∫ + ( ) ( ) C12x Cos41
12x Sen2x
++++
21. ∫ dx x Tanx Sec x Cx Tanx SecLn -x Sec x ++
22. ∫ dx x Cos x2 Cx 2Sen- x Cos 2x x Sen x2 ++
23. dx x Csc 3∫ ( ) CCtgxCscxLnCscxCtgx21
+−+−
24. dxx1
arcTanx x2
2
∫ + ( ) Cx arcTan
21
x1Ln21
x arcTanxx arcTan 22 +++−−
Integración de Potencias del Seno y el Coseno Caso 1 n nSen (u)du ó Cos (u)du∫ ∫ ; donde n es un entero Impar
Se descompone n en (n – 1) y 1 ;para el exponente par (n–1) se usa la fórmula Sen2(x) = 1–Cos2(x) ó Cos2(x) = 1–Sen2(x) y la función trigonométrica elevada al exponente 1 se agrupa con el diferencial.
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular ∫ 5Sen (x) dx
∫ 5Sen (x) dx
Observe que:
( )
( )
= ⋅
⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦
⇒ ⇒
= − ⋅
= − ⋅
= − + −
= − + − +
∫∫
∫∫∫ ∫ ∫
22
22
22
2 4
2 4
3 5
Sen (x) Sen(x) dx
1-Cos (x) Sen(x) dx
Hagamos el siguiente cambio de variable Sea Cos(x)=u -Sen(x)dx = du Sen(x)dx = -du
1-u du
(1-2u -u ) du
du 2 u du u du
2 1u u u C
3 5Volviendo
= − + − +3 5
a la variable inicial x tenemos2 1
Cos (x) Cos (x) Cos (x) C3 5
Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular ∫ 3Cos (3x) dx
∫ 3Cos (3x) dx
Observe que: 2
2
Cos (3x) Cos(3x) dx
1-Sen (3x) Cos(3x) dx
= ⋅
⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦
∫∫
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
24
( )2
2
3
3
Hagamos el siguiente cambio de variable dv
Sea Sen(3x)=v 3Cos(3x)dx = dv Cos(3x)dx = 3
dv1-v
31
dv v dv31 v
v C3 3
Volviendo a la variable inicial x tenemos
1 1Sen(3x) Sen (x) C
3 3
⇒ ⇒
= ⋅
⎡ ⎤= −⎣ ⎦
⎡ ⎤= − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
∫ ∫
Caso 2 n nSen (u)du ó Cos (u)du ∫ ∫ donde n es un entero par
Se usan la fórmulas: 2Sen (x) = ½ 1 - Cos(2x)⋅ ⎡ ⎤⎣ ⎦ 2Cos (x) = ½ 1 + Cos(2x)⋅ ⎡ ⎤⎣ ⎦
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular ∫ 2 xCos ( ) dx
2
∫ 2 xCos ( ) dx
2
( )
( )
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
=
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
∫
∫
∫ ∫
11+Cos(x) dx
2
11+Cos(x) dx
21
dx+ Cos(x)dx 2
( )
( )
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
=
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
= ⎡ ⎤⎣ ⎦
∫
∫
∫ ∫
11+Cos(x) dx
2
11+Cos(x) dx
21
dx+ Cos(x)dx 21
x+Sen(x) +C 2
Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular ∫ 4Sen (3x) dx
∫ 4Sen (3x) dx
( )
22
2
Sen (3x) dx
11-Cos(6x) dx
2
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
∫
( )211-Cos(6x) dx (A)
4d
Sea 6x= 6dx=d dx= sustituyendo en (A) se tiene6
=
θθ ⇒ θ ⇒
∫
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
25
( )
( )
2
2
1 d1-Cos( ) (A)
4 61
1-2Cos( )+Cos ( ) d24
θ= θ
= θ θ θ
∫
∫
21d -2 Cos( )d + Cos ( )d
241 1
d -2 Cos( )d + 1+Cos(2 ) d24 2
1 1 1d -2 Cos( )d + d Cos(2 )d
24 2 2
Sea 2 = 2d =d d
1 1d -2 Cos( )d +
24
⎡ ⎤= θ θ θ θ θ⎣ ⎦
⎡ ⎤= θ θ θ θ θ⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥= θ θ θ θ + θ θ⎢ ⎥⎣ ⎦
θ α ⇒ θ α ⇒ θ
= θ θ θ
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
1 dd Cos( )
2 2 2
1 1 1d -2 Cos( )d + d Cos( )d
24 2 4
1 3 1d -2 Cos( )d Cos( )d
24 2 4
1 3 1-2Sen( )+ Sen( ) C
24 2 4
Quitando la variable
1 3 1-2Sen( )+ Sen(2 ) C
24 2 4
Quitando
α⎡ ⎤θ + α⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= θ θ θ θ + α α⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= θ θ θ + α α⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= θ θ α +⎢ ⎥⎣ ⎦
α
⎡ ⎤= θ θ θ +⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
la variable
1 3 16x-2Sen(6x)+ Sen(2 6x) C
24 2 4
θ
⎡ ⎤= ⋅ +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦
= +⎡ ⎤⎣ ⎦
1 19x-2Sen(6x)+ Sen(12x) C
24 4
136x-8Sen(6x)+Sen(12x) C
48
Caso 3 n mSen (x) Cos (x)dx;⋅∫ donde al menos uno de los exponentes es impar (m ó n) es impar
La solucion a este metodo es similar al metodo utilizado en el Caso 1
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular ∫ 4 3Cos (x)Sen (x) dx
∫ 4 3Cos (x)Sen (x) dx
4 2
4 2
Cos (x)Sen (x)Sen(x)dx
Cos (x) (1-Cos (x)) Sen(x)dx
=
= ⋅ ⋅
∫∫
4 2
Haciendo Cos(x)=u Sen(x)dx=du Sen(x)dx=-du
u (1-u ) du
⇒ − ⇒
= − ⋅∫
4 6
4 6
(u -u ) du
u du u du
= − ⋅
= − +
∫∫ ∫
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
26 5 7
5 7
u uC Quitando el cambio se tiene
5 71 1=- Cos (x) Cos (x) C5 7
= − + +
+ +
Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular ∫ 5 4Cos (x)Sen (x) dx
∫ 5 4Cos (x)Sen (x) dx
( )( )
=
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⎣ ⎦⇒
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
=
=
= − +
= − +
∫∫∫
∫∫∫∫ ∫ ∫
4 4
24 2
24 2
24 2
4 2 4
4 6 8
4 6 8
5 7 9
Sen (x)Cos (x)Cos(x)dx
Sen (x) Cos (x) Cos(x)dx
Sen (x) 1-Sen (x) Cos(x)dx
Haciendo Sen(x)=u Cos(x)dx=du
u 1-u du
u 1-2u +u du
u -2u +u du
u du 2 u du u du
u 2u uC
5 7 9Quitando el
+ +5 7
cambio se tiene1 1=- Cos (x) Cos (x) C5 7
Ejemplo Ilustrativo 3 Calcular Sen(5x) Cos(2x)dx⋅∫
Usando la fórmula Sen(mx) Cos(nx) = ½ Sen (m-n) x + ½ Sen (m+n) x⋅ ⋅ ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ se tiene que: Sen(5x) Cos(2x)⋅ = ½ Sen (5-2) x + ½ Sen (5+2) x
= ½ Sen(3x) + ½ Sen(7x)
⋅ ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Asi la integral original se convierte en:
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
27 Sen(5x) Cos(2x)dx⋅∫
= ½ Sen(3x) + ½ Sen(7x) dx
= ½ Sen(3x)dx + ½ Sen(7x)dx
Cambiando variables 3x=u 7x=v3dx=du 7dx=dv
du dvdx= dx=
3 7du dv
= ½ Sen(u) + ½ Sen(v)3 7
1 1= Sen(u)du+ Sen(v)dv
6 141 1
Cos(u) Cos(v) C6 14
⎡ ⎤⎣ ⎦
= − − +
= −
∫∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
1 1Cos(3x) Cos(7x) C
6 141
7Cos(3x) 3Cos(7x) C42
− +
= − + +⎡ ⎤⎣ ⎦
Caso 4 n mSen (x).Cos (x)dx∫ donde m y n son numeros pares
La solucion a este metodo es similar al metodo utilizado en el Caso 2
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 2 2Sen (x) Cos (x)dx⋅∫
2 2Sen (x) Cos (x)dx⋅∫
2
2
1-Cos(2x) 1+Cos(2x)dx
2 2
11-Cos(2x) 1+Cos(2x) dx
41
1-Cos (2x) dx41
Sen (2x)dx4
1-Cos(4x)1dx
4 2
11-Cos(4x) dx
81
dx- Cos(4x)dx8
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
=
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
= ⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
Para la segunda integral usamos el cambio 4x u4dx du
dudx
4
==
=
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
28 1 du
dx- Cos(u)8 4
1 1dx- Cos(u)du
8 32
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
=
∫ ∫
∫ ∫
1 1x Sen(u) C
