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ISSN 0041 - 6932
REVISTA DE LA
UNION
MATEMATICA ARGENTINA
Director: Daría J. Picco
Vicedirector: Rafael Panzone
Redactores: . M. Balanzat, A. Calderón, E. Gentile,
E. Marchi, J. Tirao, C. Treja'
Secretaria de Redacción: M. L. Gastaminza
VOLUMEN 31, NUMERO 4
1984
BAHIA BLANCA
1985
UNION MATEMATICA ARGENTINA·
JUNT~ OIRE~TIVA:. Presidente: Dr. C.' Segovia Fernández; Vicepresidente 19: Dr. J. A. Tlrao; Vicepresidente 29: Ing. R. G. Ovejero; Secretario: -Dr. M. Balanzat; Prosecre~ario:. Dr. E. Lami. Dozo; Tesorera: Dra. T. Caputti; Protesorera: Dra. S. Braunstem; Director de Publicaciones: Dr. D. J. Picco; Subdirector de Publicaciones: Dr. R. Panzone; Vocales Regionales: Buenos Aires - La Plata: N. Fava; Centro: C. Sánchez; Cuyo: M. R. Berraondo; Litoral: C. Meritano; Nordeste: F. Zibelman· Noroeste: M. C. Preti; Sur: A. Ziliani. . ,
SECRETARIOS LOCALES: Bahia Blanca: A. Ziliani; Buenos Aires: G. Keilhauer; Comodoro Rivadavia: C. Monzón; Córdoba: J. Vargas; Corrientes: N. G. de Llano; Chaco: R. Martinez; Jujuy: F. R. Corning; La Pampa: H. lervasi; La Plata: S. Salvioli; Mar del Plata: L. Ricci; Mendoza: V. Vera; Neuquén: N. M. de Jenkins; Olavarria: A. Asteasuain; Reconquista: H. L. de Cabral; Rlo Cuarto: H. L. Agnelli; Rosario: C. Meritano; Salta: C. Preti; San Juan: P. Landini; San Luis: J. C. Cesco; Santa Fe: C. Canavelli; Tandil: M. Aguirre Téllez; Tucumán: A. "J. Viollaz; Villa Mercedes: A. M. Castagno.
MIEMBROS HONORARIOS: Manuel Balanzat, Marcel Brélot, Félix Cernuschi, Wilhem Damktlhler, Ellas De Cesare, Jean Dieudonné, Félix Herrera, Alexandre Ostrowski, Gian Cario Rota, Luis A. Sanlaló, Laurent SChwartz, Fausto l. Toranzos, César A. Trejo, Antoni Zygmund.
MIEMBROS INSTITUCIONALES: Instituto Argentino de Matemática; Instituto de Matemática de Bahía Blanca; Instituto de Matemática, Astronomia y Fisica de la Universidad Nacional de Córdoba; Instituto de Desarrollo Tecnológico para la Industria Química; Universidad de Buenos Aires; Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires; Universidad Nacional de La Pampa; Universidad Nacional del Nordeste; Universidad Nacional de Tucumán; Universidad. Nacional del Sur.
La U.M.A. reconoce, además de miembros honorarios e institucionales, tres categorías de asociados: titulares, adherentes (e~tudiantes solamente) y protectores.
Toda la correspondencia administrativa, relativa a suscripciones y números atrasados de la Revista, información y pago de cuotas de asociados debe dirigirse &:
UN ION MATEMATICA ARGENTINA
Casilla de Correo 3588 1000 Correo Central
Buenos Aires (Argentina)
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REVISTA DE LA U.M.A.
Instituto de Matemática
Universidad Nacional del Sur
8000 Bahia Blanca
Argentina
Los autores reciben gratuitamente 50 separatas.
29 SEMESTRE 1984 l. Este fascículo se pUblica mediante un subsidio del Consejo Nacional de InvestigacIones Científicas y Técnicas (CONICET).
REVISTA DE LA
UNION
MATEMATICA ARGENTINA
Director: Darío J. Picco
Vicedirector: Rafael Panzone
Redactores: M. Balanzat, A. Calderón, E. Gentile,
E. Marchi, J. Tirao, C. Trejo
Secretaria de Redacción: M. L. Gastaminza
VOLUMEN 31, NUMERO 4
1984
BAHIA BLANCA
1985
Revista de la 167
Unión Matem~tica Argentina Volumen 31, 1984.
REDUCTION OF CODIMENSION OF ISOMETRIC IMMERSIONS BETWEEN
INDEFINITE RIEMANNIAN MANIFOLDS
Marcos Dajczer
1. I NTRODUCT I ON.
Let f: Mn ~ Qn+p(c) be an isometric immersion of a connected in-s t
definite Riemannian manifold of dimension n and signature (s,n-s) into an indefinite manifold of constant curvature c. If 5=1 or
s = n-l, we say that Mn is a Lorentz manifold. By changing the sign s
in the inner products we may assume that 5=1. We say that the imme~
sion f is m-reguZar if the kth normal space of the immersion Nk sa
tisfies: dim Nk = constant for k = l, ... ,m (see Section 2 for further definitions). The aim of this paper is to extend the main result of [1] to the indefinite Riemannian case. We prove the following result
1.1. THEOREM. Let f: M~ ~ Q~+P(c) be an isometria immersion.
Assume that the aurvature tensor of the normaZ aonneation satisfies
(V1)m R1 ¡ 1 = O and that the mean aurvature veator satisfies Nm
(V1)m H e N Then there exists a totany geodesia submanifoZd Q* of m
Q~+p(c) of dimension n+k, where k = dim Nm, suah that f(Mn) e Q*.
2. PRELIMINARIES.
We denote by Mn a differentiable manifold whose tangent spaces have s
a nondegenerate metric of signature (s ,n-s) . Let us consider an i-
sometric immersion, f: Mn ~~ Mf+t of one indefinite Riemannian s t'
manifold into another. Given p E M, we identify the tangent space T M to M at p with df(T M) . The normal space T M1 is the subspace p p p of T M consisting of all vectors i';(p) E T M which are normal to T M p p p
with respect to the metric < , > of M. Let V (resp. V) be the co-
168
variant differentiation of the Levi-Civita connection in M (resp.M)
and v1 the covariant differentiation in the normal bundle of f.
Given ~(p) E TpMl, we define the second fundamental form of f rela
tive to ~(p)
by the Weingarten equation:
where X E T M and ~ is any normal extension of ~(p). p
We shall denote the curva ture tensor o f V by R and tha t of v1 by R1 ,
Le.
R(X,Y)
and
We define the bilinear symmetric form
a: TMxTM---+TM 1 p p p
by the Gauss equation:
VxY VxY + a(X,Y) .
Then, the condition
<CI.(X,Y),~>
is satisfied,
If the ambient space has constant curvature, the following rela
tions hold:
and
1 <R (X,YH,n> = < [A~,AnlX,y>, Ricci's equation .
A basis X1"",Xn of an indefinite inner product space with signat~
re (s,n-s) is called orthonormal if <X.,X.> = -8 1 < i,j < s, ~ J ij
If the vector space is a Lorentz space, then.a pseudo-orthonormal basis is one of the form z,Z,x1 , ... ,Xn_2 , such that <Z,Z> = O =
<Z,Z>, <Z,Z> = 1, <X.,Y.> ~ J
<Z,X.> 1 < i < n-2. ~
8.. 1';;; i, j < n - 2 and < Z , X.; > = O = ~J •
We define the mean curvature vector as
169
where X1"",Xn is an orthonormal basis of TpM.
We say that the immersion is totaUy geodesia if At;,
t;, E TM I .
Given p E M, we definethe first normal. spaae as
N1(p) = Span {a(X,Y)(p): X,Y E TpM}
We define the k th normal. spaae as
Nk(p) Span {a(X,Y)(p), VI a(X,Y)(p), ... ,vl w1 wk_l
o for al1
VI a(X,Y)(p)} wl
for k
M. 2,3, ... , where X,Y,w1, ... ,wk_1 are vector fields tangent to
A normal. subbundl.e of dimension k is a family L(p), for all p E M,
of vector subspaces of T MI of dimension k with the property that, p
for all q E Mn , there are an open neighborhood U of q and k differentiable fields t;,l, ... ,t;,k defined in U such that, for all p E U,
t;,l(P), ... ,t;,k(P) generate 1(p).
An immersion is said to be m-regul.ar if each Nk(p), for k =l, ... ,m
and for all p E M, has constant dimensiono It is easily seen that if an immersion is m-regular, then each Nk for k = 1, ... ,m is a normal subbundle.
If L is a normal subbundle, by (VI)m R1IL = O it is to be understood
that
for all X1"",Xm+2 E TM and all t;, EL.
Finally, if n is a section of the normal subbundle L, then
evl)m n E L means that
v~ n EL for all X1"",Xm E TM. m
3. PROOF OF THEOREM 1-1.
First, we recall the following indefinite version of a theorem of
Al1endoerfer-Erbacher (see [2], (31).
3-1 PROPOSITION. Let f: M: 1---+- Q~+P(c) be an isometrÚ 1:mmersion of
a aonneated indefinite Riemannian manifol.d into a spaae formo Ifthe
170
re exfsts a k-dimensional paraZZeZ normal subbundZe L(p) whiah aon
tairls the first normaZ spaae N¡(p) for aH p E M~, then there exists
a (n+k)-dimensionaZ totaZZy geodesia submanifoZd (possibZe degenerE.
te) Q* of Q:+p(c} suah that f(M:) e Q*.
The following result i~ the main part of the proof of Theorem 1.1.
3-2. PROPOSITION. Let f: M~ ~ Q:+t(c) be an isometria immersion
that is m-reguZar in an open neighborhood U of a point p of M~. Then
N~+¡(p) {~E N{(P): ((V1)k Rl(~)) = O , (V1)k H(p) 1 ~ for
O ~ k ~ m}.
The proof of the following four lemmas is the same as in the posi tive definite case (see [1]).
3-3. LEMMA. Let M be an indefinite Riemannian manifoZd and ~,T1 vea
tor fieZds defined in an open neighborhood U of a point p of M. Then, we have that
i) «V)k ~,T1> O for O ~k~m if and onZy if
<~,(V)k n> O for O ~ k ~ m.
ii) <:(V)k ~,n> O for O~k~m { < (V)m+l ~,n>(p) = o. if and onZy if
{ <~, (V)k n> = O for O~k~m
<~,(V)m+¡ n>(p) O.
3-4. LEMMA. Let f: M r-+ M be an isometria immersion that is m-regu Zar in: an open set U of M. Then, in U, we have that for r = 1, ••• ,m
~ E N; if añd onZy if A(Vl)k~ = O for O ~ k ~ r-1.
3-5. LEMMA. Let f: M ~ M be an isometria immersion that is m-re-
guZar in an open neighborhood U of a point
n E ~ l(P) if and onZy if there exists a P m+
suah that i) A 1 k = O for O ~ k ~ m-1 (V ) n
p of M. Then,
ZoaaZ extension n of n P
and ii) A 1 m = O . (V) n(p)
3-6. LEMMA. Let f: M ~ M be an isometria immersion and n a nor
maZ veator fieZd defined in an open neighborhood U of a point p of
M. Then', we have that
i) if and onZy if
1 71
R1 (('i)k n) = O fo1' O ';;k';;m-1.
ii) { ( (171 ) k R1) (n) O O .;; k .;; m-1
((V'l)m R1) (n(p)) O • if and only if
{ R1 ( (171 ) k n) = O fo1' 0';;k';;m-1
R1((V'l)m n(p)) = O
PROOF OF PROPOSITION 3-2. First of all, we note that if s E ~(p),
then R1 (s) = O and H(p) 1 S. The proof will be divided in two parts, each of them showing one of the inclusions.
i) Let n E ~ I(P). By Lemma 3-5, there exists a local extension p m+
n of n such that p
A 1 k. = O for O';; k .;; m-1 (V' ) n
and A 1 O. (V' )m n(p)
By the Ricci equation, we may write
R1((V'l)k n) = O for O.;; k.;; m-1 and R1((V'l)m n(P)) O.
By Lemma 3-6 it follows that
3-7 ((171 ) k R1) ( ) np O for O.;; k .;; m .
By definition, one has that H E NI' Therefore, it is immediate that
3-8 (V'l)k H(p) 1 n for O.;; k .;; m p
Then, the first inclusion follows from (3-7) and (3-8).
ii) For this part of the proof we shall use induction. Using i), we
may suppose that the proposition holds for N1 for 1 .;; j .;; h. Let j
1 np E NI(p), which satisfies
3-9 O for O.;; k .;; h
and
(V'l)k H(p) 1 n for O.;; k .;; h . P
3-10
By the induction hypothesis together with (3-9) and (3-10), we thus
have np E N~(p). Let n be a local extension of np in ~. Then,
3-11 ((V'l)k R1 )(n) = O for O.;; k .;; h-1
and
3 -12
From Lemma 3-6, (3-9) and (3-11), it follows that
172
But this means that
<R1 (X, Y) (I,l . zh
o for all X,Y,ZI"",Zh E TM,
~ E T M l. p
By Ricci's equation
< [A 1 1 ' A~l X,Y> O. V ••• V n (p)
zh zl
In particular,
3-13 [A 1 1 1 n (p)
O for al1 V ••• V n (p)
zh zl
On the other hand, by Lernma 3-4
3-14 A 1 = O for O.;;; r .;;; h-l . (V ) r n
By Codazzi's equation applied to the normal vector field
v1 v1 n, we obtain Xh _ l Xl
3-14 A 1 v1 1 y A 1 v1 1 Z for al1
Vz Vx n Vy Vx n Xh_ l l Xh_ l l
Z , y , Xl' ... , Xh E TM.
From Lemma 3-3 together with (3-10) and (3-12) , it is clear that
3-15 <H(p) , (V1 )h n(p» = O.
We shal1 show that (3-13), (3-15) and (3~16) imply that
A = O. Then, from (3-14) and Lernma 3-5, we obtain that (V1 )h n(p)
np E ~+I(P) and the proposition follows.
Let ZI"",Zn be an orthonormal basis and io a fixed indexo From
Codazzi's
o = v1 Xh _ l
so that
equation applied to the normal vector field
v1 n, we obtain Xl
Z. Ó J
Z. ~ o
173
n n ¿ <Z. ,Z.><A 1 Zj ,Zj> í <Z.,Z.><A 1
j=l J J V l'l j=l J J V l'l Z. Z. 10 J
Then n 1 n
l <~~,Z.><a(Z.,Z.),VZ l'l> = í <Z.,Z.><A 1 j=l ,J ~ J i j =1 J J V l'l o Zj
Thus
From (3-16), we obtain that, at p
(3-17). n í <Z.,Z.> Al Z.
J·=l J J V l'l J Z, J
o
Z; ,Z. > 10 J
Zj,Zio>
If Y1' ... 'Yn is a pseudo-orthonormal basis, put in (3-17):
and Z. J
for 3 < j < n. Then, it
follows that
(3-18)
By Theorem 0.4 and Proposition 0.5 of [3], we need to consider four cases.
CASE 1. There exists a pseudo-orthonormal basis Y1' •.• 'Yn such that
Al Aj bj j j c3· .• Ck, o o o
O Al O Aj O ••• 0 o o Al Ik O j
A A c3 Vil'l
o o Vi.l'l A~ 1 J J
O ck o
1 A~ J AR.1k ·A~ R.
J
An easy cómputation shows that [A~,A~] = O for 1 < i,j < n. Let us 1 J
consider the positive definite subspace V= span {Y3 ' ... 'Yk } and o
the symmetric linear transformations Ai = V -+ V for i = 3,." .. ,n,
defined by
174
x-:- (X) 1
Since A~ 1
Ai for 1 ~ i ~ n, thus there exists an orthonormal basis
Y3' ... 'Yk o of V which diagonalizes simultaneously the matrices Ai
for 1 ~ i ~ n. The matrix A does not change for the new basis 111 o Y1
Y1 'Y2 'Y3 ' ... 'Yk 'Yk +1'· .. ,Y , and for the other matrices, we have o o n
(dropping the bar)
Aj b j a j o o 3
O Aj O o
O a j 3
yj 3
A 1 I1 y .
a j J O ko
From (3-15) , we obtain
i) for Z = Y1 and Y = Y2
A2 = 1 o
ii) for Z Y1 and Y Y. J
, 3 ~ j
A3 o
iii) for Z Y2 and Y Y. , 3 ~ J
a~ 2 J
Yj
From (3-18) , we obtain
iv) y~ O 3 ~ j ~ k J o
ko a~ v) Z + L O
j=3 J
From (3-16), we have that
A A A A 111 o 111 o 111 o 111 o
YZ Y. Y. Y2 J J
o
~k o
A ko o
~ k o
A~ J
O
• JI, A.
J
3 ~ j ~ n .
In particular, comparing the j~ element of the first line of both
175 ".
matrix products, we obt.ain
vi) 2' 2' . 2 2' A a~ + a. Y~ = AJ a. + YJ' a~
J J J o J J
From i), ii), iii), iv) and vi), it follows that
• • 2' a~ = (a~) ,
which is a contradiction to v). So case 1 is not possible.
CASE 2. There exists a pseudo-orthonormal basis Y l' ., .', Yn such that
Al O llj bj j j o cI"'~ +1
Al llj o
O O O O ••• 0
O 1 Al O cj A o. A 1
VitS AII Vi.tS Aj o ko o 1 J j O ~o+l
1 A~ AR.IkR. J • . A~
J
From (3-15). we have
Thus
A! Y2 + Y3
which is not possible. So Case 2 can not occur.
CASE 3. There exists an orthonormal basis Y1 •.••• Yn such that
al SI a. Sj J
-SI al -S. J
a j
alIk A~ A A J o
Al .yl tS 1 V1 tS Yl AIIk l Y. s J
. AR. 1
AR.Ik s R.
where SI ,¡. O.
From (3-15). we obtain
i) for Z = YI and Y Y2
176
From (3-17), we obtain
ii)
Then SI = O, which is a contr~diction. So case 3 is not possib~e.
CASE 4. There exists an orthonormal basis Y1 ' ... 'Yn such that
A Ik o o
It is easy to see that the basis can be chosen in such a way that
for 2 O;;; j O;;; n
where Aj (a j ) is a k x k matrix. k~ o o
From (3-15), it follows that
Y~ = O if s # t and ko+1 O;;; s,t O;;; n .
Then (3-17) implies that
yS = O for k +1 O;;; s O;;; n . s o
Using (3-15) for Z = Y. , 1 O;;; j O;;; k J
we obtaiJi
A O and 171 /) . Y t
Then, from (3-17), it folLows that
ko
o ,
yj t
and
O
¿ <Y . , Y . > <A 1 Y j , Y 1 > O. j =1 J J 17' /)
Y. J
Thus
Y Yt , k +1 o
O;;; t o;;;n,
177
ka L <Y. ,Y. ><A I Y. ,Y.> O
j=l J J V 8 J J Y1
SO we obtain -A + (ka -1) A O a a
Therefore, A = O or k 2. a a
If A = O, from (3-15) for Z =Y 1 and Y Yk , 1 ..;k..; k a a we obtain
k a 1n = O .
But then, all the matrices can be simultaneously diagonalized and the same argument as in the beginning of this case shows that they must vanish.
If ka = 2 , we have
A VI 8
Yl
From (3-15), we obtain
A o
From (3-17), we obtain
A o
Thus
which concludes the prooi.
[a ll
-a 12
o .
o
PROOF OF THEOREM 1-1. From Proposition 3-2, we ha ve
Thus
~+l(P)
It follows that Nm is a párallel normal subbundle and we can apply Proposition 3.2 to complete the proof.
