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Facultad de ingeniería mecánica eléctricaElectrónica y sistemas
Escuela Profesional de ingenieríaMecánica eléctrica.
CURSO: Métodos numéricos TEMA: Solución de ecuaciones diferenciales
Ordinarias.
DOCENTE: Ing. Alejandro Salinas Mena
PRESENTADO POR:Goyzueta Arce Elviz J.Canaza Chique Darwin
Andrade Ñaccha Hener D.
SEMESTRE : V
PUNO - 2011
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Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias Cap. 7
Capítulo 77.- SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES
7.1.-ECUACIONES DIFERENCIALES CON VALORES INICIALES.
Una ecuación en la que interviene una o más derivadas ordinarias de una
función incógnita se denomina ecuación diferencial ordinaria (EDO), las
derivadas pueden ser primera, segunda, tercera….etc., donde el orden mayor
alcanzado por la derivada se denomina orden de la ecuación diferencialordinaria.
En este capítulo se verán diferentes métodos de solución numérica a problemas
que involucren ecuaciones diferenciales con valores iniciales, las soluciones
numéricas surgen como alternativa cuando no existe una expresión analítica
para la solución, entonces en estos casos es necesario acercarse la solución por
una sucesión de valores que converjan a la solución.
Forma:
: Valores iniciales
Objetivo: calcular
7.2.- METODOS DE UN SOLO PASO.
METODO DE EULER:
Sea la ecuacion diferencial con valores iniciales reemplacemos
los valores inicialees en de donde se obtiene el cual
representa geometricamente la pendiente de la recta tangente en , esto es:
……………ecuación 7.1
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Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias Cap. 7
Para calcular el valor de calculamos la longitud de paso ,
construimos la participacion y reemplazamos el valor de en la ecuación de la recta tangente en
Es decir:
……………ecuación 7.2
……………ecuación 7.3
El proceso continua asignando el valor de en ; en hasta calcular
.Geométricamente:
Figura 7.1
Ejemplo 7.1:
Con el método de Euler integre numéricamente la con la ecuación (7.3)
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Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias Cap. 7
Desde hasta con un tamaño de paso 0.5. La condición inicial en
es recuerde que la solución exacta está dada por la ecuación
Solución. Se utiliza la ecuación para implementar el método de Euler
Donde y la pendiente estimada en es
Por lo tanto
la solución verdadera en es
Así, el error es
0, expresada como error relativo porcentual en el segundo paso,
[ ]
La solución verdadera en es 3.0 y, entonces, el error relativo porcentual
es -95.8%. El cálculo se repite y los resultados se dan en la tabla 7.1 y en la
figura 7.2
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Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias Cap. 7
Tabla 7.1
En la tabla 7.1
Comparación de los valores verdaderos comparación de los valores verdaderos
aproximado de la integral de , con la condición
inicial y que en . Los valores aproximados se calcularon empleando
el método de Euler con un tamaño de paso 0.5. El error local se refiere al error
en que incurre sobre un solo paso. Este se calcula con una expansión de la serie
de Taylor como el ejemplo 7.1 el error total es la discrepancia total debida a los
pasos anteriores y presentes.
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Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias Cap. 7
FIGURA 7.2 Comparación de la solución verdadera con una solución numérica
usando el método de Euler, para la integral de
desde
hasta con un tamaño de 0.5 la condición inicial en es .
Aplicando MATLAB en el ejercicio 7.1
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Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias Cap. 7
Archivo m: para utilizar el siguiente programa digitar en la ventana de
comandos:
>> eul1('funcion',x0,y0,n,a).
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Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias Cap. 7
ANÁLISIS DE ERROR PARA EL MÉTODO DE EULER (TAYLOR)
La solución numérica de las EDO implica dos tipos de error
1. error de truncamiento o de discretizacion, originados por la naturaleza
de las técnicas empleadas para aproximar los valores de, y.