8 321 1
x Sen(4x) C8 321
4x Sen(4x) C32
= − +
= − +
= − +⎡ ⎤⎣ ⎦
Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 4 2Sen (x) Cos (x)dx⋅∫
4 2Sen (x) Cos (x)dx⋅∫ 2
2
2
2 2 3
2 3
1-Cos(2x) 1+Cos(2x)dx
2 2
11-Cos(2x) 1+Cos(2x) dx
81
1-2Cos(2x)+Cos (2x) 1+Cos(2x) dx81
1+Cos(2x)-2Cos(2x)-2Cos (2x)+Cos (2x)+Cos (2x) dx81
1-Cos(2x)-Cos (2x) Cos (2x8
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⋅ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
= +
∫
∫
∫
∫
( )
2 2
2
) dx
11-Cos(2x)-Cos (2x) Cos (2x) Cos(2x) dx
81+Cos(4x)1
1-Cos(2x)- 1 Sen (2x) Cos(2x) dx8 2
11-Cos(2x)
8
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤= + ⋅⎣ ⎦
⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦
=
∫
∫
∫Cos(4x)1
- Cos(2x)2 2− + 2
2
2
2
Sen (2x) Cos(2x) dx
Cos(4x)1 1Sen (2x) Cos(2x) dx
8 2 2
Cos(4x)1 1dx dx Sen (2x) Cos(2x)dx
8 2 2
1 1 1dx Cos(4x)dx Sen (2x) Cos(2x)dx
16 16 8
⎡ ⎤− ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= − − ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= − − ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦
= − − ⋅
∫
∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Usemos los siguientes cambios de variable
4x u4dx du
dudx
4
==
=
Sen(2x) v2Cos(2x)dx dv
dvCos(2x)dx
2
==
=
2
2
1 1 du 1 dvdx Cos(u) v
16 16 4 8 21 1 1
dx Cos(u)du v dv16 64 16
= − − ⋅
= − −
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
3
3
1 1 1 vx Sen(u) C
16 64 16 31 1 1
x Sen(4x) Sen (2x) C16 64 48
= − − +
= − − +
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
29 31
12x 3Sen(4x) 4Sen (2x) C192
⎡ ⎤= − − +⎣ ⎦
EJERCICIOS PROPUESTOS
Integral Respuesta
1. dx x Cos x Sen4∫ C x Sen51 5 +
2. dx 4x Sen 4xCos3∫ C 4x Cos161 4 +−
3. dx 2x
Cos2∫ ( ) C x Senx21
++
4. dx xSen2∫ C 2
2x Sen-x
21
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
5. dx xSen3∫ C x Cos- x Cos31 3 +
6. dx x Cos x Sen 32∫ C x Sen51
- x Sen31 53 +
7. dx 3x Sen 4x Cos∫ C x Sen - 7x Sen71
21
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
8. dy 5y Cos 3y Sen∫ C 8y Cos41
2y Cos41
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
9. dt 3t Cos t3 Sen 22∫ C 12t Sen121
-t81
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
10. dt2t Sen
2t Cos4∫ C 2t Csc
61 3 +−
11. dx x Cos
x Sen2
3
∫ C x Secx Cos ++
12. ( ) dt 2t Sen- 3t Sen2
∫ C 6t Sen121
- 5t Sen51
4t Sen81
- t Sent ++−
13. dx x Cos x Sen 25∫ C x Cos71
- x Cos32
x Cos31 753 ++−
14. dy ySen6∫ C 4y Sen643
2y Sen481
2y Sen41
y165 3 +++−
15. dx xCos4∫ C 4x Sen321
2x Sen41
x83
+++
16. dz zSen4∫ C 4z Sen321
2z Sen41
z83
++−
17. ( ) dt t Cos t Sen2
2∫ + C 4t Sen321
t Sen 32
t87 3 +++
18. ( ) dt y Sen- 22
∫ C 2y Sen41
-y 4Cosy29
++
19. dx 3x Sen
3xCos3
3
∫ C 3x Sen41
- 3x Sen21 3
83
2+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
30
20. dx xSen4∫ C 4x Sen321
2x Sen41
x83
++−
Integración de Potencias de la Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante
Caso1 n nTg (u)du ó Ctg (u)du∫ ∫ donde n es un entero positivo
Se desarrolla:
n (n-2) 2
n (n-2) 2
Tg (u) = Tg (u) Tg (u)
Tg (u) = Tg (u) Sec (u) - 1
Se usa el cambio de variable Tg(u) = z
⋅
⎡ ⎤⋅ ⎣ ⎦ ó
n (n -2) 2
n (n-2) 2
Ctg (u) = Ctg (u) Ctg (u)
Ctg (u) = Ctg (u) Csc (u) - 1
Se usa el cambio de variable Ctg(u) = z
⋅
⎡ ⎤⋅ ⎣ ⎦
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 4Tg (x)dx∫
4Tg (x)dx∫
( )
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
Tg (x)Tg (x)dx
Tg (x) Sec (x)-1 dx
Tg (x) Sec (x)-Tg (x) dx
Tg (x) Sec (x)- Sec (x)-1 dx
Tg (x) Sec (x)-Sec (x)+1 dx
Tg (x) Sec (x)dx- Sec (x)dx+ dx
Siendo Tg(x)=u Sec (x)dx=du
u du- S
=
⎡ ⎤= ⋅ ⎣ ⎦⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦
= ⋅
⇒
=
∫∫∫∫∫∫ ∫ ∫
2
3
3
ec (x)dx+ dx
uTg(x) x C
31
Tg (x)-Tg(x)+x+C3
= − + +
=
∫ ∫ ∫
Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 3Ctg (x)dx∫
3Ctg (x)dx∫ 2
2
2
2
2 2
2
2
Ctg(x) Ctg (x)dx
Ctg(x) Csc (x)-1 dx
Ctg(x) Csc (x)-Ctg(x) dx
Ctg(x) Csc (x)dx- Ctg(x)dx
Siendo Ctg(x)=u Csc (x)dx=du Csc (x)dx=-du
udu- Ctg(x)dx
uLn Sen(x) C
21
Ctg (x)-Ln Sen(x)2
= ⋅
⎡ ⎤= ⋅ ⎣ ⎦⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦
= ⋅
⇒ − ⇒
= −
= − − +⎡ ⎤⎣ ⎦
= ⎡ ⎤⎣
∫∫∫∫ ∫
∫ ∫
+C⎦
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
31 Caso 2 ( ) ( )n nSec u du ó Csc u du∫ ∫ donde n es un entero positivo par
Se desarrolla:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
n-2n 2
(n-2)/2n 2 2
Sec u = Sec u Sec u
Sec u = Tg u +1 Sec u
⋅
⎡ ⎤ ⋅⎣ ⎦ ó
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
n-2n 2
(n -2)/2n 2 2
Csc u = Csc u Csc u
Csc u = Ctg u + 1 . Csc u
⋅
⎡ ⎤⎣ ⎦
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 4Sec (2x)dx∫
4Sec (2x)dx∫ 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2
2
3
Sec (2x) Sec (2x)dx
Sec (2x) Tg (2x)+1 dx
Tg (2x) Sec (2x)+Sec (2x) dx
Tg (2x) Sec (2x)dx+ Sec (2x)dx
duSiendo Tg(2x)=u 2 Sec (2x)dx=du Sec (2x)dx=
2du du
u +2 2
1 1u du+ du
2 21 1
u u C6 21
Tg6
= ⋅
⎡ ⎤= ⋅ ⎣ ⎦⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦
= ⋅
⇒ ⋅ ⇒
=
=
= + +
=
∫∫∫∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
3 1(2x) Tg(2x) C
2+ +
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 6 xCsc dx
3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫
6 xCsc dx
3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 4 2
2
2 2
4 2 2
4 2 2 2 2
x xCsc Csc dx
3 3
x xCtg +1 Csc dx
3 3
x x xCtg 2Ctg 1 Csc dx
3 3 3
x x x x xCtg Csc 2Ctg Csc Csc
3 3 3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫
∫
∫
4 2 2 2 2
2 2
4 2
5 3
5 3
dx
x x x x xCtg Csc dx 2 Ctg Csc dx Csc dx
3 3 3 3 3
x 1 x xSiendo Ctg =u Csc dx=du Csc dx=-3du
3 3 3 3
3 u du 6 u du 3 du
3 6u u 3u C
5 33 x 6 x
Ctg Ctg5 3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ − ⋅ ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= − − −
−= − − +
− ⎛ ⎞ ⎛= −⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
x3Ctg C
3⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
32 Caso 3 ( ) ( )n nSec u du ó Csc u du∫ ∫ donde n es un entero positivo impar
En este caso se usa la Integración por Partes Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular ( )3Sec x dx∫
Tomando en cuenta la regla LIA(T)E se hace
u Sec(x)du Sec(x) Tg(x)dx== ⋅
2
2
dv Sec (x)dx
dv Sec (x)dx
v Tg(x)
=
=
=∫ ∫
Sustituyendo en la formula de integración por partes se tiene:
( )
3
3 2
3 2
3 3
3 3
Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Tg(x) Sec(x) Tg(x)dx
Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Tg (x) Sec(x)dx
Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Sec (x) 1 Sec(x) dx
Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Sec (x) dx Sec(x)dx
Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Sec
= ⋅ − ⋅ ⋅
= ⋅ − ⋅
= ⋅ − − ⋅
= ⋅ − −
= ⋅ −
∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫
3 3
3
3
(x) dx Ln Sec(x) Tg(x) C
Sec (x)dx Sec (x) dx Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) C
2 Sec (x) dx Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) C
1Sec (x) dx Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) C
2
− + +
+ = ⋅ − + +
= ⋅ − + +
⎡ ⎤= ⋅ − + +⎣ ⎦
∫∫ ∫∫
∫
Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular ( )5Csc x dx∫
Tomando en cuenta la regla LIA(T)E se hace
3
2
3
u Csc (x)
du 3Csc (x) Csc(x) Ctg(x)dx
du 3Csc (x) Ctg(x)dx
=
= − ⋅ ⋅
= − ⋅
2
2
dv Csc (x)dx
dv Csc (x)dx
v Ctg(x)
=
=
= −∫ ∫
Sustituyendo en la formula de integración por partes se tiene: ( )5Csc x dx∫
3 3 2
I1
Ctg(x)Csc (x) 3 Csc (x) Ctg (x)dx (A)= − − ⋅∫
Resolviendo I1 tenemos:
( )( )
3 2
3 2
5 3
5 3
I2
I1 Csc (x) Ctg (x)dx
I1 Csc (x) Csc (x) 1 dx
I1 Csc (x) Csc (x) dx
I1 Csc (x)dx Csc (x)dx (B)
= ⋅
= ⋅ −
= −
= −
∫∫∫∫ ∫
Observe que la primera integral es nuestra integral original y la I2 se resuelve por este mismo caso i.e. por integración por partes con el siguiente cambio de variale
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
33 u Csc(x)
du Csc(x) Ctg(x)dx
=
= − ⋅
2
2
dv Csc (x)dx
dv Csc (x)dx
v Ctg(x)
=
=
= −
∫ ∫
Por lo tanto I2 quedara como sigue
( )
3 2
3 2
3 3
3 3
3
Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Csc(x) Ctg (x)dx
Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Csc(x) Csc (x) 1 dx
Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Csc (x)dx Csc(x)dx
Csc (x)dx Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Csc(x)dx
2 Csc (x)dx Csc(x)
= − ⋅ − ⋅
= − ⋅ − ⋅ −
= − ⋅ − +
+ = − ⋅ +
= − ⋅
∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫
3
Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)
1Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)
2
+ −
⎡ ⎤= − ⋅ + −⎣ ⎦∫
Al sustituir esta integral en I1 en la expresión (B) se obtiene: 5 1
I1 Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)2
⎡ ⎤= − − ⋅ + −⎣ ⎦∫
Sustituye I1 en la expresión (A) obtenemos:
( )
( )
( )
5 3 3 2
I1
5 3 5
5 3 5
Csc x dx Ctg(x)Csc (x) 3 Csc (x) Ctg (x)dx (A)
1Csc x dx Ctg(x)Csc (x) 3 Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)
2
3 3Csc x dx Ctg(x)Csc (x) 3 Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x)
2 2
= − − ⋅
⎡ ⎤⎡ ⎤= − − − − ⋅ + −⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
= − − − ⋅ +
∫ ∫
∫ ∫
∫
( )5 5 3
5 3
5 3
Ctg(x)
3 3Csc x dx 3 Csc (x)dx Ctg(x)Csc (x) Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)
2 23 3
4 Csc (x)dx Ctg(x)Csc (x) Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)2 2
1 3 3Csc (x)dx Ctg(x)Csc (x) Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)
4 2 2
−
+ = − − ⋅ + −
= − − ⋅ + −
⎡= − − ⋅ + −⎣
∫
∫ ∫
∫
∫
5 3
C
1Csc (x)dx 2Ctg(x)Csc (x) 3Csc(x) Ctg(x) 3Ln Csc(x) Ctg(x) C
8
⎤ +⎢ ⎥⎦
⎡ ⎤= − − ⋅ + − +⎣ ⎦∫
Caso 4 ( ) ( ) ( ) ( )m n m nTg u Sec u du ó Ctg u Csc u du⋅ ⋅∫ ∫ donde n es un entero positivo par
Se desarrolla: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
n (n-2) 2
n (n-2) 2
Sec u = Sec u Sec u
Sec u = Sec u 1+Tg u
⋅
⎡ ⎤⋅ ⎣ ⎦ ó
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
n (n-2) 2
n (n-2) 2
Csc u = Csc u Csc u
Csc u = Csc u 1+Ctg u
⋅
⎡ ⎤⋅ ⎣ ⎦
Ejemplos Ilustrativos: 1.- ∫tg5xsec6x dx 2.- ∫ctg4ycsc4y dy
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular ( )4 4Tg (x)Sec x dx∫
( )4 4Tg (x)Sec x dx∫
( ) ( )( ) ( )
4 2 2
4 2 2
Tg (x) Sec x Sec x dx
Tg (x) Tg (x)+1 Sec x dx
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
∫∫
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
34 ( )
2
4 2
Sea v=Tg(x) dv=Sec (x)dx
v v +1 dv
⇒
= ⋅ ⋅∫
( )6 4
6 4
v +v dv
= v dv v dv
= ⋅ ⋅
+
∫∫ ∫
7 5
7 5
1 1= v + v C
7 51 1
= Tg (x)+ Tg (x) C7 5
+
+
Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular ( )5 6Ctg (x) Csc x dx⋅∫
( )5 6Ctg (x) Csc x dx⋅∫
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )
25 2 2
25 2 2
2 2
25 2
5 4 2
9 7 5
9 7 5
10 8 6
10 8
Ctg (x) Csc x Csc x dx
Ctg (x) Ctg (x)+1 Csc x dx
Sea v=Ctg(x) dv=-Csc (x)dx dv=Csc (x)dx
v v +1 dv
v v +2v 1 dv
v +2v v dv
= v dv 2 v dv v dv
1 1 1= v + v + v C
10 4 61 1 1
= Ctg (x)+ Ctg (x)+ C10 4 6
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
⇒ ⇒ −
= − ⋅ ⋅
= ⋅ + ⋅
= + ⋅
+ +
+
∫∫
∫∫∫∫ ∫ ∫
6tg (x) C+
Caso 5 ( ) ( ) ( ) ( )m n m nTg u Sec u du ó Ctg u Csc u du ⋅ ⋅∫ ∫ donde n es un entero positivo impar
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular ( )5 5Ctg (x) Csc x dx⋅∫
( )5 5Ctg (x) Csc x dx⋅∫
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
4 4
22 4
4 2 4
4 2 4
8 6 4
8
C tg (x) Csc x Ctg(x) Csc x dx
Csc (x) 1 Csc x C tg(x) Csc x dx
Csc (x) 2Csc (x) 1 Csc x Ctg(x) Csc x dx
Sea v=Csc(x) dv=-Csc(x) C tg(x)dx dv=Ctg(x) Csc(x)dx
v 2v 1 v dv
v -2v v dv
=- v dv
= ⋅ ⋅ ⋅
⎡ ⎤= − ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦⎡ ⎤= − + ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦
⇒ ⋅ ⇒ − ⋅
= − + ⋅ ⋅ −
= − + ⋅
∫∫∫
∫∫∫ 6 4
9 7 5
9 7 5
2 v dv v dv
1 2 1= v + v v C
9 7 51 2 1
= Csc (x)+ Csc (x) Csc (x) C9 7 5
+ −
− − +
− − +
∫ ∫
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
35 Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular ( )5 7Tg (x) Sec x dx⋅∫
( )5 7Tg (x) Sec x dx⋅∫
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )
4 6
22 6
4 2 6
4 2 6
10 8 6
10 8 6
11 9
Tg (x) Sec x Tg(x) Sec x dx
Sec (x) 1 Sec x Tg(x) Sec x dx
Sec (x) 2Sec (x) 1 Sec x Tg(x) Sec x dx
Sea =Sec(x) d =Sec(x) Tg(x)dx
2 1 d
-2 d
= d 2 d d
1 2 1=
11 9
= ⋅ ⋅ ⋅
⎡ ⎤= − ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦⎡ ⎤= − + ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦θ ⇒ θ ⋅
= θ − θ + ⋅ θ ⋅ θ
= θ θ + θ ⋅ θ
θ θ − θ θ + θ θ
θ − θ +
∫∫∫
∫∫∫ ∫ ∫
7
10 9 7
C7
1 2 1= Sec (x)- Sec (x)+ Sec (x) C
11 9 7
θ +
+
Caso 6 ( ) ( ) ( ) ( )m n m nTg u Sec u du ó Ctg u Csc u du∫ ∫ donde m es un entero positivo par y n es
un entero positivo impar. El integrando se puede expresar en términos de potencias impares de la secante o la cosecante y luego se aplica integración por partes como en el Caso 3
