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integrales
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Departamento De Ciencias Cajamarca Facultad De Ingeniera
SEMANA 8
CURSO : Clculo II
Tema :
INTRODUCCIN
En la sesin anterior descubrimos la relacin entre el proceso de integracin y las sumas de
Riemann
n
k
kkP xcfS1
)(
asociadas con una particin P del intervalo cerrado finito [a,b]. Ah aprendimos que, para
una funcin continua f en [a,b], el lmite de PS cuando la norma de la particin P se
aproxima a cero es el nmero
)()()( aFbFdxxf
b
a
donde F es cualquier antiderivada de f. Aplicamos esto a los problemas en que se nos pidi
calcular el rea entre el eje x y la grfica de )(xfy para bxa y para determinar el
rea comprendida entre dos curvas.
En esta sesin veremos cmo la aplicacin de estos conceptos nos permite determinar
volmenes, longitudes de curvas planas, centros de masas, rea de superficies de
volmenes, trabajo y fuerzas de fluido sobre paredes planas. Todas estas medidas son
lmites de sumas de Riemann de funciones continuas en intervalos cerrados, esto es,
integrales definidas que pueden evaluarse mediante el Teorema Fundamental del Clculo.
SLIDOS DE REVOLUCIN: MTODO DE LOS DISCOS
El slido generado al hacer girar una regin plana alrededor de un eje se denomina slido
de revolucin. Para determinar el volumen de un slido como el que se muestra en la
figura, slo necesitamos tener en cuenta que el rea de la seccin transversal )(xA es el
rea de un disco con radio )(xR , la distancia entre la frontera de la regin plana y el eje de
rotacin. En consecuencia, el rea es
22 )()( xRradioxA
Clculo de volmenes de slidos de revolucin: mtodo del disco y de las arandelas
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De este modo, la definicin de volmenes nos da
b
a
b
a
dxxRdxxAV2
)()(
A este mtodo para calcular el volumen de un slido de revolucin se le denomina con
frecuencia mtodo de los discos, ya que la seccin transversal es un disco circular con
radio ).(xR
Si el eje de giro es la recta y = p , el radio del circulo en un punto de abscisa x es pxf )(
y el volumen queda entonces
b
a
b
a
dxpxfdxxAV2
)()(
Ejemplo (Un slido de revolucin alrededor del eje x)
La regin entre la curva xy , 40 x , y el eje x se hace girar alrededor del eje x para
generar un slido. Determinar su volumen.
Solucin
Dibujamos figuras que muestren la regin, un radio tpico y el slido generado (ver figura
anterior). El volumen es
b
a
b
a
dxxdxxRV22
)( 82
)4(
2
24
0
2
x
xdx
b
a
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Ejemplo (Volumen de una esfera)
La circunferencia 222 ayx se hace girar alrededor del eje x para generar una esfera.
Determinar el volumen de esta ltima.
Solucin
Imagine que cortamos la esfera en delgadas rebanadas por medio de planos perpendiculares
al eje x (ver figura) El rea de la seccin transversal en un punto representativo x, entre
a y a es
222)( xayxA Por lo tanto, el volumen es
33
222
3
4
3)( a
xxadxxadxxAV
a
a
a
a
a
a
Figura: La esfera generada por la rotacin de la circunferencia 222 ayx alrededor del eje x. El radio es
22)( xayxR
El eje de rotacin en el ejemplo siguiente no es el eje x, pero la regla para calcular el
volumen es la misma: Integrar 2radio entre lmites apropiados.
Ejemplo (un slido de revolucin: rotacin alrededor de la recta y = 1)
Determinar el volumen del slido resultante al hacer girar, alrededor de la recta y = 1, la
regin acotada por xy y las rectas y = 1, x = 4 .
Solucin
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Dibujamos figuras que muestren la regin, el radio tpico y el slido resultante.
El volumen es
6
7
3
2.2
212
1)(
4
1
2/324
1
4
1
24
1
2
xxx
dxxx
dxxdxxRV
Ejemplo (rotacin alrededor del eje y)
Determinar el volumen del slido resultante al hacer girar la regin comprendida entre el
eje y y la curva yx /2 , 41 y , alrededor del eje y.