REMARK. In fact, we proved that
178
o Nm is parallel if and only if
REMARK. The Theorem 1-1 remains valid if the immersion is m-regular
in an open connected and dense subset of Mn . s
REFERENCES
[1] DAJCZER,M.:Redue~~on 06 ~he Cod~men~~on 06 Re9u!a~ l~ome~~~e Imme~~~on~. Math. Z. 179 (1982), 263-286.
[2] ERBACHER,J.: Redue~~on 06 Cod~men~~on 06 I~ome~~~e Imme~~~on~. J. Diff. Geometry (1971), 333-340.
[3] MAGID,M.: l~ome~~~c. Imme~~~o~ 06 Lo~en~z ~paee w~~h pa~a!!e! ~eeond 6undamen~a! 60~m~. Tsukaba, J.Math.8 (1984), 31-54.
IMPA - Instituto de Matem~tica Pura e Aplicada Estrada Dona Castorina, 110 CEP - 22 460 Rio de Janeiro, RJ - Brasil.
Recibido en diciembre de 1980. Versión final diciembre de 1984.
Revista de la UniSn Matemgtica Argentina Volumen 31, 1984.
LA VARIEDAD DE DISTANCIAS ENTRE PUNTOS
Patricia Fauring, Flora Gutiirrez y Angel Larotonda
179
En cuestiones vinculadas con las configuraciones centrales, interesa establecer las relaciones existentes entre n puntos distintos
xl"" ,xn en R3 y sus distancias mutuas t ij = I xi-x j I ([1], § 357) ;
esto suele hacerse utilizando recursos de geometr~a m~trica (como en [2], ch.IV mediante los "determinantes de Cayley-Menger").
En la presente nota se replantea el problema en t~rminos de espacios homog~neos bien conocidos.
1. FORMAS CUADRATICAS SEMIDEFINIDAS POSITIVAS.
Si E Y V son espacios de Hilbert reales, indicamos con L(V,E) al espacio de Banach de todas las aplicaciones lineales continuas V -+ E; Q(V) designará al grupo ortogonal de V (subvariedad cerrada de L(V, V)), mientras que O(V,E) será la variedad de Stief,el de tipo V asociada a E, es decir, el conjunto de las aplicaciones lineales u: V -+ E "isom~tricas", lu(x) I = Ixl para todo x E V.
Notemos que u E Q(V,E) equivale a decir que u E L(V,E) y que u*u .= Iv (donde u* indica el adjunto de u); se sabe que Q(V,E) es una
subvariedad cerrada de L(V,E), cuyo espacio tangente en uOEQ{V,E)
se identifica al subespacio {a: a*uo + uSa = O} de L(V,E).
La operación aizquierda (a,u) -+ ua de Q(V) sobre Q{V,E) da lugar al fibrado principal
Q{V) -+ Q(V,E) -+ Gv(E) (1)
donde Gv(E) es la variedad Grassmaniana de los subespacios de tipo
V de E.
En el subespacio cerrado H(V) e L(V,V) formado por las aplicaciones lineales autoadjuntas (es decir f = f*) consideramos el cono cerrado H+(V) formado por las aplicaciones positivas, es decir las que verifican <f(x) ,x> ~ O para todo x E V. Vista la identificación de formas cuadráticas ~continuas sobre V- con ,elementos de H(V) , H+(V).
180
corresponde a las formas cuadráticas (semidefinidas) positivas.
También interesa el cono GH+(V) = GL(V) n H+(V) , que es un conjunto
abierto en H(V) -esto es evidente si dim V < 00, y en el caso general basta recordar que si h E GH+(V) entonces O f/:. Sp(h) e [m ,00) do!!.
de m = inf{<h(x) ,x>, Ixl = 1} Y por 10 tanto para un E > O conve-. +
niente será: IIh-fll < E, fE H(V) ~ fE GH (V)-.
Con Mono(V,E) designamos al subconjunto de L(V,E) formado por las
aplicaciones inyectivas con imagen c~rrada (es decir, los isomorfismos de V sobre subespacios de E); se trata de un subconjunto abierto de L(V,E).
El producto (o composicion) permite definir una aplicaci6n
a: O(V,E) x GH+(V) ~ Mono(V,E) (2)
por a(u,h) uh.
1.1. LEMA. La apZicación a es un difeomorfismo COO
Demostración. Que a es COO es evidente; la inversa de a se obtiene
por el siguiente procedimiento: dado f E Mono(V,E), a-l(f) =
= (fh-l,h) donde h E GH+(V) es la única soluci6n de h2 = f*f. Note
mos que f*f E H+(V) trivialmente; asimismo es evidente que f*f es
inyectiva, mientras que f(V) e Ker(f*) = E muestra que f*f es sur-
yectiva. Esta construccion muestra además que a- l es COO, por serlo
g -+ gl/2 de GH+(V) en GH+(V).
El lema 1.1 no es otra cosa que una reformulaci6n de la "descompo
sici6n polar" de un monomorfismo. En particular si f: VI -+ V2 es
un isomorfismo continuo, la descomposici6n polar f = uh nos provee de una isometría u: VI -+- V2 , Usando esto se produce enseguida un
difeomorfismo COO de O(V2 ,E) sobre O(VI,E) -por composici6n de U-,
En consecuencia la variedad O(V,E) depende del espacio V más que
del producto interno específico que se utiliza en su definici6n: productos internos equivalentes en V dan variedades difeomorfas.
Por ello tiene sentido escribir O(k,E) = O(Rk,E) sin especificar ex
plícitamente el producto interno en Rk , que en general se supondrá
que es el canonico.
Ahora, si V y E son espacios de Hilbert, designamos con L(k,V,E) (k ~ O) al subconjunto de L(V,E) formado por las aplicaciones de
rango k, esto es: dim f(V) = k. Asimismo ponemos H:(V) = H+(V) n L(k,V,V) ("formas cuadráticas positivas de rango
k") .
181
El resultado siguiente es conocido (ver por ejemplo [3], 1.1):
1.2. PROPOSICION. Para todo k ~ O, L(k,V,E) es una subvariedad de
L(V,E);ademds, para aada p~ O eZ aonjunto UL(k,V,E) es aerrado k.,;p .
en L(V,E).
Demostraaión. Sea fo E L(Y,E) tal que dim fo(V) = k; si No = Ker(fo),
So = ~, Wo = fo(V) entonces fo(No) = O Y folSo: So -+ Wo es un
isomorfismo.
Por composici6n con los correspondientes proyectores e inclusiones se obtiene un isomorfismo
que representa a cada f por la matriz de transformaciones
(3)
Sea U el subconjunto de L(V,E) formado por las f para las cuales a f E Iso(So'Wo); como este conjunto es abierto en L(So'Wo)' y como
la aplicación (3) es un isomorfismo, resulta claro que U es abierto en L(V,E). Adem~s es evidente que fO es un elemento de
U n L(k,V,E). Un argumento sencillo muestra que
(4)
Utilizando (4) se obtiene sin dificultad un mapa
dado por f -+ (af,bf,c f ), estableciendo la primera parte de la te
sis. (Notemos que Iso(SO'WO) ~ GL(Rk)).
Para la segunda afirmaci6n basta probar que la aplicaci6n f -+ dim(f(V)) es semicontinua inferiormente, de L(V,E) en N U {oo}.
Pero si dim fo(V) ~ r y ~ = Ker(fo) hay entonces r vectores xi en
No tales que fo(x.). es linealmente independiente; sea S el sub-1 1Sr .
espacio generado por los xi' Es di~(S) = r, y el conjunto
U = {f E L(V,E): fls E Mono(S,E)} es abierto en L(V,E). Claramente fo E U Y dim f(V) ~ r para toda f E U lo que completa la demostra-
182
ción.
Análogamente resulta
1.3. PROPOSICION. Para cada k ~ O, H~(V) es una subvariedad de
+ H(V) y para cada p ~ O, el conjunto U Hk(V) es cerrado en H(V) . k.,;p
Demostración. El esquema es el mismo que el de la proposlclon an
terior: si fo E H~(V) sean No = Ker(fO), So = ~ = fo(V); cierta
mente folso E GH+(So)'
En la repr~sentación (3) se tendrá ahora
mediante
f ___
raf b*
. f
Consideramos U = {f E H(V): a f E GH+(So)}' entorno abierto de fo
en H(V); como en la proposición anterior se tendrá
+ y se obtiene un mapa para Hk(V) poniendo
U n H~(V) -+ GH+(So) x L(No'So) ( 6)
vía f -+ (af,b f ). El resto es idéntico a la proposición anterior.
Ahora para dos espacios de Hilbert V y E podemos definir una apli
cación de clase COO mediante
s: L(k,V,E) --- H~(V) ( 7)
donde S(f) = f*f.
1.4. PROPOSICION. Si k ~ dim(E), la aplicación S es una fibración
localmente trivial cuya fibra tipo es O(k,E).
Demostración. Sea fo E H~(V), con So = fo(V) y No = S~ de acuerdo con la proposición anterior, el conjunto
~ = {f E H~(V): IToflSo: So -+ So es isomorfismo} es un entorno
abierto de fa en H~(V).
183
.Definimos una trivializaci6n de S sobre n mediante
donde T(g) = (g*g, ~(g)) con ~: s-len) -+ O(So,E) la única aplica
ción eoo definida por el procedimiento siguiente:
como g = (gO,gl) con gO: So -+ E, gl: No -+ E, * S --+ So es gogo O elemento de + único GH+(So) un GH (So), luego hay un h E tal que
h2 = *-gogo· Entonces ~ (g) = goh -1
So --+E trivialmente iso-es una
metría de So en E.
Que T es un difeomorfismo es claro, ya que su inversa se obtiene haciendo
como sigue:
f c. Consideramos el único
1.5. COROLARIO. Si dim(E)
do p1'incipa l
r, la aplicación S deviene en el fib1'a-
O(E) -+ Epi(V,E) --+ H+(V) r
Mencionemos asimismo que si k = dim(V), 1.4 reproduce 1.1.
2. ALGUNOS FIBRADOS INTERESANTES.
En lo que sigue V y E serln espacios de Hilbert, V de dimensión fi
nita n-1, en el cual se supone fijada una base ortonormal
al,···,an_1 ·
Definimos una aplicación lineal
'11: En -+ L(V,E) ( 8)
n-l n-l poniendo W(x) (I tiai ) = I ti (xi-xn), y definimos también una
i= 1 i= 1
operación de E sobre En mediante
(9)
El siguiente hecho es trivial:
184
2.1. LEMA. a) La apZiaaaión ves un epimo.rfismo. auyo. ndaZeo. es eL
subespaaio. diago.naZ {(x,x, ... ,x): x E E} de En.
b) v(x) = v(x') equivaZe a a * x = x' para un aniao. a E E.
c) En/E se identifiaa mediante Vao.n L(V,E).
Ahora sea q: L(V,E) ->- H+(V) la aplicación cuadrática dada por q(f) = f*f; por composición con (8) se obtiene la aplicación cuadrá tica
(10)
Notemos que ~(x) tiene como matriz en la base a1, ... ,an_1
(1 .;;; i, j .;;; n-1) ( 11)
Si E~ e En indica el subconjunto de En formado por los xl'··· ,xn
tales que la variedad lineal afín [xl' ... ,xn] generada por ellos
tiene dimensión exactamente k, resulta de 2.1 (cf.l.2):
2.2. PROPOSICION. a) Para to.do. k ~ O. E o.pera (mediante (9)) so.bre
n Ek"
b) En es una subvariedad de En y V induae un difeo.mo.rfismo. k
~: E;¡E ::; L(k,V,E).
c) Para aada p ~ O eL ao.njunto. U E~ es ~errado. en En. kSp
Del mismo modo, usando 1.4 se obtiene:
2.3. PROPOSICION. Si k.;;; dim(E), Za apLiaaaión ~k: E~ ->- H~(V) de
fine una fibraaión Zo.aaZmente triviaZ. ao.n fibra tipo. eZ espaaio.
E x O(k,E).
En partiauLar. si r = dim(E) se o.btiene un fibrado. prinaipaL
E x O (E) ->- E~ ->- H; (V) ao.n e Z grupo. E x O (E) o.perando. so.bre En m,e
diante Za aaaión diago.naZ. (Nótese que en taZ aaso. En es abierto. en r
Ahora es muy fácil demostrar el teorema de Schoenberg ([2], 43.1):
2.4. PROPOSICION. Sea E un espaaio. de HiZbert. sea O .;;; k .;;; dim(E) y
sean t ij ~ O (1 .;;; i,j .;;; n) taZes que t ii = O, t ij = t jf para to.do.
i,j. Ento.naes so.n equivaZentes Zas siguientes afirmaaiones:
a) Existen xl' ... ,xn en E que verifiaan: i) La dimensión de Za va-
185
riedad lineal af{n [Xl' ... ,Xn1 es k;
i, j .
ii) Ix.-x.1 1 J '
t ij para todo
b) La matriz a () E R(n-l)x(n-l) d f· ·d por a ij i,j<n e ~n~ a
a .. 1J 1. (t~ + t~ 2 1n Jn (12 )
es semidefinida positiva de rango k.
c) La forma cuadrática v -+ Q(v) = 1: i,j
t~. v. v. (definida sobre Rn) 1J 1 J
es definida negativa de rango_k sobre el hip~rpZano de ecuación n 1:
i=l v. = O.
1
Demostración. La equivalencia de a) y b) resulta de 2.3 puesto que
2 a .. = Ix.-x.12 + Ix.-x 12 - Ix.-x.12 = 2<x.-x , X.-X > expresa 1J 1 J J n 1 J 1 n J n que la matriz a es de la forma <Pk(x) (cf.(l1), V = Rn-l).
La equivalencia de b) y c) es rutinaria: si M es el hiperp1ano en n
Rn de ecuación 1: i=l
aplicación de Rn- l
v. 1
O, se interpreta M como el gráfico de una
en R. Más precisamente, sea j: Rn-l -+ Rn , n-l
j(vl' ... 'vn_l ) = (vl' ... 'vn_l , - .1: vi)' así que j es un isomorfis 1=1
mo entre Rn- l y M.
Ahora si a = (aij)i,j<n es la matriz definida a partir de los t ij . n-l mediante (12) y Sl K: R -+ R es la forma cuadrática asociada (es
decir, K(v) = 1: aijvivj ), entonces un cálculo simple muestra que i,j
~(v) -t Q(j(v)) para todo v E Rn-l. Luego K es semidefinida posi-
tiva si y sólo si QIM es semidefinida negativa.
La afirmación correspondiente al rango es también inmediata, ya que j es un isomorfismo.
NOTA. Si se pretende que los puntos x1, ... ,xn de 2.4 a) sean todos
distintos hay que agregar hipótesis a las afirmaciones b) y c), ya sea: t .. > O para todo i ~ j, o bien utilizando el hecho que
1J a ij = <xi-xn ' xj-xn > = <Pk(X)ij' imponer las condiciones
a .. > O 11 a .. + a .. > 2 a .. 11 JJ 1J (1..:; i,j ..:; n-1).
De otra forma, si I:J. es la diagonal generalizada enEu :
186
En_~ es una subvariedad abierta de Rn , establece por la acción de
E; la proposición 2.2 subsiste si se reemplaza E~ por E~-~ y
L(k,V,E) por L(k,V,E)~ (subconjunto formado por las aplicaciones de
de rango k que verifican O # f(a.) # f(a.) si i < j). 1. J
En 2.3 se debe reemplazar H~(V) por el subconjunto abierto formado
por las formas cuadráticas q (positivas, de rango k) que cumplen las condiciones
q(a.-a.)>0 si 1.,;;i<j.,;;n-1. 1. J
REFERENCIAS
[1] Wintner A., The ana!yz~ca! 60undaz~on~ 06 ce!e~z~a! mechan~c~, Princeton Math. Ser. 5 (1947).
[2] Blumenthal, L., Theony and app!~caz~on~ 06 d~~zance geomezny, O xi o r d Un iv. P r e s s. (1953).
[3] Koschore, U., ln6~n~ze d~men~~ona! K-zheony, Proc. of Symp. in Pure Math. Vol.XV (1970), 95-135.
Departamento de MatemStica, FCEN Universidad de Buenos Aires Pabellón I, Cdad. Universitaria, Cap. Fed. (1428) Argentina.
Recibido en diciembre de 1981.
Versión final diciembre de·1984.
Revista de la Unión Matemática Argentina Volumen 31, 1984.
FI~ITE TETRAVALENT MODAL ALGEBRAS
Isabel Loureiro
187
ABSTRACT. We prove that a finite tetravalent modal algebra is deter
mined, up to an isomorphism, by its determinant system, applyingthe results of [4] .
INTRODUCTION.
It is well known that a finite distributive lattice A is determined, up to an isomorphism, by the ordered set u of all its prime elemen~ [1] . Similarly, a finite De Morgan algebra A is determined by its d~ terminant system [5,6,8] . The aim of this paper is characterize the determinant system of a finite tetravalent modal algebra A and ob
tain from it the structure of A.
Recalling from [3,4] we have:
1. DEFINITION. A tetravalent modal algebra <A;A,v ,-,í!, 1> or, simply A, is an algebra of type (2,2,1,1,0) satisfying the fo11owing axioms:
Al) xlI(xvy) = x A2) xlI(yvz) = (ZIIX) V (y IIX)
A3) --x = x A4) -(XllY) = -xv-y
AS) -Xví!x A6) XII-X -XIlí!X
Let A bea finite tetravalent modal algebra and <u,l> its prime spe~ trum [4]. In this case, it is well knownthat a prime filter P of A is a principal filter P = F(p) where p is a prime element of A [2]. Therefore we sha11 identify the set u with the family of a11 prime elements of A. We can also identify the Birula-Rasiowa transformation associated with A [4] , 1, with a map 4> from the set u of a11
prime elements of A, into itself. If p E u, 4>(p) is the generator of the principal prime filter I(F(p)) = F(q), i.e., 4>(p) = q E u. Thus 4> has the following properties:
1) 4>(4)(p)) = p for each p E u.
2) If P1,P2 E u and P1 ~ P2 then 4>(P2) ~ 4>(P1)'
188
2. DEFINITION. The eouple <n,~> is the detepminant system of .the fi nite tetravalent modal algebra A .
. An immiediate eonsequenee of theorem 3.8 of [4] is the following result, whieh gives us the eharaeterization of the determinant system of a finite tetravalent modal algebra:
3. THEOREM. The detepminant system <n,~> of a finite tetpavaZent
modaZ aZgebpa A, has ~-connected components of the thpee foZZowing
types:
Type I: !J p with Hp) p.
Type II: {X ~ with Hp) q and Hq) p.
Type III: pO~q with Hp) q and Hq) p.
Following the work of A.Monteiro in [5,6,8], let us show that it is possible to Tecover the operator V· from the·knowledge 0:1; the determinant system of a finite tetravalent modal algebra A.
From [4] we reeall the following lemma, that will simplify the proofs of next results:
4. LEMMA [4]. Let A be a tetpavaZent modaZ aZ'gebpo., a E A. If P is
a ppime fiZtep in A, then Va E P iff a E P op a E ~(P).,
We have then:
5. THEOREM. In a finite tetpavaZent modaZ aZgebpa A with detepmi
nant system <n,~>, if p E n, then Vp = pv~(p).