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular ( )2 3Tg (x) Sec x dx⋅∫
( )2 3Tg (x) Sec x dx⋅∫
( )( )
( )
2 3
2 3
5 3
5 3
I1 I2
Tg (x) Sec x dx
Sec (x) 1 Sec x dx
Sec (x) Sec x dx
Sec (x)dx Sec (x)dx (A)
= ⋅
⎡ ⎤= − ⋅⎣ ⎦⎡ ⎤= − ⋅⎣ ⎦
= −
∫∫∫∫ ∫
I2 fue resuelta en el ejemplo ilustrativo 1 del caso 3 y cuyo resultado es: 3 1
Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) (B)2⎡ ⎤= ⋅ − +⎣ ⎦∫
Debemos resolver ahora I1 5Sec (x)dx∫ la que se resuelve por integración
por partes Tomando en cuenta la regla LIA(T)E se hace
3
2
3
u Sec (x)
du 3Sec (x) Sec(x) Tg(x)dx
du 3Sec (x) Tg(x)dx
=
= ⋅ ⋅
= ⋅
2
2
dv Sec (x)dx
dv Sec (x)dx
v Tg(x)
=
=
=∫ ∫
Sustituyendo en la fórmula de integración por partes se tiene:
5 3 2 3Sec (x)dx Tg(x) Sec (x) 3 Tg (x)Sec (x)dx (C)= ⋅ −∫ ∫
Resolviendo 2 3Tg (x)Sec (x)dx∫
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
36
( )2 3 2 3
2 3 5 3
2 3 5 3
Tg (x)Sec (x)dx Sec (x) 1 Sec (x)dx
Tg (x)Sec (x)dx Sec (x) Sec (x) dx
Tg (x)Sec (x)dx Sec (x)dx Sec (x)dx (D)
= − ⋅
⎡ ⎤= −⎣ ⎦
= −
∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫
Sustituyendo (D) en (C) tenemos
( )
( )
5 3 5 3
5 3 5 3
5 3 3
5 3 3
Sec (x)dx Tg(x) Sec (x) 3 Sec (x)dx Sec (x)dx
Sec (x)dx Tg(x) Sec (x) 3 Sec (x)dx 3 Sec (x)dx
4 Sec (x)dx Tg(x) Sec (x) 3 Sec (x)dx
1Sec (x)dx Tg(x) Sec (x) 3 Sec (x)dx (E)
4
= ⋅ − −
= ⋅ − +
= ⋅ +
= ⋅ +
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
Sustituyendo (B) en (E) tenemos
5 31 3Sec (x)dx Tg(x) Sec (x) Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) (F)
4 2⎛ ⎞⎡ ⎤= ⋅ + ⋅ − +⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠∫
seguidamente ya para concluir sutituimos (B) y (F) en (A) ( )2 3Tg (x) Sec x dx⋅∫ 31 3
Tg(x) Sec (x) Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x)4 2⎛ ⎞⎡ ⎤= ⋅ + ⋅ − + −⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠
1
Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x)2⎡ ⎤⋅ − +⎣ ⎦
31 3 3 1Tg(x) Sec (x) Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) Sec(x) Tg(x)
4 8 8 2= ⋅ + ⋅ − + − ⋅
1
Ln Sec(x) Tg(x)2
+ +
31 1 1Tg(x) Sec (x) Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) C
4 8 8= ⋅ − ⋅ + + +
312 Tg(x) Sec (x) Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) C
8⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − ⋅ + + +⎣ ⎦
( )2 3 31Tg (x) Sec x dx 2 Tg(x) Sec (x) Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) C
8⎡ ⎤⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ + + +⎣ ⎦∫
Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 2Ctg (x) Csc(x)dx⋅∫
2Ctg (x) Csc(x)dx⋅∫
2
3
I1 I2
Csc (x) 1 Csc(x)dx
Csc (x)dx Csc(x)dx
⎡ ⎤= − ⋅⎣ ⎦
= −
∫∫ ∫
I1 se resolvio dentro del ejemplo ilustrativo 2 del caso 3 de este apartado por favor vease linea (B) y siguientes para ver que su resultado es:
3 1Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)
2⎡ ⎤= − ⋅ + −⎣ ⎦∫
I2 es una integral directa definida en el formulario de integrales como la número 25 por lo cual nuestra integral original quedará como sigue
1Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)
2⎡ ⎤= − ⋅ + − − −⎣ ⎦
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
37 1 1
Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)2 21 1
Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x) C2 2
= − ⋅ + − − −
= − ⋅ − − +
EJERCICIOS PROPUESTOS
Integral Respuesta
1. ∫ dx x Tan3 C x CosLn x Tan21 2 ++ 2. ∫
+2u
Sec1
du
C 4u
2Tan - u +
3. dx 2x Cot x 22∫ C x21
- 2x Cot41 22 +− 4. ∫ dx
x Tan
x Sec4
3
C x Csc31 3 +−
5. dx 2x Csc 2x Cot3∫ C 2x Csc61
- 2x Csc21 3 + 6. dw
w Cos
w Sen4
2
∫ C w Tan31 3 +
7. dt t Cot3∫ C t SenLn- t Cot21 2 +− 8. dy
y Sen
y Cos 6
4
∫ C y Cot51
- 5 +
9. dx 4x
Csc4∫ C 4x
4Cot- 4x
Cot34 3 +− 10. ∫ dx 5x Tan2 C x- 5x Tan
51
+
11. ∫ dx x Sec4 C x Tanx Tan31 3 ++
12. ∫ dz z Sec z Tan 25
3 C z Sec52
-z Sec92 2
52
9+
13. ∫ dx x Sec x Tan 46 C x Tan91
x Tan71 97 ++
14. ( )∫ + dx 2x Cot 2x Tan 2 ( ) C 2x Cot2x Tan21
+−
15. ( )∫ + dx 2x Cot2x Cot 42 C 2x Cot61 3 +−
16. dw w Cos
1- w Sen 22∫ C w Tan-w 2Sec +
17. 2x Cos 2x Sen
dx 42∫ C 2x Cot
21
-2x Tan61
2x Tan 3 ++
18. dx 3x Csc 3x Cot 42∫ C 3x Cot151
- 3x Cot91 53 +−
19. ( )∫ dx e Tane x4x C ee Tane Tan31 xxx3 ++−
20. ∫ dx 3x Tan5 C x3 Sec Ln31
3x Tan61
-3x Tan121 24 ++
21. ( ) ( )
∫ dx x
xLnSec xLnTan 63
( ) ( ) ( ) CxLnTan81
xLnTan31
xLnTan41 864 +++
22. ∫ dx 3x Tan6 C x-3x Tan31
3x Tan91
-3x Tan151 25 ++
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
38
23. ∫ dy 3y Tan4 Cxx Tan-x Tan31 3 ++
24. dx x Csc3∫ Cx Cot -x CscLn21
x Cot x Csc21
++−
25. dx x Cos
xSen
211
23
∫ C x Tan92
x Tan52 2
92
5++
Integración Por Sustitución Trigonométrica
Se usa para resolver integrales con expresiones que contienen 22 ua − , 22 ua + , 22 au − 22 ua − , 22 ua + , 22 au − , el método mas corto para integrar dichas expresiones es efectuar un
cambio de variable trigonométrico como se indica a continuación.
Para 22 ua − se hace u = a senθ para lo que 22 ua − = a cos θ
Para 22 ua − se hace u = a senθ para lo que 22 ua − = a2 cos2 θ
Para 22 ua + se hace u = a tgθ para lo que 22 ua + = a sec θ
Para 22 ua + se hace u = a tgθ para lo que 22 ua + = a2 sec2 θ
Para 22 au − se hace u = a secθ para lo que 22 au − = a tg θ
Para 22 au − se hace u = a secθ para lo que 22 au − = a2 tg2 θ
Ejemplos Ilustrativos: 1.- ∫− 49x4
dx2
2.- ∫ + 22 1) (4x
8dx
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 2 2
dx
x a−∫
2 2
dx
x a−∫
( )
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
Sea x aS ec( ) dx aS ec( )T an( )d
Como x aS ec( ) x a S ec ( )aS ec( )T an( )d
a Sec ( ) a
aS ec( )T an( )d
a Sec ( ) 1
aS ec( )T an( )d
a Tan ( )
a
= θ ⇒ = θ θ θ
= θ ⇒ = θθ θ θ
=θ −
θ θ θ=
⋅ θ −
θ θ θ=
⋅ θ
=
∫
∫
∫
S ec( )T an( )θ θ d
a
θ
T an( )θ
S ec( )d
L n S ec( ) T an( ) C
= θ θ
= θ + θ +
∫
∫
Para volver a la variable inicial trabajamos con nuestro cambio de variable
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
39
h xS ec( )
ca aθ = =
2 2x aT an( )
a−
θ = y como x
S ec ( )a
θ =
Así nuestra integral original quedara como:
2 2
2 2
2 2
2 2
L n S ec( ) T an( )
x x aL n C
a a
x x aL n C
a
L n x x a L n a C
L n x x a k donde k= L n a C
= θ + θ
+= + +
+ += +
= + + − +
= + + + − +
2 2
2 2
dxL n x x a k
x a= + + +
−∫
Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 2
8dx4x 1+∫
2
8dx4x 1+∫
( )22 2Observemos que 4x 1 2x 1+ = +