Solucin
Dibujamos figuras que muestren la regin, un radio tpico y el slido resultante.
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El volumen es
34
34
14
4
2)(
4
1
4
1
2
4
1
24
1
2
ydy
y
dyy
ydyRV
Ejemplo (Rotacin alrededor de un eje vertical)
Determinar el volumen del slido resultante al hacer girar la regin comprendida entre la
parbola 12 yx y la recta x = 3 alrededor de la recta x = 3.
Solucin
Dibujamos figuras que muestren la regin, un radio tpico y el slido resultante. Observe
que las secciones transversales son perpendiculares a la recta x = 3.
El volumen es 22 213)( yyyR
15
264
53
4444
2)(
2
2
53
2
2
42
2
2
22
2
2
2
yyyydyy
ydyydyRV
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SLIDOS DE REVOLUCIN: EL MTODO DE LAS ARANDELAS
Si la regin que se hace girar para generar un slido no se acerca al eje de rotacin ni est
en l, el slido tendr un agujero (ver figura). En lugar de discos, las secciones
transversales perpendiculares al eje de rotacin son arandelas (la superficie circular en la
parte central de la imagen de la figura).
Las secciones transversales del slido de revolucin generado son arandelas, no discos, por
lo que la frmula cambia ligeramente. Las dimensiones de una arandela representativa son
Radio exterior: )(xR
Radio interior: )(xr
El rea de la arandela es
2222 )()()()()( xrxRxrxRxA
En consecuencia, la definicin de volumen nos da
b
a
b
a
dxxrxRdxxAV22
)()()(
Este mtodo para calcular el volumen de un slido de revolucin se denomina mtodo de
las arandelas, ya que cada pieza es una arandela circular con radio exterior )(xR y radio
interior )(xr .
Anlogamente, si el eje de giro es la recta y = p,
b
a
b
a
dxpxgpxfdxxAV22
)()()(
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Ser necesario conocer la posicin relativa de las funciones f y g para lo cual es
fundamental tener una idea de las grficas de las mismas.
Ejemplo (Arandelas como secciones transversales: rotacin alrededor del eje x)
Para generar un slido se hace girar la regin acotada por la curva 12 xy y la recta
3 xy alrededor del eje x. Determinar el volumen del slido.
Solucin
1. Dibuje la regin y haga el bosquejo de un segmento de recta que la cruce y sea
perpendicular al eje de rotacin (el segmento en la parte central de la figura).
2. Determine los radios exterior e interior de la arandela que se generara al hacer girar
este segmento alrededor del eje x.
Estos radios son las distancias entre los extremos del segmento de recta y el eje de rotacin
(ver figura)
Radio exterior: 3)( xxR
Radio interior: 1)( 2 xxr
3. Determine los lmites de integracin determinando las coordenadas x de los puntos de
interseccin de la curva y la recta de la figura.
02
31
2
2
xx
xx
1 ,2
0)1)(2(
xx
xx
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4. Evale la integral del volumen
5
117
5338
68
13)()(
1
2
532
1
2
42
1
2
22222
xxxx
dxxxx
dxxxdxxrxRV
b
a
Para determinar el volumen de un slido formado al hacer girar una regin alrededor del eje
y utilizamos el mismo procedimiento que en el ejemplo anterior, pero integramos respecto
de y en lugar de hacerlo respecto de x. En esta situacin, el segmento de recta barre una
arandela representativa perpendicular al eje y (el eje de rotacin), y los radios exterior e
interior de la arandela son funciones de y.
Ejemplo (Arandelas como secciones transversales : rotacin respecto del eje y)
Para generar un slido, se hace girar la regin acotada por la parbola 2xy y la recta
xy 2 en el primer cuadrante alrededor del eje y. Determinar el volumen del slido.
Solucin
Primero bosquejamos la regin y trazamos un segmento de recta en la regin, que sea
perpendicular al eje de rotacin (eje y). Ver figura
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Los radios de la arandela barrida por el segmento de recta son yyR )( , 2/)( yyr . La
recta y la parbola se intersecan en y = 0 y y = 4, por lo que los lmites de integracin son
0c y 4d . Integramos para determinar el volumen:
3
8
1224
2
)()(
4
0
324
0
2
4
0
22
22
yydy
yy
dyy
y
dyyryRV
d
c
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EJERCICIOS PROPUESTOS
Mtodo del disco. I. En los siguientes ejercicios, determine los volmenes de los slidos
generados al hacer girar las regiones acotadas por las rectas y curvas alrededor del eje x.