Ppoof. Let us prove that we ha ve (a) pvHp) <; Vp. From [4] we know that (b) p<;Vp. 5inee p E n, P = F(p) is a prime filter in A. Let us suppose that (e) Hp) .¡;;, Vp; it follows then (d) Vp ~ F(~(p)) = t{P), From (d), by lemma 4, it follows P ~ t{t{p)) = P, whieh is a eontradietion. 50 we get ~(p) <; Vp and we have (a) as wished •
. Let u's suppose that (e) pvHp) < Vp holds. It is well known, in lat tiee theory, that in this eondition, there is a prime filter Q=F{q) in A sueh that:
(f) Vp E Q and (g) pv~(p) ~ Q.
From (f) and lemma 4, it follows either eh) p E Q or (i) p E t(Q) . 5inee (h) eontradiets (g), we have (i), whieh is equivalent to O) P ~ t(Q). Applying lemma 2.4 of [4]' to eondition (j), we get either
189
(!) P = <ll (Q) or (m) <ll (P) = <ll (Q). From (l), we have p c' rp (q), thus
rp(p) = q and so rp(p) E Q, which contradicts (g). From (m) we get P = Q, so P E Q, that al so contradicts (g). Therefore we cannot have condition (e); hence, from (a) it follows that pvrp(p) = ~p.
From the aboye result, we then have:
6. THEOREM. Let A be a finite tetravalent modal algebra whose deter
minant system is <TI,rp>, If x E A , we have:
1) If x o then ~x O.
2) If x -F O then ~x V (pvrp(p)), where TI(x) {p E TI: p .;;; x}. pe:TI(x)
Proof. Let x E A. 1) If x=O, by definition O = -1 [3]. Using axiom
A6 ) we have O A 1 = 1 A ~O, thus O = ~O, so Vx = O.
2) Let X-FO. It is well known that: (a) x = V P [2] pe:TI(x)
Since ~(avb) ~a v ~b [3], from (a) i t follows: (b) ~x V ~p. pe:TI(x)
From (b) and theorem S, we finally have:
~x - V (pvrp(p)). pe:TI(x)
Now we can prove the main result of this paper, which justifies the
given name of determinant system of a finite tetravalent modal algebra:
7. THEOREM. Let <rr,rp> be a couple formed by a finite ordered set rr(';;;) and an anti-isomorphism rp from TI into rr which is an involution
of rr, such that its rp-connected components are of the three types
of theorem 3. Then, there is up to an isomorphism, a finite tetra
valent modal algebra A whose determinant system is<rr,rp>.
Proof. In these conditions, from [1,5,6,8] we ha ve at once that there is, up to an isomorphism, a finite De Morgan algebra A whose determinant system is <TI,rp>. Define an operator V over A:
Let x E A:
~l) If x=O, let ~O O,
V (pvrp(p)), where TI(x) {p E TI: p .;;; x} , pe:rr(x)
These formulas make sense, because rr(x) is a finite seto From the definition of the operator V, we get at once (1) x .;;; Vx.
We must prove that this operator ~ satisfies the two axioms AS) and
A6) from the definition of a tetravalent modal algebra.
190
a) Axiom As) -xv'íJx = 1 is verified:
Let us suppose that we had (2) -xv'íJx ,¡, 1. By [7], from (2) it follows that there is a prime filter P of A, such that (3) -xv'íJx ~ P. From (3) we get: (4) -x ~ P; (5) 'íJx ~ P. Condition (4) is equivalent to x ~ -P, which is equivalent to (6) x E ~(P). But, applying lemma 4 to condition (5), we obtain x ~ P and x ~ ~(P) which contr~ dicts (6). Thus, condition (2) cannot hold and so axiom AS) is fulfilled.
b) Axiom A6) XA-X = -xA'íJx is verified:
From (1) it follows at once (1) XA-X ";;-XII'íJx. Let us suppose that we had (7) -XA'íJX ~ x A -x. Then it should be a prime filter P of A such that (8) -XA'íJX E P and (9) XA-x: ~ P. From (8) it follows (10) -x E P and (11) 'íJx E P. Applying lemma 4 to (11) we get either (12J x E P or (13) x E ~(P). Conditions (10) and (12) imply XA-X E P, which is against (9), so (12) cannot hold and we have (13). But this one is equivalent to x ~ -P which is equivalent to -x ~ P, which contradicts(10). Therefore we cannot have (7) and we get (11) -XA'íJX .,;; XA-X.
From (1) and (II) it follows that axiom A6) XA-X fied.
-XA'íJX is veri-
Therefore the operator 'íJ gives to A the required structure of tetra valent modal algebra.
191
REFERENCES
[1] G.BIRKHOFF, R'¿ng.6 06 Se.t:.6, Duke Math.Jour., 3(1937) 443-454.
[2] G.BIRKHOFF, Lat:t:.ic.e. t:he.oJtlj, Am.Math.Soc., 1948.
[3] I.LOUREIRO, AX'¿omat:úat:'¿on e.t: pJtopJt.¿Hé.6 de..6 a.tgebJte..6 moda.te..6 t:e.t:Jtava.te.nt:e..6, C.R.Acad.Sc.Paris, t.295 (22 Novembre 1982) Série 1, 555-557.
[4] I.LOUREIRO, PJt'¿me. Spe.ct:Jtum 06 a t:e.t:Jtava.te.nt: moda.t a.tge.bJta, Notre Dame J. of Formal Logic. Vol.24, N°3 (1983) 389-394.
[5] A .. MONTEIRO, A.tge.bJta.6 de. MoJtgan, Curso de Algebra de la Lógica 111, Univ.Nac.del Sur (Bahía Blanca, Argentina) (1962) l°sem.
[6] A.MONTEIRO, Conjunt:o.6 gJtaduado.6 de. Zade.h, Técnica 449/450 Vol.XL (1978) p.II-34.
[7] A.MONTEIRO, F.¿.tt:Jto.6 e. lde.a'¿.6 11, Notas de Matemática N°S. Col. L.Nachbin, Rio de Janeiro, 1959.
[8] A.MONTEIRO, Mat:Jt'¿ce..6 de. MoJtgan caJtact:éJt'¿.6t:'¿que..6 pouJt .te. ca.tcu.t pJtopO.6.¿t:'¿onne..t c.ta.6.6'¿que., An.Acad.Bras.Cienc.32, N°l (1960), 1-7.
Recibido en febrero de 1982.
Versi6n final octubre de 1984.
C.M.A.F. 2, Av.Gama Pinto, 1699 Lisboa Codex, Portugal.
Revista de la Unión Matemática Argentina Volumen 31, 1984.
THE UNIQUENESS OF THE COVARIANT DERIVATIVE
Ricardo J. Noriega
1. I NTRODUCT I ON.
192
It is very well, known that with the components u i of a covector, its
partial derivatives u .. and the components of a linear connection 1.,J
i r jk we can form a 2-covariant tensor, the covariant derivative of
the covector relative to the connection, whose components are:
(1. 1)
It is also known (for instance, see [4], pp.308-312) that the ass~ tion of the product rule and (1.1) define univocally the covariant derivative of any tensor of any type. In the classicaltensor anal:r. sis, the covariant derivative is motivated by the requirement that it must be linear in u. and u .. , and the transformation rule for
1. 1. ,J
the connection is derived from the assumption that the covariant de rivative is a tensor of type (1.1).
In this paper we prove a sort of a reciprocal. We show that, assu.ming linearity in the partial derivatives only and up to the order of the indices, the covariant derivative is the only 2-covariant tensor concomitant of a covector, its first partial derivatives and a symmetric connection. We do this essentially by working out the invariance identities [3] that tensorial concomitants must satisfy.
2. CONCOMITANTS OF A COVECTOR.
2. a) SCALARS
Let L be a scalar concomitant of a covector, i.e., L
for any change of coordinates
it must be:
L(u ) p
(2.1 )
(2.2)
193
where B~ axi/axP. Differentiating (2.2) with respect to B: and
l oa a °b °b slonce 10t eva uatlng at Bb = (\ we have L' ua = O, where L' = aL/all¡" and
must be satisfied for every covector, we deduce L;b = O. But then:
and so L is a constanto
2. b) TENSORS OF TYPE (1.1)
Let L~ be a concomitant of a.covector, i.e., L~
the change (2.1) it must be:
Lh(BP u ) = Bi Ah L~ (us ) k s P k j 1
(2 03)
where A~ is the inverse matrix of Bh i e B~ Aj óh . For the chan J j' o o, J P P
ge of coordinates given by xi = Axi (A # O) we have from (203):
Making A + O en (2.4) we see that L~ (us )
aLh _k_ = O aU i
L~ (O), and so:
No~ we differe·ntiate (2.3) with respect to B: and set B~ tain, from (2.5):
Contracting b z i, we have:
(2.4)
(2.5)
15 8 to ob b.
where a is a scalar concomitant of ui and so it is a constant, i.e.,
a isa real number. Making f3 = a/n we see t.hat it must be, forany (1,1)-tensor concomitant of a covector:
(2.6)
2. c) TENSORS OF TYPE (2.2)
Let L~~ be a concomitant of a covector ti i , i.e., L~~ L~~ (u i ) . 1J 1J
Then, for the change (2.1), it must be:
L~~ (BP u ) = P B~ Ah Ak Lst (u) (2.7) 1J S P Bi J s t pm
194
-i For the change of coordinates given by x Ax i (A # O), we have from (2.7):
L~~ (A u ) = L~~ (u ) 1.J P 1.J P
(2.8)
Making A ... O in (2.8), we see that L~~ (up ) 1.J L~~ (O), and so: 1.J
aL~~ ~
3u p
O (2.9)
Now we differentiate (2.7) with respect to B: and evaluate at B: o: to obtain, from (2.9):
O = o~ Lh~ + o~k L~~ - oh L~~ - Ok L~~ 1. aJ J 1.a a 1.J a 1.J
Contracting b i we have:
Since L~~ and L~~ are tensors of type (1,1) concomitants of a covec-1.J 1.J
tor, they must satisfy (2.6). Then:
(2.10)
CJ. and S being numbers. Changing h and a, we have a similar equation.
Multiplying (2.10) by n and substracting y the latter, we obtain
and so, for n # 1, the concomitant Lh~ must be of the form: aJ
(2.11)
with CJ. and S real numbers. From (2.10). the same is true for n = 1.
Others concomitants of a covector have been studied elsewhere [2],
but we will only need (2.11).
3. THE COV~RIANT DERIVATIVE.
Let L .. be a 2-covariant tensor concomitant of a covector, its first 1.J
partial derivatives and a syrnmetric connection, i.e.,
If we assume that L .. is linear in uk h' then it must be: 1.J ,
195
L. ~hk (U s ' r i ) 1.J S t
It is known (see [1), Theorem A.2) that then it is: L;hk
and so from (2.11) we see that
Integrating we obtain:
h L .. = a. u .. + i3 u .. + T1.'J' (uh ' r ko ) 1.J 1.,J J,1. ~
From the transformation rule for Lij it is easy to obtain:
(a.+i3) B!k u i + Thk (B! u i ' A! B~ t + A! B~ B~ r;m) =
= B! B~ Tij(us ' r!t) ,
L~~k (us), 1.J
(3.2)
(3.3)
where B~k
and setting
02xi/oxh oxk . Differentiating (3.3) with respect to Bb~ i i
Bj = OjO we have:
(a.+i3) 1 (·.ob .oe + .oe .ob) T ' be O 2 u h u k u h u k ua + hk a = , (3.4)
where Th~ b~ = oThk/or~e' From (3.4) we see that, if {b,c} # {h,k},
then it is . be Thk a = O. Also from (3.4) we have:
hk . kh 1 Thk ' a = Thk ' a = -2 (a.+i3) ua
(no summation convention here for h and k). Integrating ap.d taking into account the symmetry of the connection:
0.5)
Replacing (3.5) in (3.3) we obtain the following:
THEOREM. If Lij = Lij(ui;Ui,j; r!k) is a aonaomitant of a aoveator.
its first partiaZ derivatives and a symmetria aonneation. and if it
is Zinear in the u ..• then it must be 1.,J
where the vertiaaZ bar stands for the aovariant derivative reZative
to the given aonneation.
196
REFERENCES
[1] Mc KELLAR, A connec~~on app~oach ~o ~he E~n~~e~n-Maxwell 6~eld equa~~on~, Gen.Rel.Grav., vol.6, pp.467-488, 1979.
[2] NORIEGA,R.J., Ten~o~e~ deduc~do~ de o~~o~ ~en~o~e~ y de ~u~ den~vada~ dnd~na~~a~. Rev. Univ. Nac. Tucum~n, A, mat.fís"teor., vol.25, nOl-2, pp.89-112, 1975.
[3] RUND,H., Va~~a~~onal p~oblem~ ~~volv~ng comb~ned ~en~on 6~eld~. Abh.Math.Sem.Univ. Hamburg, 29, pp.243-262, 1966.
[4] SANTALO,L,A., Vec~one~ y ~en~one~ con ~u~ apl¿cac~one~, EUDEBA, Buenos Aires, 1961.
Departamento de Matem~tica Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires.
Recibido en abril de 1982.
·Revista de la Unión Matemática Argentina Volumen 31, 1984.
A NOTE ABOUT THE CONSISTENCY OF AN INFINITE
LINEAR INEQUALITY SYSTEM
M.A .. Goberna, M.A. L6pez and J. Pastor
197
ABSTRACT. The consistency of an infinite linear inequality system
is formulated through an optimization problem which, in sorne particular cases, is a simple nonlinear prográmming problem.
1. I NTRODUCT I ON.
Let {a~x ~ St' t E T} be a system, generally infinite, of linear
inequalities over Rn (a t E Rn , St E R). Let us denote by S the set
of solutions of this system. If S ~ 0, the system is said to be consistent.
A relation a'x ~ S is a "consequence" of the system {a~x ~ St' tE T}
if it is satisfied for all x E S.
We have proved the following characterization of the consequence r~
lations: "a'x ~ S is a consequence of the consistent
{a~x ~ St' t E T} if and only if [;] E cl Ke", where
Yt ~ St' t E T} denotes the convex cone generated by
system
Ke = K { [~~] , such vectors,
cl Ke being its closure. Different proofs of the last statement are gi ven in [2] and [3].
We have also obtained, for the homogeneous case, the following characterization: "a'x ~ O is a consequence of the system {a~x ~ O , t E T} if and only if a E clK{a t , t E T}".
We shall consider sets included in sorne space RP, 11 xII being the cor . R2 1/2 responding euclidean norm of x, Le., 11 xII = [ L (x.)] .
i=1 1
Given a non empty set T e RP, we shall denote by int T, ri T and
bdry T the topological interior of T, the relative interior of T
and the boundary set of T, respectively.
198
2. THE CONSISTENCY AS AN OPTIHIZATION PROBLEH~
LEMMA 1. The system {a~x ~ St' t E T} is aonsistent if and onZy if
[~lJ ft el Ke·
Proof· Let us suppose that e~J be10ngs to el Ke. This means that
the relation O~x ~ -1 is a eonsequenee of the given system. if we
assume S ~ 0. But this eonstitutes a eontradietion.
Let us suppose now S = 0. Then. the system {a~x+StXn+1 ~ O • t E T}
xn+1 < O
is not eonsistent. Therefore -xn+1 ~ O is a eonsequenee re1ation of
{a~x+StXn+l ~ O, t E T}, or equiva1ent1y. [~~J E el K { [:~J. te T} e
e el Ke.
REMARK. By means of this resu1t. it is possib1e to give simp1er proofs of some properties of ineonsistent systems a1ready known, sueh as a theorem due to B1air [1] and the 1emma 1 of Jeros10w and Kortanek [4].
THEOREM 1. Let a be defined as inf{xn+1 ; x
Then S ~ 0 if and onZy if a > -~.
[X . ] E Ke' 11 xII Xn+1
1}.
Proof. Jf a = -~, then there is a sequenee ir. r = 1,2 •••.• ine1u
ded in Ke' sueh that IIxrll = 1 and l!m x~+1 = -~.
We ean admito with no 10ss of genera1ity. that x~+1 < O. r = 1,2, ...
. 1 r 1-1 - r S1nee xn+1 x. r = 1.2, ... is a1so eontained in Ke and eonver-
ges to [~~J, we ean assert that [~lJ E el Ke' i.e .• the system is not
eonsistent:
Let us suppose now that [~~J E el Ke. The set ri (el Ke) is non
vaeuous. Jf the given system is not trivial there is a point y E ri (el Ke) sueh that y ~ 0n.
Sinee Ay + (l-A) [~lJ E Ke for a11 real number A. O < A ~ 1 (lemma
of aeeesibili ty). we have xr: = 11 yH -1 [y + (r-1) [~~J] E Ke' r = 1,2 ••• ;
But IIx~1I = 1 and xn+l = lIyll-l(Yn+1+1-r1. r = 1.2,... Henee a = -~
REMARK. We ean take K{ [:~J . te TJ instead of Ke in 1emma 1 and Th.l.
199
Z Z 2 l/Z Z EXAMPLE. Let S := {x E R ; (1+(t 1) +(t 2)) X1 +t 1X2 ';; t 2 , tER}.
It can be easi1y seen that K{[:~J, t E RZ} =
= {x E R3 ; -(x1 )Z+(xZ)Z+(x3 )Z.;; O}. Then IIxll- 1x3 ;;;' -1 for all
x E K{[::J, t E RZ} , x F O2, Hence cr ;;;. -1 and S F 0.
In sorne cases the near Prograrn (P):
optimization prob1ern can be reduced to a Non1i-
Inf. St }
S.t. a t = 0n' t E T
Let. v be the va1ue of P. As usua11y, v = +00 if P has not a feasib1e point.
LEMMA 2. If T is a aZosed aonvex set in Rm, with dirn T > O , there
are a aonvex funation f and a famiZy of Zinear funations.
{h i , i 1, ... ,p}, p = rn-dirn T, su ah that:
(1) T O , i 1 , 2 , ••• ,p-}, and
(2) feto) < O fop some tO E T.
Proof. We sha11 distinguish twocases in the proof.
(i) dirn T m. We can suppose, with no 1055 of genera1ity, that 0n E int T. Let us denote by q the Minkowsky functiona1 of T. Then,
by a wel1 known property of q, we have T = {t E Rm; q(t) .;; 1}. If we define f(t): q(t)-l, we obtain the desired representation of T.
(ii) dirn T = rn-p, p > O. Choosing a point tI E ri T and denoting
by L1 the linear subspace of Rm generated by T-t 1 we can write
Rm L1 al Lz' By (i) , there is a convex function g: L1 ---+ R such
that T-t 1 {t E L1 ; g(t) .;; O} and g(O ) < O. lf we define m-p
f: Rm --+ R such that f(t) = g(t~), where t ll is the projection of 1
t on L1 , we can easi1y obtain the desired representation.
THEOREM 2. Let {a~x .;; St' t E T} be a system suah that:
(i) T is a aompaat aonvex set in Rm.
(ii) St is aonvex and aontinuous on T.
(iii) a t
is Zinear.
Then, the system is aonsistent if and onZy if v ;;;. O.