dzSea 2x=z 2dx=dz dx
2⇒ ⇒ = asi nuestra integral original queda
2 2
2 2
2 2
8dx(2x) 1
dz8
2z 1
dz4
z 1
=+
=+
=+
∫
∫
∫
Haciendo el cambio de variable 2z Tg( ) dz Sec ( )d= β ⇒ = β β
θCa=a
h = x ( ) ( )( )
2 22
22 2
2 2
h Co Ca
x Co a
Co x a
= +
= +
= −
Co
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
40 2
2
2
Sec ( )d4
Tg ( ) 1
Sec ( )4
β β=
β +
β=
∫
2
d
Sec ( )
β
β
4 d= β
∫
∫
4 C= β + Para volver a la variable inicial trabajamos con nuestro cambio de variable
1
1
Tg( ) z Tg (z)y como z=2x entonces
Tg (2x)
−
−
β = ⇒ β =
β =
Así nuestra integral original quedara como: 14Tg (2x) C−= +
12
8dx4Tg (2x) C
4x 1−= +
+∫
Ejemplo Ilustrativo 3 Calcular 2
2
3 xdx
x−
⋅∫
2
2
3 xdx
x−
⋅∫
( )
( )
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Se hace x 3Sen( ) dx 3Cos( )d
Como x 3Sen( ) x 3S en ( )
3 3S en ( ) 3Cos( )d
3S en ( )
3 1 S en ( ) 3Cos( )d
3S en ( )
3 1 S en ( ) 3Cos( )d
3S en ( )
3 C os ( ) 3Cos( )d
3S en ( )
3 3 C os ( ) Cos( )d
3S en
= α ⇒ = α α
= α ⇒ = α
− α ⋅ α α=
α
− α ⋅ α α=
α
⋅ − α ⋅ α α=
α
⋅ α ⋅ α α=
α
⋅ α ⋅ α α=
∫
∫
∫
∫
( )2
2
( )
3
α
=
∫
C os( ) Cos( )d
3
⋅ α ⋅ α α
( )
2
2
2
2
2
2
S en ( )
C os ( ) dS en ( )
Ctg ( ) d
Csc ( ) 1 d
Csc ( ) d d
Ctg( ) C
α
α ⋅ α=
α
= α ⋅ α
= α − ⋅ α
= α ⋅ α − α
= − α − α +
∫
∫
∫∫∫ ∫
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
41 Para volver a la variable inicial trabajamos con nuestro cambio de variable
c o xS en( )
h 3α = =
2ca 3 xCos( )
h 3
−α = = y como
xS en( )
3α =
23 x
3Cos( )Ctg( )
Sen( )
−
αα = =
α x
3
23 xx−
= y 1 xSen
3− ⎛ ⎞
α = ⎜ ⎟⎝ ⎠
Así nuestra integral original quedará como:
21
Ctg( ) C
3 x xSen C
x 3−
= − α − α +
⎛ ⎞−= − − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 2
12
3 x 3 x xdx Sen C
xx 3− ⎛ ⎞− −
⋅ = − − +⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
EJERCICIOS PROPUESTOS
Integral Respuesta Integral Respuesta
1. ∫− 22 x4x
dx ( )
Cx4x4 2
12
+−
− 2. ∫+ 4xx
dx2
C4x2
xLn
21
2+
++
3. ∫− 2x25x
dx C
x
x25-5Ln
5
1 2
+−
4. ( )∫− 2
32
2
xTan4
dx x Sec C
xTan44
x Tan2
+−
5. ∫− 22 ax
dx CaxxLn 22 +−+ 6. ∫
+ 2x4
xdx Cx4 2 ++
7. ( )∫+
22
2
4x
dxx ( ) C
4x2
x
2
xarcTan
4
12
++
−
8. ∫− 2x41
dx Cx2 arcSen
2
1+
α Ca
h = 3 Co=x
( ) ( )
( ) ( )
2 22
2 2 2
2
h Co Ca
3 x Ca
Ca 3 x
= +
= +
= −
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
42
9. ∫+ 2xx4
dx Cxx42xLn 2 ++++ 10. ( )∫
−− 23
2xx45
dx C
xx459
2x2
+−−
+
11. ( )∫++ 2
3xx2
x
7e8e
dxe ( )
C7e8e9
4exx2
x
+++
+− 12. ( )∫
− 23
2 9x4
dx ( ) C9x4x
91 2
12 +−−
−
13. ∫+ 22 xax
dx C
xaa
xLn
a
122
+++
14. ∫+− x2x3
dx2
C2
1x arcSen +
−
15. ( )
∫−
+dx
x4
1x2
C2x
arcSenx4 2 +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−− 16. ∫
− 22 ax x
dx C
a
x arcSec
a
1+
17. ∫− 2x52
dx C2
5x arcSen5
1+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ 18. ( )∫
− 23
22 xa
dx C
xaa
x222
+−
19. ∫− θCos2
θd θSen2
C2
θ Cos arcCos +⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ 20. ∫
−dx
x25
x6
2
C5
x arcSen
3
1 3
+
21. ( )∫ + 2x94
dx C
x94
x3Ln
4
12
++
22. ∫− 22 x5 x
dx C
x5x5 2
+−
−
23. ∫+ 2x9 x
dx C
3x9x
Ln2
+++
24. ∫− 4wLnw
wdwLn2
3
( ) C4wLnwLn831 22 +−+
25. ∫+ 25tt
dt24
CtLn5
2525tLn
5
1 4 +−−+
26. ∫−
dxx
x4 2
Cx4x
x4-2Ln2 2
2
+−+−
27. dx x9
x2
2
∫−
C3
x arcSen
2
9x9 x
2
1 2 +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−−
28. ∫− 9x x
dx23
C3x
arcSec541
x8
9x
2
2
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−
Integrales que contienen ax2+bx+c (Completación de Cuadrados)
1.- 2
xdx
x 4x 8+ +∫ 2.-
x
2x x 3/2
e dx
(e + 8e + 7)∫ 3.- 2
(y 1)dy
5 12y 9y
+
+ −∫
EJERCICIOS PROPUESTOS
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
43
Integral Respuesta Integral Respuesta
1. ∫− 2x41
dx Cx2 arcSen
2
1+ 2. ∫
− 2x94
dx C
2
x3 arcSen
3
1+
3. ∫− 2xx2
dx ( ) C1x arcSen +− 4.
( )∫
−+ 2xx28
dx x-1 Cxx28 2 +−+
5. ∫+ 16x9
dx2
C4
x3 arcTan
12
1+ 6. ∫
− 16x x4
dx2
C4
x arcSec
16
1+
7. ∫++ 2x4x4
dx2
( ) C1x2 arcTan2
1++ 8. ∫
− 2x52
dx Cx
210
arcSen55
+
9. ∫+− 5x2x
dx2
C2
1x arcTan
2
1+
− 10. ∫
− 4r916
dr r C
4
3r arcSen
6
1 2
+
11. ( )∫+ x x1
dx Cx arcTan2 + 12. ∫
+ x2
x
e7
dxe C
7
e arcTan
7
1 x
+
13. ∫+− 2 xx
dx2
C7
1x2 arcTan
7
2+
− 14. ∫
−+ 2xx215
dx C
4
x-1 arcCos +
15. ∫− θSen4
θd θ Cos2
Cθ Sen2
θ Sen2Ln
4
1+
−+
16. ∫+ x2
x
e1
dxe ( ) Ce arcTan x +
17. ( )
∫++
+
5x4x4
dx 32x2
C2
1x arcTan
2
15x4x4Ln
4
1 2 +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++
18. ∫++ 5x4x
dx x2
( ) C2x arcTan25x4x4Ln2
1 2 ++−++
19. ∫+− 5x2x
dx x2
C5x2x1xLn5x2x 22 ++−+−++−
20. ( )
∫−
+2xx2
dx 1x ( ) Cxx21x arcSen 2 2 +−−−
21. ( )
∫+− 3x4x
dx 1-x2
C3x4x2xLn3x4x 22 ++−+−++−
23. ∫++ 5x4x
dx x2
C5x4x2xLn25x4x 22 +++++−++
24. ∫−+ 2xx45
dx x Cxx45
3
2xarcSen2 2 +−+−
−
25. ∫−− 2xx23
dx x Cxx23
2
x1 arcCos 2 +−−−
+
26. ( )
∫−−
+2xx24
dx x2 Cxx24
5
x1 arcSen 2 +−−−
+
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
44
27. ( )
∫+−
+
4x6x2
dx 1x2
C2x3x23
xLn22
52
2x3x 22
++−+−++−
28. ∫−− 8x2x
dx2
C8x2x1xLn 2 +−−+−
Integración De Funciones Racionales (Casos I Y II) Una función racional es aquella cuyo numerador y denominador son funciones racionales (la variable no está afectada por exponentes negativos o fraccionarios). Si el grado del numerador es igual o mayor al del denominador, (Fracción Impropia) esta fracción puede reducirse a una expresión mixta dividiendo el numerador entre el denominador. Por ejemplo
1 2x x
35x 3-x x
1 2x x
3x X2
22
34
++
+++=
++
+
Donde el último término de la derecha es una fracción reducida a su más simple expresión (Fracción Propia), es fácil observar que x2 + x – 3 se puede integrar inmediatamente; por lo que nuestro estudio se centrará en las fracciones propias. Caso I Los factores del denominador son todos de primer grado (lineales) y ninguno se repite.
Ejemplos Ilustrativos: ∫ −+
+dx
x2xx
3x223
Caso II Los factores del denominador son todos de primer grado (lineales) y algunos se repiten
Ejemplos Ilustrativos:: ∫ −+−
+dx
xx3x3x
1x234
3
EJERCICIOS PROPUESTOS
Integral Respuesta
Integral Respuesta
1. ∫ − 4x
dx2
C2x2x
Ln41
++−
2. ( )
∫ −−
−
x2xx
dx 2x423
( )
C1x
x2xLn
2
2
++
−
3. ∫ + 23 x3x
dx C
x31
x3x
Ln91
+−+
4. ( )∫ −
−
xx
dx 3x53
2
( ) 1xx CLn 23 −
5. ( )∫ −
−
4x
dx 2x52
( ) ( )32 2x2x CLn +− 6. ( )
∫ −+ 4w7w2
dw 11-4w2
( )
1w24w C
Ln3
−+
7. ∫ −−
−+dx
x2xx
4xx223
2
( )
C1x2xx
Ln2
++−
8. ( )∫ −
−−
xx4
dx 1x2x63
2
( )
1x21x2x C
Ln41 34
−+
9. ( )∫ + 21xx
dx C
1xx
Ln1x
1+
++
+ 10.