1. 2,0,2 xyxy 2. 0,9 2 yxy 3. 2,0,3 xyxy
4. 0,2 yxxy 5. 44,0,8
22
xyx
y 6. 0,0,962 yxxxy
7. 0,2, xyxy 8. 3,1,0 ,/1 xxyxy 9. 1 ,0 ,0 , xxyey x
II. En los siguientes ejercicios, determine el volumen de cada uno de los slidos generados
al hacer girar la regin acotada por las rectas y curvas dadas alrededor del eje y.
1. 1,1,0,5 2 yyxyx 2. 3,0,0),1/(2 yyxyx
3. 0,4 2 yxy 4. 0,4,3
2
xyx
y
5. 0,2, xyxy 6. 0,0),2(3 xyxy
7. 3,2,0,9 2 xxyxy 8. 6,,2 xyxyx
Mtodo de las arandelas. I. En los siguientes ejercicios, determine el volumen del slido
generado al hacer girar las regiones acotadas por las rectas y las curvas dadas alrededor del
eje x.
1. 0,1, xyxy 2. 0,2,2 xyxy 3. 3,12 xyxy
4. xyxy 2,4 2 5. 24 xy , 2xy 6. 2 yx , 0x ,
1y
II. Determine el volumen del slido generado al hacer girar cada regin alrededor del eje y.
1. La regin circundada por el tringulo con vrtices (1,0), (2,1) y (1,1). 2. La regin en el primer cuadrante, acotada en la parte superior por la parbola
2xy , en la inferior por el eje x, y a la derecha por la recta x = 2.
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3. La regin en el primer cuadrante, acotada a la izquierda por la circunferencia
322 yx , a la derecha por la recta 3x , y en la parte superior por la recta
3y .
Volumen de slidos de revolucin. En los siguientes ejercicios determine el volumen del
slido generado al hacer girar cada regin alrededor del eje dado.
1. La regin en el primer cuadrante, acotada en la parte superior por la curva 2xy ,
en la parte inferior por el eje x, y a la derecha por la recta 1x , alrededor de la
recta 1x .
2. La regin en el segundo cuadrante, acotada en la parte superior por la curva 3xy , en la parte inferior por el eje x, y a la izquierda por la recta 1x ,
alrededor de la recta 2x .
3. Determine el volumen del slido generado al hacer girar la regin acotada por
xy y las rectas 0,2 xy alrededor de la recta
a) y = 2 b) x = 4
4. Determine el volumen del slido generado al hacer girar la regin acotada por la
parbola 2xy y la recta y = 1, alrededor de
a) la recta y = 1 b) la recta y =2 c) la recta y = 1
III. Diseo de un sartn Se le pide disear una
sartn con forma de tazn esfrico con asas.
Su experiencia domstica le indica que
puede obtener una sartn con capacidad
para 3 L si la construye con 9 cm de
profundidad y un radio de 16 cm. Para
asegurarse de ello, imagine la sartn como
un slido de revolucin semejante al que se
muestra a continuacin y calcule su
volumen con una integral. Qu volumen
tiene la sartn realmente? Redondee la
respuesta al centmetro cubico ms cercano
(1L=1000 3cm )
IV. Diseo de una plomada se le ha pedido que se
disee una plomada que pese alrededor de 190
g. Para cumplir su cometido, decide que su
forma debe ser parecida a la del slido de
revolucin que se muestra a continuacin.
Determine el volumen de la plomada. Si para
su fabricacin elige latn que tiene un peso de
8.5 3/g cm , Cunto pesar la plomada
(redondee al gramo ms cercano)?
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11. El volumen de un tanque de combustible Un tanque en el ala del avin de motor de
reaccin tiene la forma de un slido de revolucin generado al girar la regin acotada por la
grfica de y el eje x alrededor del eje , donde y son medidos en metros. (Fig. 8)
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