Proof. First we shall prove that v < O irnp1ies S ,;, 0. Under the hy-pothesis, there is sorne t E T such that a O and v 8_ < O. If
t n t
there is a point XO E S, then a' XO = O .;; 8 < O. t t
200
Por the converse statement, let us assume S = 0 or, equivalently,
[~1] E el Kc· Then, we can find a sequence (xk) e Kc with l~m xk
being :xk 1: tET
( Ak) E R(T) and t tET +
~k ~ O. It follows that ll"m{ 1;'0 ,k[Oa t ] + (1 k) [OnJ} ¿ A +~ 1 = 0n+l· Since
S = 0 , i3 := min i3 t < tET
that, for all k ~ kE,
Hence 2 k 1-E At ~ m > ° tET
and
= 0n+l. Let us define
k tET t i3 t
O. For each E, ° <E < 1 , there is a kE such
( 1: A~)i3 + 1 .;;; 1: Ak i3 + 1 + ~k .;;; E. tET tET t t
, for all k ~ kE , and if we define
, we have lim{ 1: >:k[a t ] + a k [OlnJ} k tET t i3 t
1;' ~k t k := ¿ A t E T. As a consequence of the tET t
hypothesis on the functions, 1: >:~ a t = a t and ¿ >:k i3 t = i3 t +yk tET k tET t k
for a certain yk ~ O.
Taking 6k := ak+yk > 0, we obtain
Since (tk ) e T, let (t j ) be a subsequence converging to t o E T,
and, by continuity,
Therefore (6 j ) ~s convergent. Let 6° , 6° ~ O. It results
[:::] + 6° [~nJ = 0n+l' 1. e., ato
and i3 t = _6°.
°
0n (t o is a feasible point )f P)
If 0° is greater than zero, then v .;;; i3 t < O. If 0° = 0, then v';;; O.
° We have to consider just the case 0° = 0, v ~ O. In this case, for
t E T, a t = 0n implies i3 t ~ O. By lemma 2, the feasible set of pro
blem P can be represented as follows: {t E Rffi: f(t) .;;; 0, a t = 0n'
h(t) ° } p where f is convex, h is linear and there is a feasible
point t such that fe!) < ° (Slater's qualification).
By the well known necessary optimality conditionsfor the non-diffe
rentiable nonlinear programming problem, there are multipliers
201
y = (A ,x ,u ) '- E Kl +n+p , A ;;;. O, such that (t ,y ) is a saddle o o o o o o o
point for the lagrangean function W(t,y) = St + Af(t) + x'a t +
+ u'h(t).
The right hand side inequality, together with the complementarity
condition, give O
t E Km. If t E T, it follows O ~ St + x~at' i.e.,
tradiction completes the proof.
-x E S. This con o
ACKNOWLEDGEMENT. The authors are indebtedto the referee for having suggested a shorter proof of ·lemma 2.
REFERENCES
U) BLAIR,C.E. (1974): A Note on In6-(.n-ite SyJltem.s 06 L-i.nea.1L Inequa.l-it-ieJl -in Rn • Israel J. Math.~, 150-154.
[2) GOBERNA,M.A., LOPEZ,M.A. & PASTOR,J. (1981): Fa.ILk.a.Jl-M-inkowJlky Sy.6temll -in Sem-i-In6-(.n-ite PlLOglLa.mm-ing. App1.Math.Optim.I, 295-308.
[3) GOBERNA,M.A. &PASTOR,J. (1981): Una. genelLa.l-iza.e-i6n del Lema. de Fa.lLka.Jl eon a.pl-iea.e-ioneJl a.l a.ndl-iJl-ill eonvexo y a. la. plLoglLa.ma.e-i6n. Rev.Real Acad. de Ciencias LXXV, 1199-1208. Madrid.
[4) JEROSLOW,R.G. & KORTANEK,K.O. (1971): On Sem-i-In6-in-ite SyJltemJl 06 L-inea.1L Inequa.l¡t¡eJl. Israel J.Math.lQ, 252-258.
Recibido en abril de 1983. Versi6n final setiembre de 1984.
Fachltad de Ciencias Universidad de Alicante España.
Revista de la Unión Matemática Argentina Volumen 31, 1984.
ON THE €-SUBDIFFERENTIAL OF A CONVEX FUNCTION
Telma Caputti
1. I NTRODUCT I ON.
202
The €-subdifferential of a convex function has been proved to be a useful tool in convex analysis, from the theoretical viewpoint as
well as for practical purposes.
Throughout this paper, f is a lower-semicontinuous convex function
from Rn (the usual vector space of real n-tuples) into (_00,+00]
Given such a function and € > O the €-subdifferential of f at
X o E domf (domf is the set where f is finite) is denoted by d€ f(xo)
and defined by
wherce f* designates the Frenchel conjugate of f defined by
f*(x) = sup {~xo'x> - f(x o)} [1] Xo
and <xo'x> is the usual inner product of two vectors xo'x.
Let p be a non null vector in Rn ; throughout the sequel we shall as
sume that Xo E int(domf) (int(domf) is the interior of domf). Then
it is well known that d€f(xo) is a nonempty compact convex set so that we can denote
sup <p,x> x€d€f(xo)
f(x O +Ap) - f(xo) + € inf 1.>0 A
Moreover a major aim of research is to define a concept of second derivative for a nondifferentiable function. In this respect Nur
minski [2] proved that the set-valued mapping d€f(.) is locally
Lipschitz when f is real-valued. More recently, Hiriart-Urruty [3,
Corollary 3.4] proved that this last assumption could be omitted
and that d€f(.) is locally Lipschitz on int(domf).
Hence v is locally Lipschitz on int(domf) and following Clarke [4]
the generalized directional derivative of v at Xo in direction d,
denoted vO(xo;d) is given by
203
V(XO+h+Ad) - v(xO+h) Um sup
h+O A A+O+
It follows from a fundamental theorem of Clarke [4, Proposition 1.4]
that
vO(xO;d) = sup <z,d> ze:ov(xo)
where (since v has at almost all points a derivative) ov(xo) is the
convex hull of the set of limits of the form Vv(xo + hn) when
hn -+ O as n -+ +00; ov(xo) is called the generalized gradient of v
at xO. We always have v' (.,.) < VO(.,.).
In the first part (Section 2) sorne properties of v(xo) and v' (xó;d)
are proved andin the second part (Section 3) p will be considered as
a variable. We shall denote
and we shall study the properties of the functions
p -+ f~(xo;p;p)
P -+ f~(xo;p) + t f~(xo;p;p) since one of the possible applications of the formula glvlng
f~(xo;p;p) would be to define a Newton type method for minimizing a
nondifferentiable convex function. Following this idea we propose a convergent algorithm similar to defined by Bertsekas-Mitter [5]. In this section we shall describe a descent algorithm for the minimiz~
tion of a convex function subject to convex constraints. Rather than considering explicity the constraints, however, we shall allow the
function to be minimized to take the value +00.
Thus the problem of finding the minimum of a function g over a set X is equivalent to finding the minimum of the extended real-valued
function f(x) = g(x) + o(x/X) where o(./X) is the indicator function of X, Le., o(x/X) = O for x in X; o(x/X) = 00 for x f/; X.
Stating the problern forrnally: Find inf f(x) where f: Rn -+ (-00,+00] X
is a convex function which is lower semicontinuous wi th inf f(x) >-co x
and f(x) < +00 for at least one x in Rn . With this assumption, the function f is a closed proper convex function as defined in [1].
A basic concept for the algorithm that we shall present is the notion of e:-subgradient. This notion was introduced in [6], [7] in
connection with investigations related to the existence and charac
terization of subgradients of convex functions.
204
PRELIMINARIES AND NOTATIONS.
If we consider the optimization problem
'v(xo) = sup <p,x> xeaef(xO)
(P)
we can associate the usual dual problem
(D)
where
with
a(xo) = inf 8(xo ;U) u~O
8(xO;u) = sup L(x;xO;u) xeRn
= {<p,x> - u(f(xo) + f*(x) - <xO,x> - e) if x E domf* L(x;xo;u)
-oootherwise
(1 .1)
(1 .2)
(1 .3)
Denote by U(xo) the set of optimal solutions of (D), that is,
U(xo) = {u > o: a(xo) 8(XO;U)} and let M(xO) be the set of opti
mal solutions of (P)
M(xO) = {x E aef(xO): v(xO) = <p,x>}.
Since aef(xO) is compact convex and nonempty, M(xO) is a nonempty
convex compact seto Furthermore, since aef(.) is locally Lipschitz
on int(domf) M(.) is closed and locally bounded on .int(domf) (the set-valued mapping M(.) is said to be
re exists a neighborhood V of Xo such
locally bounded at Xo if the
that U M(z) is bounded). zeV
Also, U(xo) is a nonempty convex and compact set and since f = f**
it follows that
{U(f(XO +
sup <p,x> xedomf*
if u > O (1 .4) ,
if u = O (1 • S)
Now, using the methodology of Hogan [8, Theorem 2] we use the following theorem, the Lemarechal-Nurminski theorem [9], deleting the coercivity assumption.
THEOREM 1.1. [9]. The direationaZ derivative of v at Xo in the di
reation d is given as
max xeM(xO)
min - u(f'(xO;d) - <x,d» ueu(xO)
and the operators max-min aommute.
(1 .6)
205
2. PROPERTIES OF THE FUNCTIONS V(XO) ANO v'(xO;d).
According to the express ion of v' (xo;d) in the Lemarechal-Nurminski
theorem and considering p as a variable, we set
We can study very interesting properties of the following functions
is val id.
p -+ f~(xo;p;p)
P -+ f~(xo;p) + } f~(xo;p;p)·
U(xo)' Then for all A > O the 'relation
UE(xO;Ap) = AUE(xO;p)
(2 . 1 )
(2.2)
(2.3)
According to (1 .4) the following statements are equivalent for
u > O:
iii) A u(f(xo + ~) Au
PROPOSITION 2.1. a) f~(x0;P;P) ~ O for alt p.
Proof. From (1.6) in Theorem 1.1 we ha ve
min - u(f' (xo ;p) - f~ (xo ;p)) UEUE(XO;p)
(2.4)
(2.6)
from which we obtain inequality (2.4) since u ~ O and since f~ ~ f'.
The relation eb) is an immediate consequence of the aboye proposition
andformula (2.6). (q.e.d.)
Throughout the sequel we shall assume henceforth that f is real-va lued.
Suppose now that f is strongly convex, that is, there exists o > O
such that for each x, y and A E [0,1] we have
f(Ax + (l-A)y) .;; H(x) + (l-A)f(y) - A(1-A)ollx-yIl2
where 11.11 denotes the usual Euclidean norm in Rn .
It is very easy to establish the following property: If the function A -+ ~(A) = f(xo + Ap) is strictly convex on R+, then U(xo) is
reduced to a single point u(xo)'
206
This property is an irnmediate consequence of the convexity of f and the properties of the subgradient of Seu) with Xo fixed. Then f is
strict1y convex and Ue(xO;p) is reduced to a single point ue(xo;p).
Moreover ue (.,.) is strict1y positive. So if we define lle(XO) =
= min {ue(xo;p): IIpll = 1} we have lle(') > O.
The set def(xO) has some interesting properties from the a1gorith
mic point of view as shown by the fo110wing two propositions:
PROPOSITION 2.2. Let Xo be a veator suah that f(xo) < oo. Then
o < f(xO) - inf fez) < e if and onZy if O E def(xO)' z
Proof· By definition of e-subdifferentia1 of f at xo ' that
x E Rn is said to be an e-subgradient of f at Xo if
f (z) ~ f(xo) - e + <z - xO,x> for a11 z in Rn •
is,
In consequence, O E def(xO) if and on1y if fez) ~ f(x) - e for a11
z in Rn which is equiva1ent to the desired re1ation. (q.e.d.)
PROPOSITION 2.3. Let Xo be a point suah that f(xO) < 00 and
O ~ def(xO)' Let p be any Veator suah that
sup <p,x> < O. xedef(xo)
Then ",e have f(xO) - inf f(xo + Ap) > e. A>O
(2.7)
(2.8)
Proof. Assume the contrary, i.e., inf f(xo + Ap) - f(xo) + e ~ O , A~O
then we have
f(xO + Ap) - f(xo) + e --=-------=---- ~ O
A for a11 A > O.
Using the definition of v(xo) this implies that
sup <p,x> xedef(xo)
f(xO + Ap) - f(xo) inf --~----~~--~----- ~ O . A>O A
+ e
Since def(xO) is c10sed this imp1ies that O E def(xO) which contra-
dicts the hypotesis. (q.e.d.)
In the case O ~ dtf(xO), a possib1e method for finding a vector
y(xo) in Rn such that sup <y(xo) ,x> < O is the fo110wing: xedef(xO)
Let x*(xo) be the unique vector of minimum norm in def(xo)' Then
207
the vector ~(xo) = -x~(xo)/~x~(xo)~ (2.9)
sup <~(xo) ,x> = -~x~(xo)~ < O. xe:í\/ (xo)
sa tis fies
Propositions 2.2 and 2.3 form the basis for the algorithm that we shall present latero
PROPOSITION 2.4. If f is strongly convex, then the functions
and P --->- f' (x .p) + 1 f"(x 'p.p) e: o' 2 e: O' ,
satisfy the following relations
f~(xO;p;p) = keJxO) ~p~2 for all p
(f~(xO;p) + i f~(xO;p;p)) ;;"~p~ (-~x~(xo)~ + i ke:(xo)~pll)
Proof. We remark that
min max <z,d> ~ d~ ~l Ze:de: f (xO)
Moreover, if f is strictly convex, wehave
(2.10)
(2.11)
f(x O + \p) - f(xO) + e: 2 e: _......c.. ___ \ __ ----" ___ ;;.. f' (xO ;p) + \~p~ o + X- ' for a11 \ > O.
This inequality implies
inf \>0
f(xO + \p) - f(x O) + e: ----'--------=-----;;.. f' (xo;p) + min {A~p~ 2 + Í}
\ \>0
which is equivalent to
f~(xO ;p) - f' (xO ;p) ;;.. 218"6 ~.p~
and since Ue:(xO;p) is homogenous in p and is reduced to a single
point ue:(xo) we obtain the relations (2.10) and (2.11) respect-
ively. (q.e.d.)
REMARK 2.1. If O E de:f(Xo) then f~(xo;p) ;;.. O for each p and from
(2.4) we have f'(x .p) + 1 f"(x 'p.p) :;;. O for a11 p. e: o' 2 e: O" "'"
If O é de:f(Xo)' then there exists p such that f~(xo;p) < O. Conse-
quently, there exists p satisfying:
~ p~ .;;;; 1 (2.12)
Therefore,
208
If f is strongly convex from Proposition 2.4 we obtain the follo
wing equivalence
REMARK 2.2. Dne can prove that UE(xO;') is 10cally bounded and clo
sed at each p # O.
Then from (2.6) it follows that the function
p -+ f~(xo;p) + } f~(xo;p;p)
is 10wer semicontinuous.
3. APPLICATIONS IN ALGORITHMS.
In connection with Propositions 2.2 and 2.3 we can state that whenever the value f(x) exceeds the optimal value by more than E, then
by a descent along a vector x satisfying (2.7) in Proposition 2~3 we can decrease the value of the cost by at least E.
Consider the following descent algorithm for the minimization of a convex function subject to convex constraints which is a descent nu
merical method for optimizationproblems with nondifferentiable cost functionals:
STEP 1. Select a vector Xo such that f(xo) < 00, a scalar EO > O
and'a scalar a, O < a < 1.
STEP 2. Given xn and En > O, set En+l ak E where k is the small n
est non-negative integer such that O ~ d f(xn). En+l
STEP 3. Choose a vector Yn that satisfies
fl (x;y) + 1 fE" (xn;Yn;Yn) < O • En+l n n 2 n+l
From Remark 2.1, such a vector exists if O ~ d f(x) and (2 7) En+l n' .
is valido
STEP 4. Set xn+l = xn + AnYn where An > O is such that
REMAR K 3.1. If xn is not a minimizing point of f there always exists
a non-negative integer k such that O ~ d k f(xn) since by Proposi a En
209
tion 2.2 we ha ve
k O <t:. dE: f(x ) if and only if f(xn) - inf f(x) > E: n+1 = a E: n+1 n x n
and by Proposition 2.3 there exists a scalar E: n such that
thus showing that Step 4 can always be carried out. One way of fin
ding a scalar An satisfying (3.1) is by means of the one-dimensio-
nal minimization
assuming the minimum is attained. This in turn can be guaranteed
whenever the set of minimizing points of f is nonempty and compact, since in this case all the level sets are compact [1].
REMARK 3.2. We note that Steps 2 and 3 of the algorithm can be car
ried out by means of the auxiliary minimization problem:
min 11 xII . XE:dakE: f(xn )
n
(3.2)
Now clearly we have O E d kE: f(xn ) if and only if (3.2) has a zero a n
optimal value and therefore Step 2 of the algorithm can be carried out by solving problem (3.2) successively for k = 0,1, .... There
exists an integer k for which the problem (3.2) has a nonzero opti
mal value. Let x* be the optimal solution of problem (3.2) for the first such integer k. Then a suitable direction of descent Yn sati~
fying (2.7) in Step 3 of the algorithm is given by Y = -x*/II x*1I . n
REMARK 3.3. This algorithm is the same as defined by Bertsekas and
Mitter in their paper but the kind of choice for Yn is different.
However, the proof of convergence given in [5] is always valid with
this kind of choice. Certainly, a good choice of Yn would be a vec
tor that minimizes the function
1 P -+ f' . (x;p) + -2 f" (xO;p ;p) E: n+1 O E: n+l
on the unit ball.
We are now attempting to implement such a choice.
After the release of the preprint of this article, the author has
been informed about the fact that a recent work along similar lines has been published by J.B.Hiriart-Urruty. Unfortunally she has not
210
been able to read it and verify the overlap between both papers.
REFERENCES
[1] R.T.ROCKAFELLAR, Conv~x Analy~~~, Princeton University Press, Princeton New Jersey, 1970.
[2] E.A.NURMlNSKl, Nond~66e~~n~~abl~ op~~m~za~~on w~~h E-~ubd~66~~en~~al m~~hod~, Working Paper 78-55, I.l.A.S.A; Luxemburg, 1978.
[3] J-B.HlRlART-URRUTY, L~p~eh~~z ~-eon~~nu~~y 06 ~he app~ox~ma~e ~ubd~66e~en~~al 06 a eonv~x 6une~~on, Mathematica Scandinavica 47 (1980) p.p. 123-134.
[4] F.CLARKE, Neee~~a~y eond~~~on~ 60~ a non~moo~h p~oblem ~n op~~mal eon~~ol and ~h~ ealeulu~ 06 va~~a~~on~, Dissertation, University of Washington, Seattle, W.A., 1973.
[5] D.P.BERTSEKAS-S.K .MlTTER, A d~~een~ num~~~eal m~~hod 60~ op~~m~za~~on p~oblem~ w~~h nond~66~~~n~~able eo~~ 6une~~onal~, SlAM Journal of Control and Optimization 11 (1973) p.p. 637-652.
[6] R.T.ROCKAFELLAR, Cha~ae~~~~za~~on 06 ~he ~ubd~66e~en~~al~ 06 eonvex 6une~~on~, Pacific Journal of Mathematics 17 (1966), p.p. 497-510.
[7] A.BRONSTED-R.T.ROCKAFELLAR, On ~h~ ~ubd~66e~~n~~ab~l~~y 06 con vex 6une~~on~, Proc. Math. Soco 16 (1965), p.p. 605-611. -
[8] W.W.HOGAN, V~~~e~~onal d~~~va~~v~~ 60~ ex~~~mal value 6une~~on~ w~~h appl~ea~~on~ ~o ~h~ eompl~~~ly eonv~x ea~~, Operations Research 21 (1973) p.p. 188-206.
[9] C .LEMARECHAL-E.A .NURMlNSKI, Su~ la d~66l~~n~~ab~l~~€ d~ la 60ne ~~on d'appu~ du ~ou~ d~66€~en~~el app~oeh€, Comptes Rendus de -l'Académie des Sciences 290 A(1980), p.p. 855-858.