( )( ) ( )∫ −−
−2x 1x
dx 1x2
( )C
1x2x
Ln3
+−−
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
45
11. ∫ −+dx
5x4x
x2
( ) ( )C1x5xLn61 5 −+ 12. ∫ −−
dx3x2x
x2
C1xLn41
3xLn 43
+++−
13. ∫ ++ 2e3e
dtett2
t
Ce2
e1Ln
t
t
++
+ 14. ∫ −+
+
5x4x
dx)1x(2
C1xLn41
3xLn 43
+++−
15. 2 Cos Cos
d Sen 2∫ −β+β
ββ C Cos1 Cos2
Ln31
+β−β+ 16. ∫ ++ 1x2x
dxx2
2
C1x
11xLn2x +
+−+−
17. ∫ +++ 15 23x 9xx
dxx23
( ))1x(5)(x
C3x Ln
81
5
6
+++ 18.
( )( ) ( )∫ −−
−2x 1x
dx 1x2 ( )
2
3
1)-(x
C2x Ln
−
19. ( ) ( )∫ ++ 1x 1x
dx 2
( )CxarcTan
21
1x
1x Ln
41
2
2
+++
+
20. ∫ ++
+dx
x3x8x4
3x423
( ) ( )
Cx
3x2 1x2 Ln
21
2+
++−
21. ∫ −
++dx
xx4
1x2x43
23
( ) ( )
Cx
1x2 1x2 Ln
21
x2
2
+−+
+
22. ( )( ) ( )∫ +−
+2
2
1x 1x
dx x5x3 ( ) ( ) C
1x1
1x 1x Ln 2 ++
−−+
23. ( )∫ + 22 1xx
dx C
1x1
x1
x1x
Ln 2 ++
−−+
24. ( )∫ −dz
1z
z3
2
( ) ( )C
1z2
11z
21zLn
2+
−−
−−−
25. ( )( ) ( )∫ ++
−−2
2
1x 3x2
dx 7x3x C3x2Ln
21
1xLn 1x
3++−++
+
26. ( )∫ +
−23
4
y2y
dy 8y Cy2yLn2
y4
y22y 2
2
++++−
27. ∫ −
−+dx
x4x
8xx3
45
( )
( )C
2x
2x xLnx4
2x
3x
3
5223
++
−+++
28. ∫ −−+ 2xx2x
dx423
( )( )
C2xLn3
16
1x
1x Ln
61
x22x
3
2
++++
−+−
29. ( ) ( )∫ −− 21x 2x
dx C
1x2x
Ln1x
1+
−−
+−
30. ∫ +−
−
x4x4x
dx)8x(23
Cx
2xLn2
2x3
+−
+−
31. ( )∫ +
+31xx
2)dx(3x C
1xx
Ln2)1x(2
3x42
++
++
+
32. ( ) ( )∫ ++ 22
2
4x2x
dx x C
2x4x
Ln28x6x
12x52
+++
+++
+−
33. ( )∫−
+dz
4z
13z22
( ) ( ) C
2z2z
Ln321
2z167
2z165
+−+
+−
−+
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
46
34. ∫ +−+
+−−+dx
3x5xx
17x4x5x3x23
234
C3x2xLn1x
3x2x
21 22 +−+−
−−+
35. ∫ ++−−
+++−dx
4x4x11x6x9
17x52x30x24234
23
( ) ( ) ( ) C1x
32x33
11x2x3Ln 23
2+
−−
+−−+−
Integración De Funciones Racionales (Casos III y IV) Caso III Los factores del denominador son lineales y/o cuadráticos y ninguno de los factores cuadráticos se repite.
Ejemplos Ilustrativos: ∫ + x4x
4dx3
Caso IV Los factores del denominador son lineales y/o cuadráticos y algunos de los factores cuadráticos se repiten
Ejemplos Ilustrativos:( )
( )∫+
++22
3
1x
dx3 x 2x
EJERCICIOS PROPUESTOS
Integral Respuesta
Integral Respuesta
1. ∫ + xx2
dx3
1x2
x CLn
21
2
2
+ 2.
( )∫ +
+
x3x
dx 6x43
2
( ) C3xx Ln 22 ++
3. ( ) ( )∫ ++ 22 1x 1x
dx x2 C x arcTan
1x1
+++
4. ∫ + 24 zz
dz C z arcTan
z1
+−−
5. ( )( ) ( )∫ +−
−−
4t 2t
dt 8t8t22
2
C2t4t
Ln 22
+−+
6. ( )∫ + 1xx
dx 2
C 1x
xLn
2+
+
7. ∫ ++
+++dz
2y3y
2y2yy224
23
C y arcTan2yLn 2 +++ 8. ∫ − 1x
dxx 3
5
( )[ ] C1xLnx31 33 +−+
9. ( ) ( )∫ +−−dx
5x2x 1x
3-3x-x22
2
( )
( ) C2
1xarcTan
21
1x5x2x
Ln2
32
+−
+−+−
10. ∫ ++ 8x6x
dx 6)-x(24
3
( )
C2
xarcTan
2
32x
arcTan23
2x
4xLn
2
2
−++
+
11. ∫ + 1x
dx 3
( )
C3
1x2arcTan
3
1
1x-x
1xLn
61
2
2
+−
++
+
12. ∫ +++ 4x4xx
7)dx-3x (23
( )( )
C2x
arcTan21
1x
4xLn
2
2
+++
+
13. ∫ ++ xxx
dx 23
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−
++ 3
1x2 arcTan
3
1
1xx
x CLn
21
2
2
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
47
14. ( )( ) ( )∫ ++
++
1t 1t2
dt 1tt2
2
( ) ( ) C t arcTan32
1t2 1tLn101 32 ++++
15. ∫ ++
+−dx
xx2x
2xx235
2
( )1x2
x-x arcTan
21
1x
x CLn
22
2
+−
+
16. ∫ + 1x
dx 44
Cx1
x2arcTan2
1x2x
1x2xLn
2
122
2
+−
++−
++
17. ( )∫+
−+dx
2x
1xx22
3
( ) C2
xarcTan
24
12xLn
)2x(4
x2 21
22
+−+++
−
18. ( ) ( )∫
+−
−dx
1x 1x
8x4222
2
( ) ( )
( )CxarcTan
1x
1xLn
1x 1x
1x32
2
2
2
+++
−+
+−
−
19. ( ) ( )∫+−−
2222 1xx xx
dx C
)1xx(3
1x2
3
1x2 arcTan
33
10x
1x Ln
2+
+−
−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−
−
20. ∫ −1x16
dx4
C x2 arcTan41
1x21x2
Ln81
+−+−
21. ( )∫+
22 9z4
18dz C
9z4
z32z
arcTan61
2+
++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
22. ∫ −1x
dx 44
C x arcTan 21x1x
Ln +−+−
23. ∫ −
−+dx
1x27
1x2x3
2
C3
1x6 arcTan
39
51x3Ln
812
1x3x9Ln1625 2 +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++−−++
24. ( ) ( )∫ +−−+
dx4x 3x2
10xx2
2
C 2x
arcTan 3x24x
Ln21 2
++−+
25. ( )∫+
22
5
4t
dt t ( ) C
4t
84tLn4
2t
22
2
++
−+−
26. ( )( )∫
+
+22
3
1x
dx 3xx ( ) C
1x
11xLn
21
22 +
+−+
27. ∫ +
−dx
x9x4
18x3
C 3x2
arcTan 61
x
9x4Ln
2
2
+++
28. ( )∫+
22
4
1x
dxx C
)1x(2
x x arcTan
23
x2
++
+−
29. ( )∫+
22 1x
dx C x arcTan
1x
121
2+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+
+
30. ∫ +−
−+−dz
5z2z
10z15zz52
23
( ) C5z2z8
1547z-2
1-z arcTan
1665
5z2zLn25
22 +
+−
++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−+−
31. ( )∫ +
+dx
xTan1
xSec 1xSec3
22
C3
1x Tan 2 arcTan
3
2x Tan1Ln
21
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −++
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
48
32. ( )
∫ −+−
+
1xxx
dx xx23
2
C x arcTan1xLn ++−
33. ∫ +
−−+dz
y9y
9y9y9y3
235
( ) C 9yLn3y 42
3
++−
34. ( )∫+
++dx
2x x
8x2x422
2
C2
xarcTan
42
2x
xLn
4x2
x2
2
2+−
++
+
35. ( )∫+
+dx
2x
x4x32
35
C)2x(Ln21
)2x(
1 222 +++
+
36. ∫ +++
++dz
)2z2z)(2z(
2z3z22
2
C 1)(z arcTan2zLn2 ++−+
Integral Definida Se lee integral de f(x) desde a hasta b Cuando has hallado el valor de la integral se dice que has evaluado la integral Sea f(x) una función definida en el intervalo [a,b], entonces la integral definida de f(x) de a y b
denotada por dx)x(fb
a∫ esta dado por: dx)x(fb
a∫ = [F(x) + C] = F(b) – F(a)
Propiedades de la integral definida
1) 0dx)x(fa
a=∫
2) ∫∫ −=a
b
b
adx)x(fdx)x(f
3) ∫∫ =b
a
b
adx)x(fkdx)x(kf
4) teck )ab(kdxkb
a=∀−=∫
5) [ ] dx (x)f dx (x)f dx (x)f dx (x) f (x)f (x)fb
an
b
a2
b
a1
b
an21 ∫∫∫∫ ±…±±=±…±±
Integrando
dx)x(fb
a∫
Signo de la Integral
Limite superior de Integración
Limite inferior de Integración
Diferencial, x es la variable de integración
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
49
6) bca tq c dx f(x) dx f(x) dx f(x)b
c
c
a
b
a<<∀+= ∫∫∫
7) )ab(máxfdx)x(f)ab(mínfb
a−≤≤− ∫ siendo el mínf y máx. el mínimo y el máximo relativo
de la función f en el intervalo [a,b]
8) a) [ ]ba, x g(x) f(x) si dx)x(g dx)x(f b