Recibido en marzo de 1984.
Departamento de Matemitica Facultad de Ciencias Exactas Universidad de Buenos Aires.
211
RESUMENES DE LAS COMUNICACIONES PRESENTADAS A LA XXXIV REUNION
ANUAL DE LA UNJON MATEMATICA ARGENTINA
ABAD,M. (U.N.Comahue): Sobpe Zas áZgebras de Post n-vaZentes.
Para desarrollar una versi6n algebraica de la operaci6n de cuantifi caci6n en la l6gica n-valente de Post se introducen las álgebras de Post n-va1entes monádicas. Se estudia el reticu1ado de las congruencias de un álgebra P. Si K(P) es el conjunto de las constantes de P y B(P) es el conjunto de los elementos complementados de P, entonces existe una correspondencia biunívoca entre las congruencias de P,las congruencias de K(P), ~as congruencias de B(P) y las co~gruencias de K(P) n B(P). Esto proporciona una caracterizaci6n de las álgebras simples: P es simple si y s610 si P es subdirectamerite irreducible, y vía el teorema de representaci6n de Birkhoff se obtiene que toda álgebra "de Post n-va1ente monádica es subproducto di recto de álgebras simples. Se estudian las álgebras libres y se determina la estructura algebraica del álgebra de Post n-va1ente mo
nádica con un número finito de generadores libres.
AGUILERA,N.E. (PEMA (INTEC)) y CAFFARELLI,L.A. (U.Chicago): ReguZa
ridad de soZuaiones disaretas a probZemas eZ-íptiaos en eZ método de
eZementos finitos.
Se demuestran propiedades de regularidad como continuidad Holder y
desigualdades del tipo Harnack, clásicos en el caso continuo, donde las cotas son independientes del ancho de la ma11a~ supuesto que ésta cumpla algunas condiciones de uniformidad.
AGUIRRE,M.A. (U.N. del Centro): EZ produato muZtipZiaativo entre
o(k)(m2+p) y Za distribuaión (m 2+p)l.
En esta nota se evaluará el producto multiplicativo distribuciona1 .e.
entre (m2+p) y o(k) (m2+p) , donde m2+p = m2 + x~ + ... + x~ -
- x2 - .;. - x2 ,con p+q = n dimensi6n del espacio y p+l p+q
a(k)(m2+p) es la derivada de orden k de la medida de Dirac.
En particular para .e. = 1, se obtendrá el producto:
(m2+P).a(k)(m2+p) + k O(k-l) (m2+p) = O, k = 0,1,2, ... que genera
liza f6rmu1as que aparecen en el Gelfand and Shilov Vo1.1, pág.349 y son consideradas por ejemplo por Bol1ini, Giambiagi y Tiomno
212
para la teoría de regularización analítica en las ecuaciones clási
cas de Yang-Mills y sus aplicaciones en el potencial singular.
Además el producto (m2+p{.oC k )(m2+p), generaliza fórmulas usadas
por D.W.Bresters las que permiten obtener la fórmula:
(m2+P±iO)-k = (m 2+p)-k:¡: (_l)k-l 'IT i oCk-l~(m2"+"p) . (k-1) !
AlMAR,H. (PEMA, INTEC (CONICET-UNL)): Desigualdades con pesos para
operadores erg6dicos.
En 1968 A.P.Calderón demostró que los resultados de acotación y cog
vergencia para ciertos operadores de tipo ergódico, pueden obtenerse de los correspondientes resultados para operadores invariantes
por traslaciones. En un trabajo reciente de E.Atencia y A.de la To
rre se da un~ caracterización de los pesos W para los cuales el o
perador maximal ergódico discreto es acotado en LP(W), adaptando
la técnica de Coifman y Fefferman.
En este trabajo se demuestra que el método de A.P.Calderón puede a
plicarse para obtener desigualdades con pesos para operadores ergó
dicos asociados a familias de transformaciones con parámetro en un
grupo localmente compacto G. El caso especial del operador maximal
ergódico, M, definido por una familia de Vitali de entornos de O,
es consecuencia de la caracterización de pesos para los cuales el
operador maximal de Hardy-Littlewood sobre espacios de tipo homogé
neo es acotado en LP. De este modo obtenemos una condición suficien
te sobre un peso W, para la acotación de M en LP(W), que se reduce
a la de Atencia y de la Torre cuando G = Z.
ALVAREZ ALONSO,J.D. (U.B.A. - CONICET): "L{mite puntual de integra
les seudodiferenciales.
En la construcción de un álgebra autoadjunta de operadores seudodi
ferenciales con símbolos no indefinidamente derivables, continuos
en LP, se cae en el estudio de las siguientes integrales seudodife
renciales:
L f ex)
o <e:';;; 1 ,fES
donde:
1) Dados O .;;; o < 1, k = 1,2, ... , se define
N { k/l-o
[k/l-01 + 1
si es entero
si no lo es.
213
2) Pj(x,y,~) es una función continua en RnxRnxRn , con derivadas con
tinuas en las variables x,y,~ hasta los órdenes 2 [n/2]+N+k+2-j, 2 [n/2] +N+k+2-j, n+N+2-j, respectivamente.
Además
sup x,y,~ Cl,8,y
3) 11(0 es una función de truncación usual; o sea 11 E C:' 0';;;11 ';;;1,
{~ Se sabe, (ver [1]), que baj o es tas hip6tes is exis te C C(n,p) > O
tal que l<p<oo
Además existe lim LEf = Lf en L2 , independientemente de la funE-+-O
ci6n 11.
De aquí se deduce que también existe el límite en LP , 1 < p < oo.
El objeto de esta comunicaci6n es mostrar la existencia de límite
puntual, LE f(x) = Lf(x) E-+-O
pp en x E Rn .
[1] Alvarez Alonso, J. "An algebra of LP-bounded pseudo-differential operators". Journal of Math. Anal. and Appl., vol.94 nOl,(1983), pp.268-282.
APARICIO,L.V. y PALOSCHI,J.R. (PLAPIQUI (UNS-CONICET)): Métodos ro bustos en la resolución de ecuacionBs algebraicas no lineales.
Los métodos numéricos empleados en la resoluci6n de sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales son, en general, dependientes del punto inicial elegido, de su cercanía a la soluci6n o su condiciona
miento numérico. Con el fin de reducir esta dependencia y aumentar la robustez de los métodos, surge el método de continuaci6n. Con
siste en resolver la familia de problemas H(x,e) = O con
O .;;; e .;;; 1, que para e = O encuentra la soluci6n del problema origi
nal F(x) = O Y para e = 1 tiene una soluci6n conocida.
En este trabajo se analiza el rango de convergencia de dicho método en base a S'l comportamiento frente a un conjunto de problemas considerado estandar. Se estudian distintas formas de H(x,e) encoª tradas en la literatura [1], [2] ,[3] Y se proponen otras nuevas.
El algo.ritmo implementado para las pruebas utiliza el método de
continuaci6n en combinaci6ncon los métodos propuestos en [4].
214
[1] Broyden,C.G. "A new method of solving nonlinear simultaneous equations" Comp. Journal, 12, 1969.
[2] Kubicek,M. and Hlavacek,V. "One parameter imbedding techniques for the solution of nonlinear boundary-value problems" Appl. Math. Computo 4,317, 1977.
[3] Rheinboldt,W.C. "An adaptive continuation process for solving systems of nonlinear equations" Banach Center Publications, 3, 1975.
[4] Paloschi,J.R. "The numerical solution of nonlinear equations re presenting chemical processes" Ph.D. Thesis Univ. of London, 1982.
ARAUJO,J.O. (U.N. del Centro): EZementos enteros y eZ discriminante
en característica 2.
El objeto de este trabajo es dar métodos para expresar el discrimi
nante de un polinomio en función de los coeficientes del mismo cuan
do la característica del cuerpo es 2.
1 - ELEMENTOS ENTEROS.
Sea A un subanillo de un anillo conmutativo B, f Y g polinomios mó
nicos en A[~ con gr(f) = n, gr(g) = m. Notemos con F y G las matr!
ces compañeras de fy g respectivamente. Definimos en Bnxm los mor-
fismos: Sfg(C) = tF~C+C.G
sean S(X) = det(x.I-S fg )
Pfg(C) = t F . C. G. (C en Bnxm) , y
P(X) = det(X.I-Pfg) los correspodien-
tes polinomios característicos. Con estas notaciones se tiene:
PROPOSICION.Sean x,y en B tales que f(x) = O = g(y), entonces S(x+y) = O
Y P(xy) = O.
PROPOSICION. Si B es íntegro, f y g poseen raíces simples x1, ... ,xn,
Y1'" ·'Ym respectivamente en B, entonces las n.m raíces de S(X) y
P(X) son xi + Yj y x i ' Yj respectivamente.
11 - EL DISCRIMINANTE EN CARACTERISTICA 2.
Sea K un cuerpo de característica 2, f un polinomio m6nico en K [xl con raíces simples x 1 , ... ,xn y E.= K(x 1 , ... ,xn) el cuerpo de descom
posición de f. Pongamos:
f(X) Xn + Xn- 1 + a n _ 1 •
g(X)
Y T Pfg definido como en 1. Sea 2k
x. x. H(X) TI (X - (2. + --.1.))
i<j x j x. l.
2 n -m y:
Xk + ... +
con b. l.
c 1 ·X + c o
a ./a n-l. o
215
El discriminante de f está dado por:
& (f) ¿ xi' x j
i<j x~ + x~ 1 J
- c Ic 1 o
TEOREMA. i) Los valores propios de T son todos los posibles cocien
tes xi/x j .
ii) Sea E .. la base canónica de Enxn y M el subespacio generado por 1J
E .. +E ... M esT+T-1-invariante y si A es la matriz de T+T- 1 en una 1J J 1
base de M, entonces el polinomio característico de A es H(X).
iii) El polinomio característico de T puede calcularse como:
n n-l I n (X-1) .Q(X) con: Q(X) = det(Pn(F).X + ... +P 2(F).X + P1(F)) a o '
siendo F la matriz compañera de f y Pi(X) = an_i.xn-i+ ... +al'x +a o
COROLARIO. Sea A como en ii) del teorema y det(Ai ) los menores pri~ cipales de (n-1)x(n-1) de A, entonces
&(f) = _ E det(Ai ) det(A)
2k 2k-l COROLARIO. Sea Q(X) = X + d2k _ 1 .X + ... + dl.X + do como en
iii) del teorema, entonces:
BIRMAN,G. (U.B.A.): La f6rmuLa de Gauss-Bonnet en L 2 .
Si aD es el borde de una región D de una variedad riemanniana 2-dj
mensional, es bien conocida la fórmula de Gauss-Bonnet
J aD kg ds + J J D K dA + I e i = 211
Es posible extender este resultado a una variedad de Lorentz de di
mensión 2, donde, interviniendo los mismos elementos, la expresión de la fórmula es diferente de la expresada en el párrafo anterior.
BOUILLET,J.E. (I.A.M.(CONICET) y U.B.A.): Unicidad para soLuciones
de u t = ~a(u) con crecimiento exponenciaL.
TEOREMA. Sea a(.) monótona no decreciente, uniformemente Lipschitz,
a(O) = O. Sean u,~ E C(O,T; Lioc(R)) n L~oc(Rx(O,T)) soluciones dé
biles de u t = ~a(u) en el sentido de ([1], fórm.(l ,2)), tales que
a(u),a(~) admitan traza en L1({x}x(O,T)), x E R. Entonces, de
216
u(x,O) ~ u(x,O) y lul , lul ~ exp(KlxI 2) surge u(x,t) ~ u(x,t) pp en Rx(O,T).
COROLARIO. El problema de Cauchy para ut la clase indicada.
&a(u) tiene unicidad en
COMENTARIOS. (1) Podría permitirse cierto crecimiento potencial de a(.), modificando el crecimiento de u, u; (2) Si u,~ E Loo(Rx(O,D) y u(x,O) = ~(x,O), x E (-L,L), u(x,O) = 0, Ixl ~ L, entonces u ~ u y
11 (u-~)(.,t)IIL1(_k,k) ~ e: si L-k es grande. Es decir, el comporta-
miento de ~(x,O) fuera de (-L,L) es de efecto despreciable en (-k,k)x(O,T) .
Idea de la demostraci6n: la Prop.(1.2) y la f6rm. (1.5) de [1] apli
cadas a (u-u)t = &(a(u)-a(u)) en cualquier Q = (-L,L)x(t l ,t 2 ) ,
° ~ t 1 < t 2 ~ T permiten escribir t
J(U-U)fn (x,t 2)dX ~ J(U-U)+(x,tl)dX + IJ 2[(a(u)-a(U))fnx]~:~L dtl+o(n) tI
donde, siendo l/n ~ cn(x,t) ~ Cuna regularizaci6n de
(a(u)-a(u))/(u-u) y k «L, se obtiene fn(x,t) como soluci6n de
f + c &f = ° en Q con f(x,t 2) = regularizaci6n de sgn(u-~)+ si t n
Ixl ~ k, f(x,t 2) ° si k ~ Ixl ~ L, f(±L,t) = 0, tI ~ t ~ t 2 . 2 Se prueba que If (±L,t)1 ~ exp(-(L-k) /const.C.(t 2 -t)). nx
[1] D.G.Aronson, L.A.Caffarelli, Trans. A.M.S. 280(1), nov.1983, 351-366.
BRESSAN,J.C. (U.B.A.): TopoZogias compatibles en un sistema axiomá
tico para la convexidad.
Para un operador de cápsula convexa K que cumple los cinco axiomas considerados por el autor en Rev. U.M.A. 26 (1972),131-142 yen Rev. U.M.A. 31 (1983),1-5, se desarrolla una teoría sobre topologías localmente convexas compatibles con el operador K, siguiendo una idea de F.A.Toranzos expuesta en la XXXII Reuni6n Anual de la
U.M.A .. Ello permite obtener algunos resultados de la convexidad en espacios vectoriales topol6gicos dentro de este contexto axiom! tico. Análogamente se procede introduciendo una métrica compatible con el operador K, lo cual hace posible demostrar proposiciones de la convexidad en espacios vectoriales normados dentro de dicho con texto axiomático.
217
CABRELLI,C.A. (U.B.A.): El error en Shaping Filter.
En Teoría de Señales Digitales un resultado clásico sobre la acota
ci6n del error en Spiking Filter establece:
Sea w = (wo, ... ,wn), w F O, fk E Rl+1 tal que fk minimiza
l+1 ~ IIw * f - ekll z sobre fE R (donde ek = (0, ... ,0,1,0, ... ,0),
ek E Rn+l+1 y * denota convoluci6n) y sea Ek U) = 11 w * fk - ekll Z '
k = 0,1, ... ,n+l entonces
n+l Z 1) L EkU) = nO';;; Ek(l) ';;;1
k=O
2) Min Ek(l) -+ O para l ~ +00 k
3) EOU) -+ O para l ~ +00 si w es de fase mínima (o sea peZ) F O n
sil Z I .;;; con peZ) ¿ i=O
("The error in least-squares inverse filtering" J.F.Claerhout and
E.A.Robinson. Geophysics. V. 29 N°l, 1963).
En este trabajo se generaliza este resultado obteniéndose una aco
tación del error en Shaping filter con output desplazado:
Sea w = (wo, ... ,wn), dE Rm+l, ek E Rn+l-m , m < n+l fk E Rl+1
tal que fk minimiza IIw * f - d * ekll z sobre fE Rl+l, Y sea Ek(l)
= IIw * fk - d * ekll z k O, ... ,n+l-(m+l)
n+l-(m-l) 1) L Ek(l) .;;; 11 dll l , In+l-m rn
k=O
2) Min Ek(l) -+ O para l ~ +00 k
3) EO(l) -+ O para l ~ +00 si w es de fase mínima.
CAPRI,O.N. (U.B.A.): Una desigualdad que satisface la transformada
de Fourier de una distribuci6n perteneciente a un espacio HP para
b6lico.
Sea el espacio HP parab6lico relativo al grupo de transformaciones
lineales At = t P (O < t < 00), donde P es una matriz tal que
(Px,x) ;;;. (x,x).
Se prueba que si f E HP, O < p .;;; 2, Y si P .;;; q, l/p + l/q ;;;. 1 ,
entonces
(*)
donde c es una constante que depende de p y de q, y donde y es la
traza de la matriz P.
218
El presente resultado extiende un resultado de Calderón y Torchins
ky (Advances in Math. 25 (1977), 216-225, Teorema 4.4) donde la fó~ mula (*) se prueba bajo hipótesis considerablemente más restrictivas: O < p < q/q-1 < 2.
CAPRI,O.N. y FAVA,N.A. (U.B.A.): Una extensión del teorema de extra
polación de Yana.
Sea T un operador sublineal definido sobre las funciones simples integrables de un espacio de medida a-finita (X,~) con valores en la clase de las funciones medibles sobre X, que satisface a las con die iones
(i) ITf - Tgl < e IT(f~g)1
(ii) IITfll oo < 11 flloo
(iii) IITfIl <C IIfll (p>l), donde C p p p p
siendo a. > o.
O( 1 ) cuando p + 1+, (p_1)o.
Se demuestra que T admite una extensión a la clase Ro. formada por todas las funciones f, tales que la integral
es finita para todo A > O Y que T transforma Ro.+S en RS para todo S ;;;. O.
CAPUTTI,T. (U.B.A.): Análisis subdiferencial en espacios vectoria
les parcialmente ordenados.
Así como el análisis convexo proporcionó la noción de subdiferenciabilidad permitiendo la extensi6n de resultados del cálculo dife
rencial en el caso de aplicaciones a valores vectoriales no suaves la reciente teoría de gradientes generalizados de Frank H.Clarke
permite tal extensi6n en el caso no convexo. El prop6sito es, ento~
ces, estudiar tal extensión para aplicaciones a valores vectoriales no convexas. Para esto se introducen las nociones de aplicaciones localmente o-Lipschitz sobre espacios vectoriales localmente con
vexos Hausdorff, subdiferenciales algebraicas y topol6gicas y gradientes generalizados de las mismas obteniéndose resultados relativos al cálculo subdiferencial.
CARBAJO,R., CISNEROS,E. y GONZALEZ,M.I. (PROMAR (CONICET-UNR)): EZ Radical Primo de un "skew" Anillo de Grupo.
Sea G un grupo totalmente ordenado representado por automorfismos
219
de un anillo K con unidad. Sea el 'skew' anillo de grupo
R = KG = {L Uo ao ' ao E K , ao = O sal va un número finito} oe:G
donde la suma se define naturalmente y la multiplicación por distri butividad a partir de la igualdad auo uoo(a).
Un ideal I de K es un G-ideal si 0(1) 1, para todo o E G.
Se define para todo ordinal a
ó
ó
Sea) L {I <J R/I es G-ideal nilpotente módulo
Sea) 1. S(y) si a es un ordinal límite y<a
N(a) L {I <l R/I es nilpotente módulo N(y)}
N(a) = L N(y) si a es un ordinal límite y<a
S (y)}
si a
Por inducción transfinita se prueba el siguiente:
TEOREMA. Para todo ordinal a
(a) Sea)
(b) N(a)
N(a) n K
S(a)G.
si a
y +1
y + 1
De acuerdo a la definición dada, para Sea) existirá un ordinal ~
tal que
S (~) S(~+l) = ••• S(K)
De la misma forma para N(a) existirá un ordinal n tal que ~R(n) ~
= NR(n+ 1)
mo de R).
P(R) (ideal que recibe el nombre de radical pri-
Se demuestra corno corolario dei Teorema anterior que:
COROLARIO. P(KG) = P(R) ~S(K)G.
Se logra además caracterizar el ideal S(K). En efecto, se define
corno ideal G-primo a todo ideal I de K, tal que si AB e r entonces
A CIó B e 1, para todo G-ideal A, B de K.
Se prueba luego el siguiente:
TEOREMA. El G-ideal S(k) puede caracterizarse de la siguiente for
ma:
S(K) n {I/I es G-ideal G-primo de K}
S(K) n {I/I es G-ideal y K/I no tiene G-ideales nilpotentes no
nulos} .
CESCO,J.C. (IMASL, U.N. San Luis-CONICET): Expansi6n no uniforme
en un modelo de crecimiento .de Von Neumann.
220
En este trabajo se presenta una generalizaci6n del modelo de creci
miento de v.Neumann, permitiendo que los factores de expansi6n y de interés sean diferentes para los distintos procesos y bienes res~ pectivamente. El resultado principal es el de existencia del cual
se dan dos demostraciones. Una usando un teorema de J.Los, sobre existencia de un modelo trimatricial y la otra utilizando un resul
do de E.Marchi sobre máximos de funciones.
CIGNOLI,R. (U.B.A.): Sobre AZgebras de Nelson.
En este trabajo se caracterizan las álgebras de Nelson subdirectamente irreducibles y se dan algunas propiedades del reticulado de las subvariedades de la variedad de las álgebras de Nelson, que son aplicadas al estudio de cálculos proposicionales intermedios entre el cálculo trivalente de Lukasiewicz y el cálculo constructivo con negaci6n fuerte de Markov y Nelson.
COMPARINI,E. (U.de Florencia) y TARZIA,D.A. (PROMAR (CONICET-UNR)):
Sobre un problema de Stefan unidimensional a una fase sujeto a una
condición integral.
Se considera el siguiente problema de Stefan unidimensional a una
fase (J.R.CANNON-J. VAN DER HOEK, J.Math.Anal.Appl., 86 (1982),
281-291) :
(P)
u -u xx t o o < x < s (t)
seO) = b b > O
u(x,O) = ~(x) O ~ x ~ b
u(s(t),t) = O O < t < T
ux(s(t),t) = -s(t) O < t < T
o < t < T
fs<t) O u(x,t)dx=E(t) O<t<T
en el cual se consideran datos ~,E que verifican ciertas hip6tesis
pero sin especificaci6n de signo.
Utilizando el método integral de Friedman (J.Math.Mech., 8 (1959),
499-517), se prueba que existe T > O de manera que el problema (P) tiene una única soluci6n u = u(x,t) y s = s(t) en el intervalo de tiempo (O, T). Además, en el caso de un líquido superenfriado se es
tudia el comportamiento de la frontera libre s(t).
COTLAR,M. (U.Central de Venezuela) y SADOSKY,C. (U.B.A.): Procesos
estocdsticos estacionarios generaZizados y aZgunas aplicaciones.
221
Los procesos estocásticos estacionarios son aquellos procesos cuyos
núcleos de covarianza son invariantes o de Toeplitz. El estudio de
estos procesos a través de la representaci6n integral de sus núcleos ha dado lugar a diversas generalizaciones ya clásicas del concepto de estacionariedad. Problemas en la teoría de integrales singula
res nos han llevado a la introducci6n y al estudio de los núcleos de Toeplitz generalizados (GTK). [1] En el presente trabajo llamamos
procesos estacionarios generalizados a aquéllos cuyos núcleos de co
varianza son GTK y los caracterizamos, así como a los nuevos procesos harmonizables que engloban a las generalizaciones antes mencionadas, mediante las representaciones integrales de ellos (Integrales estocásticas) y de sus núcleos.
Se dan aplicaciones a la existencia de soluciones estacionarias generalizadas de ecuaciones diferenciales (o a diferencias, en el caso discreto), de acuerdo al enfoque iniciado por Bochner.
[1] Proc.Symp.Pure Math.l1., Amer.Math.Soc. (1979), pp.383-407.
DIAZ,D. y FIGALLO,A.V. (IN.MA.SJ., U.N.San Juan): Dos Conjuntos de
Axiomas para las Algebras de Lukasiewiez TrivaZentes.
En este trabajo damos dos caracterizaciones diferentes de las álgebras de Lukasiewicz trivalentes en términos de los conjuntos de co
nectivos {+,,} , {+,,}, donde +'7" reciben el nombre de implicaci6n de Lukasiewicz, negaci6n fuerte y negaci6n débil respectivamente.
1) AXIOMAS EN TERMINOS DE LA IMPLICACION DE LUKASIEWICZ y NEGACION
FUERTE. Sea B = (A,l,"':,,) un sistema donde (A,l,+) es un álgebra 13 [1] Y , es un operador unario definido sobre A de modo que los si-
.guientes axiomas son verif~cados para todo x,y E A.
Al) (,X+X)+77 X = 1 , A2) ,X+77 X = 77 X , A3) ,x+(x+y) = 1 ,
A4) 77(X+y) = X+(X+77Y) , A5) ,(((x+y)+y)+,l) = (,(X+,l))+,(y+,l))
+,(y+,l) .
Entonces si ponemos: -x = x+,l , Vx= 77X , X V Y = (x+y)+y , X 11 Y = - (-x v -y) , entonces el sistema (A,l, -, V,v, 11) es un álgebra de Lukasiewicz trivalente [2].
11) AXIOMAS EN TERMINOS DE IMPLICACION DE LUKASIEWICZ y NEGACION
DEBIL. Consideremos B = (A, 1,+,1.'1 donde (A,l ,+) es un álgebra 13 y ,
es un operador unario definido sobre A de modo que las siguientes
identidades son verificadas
B1) ,x+x = x , B2) \,x+y = x+(x+y) , B3) "x+(,x+y) = 1 ,
B4) ,,((x+y)+y) = ("x+"y)+"y , B5) ,((x+y)+,l) = "x+,(y+,1)
222
Si definimos7x = ~t(x""t1), entonces el sistema (A,1, .... ,7) verifica los axiomas A1), ... ,A5 ) de 1).
[1] Iturrioz,L. and Rueda,O.: AIg~bres implieatives trivalentes de Lukasiewiez Libres. Diserete Mathematiesj 18 (1977).
[2] Monteiro,A.: Sur la définition des algebres de Lukasiewiez trivalentes. Bull. Math. Soe. Se. Math. Phys., R.P.Roum., 7(55) nO 1-2 (1963).
DICKENSTEIN,A.M. y SESSA,C.I. (U.B.A.): Representación de Ciclos A
naliticos como Residuos Múltiples.
Todo ciclo analítico T en una variedad compleja X define una corrien
te global de integración [T] en X. En el caso particular en que
T = [f-1(O)] sea el ciclo imagen inversa asociado a una aplicación
holomorfa f = (f1 , ... ,fp )' es sabido que [T] puede representarse c~
1 p df 1 dfp mo una corriente residual: [T] = Res y[ (Z1Ti) --r-"" . "-f-] , do!!.
1 p
de Y = {Z(f 1), ... ,Z(fp )}' Usando una caracterización de los haces de
cohomología moderada desarrollada previamente, obtenemos el siguiente
TEOREMA. Todo ciclo analítico es una corriente localmente residual.
Más explícitamente: Dado T un ciclo de codimensi6n p y x E X, para
toda familia Y ='{Y 1 , ... ,Yp } de hipersuperficies con intersección
completa tal que sop(T) ~ n Y cerca de x, existe una p-forma mero
morfa A con polos sobre uy tal que [T] = Res y [A] .
DOBARRO,F. (U.B.A.) y LAMIDOZO,E. (U.B.A.-I.A.M.): Sobre la rela
ción diferencial entre la curvatura escalar y el peso de un produc
to ponderado.
Dadas dos variedades riemannianas (M,g) y (N,h) de dimensión m y n
respectivamente, el producto ponderado con peso f: M -+ R+\{O}, no
tado MxfN, es la variedad producto MxN provista de la métrica g da
da por
donde X,Y son vectores tangentes a MxN en x, 1T: MxN -+ M,
w: MxN -+ N las proyecciones canónicas.
Si notamos R la curvatura escalar en MxfN, R la de M, H la de N, de
mostramos que la relación diferencial entre éstas está dada por /'
2-2 2 f R = -n(n-1) IVfl + Znf ó f + f R + M g
donde I vfl 2 "
laplaciano en
gij:lif:l/ ' L'.g
(M, g)) con L'. u g
223
es el operador de Laplace-Beltrami (o
" -ViV.u. le
Dadas R Y H, nos interesamos en las ,posibles curvaturas escalares R, tomando el peso f como incógnita. En particular cuándo R puede ser constante y qué constantes puede valer.
DOTTI,I.G. (IMAF-CONICET): Métriaas aon aurvatura de Riaai ~ O en
produatos semidireatos.
Es un problema abierto la determinación de los grupos de Lie reales que admiten métricas invariantes a izqu1erda con Ric ~ O. Si nos restringimos a los grupos unimodularesel problema está resuelto para grupos Solubles y parcialmente para grupos semisimples.
Para el caso de un grupo de Lie con radical abeliano podemos probar:
i) Si G = RH, R subgrupo normal abeliano, H subgrupo compacto, admite métrica con Ric ~ O entonces H es abeliano y la métrica en G es flato
ii) SiG = RS, R subgrupo normal abeliano, S subgrupo semisimple de tipo no compacto que admite métrica con Ric ~ O Y e ortogonal en tonces G admite métrica con Ric ~ O.
Cabe mencionar que salvo un número finito de excepciones todos los grupos de Lie simples complejos admiten métricas como las pedidas en ii).
DRQETTA,M.J. (FAMAF-,CIEM): Variedades homogéneas visibtes y sus pUl!
tos det infinito.
Sea H una variedad riemanniana homogénea simplemente conexa completa y sin puntos focales. (por ejemplo una variedad de curvatura seccionalK '~ O). HadnÍite un 'grupo de Lie soiuble G, simple y transitivo
de isometrlas, entonces se estudia la acci6n de G en He-), el conjunto de puntos del infinito de H.
Para el caso en que H satisface el axioma de visibilidad (por ejemplo si K < O) se obtiene lo'sigUiente:
Sig es el álgebra de Lie de G y [G,G] es el subgrupo de Lie conexo de G con álgebra de Lie [g"g] " existe una geodésica y en H cuyo punto en el infinito y(-) es el conjunto limite L( OO,G]). Además y(-) es el único punto fijo de cada g ~ id en [G,G] , el único punto fijo común de G, y todas las 6rbitas [G,G] (x), G(x) con x ~ y(-) coincid~n con H(-) - {y(-)}~ Luego estas órbitas son densas en H(-).
En el caso particular H = G un grupo de Lie soluble con una métrica invariante a izquierda sin ~untos focales, ~,g] tiene codimensión
224
uno en 9 y ~a geodésica y cuyo punto en el infinito es L( [G,Gl) es
la geodésica exptX donde X es un vector unitario en el complemento
ortogonal de ~,gl en g.
DUBUC,E. (U.B.A.): Integración de Campos Vectoriales en Geometria
Diferencial Sintética.
Sea M --+ E un modelo bien adaptado de la Geometría Diferencial Si~
tética, donde M = categoría de las variedades Coo • Dada una variedad M E M Y un campo vectorial COO M ~ TM, se demuestra que el resultado clásico de la teoría de ecuaciones diferenciales orqinarias
que afirma la existencia en M de un flujo integral local es equiva
lente a la existencia en E de un flujo integral infinitesimal definido en el intervalo ~ e Reales, ~ = no (-e,e), donde (-e,e) indi-
e>
ca el intervalo abierto. (y donde la intersección es tomada en E. Notar que si es tomada en M da simplemente {O}). Se muestra luego que el pasaje de 10 ~-infinitesimal a 10 local, y en el caso de una
variedad compacta, de 10 local a 10 global, puede hacerse utilizan
do la lógica interna del topos E sin recurso a la teoría clásica.
FAURING,P. (U.B.A.): Teorema de estabilidad para campos vectoriales
lineales complejos.
Sea Xt(Cn) el espacio de los campos vectoriales lineales en Cn con
la topología inducida por L(Cn,Cn).
DEFINICION. A E Xt(Cn) es estable si existe un entorno Q e Xt(Cn)
de A tal que para todo B E n hay un homeomorfismo f de Cn que aplica las órbitas de A en órbitas de B.
DEFINleION. Una transformación lineal L de Cn tiene la propiedad P
si i) L tiene n autovalores distintos
ii) Dados dos autovalores de L,Ai y Aj , Ai.Aj ~ R.
Con estas definiciones se obtiene una demostración constructiva del
siguiente
TEOREMA. A E Xt(Cn) es estable si y SÓlO si la transformación li
neal asociada a A tiene la propiedad P.
FIGALLO,A.V. (IN.MA.SJ.,U.N.San Juan) y TOLOSA,J.J. (U.N.S.): Las
álgebras ID-K.
225
Llamaremos álgebras ln-K a toda álgebra (A,+,K,l) de tipo de similaridad (2,1,0) que verifica los siguientes axiomas para todo x,y E A:
Al) x+x =
A4) KKx+y
, A2) x+(y+z) = (x+y)+(x+z) , A3) (x+y)+x = x ,
, AS) Kx+(x+y) = 1 , A6) K(x+y)+Ky = 1 ,
A7) Ky+(x+K(x+y)) = 1 , AS) (x+y)+((y+x)+((Kx+Ky)+((Ky+Kx)+x)))
= (x+y)+ ((y+x)+ ((Kx+Ky)+ ((Ky+Kx)+y)))
Entonces se prueba:
TEOREMA 1. Toda álgebra 13-K simple es isomorfa a (T,+,K,l), donde
T = {0,1/2,1} y +,K están dados por las tablas:
o 1/2
o
o
1/2
1
1/2
x
o 1/2
Kx
o
o
Sea B = {0,1} la 1n-K subá1gebra no trivial de T. Entonces:
TEOREMA 2. Toda álgebra 1n-K no trivial es subproducto directo de
copias de T y B.
GATTO,A.E. (U.B.A.), GUTIERREZ,C.B. (U.B.A.) and WHEEDEN,R.L. (Rutgers University, U.S.A.) : Fraationa7, Integra7,s on Weighted HP Spaaes.
We characterize the pairs of doub1ing weights (u,v) on Rn such that
11 la fll q .;;; C 11 fll O < p < q < "" , Hu He
where 1 , a > O, is the fractiona1 integral operator. We a1so consia der the behavior of an associated maxima1 function. ApPlications of
the resu1ts to Sobo1ev inequa1ities in weighted LP spaces are given.
A weight function u is said to be10ng to D , ~ ~ 1, if ~
1il(tQ) .;;;
.;;; C tn~ u(Q) for every t ~ 1 and every cube Q e Rn , where u(Q) deno-tes the u-measure of Q and tQ is a cube with the same center as Q but with t times the edge1ength. We wri te D"" = ~~l D Ana10gous1y,
~
u E RD v' v > O, if u(tQ) ~ C t nv u(Q) for every t ~ 1 and every cu-
be Q. 1f a ~ n, we write Na = u-n if a is an integer add ~-n-ll+1
otherwise, where Ixl denotes the integer part of x, and define So."
fox O < a < ti by So. = S and for a ~ n by S~ = {f E S: If(Y) ySdy=O,
Isl .;;; N }. For E,a E R, u a non-negative function ~nd f E S', we in a
troduce the fo110wing maxima1 function:
226
where Bt(x) denotes the ball with center x and radius t.
STATEMENT OF THE MAIN RESULTS.
THEOREM 1. Let 0< p';;;; q < ao, U E Dll n RDv ' v E Dao and E,a E R satis
fy E > -a/ll if a > O and E > -a/v if a .;;;; O. Then
liMa u E (f)1I .;;;;C 11 fll " Lq HP u v
if and only if
IQl a / n u(Q)E/n+l/q .;;;; C v(Q) l/p for every cube Q.
THEOREM 2. Let a > O, O < P < q <ao , u,v E Dao' Then
11 1 a fll q .;;;; C 11 fll p Hu Hv
for every f E Sa
if and only if
IQl a / n u(Q)l/q .;;;; C v(Q)l/p for every cube Q.
The technique used to prove theorem 2 can be used to obtain a sufficient condition for the case p=q.
As an application of the results aboye we mention the following So
bolev type inequality: If 1 < p .;;;; q < ao, then
for every f E cao with support disjoint o
from the origin if and only if
and 1 l.;;;; 1 . p q n
When l/q > -y/n , (1) is valid for every f E cao by passing to the o limi t.
GONZALEZ,R.L.V. (CONICET-UNR): DuaLidad y gradientes aonjugados en
eL tratamiento de probLemas de programaai6n LineaL.
Se muestra en este trabajo cómo el método de gradientes conjugados puede -ser utilizado (previo agregado de necesarias modificaciones) en la resolución de problemas de programación lineal (PPL).
En una primera etapa se transforma PPL en un problema coercivo equi valente. Esto se realiza introduciendo una transformación F(x): R -+ R, cuyo cálculo implica la solución de un problema coercivo. Los puntos fijos de la transformación F son las soluciones
del PPL y se calculan a través de la iteración xn+l = F(xn). Se de-
227
muestra en este trabajo que siempre se alcanza un punto fijo al cabo de un número finito de iteraciones.
La transformación F se calcula resolviendo el problema coercivo aso ciado, por el método de dualidad, buscando los puntos deensi11adura de un Lagrangiano L(y,p) obtenido del PPL original a través del agregado de multiplicadores para las restricciones y de una perturbación cuadrática de la· función lineal a ser minimizada.
El problema final a ser resuelto tiene la forma max(min L(y,p)), p:?:O y
que es la optimización de una funci6n cuadrática en el conjunto
p+ = {p E Rm / p ~ O}. Esta optimizaci6n se resuelve utilizando una modificación del método de Po1yak (1) de gradientes conjugados de optimizaci6n con restricciones. Este nuevo algoritmo, tal como el de Po1yak, conver~e en un número finito de pasos.
El algoritmo global obtenido de esta forma converge hacia la soluci6n buscada en un número finito de etapas.
La metodología desarrollada de esta forma permite resolver problemas de grandes dimensiones en minicomputadoras; en efecto, la programación del algoritmo es sencilla (menos de 100 líneas en BASIC) y los requerimientos de memoria son pequeños ya que además de los elementos no nulos de la matriz que define el PPL original se necesita reservar s610 2 vectores auxiliares de dimensi6n "n" (dimensi6n de las variables prima1es) y 3 vectores de dimensión "m" (dimensión de las variables duales).
(1) B.T.Polyak - USSR. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 9: 94-112 (1969).
GONZALEZ,R.L.V. (CONICET-UNR): SoLución num4rica de probLemas de
juegos diferenciaLes de suma nuLa con tiempo de detención.
Se estudia en este trabajo la soluci6n numérica de la inecuación de
Hamilton-Jacobi-I.saacs (inecuación variaciona1 bilátera) asociada a problemas de juegos diferenciales de suma nula con tiempos de detenci6n. Empleando elementos finitos lineales y discretizaciones que satisfacen un principio de máximo discreto, se obtiene un problemaaproximado cuya soluci6n existe, es única y puede ser calculada por un algoritmo iterativo de tipo relajaci6n. Se prueba asimismo la convergencia uniforme de las soluciones aproximadas hacia la funci6n V "valor del juego" y se da una acotaci6n de la velocidad de convergencia.