a
b
a∈∀≥≥ ∫∫
b) [ ]ba, x 0 f(x) si 0dx)x(f b
a∈∀≥≥∫
Ejemplos Ilustrativos: 1.- ( )∫ +5
1
232 dx1xx 2.- ( )∫π
+0
2dx4xcos
EJERCICIOS PROPUESTOS
Integral Respuesta
Integral Respuesta
1. ∫3
3dx 0 17. ∫
−
r
0 22 xr
dx r
2rπ
2. ( )∫ +2
1dx 5x2 8 18. ∫ −
1
0 x23
dx 13 −
3. ( )∫ +−1
0
2 dx 3x2x 7/3 19. ∫ +
2
0
3
1xdxx
8/3 - Ln 3
4. ( )∫− +1
1
2 dx 1x 8/3 20. ( )∫ −a
0
2dxxa 6
a2
5. ∫ +2
0dx 1x4 13/3 21. ( )∫
π++
0dx 1x 3Cosx 2Sen π+4
6. ∫π
0dx x Sen 2 22. ∫ +
4
0
2
1xdxx
5,6094
7. ∫π
0dx x Cos 0 23. ∫
1
0 x3e
dx 0,3167
8. ∫π
π2
42
dx x Sen
x Cos 12 − 24. ( )∫
πθθ+
02
1d 2Cos2 4
9. ∫π6
0 2dx
2x Cos
2x Sen 1/2 25. ∫
π2
0
33 dx xCos xSen 1/12
10. ( )∫ +
1
0 31x2
dx 2/9 26. ∫
π4
0
4 dx xSec 4/3
11. ( )( )∫− +−2
1dx 32x1x -3/2 27. ∫
2
1dx x Ln 1
e2
Ln2 +
12. ( )∫π
+0
2 dx 4x Cos π233
28. ∫1
0
xdxe e-1
13. ∫− ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−
2
1
2 dx 2x5x21
0 29. ∫− −a
a
22 dx xa 2a2π
14. ( )∫ −a
0
32 dx xxa 4a2
30. ∫ +
a
0 22 xa
dx
a4π
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
50
15. ∫e
0 xdx
1 31. ∫− −
9
1 2 9x
dx 5 Ln
121−
16. ∫ +
3
2 2t1
tdt2 Ln 2 32. ( )∫ +
1
0 2
x
dx1x
xe ( )2e
21
−
Longitud de Arco de una Curva Plana Def. Sea f(x) una función continua en el intervalo [a , b]. En base a la gráfica de la función y = f(x) la cual se muestra en la figura adjunta podemos establecer el arco de la función dada como la porción de la curva desde el punto A=(a ,f(a)) hasta el punto B=(b ,f(b)), al cual podemos asignar un número real como su longitud denotado por L que puede ser calculado por la fórmula Análogamente para una curva dada por x = f(y) la longitud de arco entre c y d estara dada por: Ejemplos Ilustrativos:
1.- Calcular la longitud de área de la curva x21
6x
y3
+= en el intervalo [1/2 , 2]
Resp. 33/16 u.c.
2.- Calcular la longitud de área de la curva x) Ln(cos y = entre x = 0 y 4
xπ
=
Resp. Ln(√2 + 1) – ln – 1 ≈ 0,8819 u.c. EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Calcular la longitud del segmento de la recta y = 3x desde el punto (1 , 3) al punto (1 , 6)
Resp. .c.u10 2.- Calcular la longitud del segmento de la recta 4x + 9y = 36 desde el punto (-2 , 2) al
punto (4 , 0) Resp. .c.u97 3.- Encuentre la longitud de arco de la curva 9y2 = 4x3 desde el origen hasta el punto
(3 , 32 ) Resp. .c.u314
4.- Hallar la longitud de arco de la curva 8y = x4 + 2x-2 desde el punto donde x = 1 hasta el
punto donde x = 2 Resp. .c.u1633
••
Y=f(x)
a b
y
x
A=(a ,f(a)) B=(b ,f(b))
[ ] dx)x('f1Lb
a
2∫ +=
[ ] dy)y('f1Ld
c
2∫ +=
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
51 5.- Hallar la longitud de arco de la curva y3 = 8x2 desde el punto (1 , 2) hasta el punto
(27 , 18) Resp. .c.u)12597(271 2
3−
6.- Calcule la longitud de arco de la curva 23
2 )2x(31
y += desde el punto donde x = 0 hasta
el punto donde x = 3 Resp. 12 u. c.
7.- Obtenga la longitud de arco de la curva )1x3(x31
y −= desde el punto donde x = 1 hasta
el punto donde x = 4 Resp. .c.u322
8.- Hallar la longitud de arco de la curva 1xy 32
32
=+ desde el punto donde x = 1/8 hasta el
punto donde x = 1 Resp. .c.u89
9.- Hallar la longitud de arco de la curva 1bx
ay 3
23
2
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ en el primer cuadrante desde el
punto donde x= a81 hasta el punto donde x= a Resp. .c.u
)ba(8
)b3a(a822
23
223
−+−
10.- Hallar la longitud de arco de la curva 22 )3x(xy9 −= en el primer cuadrante desde el
punto donde x = 1 hasta el punto donde x = 3 Resp. .c.u34
32 −
11.- Hallar la longitud de arco total de la Hipocicloide 323
23
2
abx
ay
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ Resp. 6a u.c.
12.- Hallar la longitud de arco de la curva y = Ln(x) entre los limites x = 3 y x = 8
Resp. .c.u23
Ln21
1 +
13.- Calcular la longitud de arco de la curva y = 1-Ln[cos(x)] entre los limites x = 0 , 4
xπ
=
Resp. .c.u83
TanLn ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π
14.- Hallar la longitud de arco de la curva 23
xy = desde el punto (0 , 0) hasta el punto (4 , 8)
Resp. ( ) .c.u11010278
−
15.- Hallar la longitud de arco de la curva x41
3x
y3
+= desde el punto donde x = 1 hasta el
punto donde x = 3 Resp. .c.u653
16.- Hallar la longitud de arco de la curva 2
4
y8
14y
x += desde el punto donde y = 1 hasta el
punto donde y = 2 Resp. .c.u32123
17.- Hallar la longitud de arco de la curva 32 x4)1y( =+ desde el punto donde x = 0 hasta el
punto donde x = 1 Resp. ( ) .c.u11010274
−
18.- Hallar la longitud de arco de la curva y3 = x2 desde el punto (0 , 0) hasta el punto (8 , 4) Resp. 9,07 u.c.
19.- Hallar la longitud de arco de la parábola semicúbica x3 = ay2 desde el origen hasta la
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
52
ordenada x = 5a Resp. .c.u27
a335
20.- Calcular la longitud de arco de la curva x21
6x
y3
+= desde el punto de abscisa x = 1
hasta el punto de abscisa x = 3 Resp. .c.u314
21.- Hallar la longitud de arco de la parabola y2 = 2px desde el vértice hasta un extremo del
lado recto. Resp. .c.u)21(Ln2p
22p
++
22.- Calcular la longitud de arco de la curva y2 = x3 desde el punto donde x = 0 hasta el punto
donde x = 5/9 Resp. .c.u2719
23.- Calcular la longitud de arco de la parábola 6y = x2 desde el origen hasta el punto (4 , 8/3) Resp. 4,98 u.c.
24.- Determinar la longitud de arco de la curva y = Ln[Sec(x)] desde el origen hasta el punto
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ πLn2 ,
3 Resp. .c.u)32(Ln +
25.- Hallar la longitud del arco de la hipérbola x2 – y2 = 9 comprendido entre los puntos (3 , 0) y (5 , 4) Resp. 4,56 u.c.
26.- Hallar la longitud de arco de la parábola y = 4x - x2 que está por encima del eje de las x Resp. 9,29 u.c.