HANSEN,G. (U.B.A.): EL espacio af1:n ampLiado:· IV. EL teorema de aa-
228
cesibilidad y los teoremas de separaci6n por hiperplanos.
Se presentan versiones en el espacio afín ampliado de los teoremas clásicos de la convexidad relativos a los temas mencionados en el título.
HARBOURE,E. (PE,MA (INTEC-CONICET-UNL)): Desigualdades de Sobolev y
Poincaré con pesos y algunas aplicaciones.
Se demuestran aquí versiones locales y pesadas de las desigualdades
de Sobolev y Poincaré con dos pesos diferentes. Más concretamente,
se dan condiciones sobre los pesos w y W Pfra que valgan las desigualdades
i) (JlflqW)i/q ~ C(JIVfIPw)i/P q ~ P , para toda f E C~,
ii) JQlf-fQIPw ~ C JQIVf lP w donde f Q denota el promedio de f
sobre el cubo Q.
Se exhiben dos aplicaciones de estos resultados. Por un lado se demuestra una desigualdad de Harnack débil para una clase de opera
dores elípticos degenerados, y por otro se hallan estimaciones del menor autovalor de una ecuaci6n tipo Schroedinger.
MARANGUNIC,P.R. y TURNER,C.V. (PROMAR (CONICET-UNR)): Vinculación
del tipo de soluci6n de un problema de Stefan a dos fases con el
valor numérico de una integral de energía.
Se completan algunos resultados contenidos en el trabajo de A.FASA
NO - M.PRIMICERIO (Quart.Appl.Mat,h., 38 (1981), 439-460), referidos al problema de Stefan a una fase, tanto en el caso clásico (líquido con temperatura inicial no negativa) como en el de un líquido
sobre-enfriado. Se estudia el comportamiento de la pendiente de la
frontera libre para el denominado caso B.
Posteriormente, se extienden ciertas propiedades al problema a dos
fases
u = u t O<x<s(t) ,0<t~T v =v set) < x < 1 0< t ~ T xx xx t
u(x,O) = ~ (x) O ~x ~a v(x,O) = 1jJ(x) a ~ x ~
ux(O,t) = O O <t ~ T vx (1,t) = O O < t ~ T
u(s(t) ,t) O O < t ~T v(s(t) ,t) O O < t <T
O<t<T,
en base a la f6rmula integral s(t) = Q - fS(t) u(x,t)dx - Ji v(x,t)dx O s (t)
229
con Q = a + f: ~(x)dx + f:W(X)dX, considerándose el casó del líqui
do sobre- enfriado con sólido sobre-calentado (~ .;;; O ,W ;;. O), así como
las restantes situaciones (líquido sobre-enfriado con sólido clási
co, etc.) Se relaciona la existencia de soluciones de tipo A, B ó C
con los posibles valores numéricos de Q.
MARANO,M.A. Y CUENYA,H.H. (U.N.Río Cuarto): Algunos resultados sobre
aproximación local en L 2 .
Sean xi' 1 .;;; i .;;; k, puntos de R, ~E
de polinomios de grado a lo sumo n.
k ~ (xi -E 'Xi +E) Y rrn la clase
Sea n+l = kq+r, O .;;; r < k. Si f está en L2 , existe un único polino
mio PE en rrn que mejor aproxima a f con respecto a la norma
11 fll = ( f I f ( t) I 2 d t / I 1 1) 1/ 2 • E 1 E
E
Si f es suficientemente suave en los k puntos, existe Po = lím P E-+O E
y es un polinomio en rr n que coincide con las primeras q derivadas de
f en los k puntos. Si r=O esta condición caracteriza unívocamente a
Po' no así si r > O.
En este caso, se prueba que cuando q es impar o bien cuando k 2,
Po queda determinado por la condición adicional de minimizar k ¿ ((f-Po) (q) (xi)) 2 . 1
MARCHI ,E. (IMASL, U.N .San Luis-CONICET): Intercambiabilidad de puntos
de equilibrio en juegos extensivos con información completa.
En este trabajo se demuestra la intercambiabilidad de puntos de equi
librio en juegos extensivos con información completa.
MARTINEZ FAVINI-DUBOST,C. y OUBI~A,L. (U.N.La Plata): Homogeneidad
en hipergrafos.
Se generaliza para hipergrafos la noción de composición por sustit~
ción de grafos: se definen en forma natural las partes .homogéneas
restringidas de un hipergrafo, que constituyen un reticulado parti
tivo. Se relaciona este concepto con el de comité de un hipergrafo
mediante la introducción de las partes F-homogéneas, para una fami
lia F de partes del conjunto de vértices.
230
MELLEIN,B. (INIFTA): Cin~tica de reacciones de varios tipos en poZi
meros.
Se considera una cadena de n unidades (un polímero), cada una ini-
'cialmente (t=O) en el estado "no-reaccionado". Dado un número r;;' O
Y números vI ;;. O ' ... 'V r _1 ;;. O, Vr ;;. O se supone que cualquier se-
cuencia de k unidades no-reaccionadas al tiempo t ;;. O, puede sufrir
una "k-reacción" (es decir, todos los k sitios pasan irreversiblemente al estado reaccionado) en el intervalo de tiempo (t,t+h) con
probabilidad vkh + o(h), k = 1, ... ,r. Así, la cadena sufre secuen-
cial y aleatoriamente reacciones de tipo aleatorio, hasta quedarse
solamente secuencias de unidades no-reaccionadas de longitudes
1, ... ,q-1, donde q = 1,2, ... ,r es tal que vI = ... = vq _ 1 = O ,
V~ > o. Variables aleatorias de gran interés son K~(t), el número
de k-reacciones ocurridas hasta el tiempo t y L1 (t), el número de n
secuencias (máximas) de longitud 1 presentes en la cadena de n uni
dades al tiempo t.
Las medias de estas variables aleatorias satisfacen, cada una a su
vez, un sistema de ecuaciones diferenciales. Este se transforma en
una ecuación diferencial parcial para la respectiva función genera
triz. Las soluciones de estas ecuaciones dif. parciales permiten o~
tener la forma asintótica (n ~ 00) de las respectivas medias. Para n
la variable aleatoria N (t) = I lL!(t), el número total de unida-n 1';'1
des no-reaccionadas al tiempo t, se estudia también la varianza. Fi
nalmente, dejando tender r ~ 00, se hace contacto con el famoso mod~
10 continuo de Rényi (1958). El modelo bajo consideración constituye
una generalización de modelos de Cohen & Reiss (1963) y Boucher (1973) .
MIATELLO,R.J. Y WALLACH,N.R. (IMAF-CONICET): Series de Whittaker y
formas cuspidaZes.
Sea G = SL(2,R), r un subgrupo discreto de G tal que vol(r\G) < 00 y
con una única cúspide en id. Sea G = NAK una descomposición de Iwa
sawá de G. Se generaliza la noción de serie de Poincaré por medio
de una familia W (g,A,<P1 ) = L w (g,A,<P1 ) m E N, g E G, A E e y m roo\r m
Re A > 1 ,lE Z donde wm(g,A,<P 1) es una entrada matricial de la se
rie principal con la propiedad
n E N , k E K
(la función Wm(g,A,<P 1), a E A está íntimamente ligada a la función
231
clásica de Whittaker (M_ 1/ 2 ,A(Y)'y > O). Se prueba
TEOREMA. (i) Wm(g,A'~l) admite una prolongaci6n meromorfa a C.
(ii) Se pueden calcular explícitamente los coeficientes de Fourier.
(iii) Se satisface la ecuaci6n funcional
con a1,b1,d 1 meromorfas y E(g,A'~l) la serie de Eisenstein.
(iv) Si 1 E N , 1 ;;;. 3, Wm(g,1-1'~1) corresponde a la serie de Poinca-
ré clásica Gm, 1 (z) ¿ e21Timyz
rOO\r (cz+d)l
NOTA. En parte el resultado se mantiene para cualquier grupo de Lie semisimple de rango 1.
MILASZEWICZ,J.P, (U.B.A.): Sobre redueeión e{eZiea pareiaZ.
Sea el sistema (1)x = Bx + b, donde B es una matriz de orden n con
coeficientes no negativos y diagonal nula, cuyo radio espectral r(B)
es menor que 1, b es un vector de datos y x es lasoluci6n a determinar. La sustituci6n de x j por su ecuaci6n en las restantes ecuar
ciones produce el sistema equivalente (1') x = B'x + b'. En "ImpToving Jacobi and Gauss-Seidel iterations", a aparecer en Linear A[g~ bra and its Applications, hemos demostrado que r(B') es menor o igual que r(B), y que si B es irreducible, entonces vale la desigual dad estricta, lo cual implica que las iteraciones de Jacobi para (1') convergerán asint6ticamente más rápidamente que las correspondientes para (1). Si se llama L a la matriz cuya j-ésima columna es
la j-ésima de B y cuyas restantes coordenadas son nulas, poniendo U := B-L, se tendrá que B' = LB + U. Se plantea la cuesti6n sobre qué ocurre si consideramos en lugar de Luna submatriz S de B y, d~ finiendo T := B-S, planteamos el sistema (equivalente al (1))
(1") x = B"x + (I+S)b, donde B" := SB + T. La respuesta es que si
L .;;; S (desigualdad coordenada a coordenada), entonces r(B") .;;; r(B'); este resultado vale también si L, en lugar de ser la ya definida,
es una submatriz de B.
MILLAN DE ESCUDERO,Z. Y MORALES,E.E. (U.N.San Juan): ApZieaeión deZ
método de Zos eZementos finitos a un probZema de fiZtraeión en un
medio poroso anisotropo.
Mediante un programa de computadora basado en el método de los elementos finitos se ha determinado la red de flujo y los caudales de
232
circulaci6n de un perfil de una Presa de tierra con características
anisotr6picas y variables de la permeabilidad del material.
Los elementos finitos utilizados son triángulos por lo cual la va~
riaci6n del potencial es lineal según las coordenadas de cada elemen
to y resultando una velocidad constante para cada uno de ellos.
La anisotropía de permeabilidad se define mediante dos ~irecciones
ortogonal'es que simulan una estratificaci6n y el ángulo de inclinaci6n de una de ellas, que define la inclinaci6n de la estraficaci6n en cada elemento. En consecuencia se puede variar de elemento a elemento la anisotropía tanto en permeabilidad como en inclinaci6n.
El medio poroso se subdivide por medio de elementos triangulares resultando nudos 6 puntos que se denominan de fronteras e interiores. En los de fronteras el potencial H es conocido y deséonocido el cau
dal, mientras que en los puntos internos es desconocido el potencial y conocido el caudal a través de la ecuaci6n de ~ontinuidad y las condiciones de sumidero 6 fuente.
A partir de la matriz de flujo de cada elemento y de las condiciones
de continuidad en cada punto se forma la matriz de flujo total. Es
ta matriz se particiona para resolver los valores desconocidos de H y de Q.
Por último se da una breve explicaci6n del programa utilizado para
obtener los valores de los sobreniveles y de los caudales desconocidos.
MILLAN DE ESCUDERO,Z. y ORTIZ,S. (U.N.San Juan): Espeat~os de ~es
puesta de aaeZe~aai6n s!smiaa absoZuta.
Se presentan espectros de respuesta de aceleraci6n absoluta de vibraciones lineales amortiguadas sometidas a movimientos sísmicos.
Con el objeto de analizar sus particularidades se aplican acelero
gramas de movimientos tipos, de duraci6n finita e infinita.
Se comparan estos espectros con los correspondientes espectros de respuestas de la aceleraci6n relativa o pseudo-aceleraci6n.
NEME,A. Y CESCO,J.C. (IMASL, U.N.San Luis-CONICET): La soZuaión nu
aZeoZa~ pa~a eaonom!as de inte~aambio pu~o.
Nosotros ·introducimos un concepto de soluci6n para economías de in
tercambio puro. Ella tiene su apoyo intuitivo basado en un importa~ te concepto en Teoría de Juego, introducida por D.Schmeidler: El Nu
cleolo.
La soluci6n también exhibe interesantes ~esultados analíticos tales
233
como existencia y unicidad, bajo condiciones débiles. Aún más, aparece como soluci6n de un muy simple programa no lineal. El concepto es altamente dependiente de las funciones utilidad usada como repr~ sentante de las preferencias de los consumidores.
Muchas caracterizaciones han sido presentadas incluyendo una generru
sobre los puntos Pareto.
NORIEGA,R.J. Y SCHIFINI,C.G.(U.B.A.): Densidades esaaZares aonaomi
tantes de un aoveator, sus derivadas y una métriaa.
En este trabajo se determina la forma general de las densidades escalares del tipo L L(g .. ;~.;~, .), donde g,. es una métrica Lo-
1J 1 1, J 1J
rentziana y ~i' es un covector. Se demuestra que existe una funci6n
f de cuatro variables reales tales que L = ¡g f(a,~,p,jJ), donde
a det(Fij)/det(gij)' ~ = FijFij , P = ~i~i'y jJ = ~i~jFkiFkj siendo
F .. =~ .. - ~ ..• Este resultado se aplica para probar que el Lagra~ 1J 1,J J,1
giano de Weyl es esencialmente el único que ~a lugar a las correspondientes ecuaciones de campo. Tomando la constante cosmo16gica igual a cero, se deduce un resultado análogo para el Lagrangiano de Einstein-Maxwell. Estos resultados extienden un teorema anterior de los autores (Gen.Rel.Grav. por aparecer, 1984).
PALOSCHI,J.R. (PLAPIQUl,UNS-CONICET) y p,ERKINS,J.D. (IMPERIAL COLLª GE, Londres): EsaaZado interno en Za resoZuaión numériaa de siste
mas de eauaaiones aZgebraiaos no ZineaZes.
En la resoluci6n numérica de sistemas de ecuaciones algebraicos no lineales se pueden utilizar métodos que presentan teóricamente la propiedad de invariancia a cambios de escala. En la práctica, a pesar de ello, los c6digos que implementan dichos métodos son dependientes de la escala utilizada. Se han propuesto en el pasado muchas técnicas de escalado interno que tienen por objeto minimizar la 4ependencia de la escala, Estas técnicas han estado basadas mayormente en el equilibriQ de las variables o de ecuaciones.
En' este trabajo se propone un algoritmo de escalado interno basado en la optimizaci6n del condicionamiento numérico del problema no l! neal (en el sentido de RHEINBOLDT [1]). Para ello se propone el escalado de variables y ecuaciones de manera tal que el número condici6n de la matriz del Jacobiano sea 6ptimo· (considerando matrices de escalado diagonales). Se utilizan los resultados de BAUER [2].
El uso del algoritmo es ilustrado utilizando los métodos. propuestos en [3] mediante un conjunto de ej~mplos clásicos.
234
[1] Rheinboldt,W.C. "On measures of ill conditioning for nonlinear equations" Math. of Comp., Vol.30-1976.
[2] Bauer,F.L. "Optimally scaled matrices" Numer. Math. Vol.5-1963.
[3] Paloschi,J.R. "The numerical solution of nonlinear equations re presenting chemical processes" Ph.D.Thesis-University of London-1982.
QUINTAS,L.G. y MARCHI,E. (IMASL, U.N.San Luis, CONICET): Todos los
Puntos de Equilibrio a partir de un conjunto finito de Puntos Extre
males.
La noci6n de Punto de Equilibrio para juegos Standard fue introduci
da por Nash en 1959, quien también prob6 la existencia de puntos de
equilibrio en la extensi6n mixta de un juego finito, usando teoremas de punto fijo. Sin embargo no se conocen algoritmos efectivos que sirvan para computar tales puntos.
En este trabajo se da un algoritmo para computar todos los puntos de equilibrio de cualquier juego bi-personal finito en extensi6n mixta.
Esto se logra computando ciertos puntos de equilibrio extrema1es y
se consigue generar el conjunto de puntos de equilibrio por combi
naciones convexas de dichos puntos extremales (existe un número finito de puntos de 'equilibrio extremales).
Finalmente se da una formulaci6n que permite calcular todos los pu~ tos extrema1es y se da una condici6n que permite determinar cuáles
son puntos de equilibrio extremales .
. RUBIO SCOLA,H.E. (U.N.Rosario): La funci6n signo matricial en el a
nálisis y diseño por ordenador de controles multivariables. Algori!
mo de cálculo y aplicaciones.
En el análisis de problemas de controles multivariables es necesario ~eso1ver con frecuencia problemas de determinaci6n de estabilidad y ecuaciones algebraicas de Lyapunov y Riccati. El uso de la funci6n signo matricial brinda un método de fácil programaci6n y tiempo de cálculo reducido, que permite tratar estos problemas con
una sola herramienta de c6mputo que se muestra superior a los métodos convencionales utilizados.
Presentaremos en este trabajo las siguientes aplicaciones de la
funci6n signo matricial.
a. Estabilidad de sistemas
b. Positividad de matrices simétricas
c. Ecuaci6n Matricial de Lyapunov
235
d. Ecuación matricial de Riccati
e. Simplificación de sistemas lineales de control multivariables.
Finalmente se analiza en detalle el cálculo de la función signo ma
tricial y se comparan diferentes algoritmos de cómputo, mostrando la
conveniencia de usar el algoritmo de Barraud (Investigations Autour
de la Fonction signe d'une matrice . Application a l'équation de Ri
catti. R.A.I.R.O. Automatique/Systems Analysis and Control, 1979,
vol.13, n04, p.335 a 368). Asimismo se han encontrado contraejemplos
que demuestran la no optimalidad del algoritmo presentado como "ópti
mo" en Balzer (Accelerated convergence of the matrix sign function
method of solving Lyapunov, Riccati and other matrix equations. Int.
J. Control, 1980, vo1.32, n06, 1057, 1078).
SAAD, E. (IMASL, U.N.San Luis, CONICET): Pseudo-Punto de EquiZibrio
de Juegos GeneraZes de n-Personas.
Dado un juego general de n-personas r = {Li; Ai ; i E N} , donde los
conjuntos de estrategias L. son subconjuntos no-vacíos y compactos l.
de algún espacio Euclideo, las funciones de pago Ai son continuas,
definidas sobre X ~. a valores reales y N {1, ... ,n}. ie:N ¿l.
Se definen los "conjuntos máximos" W.(o {.}) como subconjuntos de J N- J
Lj donde la función ~e pago Aj es máxima, luego se asigna a cada j~
gadori E N un conjunto g(i) ~ N arbitrario.
Se define como un Pseudo-Punto de Equilibrio del juego r a una estra
tegia conjunta 0* (O*l,···,on*) E L = X Ll.' tal que: ie:N
E Wi (o~_{i})
min A.(s (')'ON* ('») U( ') l. g l. -g l.
Sg(i)e: l.
donde U(i) = {s ('): para todo j E g(i), s. E W'(ON* {.})} g l. . J J - J
Se da una interpretación intuitiva y estratégica de este nuevo con-
cepto como "regla de comportamiento", como así ·también el correspo!!.
diente teorema de existencia, que se relacioºa con la existencia de
puntos de Equilibrio de un juego generalizado ra asociado al juego
r bajo consideración.
Este concepto generaliza en cierto sentido el definido e introducido
por E.Marchi en "Pseudo-Saddle-Points for non-zero-sum two-person
simple and Generalized Games", Proc.Lond.Mathem.Soc.Vol.XVIII janua
ry 1968.
236
SAAL,L. (IMAF-CONICET): El operador de Szego en el caso SU(1,1).