27.- Hallar la longitud de arco de la curva 23
xy = desde el punto donde x = -1 hasta el punto
donde x = 8 Resp. ( ) .c.u5,10.c.u1610801313271
≈−+
28.- Demostrar que la longitud de una circunferencia de radio r es .c.ur2 π
29.- Hallar la longitud de arco de la curva 32
xy = desde el punto (1 , 1) hasta el punto (8 , 4)
Resp. .c.u6,7.c.u1340271 2
32
3≈⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
30.- Hallar la longitud de arco de la curva 21
23
xx31
y −= desde el punto donde x = 1 hasta el
punto donde x = 9 Resp. .c.u653
31.- Hallar la longitud de arco de la curva 1x23
y 23
+= en el intervalo [0,1]
32.- Hallar la longitud de arco de la curva 3
5
x6
110x
y += en el intervalo [1,2]
33.- Hallar la longitud de arco de la curva 2
eey
xx −+= en el intervalo [0,2]
34.- Hallar la longitud de arco de la curva 1x23
y 23
+= en el intervalo [1,8]
35.- Hallar la longitud de arco de la curva 1x23
y 23
−= en el intervalo [0,4]
36.- Hallar la longitud de arco de la curva y21
4y
x4
+= en el intervalo [1,2]
37.- Hallar la longitud de arco de la curva 32
833
4xx
43
y −= desde el punto donde x = 1 hasta el
punto donde x = 8
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
53
38.- Hallar la longitud de arco de la curva 4x4
1xxx
31
y 23
++++= desde el punto donde x = 0
hasta el punto donde x = 2 Área bajo una curva Def. Sea R la región acatada por la curva y = f(x) el eje x y las rectas verticales x = a , x = b. Entonces la medida del área de la región R está dado por: Ejemplos Ilustrativos: 1.- Hallar el área acotada por la parábola y – 1 = x2 y la recta x = 3 2.- Hallar el área del circulo x2 + y2 = 9 Resp. .c.u9 2π 3.- Hallar el área acotada por la curva y = (x – 1)3 y las rectas x = -1 , x = 5 Resp. 60 u2.c. Área entre dos curvas Sea f y g dos funciones continuas en el intervalo [a,b] y f(x) ≥ g(x) a lo largo de [a,b] entonces el área de la región entre las curvas y = f(x) y y = g(x) desde x=a, hasta x = b esta dada por: Ejemplos Ilustrativos: En los siguientes ejercicios calcular el área de la región acotada por las curvas dadas: 1.- y = 3 – x2 ; y = x+1 Resp. 9/2 u2.c. 2.- y = x2 – 4 ; y = -x2 – 2x y la recta x= -3 Resp. 38/3 u2.c.
R
2
dx
Y=f(x)
a b
y
x
(x ,f(x))
∫=b
adx)x(fA
dx
y
R
Y=f(x)
a b x
(x ,f(x))
(x ,g(x))
Y=g(x)
[ ]∫ −=b
adx)x(g)x(fA
f(x)
g(x)
f(x)-g(x)
2
2
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
54 Área de una Región en Coordenadas Cartesianas
EJERCICIOS PROPUESTOS En los siguientes ejercicios calcule el área acotada por las curvas dadas
Curvas Resp.
Curvas Resp.
1. x eje ;x-4 y 2= cu232 2 2.
01yx0;1yx2
=+−=+− cu
61 2
3. 4x 0;x ;x y 3 === cu64 2 4. 19 1x y ; 13x y +=+= cu23 2
5. 3 x 1; x ; x-4 y 2 === cu322 2 6. -2 y 0;x ;y2 x 23 === cu
512 2
7. 3 x 0; x ; x-9 y 2 === cu18 2 8. 21 2yx ; xy2 +== cu29 2
9. 3x;2x x; eje 1;x x y 2 ==++= cu659 2 10. -xy ; x-2 y 2 == cu
29 2
11. 3x;3x x; eje x;2 3xx y 23 =−=++= cu54 2 12. 23 2yx ; xy2 +== cu 6 2
13. x eje 12;-x x y 2 += cu6
343 2 14. 3x 1;-x y2 == cu338 2
15. bx ;ax x; eje ;kxy 2 === cuab
Lnk 22 16. 1x y ;x-3 y 2 +== cu29 2
17. 32x;3 x x; eje ; x Sen y π=π== cu1 2 18. 3x y ; x y == cu125 2
19. 0 y 4x;xy 2 =−= cu232 2 20. -8 y 0;4yx2 ==++ cu
332 2
21. 33xy 1;x2 x y 2 +=++= cu29 2 22. 043y-x ;x y 23 =+= cu
1027 2
23. 1x;1x 1;-x y ;x y 2 =−=== cu37 2 24.
x4x2y
2x;3xx y2
23
+=
++= cu
1237 2
25. -4 y y;- x2 == cu332 2 26. 22 y-6 x ; 2- y x == cu
364 2
27. 0y 0; x ; x Sen-x Cos y === ( ) cu12 2− 28. 0y ;x2y x; y =−== cu1 2
29. x3x2xy
9x;-3x-2x y23
23
−−=
= cu
12253 2 30.
Sólidos de Revolución Es un sólido que se obtiene al girar una región en un plano alrededor de una recta en el plano llamada eje de revolución, la cual toca la frontera de la región, o no corta la región en un punto Ejemplos: 1.- Si la región limitada por una semicircunferencia y su diámetro se hace girar sobre si mismo se genera una esfera (Fig. No. 1).
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
55 2.- Si la región acotada por un triángulo rectángulo se hace girar sobre uno de sus catetos se genera un cono recto circular (Fig. No.2). Volumen de un sólido de Revolución. Método del Disco Este método se usa cuando el eje de revolución es una frontera de la región que se hace girar y el rectángulo auxiliar es perpendicular al eje de revolución. Definición: Sea f una función continua en el intervalo [a,b] y f(x) ≥ 0 ∈∀x [a,b]. Si denotamos por S el solidó de revolución obtenido el girar alrededor del eje x la región limitada por la curva y =f(x) el eje x y las rectas verticales x=a ∧ x=b y si el volumen del solido de revolución S lo denotamos por V unidades cúbicas entonces: 1.- Hallar el volumen del solidó de revolución generado al girar alrededor del eje x la región acotada por la curva f(x) = x3 eje x y la recta x = 2 Sol. V=128π /7 U3C 2.- Encuentre por integración el volumen de un cono recto circular de altura h y base b.
Fig. No.2
y
x=a
Y=f(x)
Y=f(x)=r
dx x=b
dx
Eje de revolución
x
dx [f(x)] V 2∫π=
Eje de Revolución Horizontal
dy [f(y)] V 2∫π=
Eje de Revolución Vertical
Fig. No.1
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
56 3.- Determine el volumen del sólido de revolución generado si la región limitada por un arco de la senoide es girada alrededor del eje x Sol. V=π2 /2 U3C EJERCICIOS PROPUESTOS En los ejercicios del 1 al 8 hallar el volumen del sólido de revolución que se genera cuando la región indicada en la figura adjunta a la derecha, es girada sobre el eje dado. 1.- La región R1 girada alrededor del eje X Sol. 64π U3 C. 2.- La región R1 girada alrededor de la recta x=4 Sol. 1024 π /35 U3 C. 3.- La región R1 girada alrededor de la recta y=8 Sol. 704 π/5 U3 C. 4.- La región R1 girada alrededor del eje Y Sol. 512 π/7 U3 C. 5.- La región R2 girada alrededor del eje X Sol. 192 π U3 C. 6.- La región R2 girada alrededor de la recta x=4 Sol. 3456 π /35 U3 C. 7.- La región R2 girada alrededor de la recta y=8 Sol.576 π/5 U3 C. 8.- La región R2 girada alrededor del eje Y Sol. 384 π/7 U3 C.
En los ejercicios del 9 al 14 hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al girar alrededor del eje X la superficie limitada por las curvas dadas. 9.- /7128 Sol. 2x ;0 y y; x3 π===
10.- 332 41
Sol. x ;0 y ;x ay aa π===
11.- Una arcada de y = Cos(2x) 2 41
Sol. π
12.- )1( 21
Sol. 5x ;0x ; 0 y ; e y 10x- −−==== eπ
13.- π48 Sol. 144y 16 9x 22 =+
14.- )1( 41
Sol. 1x ; 0 y ; xe y 2x −=== eπ
En los ejercicios del 9 al 14 hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al girar alrededor del eje Y la superficie limitada por las curvas dadas. 15.- /564 Sol. 2x ;0 y y; x3 π===
16.- π 732
Sol. 2x ;0 y ;x 2y 32 ===
17.- π Sol.2 0x ; 0 y ; e y x === 18.- π64 Sol. 144y 16 9x 22 =+
Esta información ha sido Producida Recopilada y Transcrita por: Pedro R. Guédez y Carmen L. Guédez
Se prohíbe su reproducción total o parcial con fines comerciales o de lucro
32 xy =
( )8 , 4
R1
R2
A
B
C
O
( )0 , 4
( )8 , 0
Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez
57 Bibliografía
Louis Leithold, El Cálculo con Geometría Analítica, Editorial Harla, México 1986
Rolan E. Larson Cálculo y Geometría Analítica, Mc Graw Hill, México 1999
Thomas / Finney, Cálculo de una variable, Paerson Educación, México 1998
Robert T. Smith y Roland B. Minton Cálculo Volumen I Mc Graw Hill, España 2002
N Piskunov, Cálculo Diferencial e Integral Editorial Limusa, México 2001
William Anthony Granville, Cálculo Diferencial e Integral Editorial Uteha, México 1952
Dennis Zill. C. Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Harla.
Ayres, Frank Y Elliot Mendelson. Cálculo. Editorial Mc Graw Hill
Swokowski, Eral. W. Cálculo Con Geometría Analítica Editorial Iberoamericana
Purcell , Edwin y VARBERG, Dale. Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Prentice
Hall.
Michael Spivak. Calculus (Cálculo Infinitesimal) Tomos I y II Editorial Reverté España 1970
Elbridge P. Vance An Introduction To Modern Mathematics Fondo Educativo
Interamericano S. A. EEUU 1968
Saturnino L Salas y Einar Hile Calculus de una y varias variables con Geometría
Analitica Editorial Reverté S. A. España 1977
Recommended