Sea SU(1,1) = KAN una descomposición de Iwasawa. En este caso
K T {z E e / Izl = 1} Y G/K = D = {z E e / Izl < 1}. Para
n E iN, n> 1, sea ~n la medida sobre D definida por ~n(d~)
2n;1 (1_1~IZ)Zn-Zm(d~), donde m es la medida de Lebesgue en RZ, y
sea H {f E LZ(D,~ ) / f es holomorfa n n en D}, El operador de Szego
S va de COO (K) en H n y est.á definido p·or n
Snf(z) - J: rr e-ine(1_ze-ie)Zn f(e/2) d8
El objeto del presente trabajo fue estudiar la continuidad de S n
TEOREMA. Para todo k entero no negativo, sea
= {f E LZ(T,de) / f(l), ... ,f(k) E LZ(T,d8)} donde f(ro) es la deriva
da de orden m tomada en el sentido de las distribuciones. k Z ~ Z k A Z H (T,d8) es un espacio de Hilbert con IIfll k = ¿ (1+n ) If(n) I .
nEZ aa f Z
----~- E L (D'~n) para todo lal al a Z ax ay aaf Z
= III a allz lal~k a la Z L (D,~ ) x y n
donde
tomado en el sentido de distribuciones.
Por el método de interpolación cuadrático y dualidad definimos
HS(T) y HS(D,~ ) para todo s E R. Entonces el operador n
es
Sn: Hs+n-l/Z(T) ~ HS(D'~n) es continuo para todo s E R, n E i N,
n > 1.
SADOSKY,C. (U.B.A.): Desigualdades ponderadas para los coeficientes
lacunares (y otros) de funciones anallticas con condiciones de inte
grabilidad en el contorno.
Un teorema clásico de Paley asegura que los coeficientes lacunares
de una función analítica definida en el círculo, de clase de Hardy
HI , pertenecen a t Z. El resultado dual, que vincula las normas de Z 00 t y de L puede obtenerse directamente y en forma constructiva me-
diante el teorema de momentos de Nehari. Este último resultado es consecuencia diiecta de la representación integral de los rtúcleos de
Toeplitz mayorados.
A partir de ese resultado, en el presente trabajo se obtienen desi
gualdades ponderadas para los coeficientes lacunares de funciones
237
analíticas de clas~ de Nevanlinna N+, con valores en el contorno en
ciertos espacios de Lebesgue ponderados (que ho implican integrabi
lidad). Estas desigualdades generalizan el teorema de Paley así co
mo sus resultados duales. Desigualdades análogas son válidas para la
sucesión de todos los coeficientes o para las sucesiones correspondientes a índices Nr , para r fij o.
Estos resultados corresponden a pesos en rangos distintos a los tra
tados en la teoría de continuidad de la transformada de Fourier.
SANCHEZ,C.U. (FAMAF-CONICET): Subvariedades k-Simétricas de RN, k
par.
Continuando el estudio realizado sobre las subvariedades k-simétri
cas de RN en el cual se consideró el caso k = 2j+l, est~ trabajo se
centra en el caso k = 2j el cual requiere métodos nuevos para su es
tudio. El caso k = 2 fue estudiado por D.Ferus sobre la base de sus
trabajos en subvariedades con segunda forma fundamental paralela,
pero estos métodos no son aplicables para k mayor que dos ya que es
tas subvariedades no tienen segunda forma paralela.
En este caso se obtiene un teorema de descomposición para estas sub
variedades y resultados sobre su naturaleza intrínseca que, esperamos, será de gran utilidad para completar uria clasificación similar
a la que obtuvimos en el caso impar.
SCARPARO,R.C. (PROMAR (CONICET-UNR)): Sobre el Relevamiento de Selec
ciones Medibles.
Se obtiene, entre otros, el siguiente resultado: Si X es un 'paved
space', (k-a)-paracompacto para todo k,E y F espacios de Hilbert, n
un esfimorfismo de F en E, cp: X -+ E una multifunción y1/!: X -+ F
una multifunción medible tales que cp = no1/! entonces para cada selec
ción medible f de cp y cada E > O existe una selección medible E-a
proximada g respecto a 1/! que releva a f.
TARAZAGA,P.,CESCO.J.C. Y NEME,A. (IMASL, U.N.San LuIs-CONIeET): So
bre la correspondencia insumo-producto en un modelo de transforma
·ción en n-etapas.
En este trabajo se estudia un modelo de transformación de bienes co~ puesto de n-etapas, aunque por simplicidad, solo se han descripto dos. Cada etapa representa la transformación de un conjunto de bie
nes en otro conjunto que servirá de insumosa la etapa siguiente. De
238
esta manera, el modelo determina las posibilidades de transformación
de un vector de bienes de salida o finales.
Como los esquemas de transformación en general no son únicos, un
vector de entrada da origen a un conjunto de posibilidades de vecto
res de salida. En la primera parte de este trabajo se estudia esta correspondencia.
Un análisis detallado de la misma, permite a su vez dar condiciones
necesarias para que, dado un vector de entradas, un vector determinado de salida pueda ser realizado. También permite generar condicio
nes suficientes.
Se aborda además el problema de selección de puntos en la mencionada correspondencia. Para ello, se define un subconjunto de la co
rrespondencia denominado frontera eficiente que representa vectores
de salida mejores en cierto sentido. Por analogfa se define la fron
tera ineficiente.
Se obtienen puntos representativos en estas fronteras.
TlRAO,J. y BREGA,A. (IMAF): El anillo clasificante de SO(4,1).
Sea G un grupo de Lie conexo, semisimple y con centro finito, g la
complexificación del álgebra de Lie de G y G el álgebra universal de
g. Sea G = KAN una descomposición de Iwasawa de G, k Y a las com
plexificaciones de las álgebras de Lie de K y A respectivamente y
GK el centralizador de K en G.
El estudio del álgebra de GK es de gran interés en la teorfa de re-
presentaciones de G. Para estudiar esta álgebra uno tiene un anti-homomorfismo inyectivo,
P: GK ~ KM ® A
donde M es el centralizador de a en K, K el álgebra universal de k
y A el álgebra universal de a.
En este trabajo determinamos explfcitamente la imagen P(GK) cuando
G = SO(4,1). Resultando ser un álgebra de polinomios en cuatro inde
terminadas. La imagen de P es caracterizada de la siguiente manera:
se define una subálgebra B de KM ® A que contiene a P(GK) y es esta
ble por la acción del grupo de Weyl W , entonces probamos que
BW. Cuando G = SO(4,1) la acción de W es triviaL, por 10
tanto uno obtiene P(G K) = B. Luego, uno prueba que B es un álgebra
de polinomios en cuatro indeterminadas.
TORANZOS,F.A. (U.B.A.): Soluci6n combinatoria del Problema de Syl-
239
vester generaZizado.
Sea P un conjunto finito de puntos del plano (con card P > n+l) tal
que no haya dos puntos de P en la misma vertical. Entonces existe un polinomio de grado a 10 sumo n, cuyo gráfico incluye a todo P o,
precisamente, a n+l puntos de P. Para n=l este enunciado es un pro
blema clásico propuesto por Sylvester (1893) y resuelto por T.Gallai
(1933). Peter Boxwein ha obtenido recientemente (1983) una demostpa
ción· del enunciado generalizado en la. que utiliza la estructu;a mé~ trica del plano y l~ teoría d~ espacios unimodulares ~e Haar d~ ~uª ¿iones continuas. El objeto'de esta comunicación es vérificar que cl
problema de Syl~ester y sus generalizaciones ~on de carácter c~mbi
natorio puro. Esta verificación se consigue demostrando el enuncia
do generalizado del comienzo, sin emplear ninguna estructura métrica ni topológica.
URCIUOLO,M. (IMAF-UNC): IntegraZes singuZares sobre ciertas super
ficies reatificabZes.
Se define, para todo k < n,
lIk {J.l medidas de Radon en Rn / existe c > O con J.l(B(x ,r)) ,¡;;; c r k . o
para todo x E Rn } o
¿k {a E lIk / existe y > O·con a(B(xo,r)) ;;. y r k para todo
Xo E Yo p a}
Si k es una función Coo(Rn - {O}) impar y homogénea de grado -k y
J.l E lI k , se define, para toda f E L2(dJ.l)
T~ f(x} = ~~B 11 J 1 k(x-y) f(y) dJ.l (y) 1 x-y ~e;
se obtiene el siguiente resultado
TEOREMA. Sea a E ¿k' J.l E lI k Y K E Coo(Rn_{O}) impar y homogénea de
grado -k, supongamos que para todo P E (1,00) T*' LP (da) -+ LP (da) a"
es acotado. Entonces para todo P E (1,00) se tiene T*: LP(da) --)- LP(dJ.l) a
Si S es una superficie de dim k en Rn dada por la gráfica de una
función de Lipschitz .p: Rk -+ Rn- k , se define una medida a sobre
Rn , con soporte en S, que generaliza. la noción de "elemento de área
sobre S" y se prueba que esta a E ¿k y que T~: LP(da) -+ LP(da) es
continuo y por tanto T~: LP(da) -+ LP(dJ.l) y
240
son continuos para todo ~ E ~k.
VARGAS ,J. (IMAF-CIEM): Horoesferas en espacios Pseudosimétricos.
Sea X = GIGa un espacio homogéneo donde G es un grupo algebraico se
misimple conexo y Ga una forma real de G. Una horoesfera en X es la
órbita de un subgrupo unipotente maximal de G en X.
TEOREMA 1. Las horoesferas en X son cerradas.
TEOREMA 2. El espacio de horoesferas es una variedad diferenciable,
unión disjunta de un número finito de espacios homogéneos.
VILLA,L.T. (U.N.Salta): Transformaciones de segundo orden y proble
mas de Stefan con calor latente despreciable.
Se considera el siguiente problema de Stefan unidimensional con dos fases para la conducción del calor
CX1Vxx-V t O en Di - {(x,t) I O < x < s (t) , t > O}
cx 2Uxx -U t O en D2 - {(x,t) I s (t) < x < 00, t > O}
U(x,O) U para O ";X ";00 a
V(O, t) VI U(+oo,t) U t > O a
U(s (t) ,t) V(S(t) ,t) = W = cte. , t > O
K2 Ux(s(t),t) - KIVx(s(t) ,t) = .e. ds dt
Se concluye que el modelo anterior puede describir satisfactoria
mente un proceso de cambio de estado con calor latente despreciable
en el caso particular pero de mucho interés tecnológico cual es el
de ciertos materiales que experimentan gelificación por aumento de
temperatura.
Se obtiene una desigualdad a priori para la temperatura W de cambio
de estado.
VIVIANI,B. (PEMA (INTEC (CONICET-UNL))): Operadores seudodiferenci~
les con homogeneidades generalizadas.
En el trabajo "Lecture notes on pseudo-differential operators and
elliptic boundary value problems, 1" de A.P.Calderón, se da un des
cripción de la Transformada de Fourier de distribuciones que coinci
den fuera del origen con funciones homogéneas, la que es usada para
obtener una caracterización de las soluciones fundamentales de ecua
ciones diferenciales ~lipticas.
241
Estos resultados no abarcan a los operadores diferenciales parab6li
cos, como es el caso del operador relacionado con la ecuaci6n del
calor.
En el presente trabajo generalizamos los resultados mencionados pa
ra el caso de distribuciones que son homogéneas en un sentido más
general. Esto nos permite obtener una descripci6n de las soluciones
fundamental'e.s de ecuaciones diferenciales parab61icas._
TEOREMA 1. Sea {una funci6n de c,lase" e"'(Rn-{O})" y homogénea ~e gr-ª
do -a-klai - ... -keas ' con i, ... ,s: 1, ... ,n; {kr}~~l enteros no
n negativos y a = ¿
j=l a.
J un número real.
Sea K la distribuci6n que coincide con f en Rn-{O}. Si la única so n
E Nn luci6n de k¡a i + ... + k.eas ¿j=l CLa. para todo a es: J J
a. = kl,···,a s = k.e ' a. O para todo j # i, ... ,s; entonces K (x) = l. J
1 = P(x) + h(x) + Qk k (x) lag r(x) donde P(x) es un polinomio, 1 ' ..• , .e
h(x) E e"'(Rn-{O}) homogénea de grado kla i + ... + k.eas y Qk , ... , (x) 1 k.e
es un polinomio homogéneo de grado klai+ ... +k.eas de la forma:
k l + ... +ke f k l ko k l ko (2ni) "- "-x .... x y .... y f(y)
k ' k' r (y) = 1 l. S l. S 1 . . •. .e. dy ,
donde r(x) es una métrica de tipo parab6lica.
TEOREMA 2. Sea A E 1:, m E R, m < O Y K el núcleo de distribuci6n
asociado. Si kla i + ... + ktas se escribe de esa única manera como
combinaci6n lineal de {a.}~ 1 con coeficientes enteros no negativos l. l.=
{kr}~=l y para todo i, ... ,s E {1, ... ,n}; entonces existe un entero
N ;;. 1 tal que
N K ¿ ¿ (h~(x,x-y)+Q~(x,x-y,log (1 )) + RN(X,x-y) ,
j=O lal=j J J r x-y
n
donde h~(x,z) E e"'(x, Izl' > O) Y es homogéneo de grado -m-Ik=l akak-a,
lal = j en la segunda variable; Q~(x,z) es un polinomio con coefi-J
cientes e'" en x y homogéneo de grado -m-I:=l akak-a , lal = j en la
segunda variable. RN(x,z) es de clase e'" para Izl > O Y pertenece
a ek para algún k = k(N).
INDICE DEL VOLUMEN 31
Números 1 Y 2 (1983) Y Números 3 y 4 (1984)
E~~ellado~ y ~epa~ab~l~dad en un ~~~tema ax~omát~eo pa~a la eonvex~dad
Juan Carlos Bressan .••..•.•.....•........................
A two-~tep~ ~nte~ehange ma~ket model Ezio Marehi, Eduardo Saad y Pablo Tarazaga
On the ~elat~on between Va~l~ngton ~eal~zat~on~ 06 eont~aet~ve and j-expan~~ve mat~~x-valued 6unetionl.>
242
6
EIsa Cortina ..•......••..•••..•.......................... 17
Algeb~a~ eon no~ma mult~pl~eat~va he~m~t~ea Christoph Lübbert
Inne~ de~~vat~on~ w~th elol.>ed ~ange ~n the Calk~n algeb~a. 11: The nDn-~epa~able ea~e
Lawrenee A.Fialkow y Domingo A.Herrero
What Fa ~et~ can be nume~~eal ~ange~ 06 ope~ato~~?
25
32
Domingo A. He rre ro ..••.•••.........••..........•....•.... 4 O
Cl~660~d ~I.>omet~~e~ 06 eompaet homogeneou~ R~emann~an man~60ld~
Osear A. Campoli ••..•••.•......•...•••..........•..•..... 44
50
XXXIII Reun~6n Anual de la U.M.A. y VI Reun~6n
Conjunta de la Soe~edad Matemát~ea Pa~aguaya y la U.M.A ....... 51
Impl~e~t p~ed~eto~ eo~~eeto~ method~ 60~
PVE'~ w~th eonveet~on and d~66u~ún
52
Die,go A. Murio ........................................... 85
H.Dasgupta and B.K.Lahiri
Mapp~ng theo~em~ ~n pa~ano~med ~paee~
Mihai Turiniei
The ~elat~ve gene~al~zed jaeob~an mat~~x ~n the ~ubd~66e~ent~al ealeulu~
99
106
Telma Caputti ............................................. 116
A note on the exten~~on 06 L~p~eh~tz 6unet~on~
Telma Caputti •••••.••..••••••••••.•••.•.•••....•..•..•... 122
243
Compa~aQ~6n de ~oluQ~one~ de la~ eQuaQ~one~ de P~and:t.l en el Qa~o e~:taQ~ona~~o b~d~men~únal
Julio E. Bouillet •......•.••..••..•......•...•.•......••. 130
The holomo~ph~Q 6unQ:t~onal QalQulu~ A.Larotonda and I.Zalduendo .•••••.•.•......••.•..•.•..•.. 139
The gene~al 60~m 06 ~~o:t~OP~Q :ten~o~~
Ricardo J. Noriega .••••••.••••...••.•••.•........•..•..•. 149
ReduQ:t~on 06 Qod~men~~on 06 ~~ome:t~~Q ~mme~~~on~
be:tween ~nde6~n~:te R~emann~an man~60ld~
155
Marcos Dajczer ••••••••••.•••.••.......•••••.....•••...... 167
La va~~edad de d~~:tanQ~a~ en:t~e pun:to~
P.Fauring, F.Gutiérrez y A.Larotonda •••.•••••••...••....• 179
F~n~:te :te:t~avalen:t modal algeb~a~ Isabel Loureiro ••••••••.••••••••••....•..••.•.•••••••..•• 187
The un~qu.ene~~ 06 :the Qova~~an:t de~~va:t~ve Ricardo J. Noriega •••••.••••••.••.•.•.••.•••••.•...•.•.•. 192
A no:te abou:t :the Qon~~~:tenQy 06 an ~n6~n~:te l~nea~ ~nequal~:ty ~y~:tem
M.A.Goberna, M.A.López and J.Pastor ..•••••••....••.••.•.• 197
On :the E-~ubd~66e~en:t~al 06 a ~onvex 6unQ:t~on
Telma Caputt i ••••••••••••••••••••••••.•••••••••••••••••.. 202
Re~úmene~ de la~ Qomun~QaQ~one~ p~e~en:tada~ a la XXXIV Reun~6n Anual de la Un~6n Ma:temá:t~Qa A~gen:t~na 211
Ind~Qe del Volumen 31 ......................................... 242
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Los artículos que se presenten a esta revista no deben haber sido publicados o estar siendo considerados para su publicación en otra revista.
Cada trabajo deberá ser enyiado en su forma definitiva, con todas las indicaciones necesarias para su impresión. No se envían pruebas de imprenta a los autores.
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posible notas al pie.
El artículo deberá acompañarse de una lista completa de los sfmbolos utilizados en el texto.
La recepción de cada trabajo se comunicará a vuelta de correo y en su oportunidad, la aceptación del mismo para su publicación.
Los trabajos deben enviarse a la siguiente dirección:
Revista de la U.M.A. Instituto de Matemática Universidad Nacional del Sur 8000 Bahía Blanca Argentina.
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Receplion of a paper will be acknowledged by return mail and lts acceptance for publication will be communicated later on.
Papers should be addressed to the following address:
Revista de la U.M.A. Instituto de Matemática Universidad Nacional del Sur 8000 Bahía Blanca Argentina.
INOICE
Volumen 31, Número 4, 1984
Reduction of codimension of isometric immersions
between indefinite Riemannian manifolds
Marcos Dajczer ................................ 167
La variedad de distancias entre puntos
P. Fauring, F. Gutiérrez y A. Larotonda 179
Finite tetravalent modal algebras
Isabel Loureiro ................................. 187
The uniqueness of the covariant derivative .
Ricardo J. Noriega .............................. 192
A note about the consistency of an infinite linear
inequality system
M. A. Goberna, M. A. López and J. Pastor 197
On the E-subdifferential of a convex function
Telma Caputti .................................. 202
Resúmenes de las comunicaciones presentadas a la
XXXIV Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina 211
Indicedel Volumen 31 .................... :........... 242
o .E e •
Reg. Nac. de la Prop. Int. !!' « NQ 288.259 o
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0 2 eo t::::J 0(1)-() >t! ar¡< 0« .. fii .g m.B~ -m '"---JI .c~ .. -mi
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TARIFA REDUCIDA . CONCES. N9 1/Dto. 21
FRANQUEO PAGADO CONeES. N9 25/Dto. 21
AUSTRAL IMPRESOS VILLARINO 739 BAHIA BLANCA
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