2. errores de redondeo causados por el número limitado de cifras
significativas que una computadora puede retener
Los errores de truncamiento se componen de dos partes. La primera es un
error de truncamiento local que resulta de una aplicación del método
considerado, en un solo paso. La segunda es un error de truncamiento
propagado que resulta de las aproximaciones producidas durante los pasosprevios. La suma de los dos es el error de truncamiento global
Al adquirir cierta comprensión de la magnitud y de las propiedades del error
de truncamiento, puede desarrollarse el método el método de Euler
directamente de la expansión de la serie de Taylor. Para ello, observe que la
ecuación diferencial que se va a integrar de la forma general
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Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias Cap. 7
……………………. ecuación 7.4
Donde son las variables independientes y dependientes, respectivamente.
si la solución (es decir la función que describe el comportamiento de y) tiene
derivadas continuas, se representa por una expansión de la serie de Taylor
respecto a una valor inicial ,como sigue
……………………. ecuación 7.5
Donde y termino permanente definido como
……………………. ecuación 7.6
Donde esta en algún lugar en el intervalo de a es posible desarrollar
una forma alternativa, sustituyendo la ecuación (7.4) en las ecuaciones (7.5) y
(7.6)
……….
ecuación 7.7
Donde especifica que el error de truncamiento local es proporcional al
tamaño de paso elevado a la potencia (n+1)
Al comparar las ecuaciones (7.3) y (7.7) se advierte que el método de Euler
corresponde a la serie de Taylor, hasta el término inclusive. Además
la comparación indica que el error de truncamiento se debe a que aproximamosla solución verdadera mediante el número finito de términos de la serie de
Taylor. Así truncamos, o dejamos fuera, una parte de la solución verdadera. por
ejemplo, el error de truncamiento n el método de Euler se atribuye a los
términos remanentes en la ecuación de la serie de Taylor, que no se incluyeron
en la ecuación (7.3) al restar la ecuación (7.3) de la ecuación (7.7)se llega a
)………. ecuación 7.8
Donde error de truncamiento local verdadero. Para h suficientemente
pequeña, los errores en los términos de la ecuación (7.8) normalmente
disminuyen, en tanto aumenta el orden y el resultado se representa como
………. ecuación 7.9
o
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)………. ecuación 7.10
Donde error de truncamiento local aproximado
Ejemplo 7.2
Estimación de la serie de Taylor para el error de método de Euler
Planteamiento del problema. Con la ecuación (7.8) estime el error en el primer
paso del ejemplo anterior asela también para determinar el error debido a cada
uno de los términos de orden superior en la expansión de la serie de Taylor
Solución: como tenemos un polinomio, se aplica la serie de Taylor para obtener
estimaciones exactas del error en el método de Euler .la ecuación (7.8) se
escribe como.
Donde la primera derivada de la ecuación diferencial (que es la
segunda derivada de la solución). en el presente caso,
y es la segunda derivada de EDO
y
es la tercera derivada de EDO
Por ejemplo, el error debido al truncamiento del término de segundo orden se
calcula como sigue:
Para el término de tercer orden:
y para el termino de cuarto orden:
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Que es exactamente el error en que se incurrió en el paso inicial del ejemplo
(7.2) observe como lo cual justifica la aproximación
representada por la ecuación (7.9)
METODO DE RUNGE KUTTA.
Sea la ecuación diferencial con valores iniciales ,.
Calcular .
Figura 7.3
Calculemos la longitud de paso , y construyamos la partición
. Para calcular Efectuemos las siguientes operaciones:
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∫ …………(7.11)
Los métodos de Runge kutta se deducen aplicando integración numérica a laexpresión denotada por (7.11)
METODO DE RUNGE KUTTA ORDEN
Integrando (7.11) según el método del trapecio se obtiene:
∫
[ ] …………(7.12)
Donde el valor desconocido se obtiene de la siguiente forma:
………. Euler
El proceso continua asignado el valor de en ; en hasta calcular .
Ejemplo 7.3:
Hallar en la ecuación diferencial para .
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Archivo m: para utilizar el siguiente programa digitar en la ventana de
comandos:
>>rk2(‘funcion’,x0,y0,n,a).
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METODO DE RUNGE KUTTA ORDEN
Integrando (7.11) según el método de Simpson se obtiene:
∫ [ ( ⁄ ⁄ ) ]
…………(7.13)
Donde los valores desconocidos ⁄ y se obtienen de la siguiente forma:
…………(7.14)
⁄ …………(7.15)
⁄ ⁄ …………(7.16)
⁄ …………(7.17)
⁄ ⁄ …………(7.18)
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( ⁄ ⁄ ) ⁄ …………(7.19)
…………(7.20)
…………(7.21)
[ ] …………(7.22)
El proceso continua asignando el valor de en ; en hasta calcular
.Ejemplo 7.4:
Hallar en la ecuacion diferencial para ,
Archivo m: para utilizar el siguiente programa digitar en la ventana de
comandos:
>>rk4(‘función’, xo, yo, n, a).
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7.5.- METODO DEL PREDICTOR – CORRECTOR.
Sea la ecuación diferencial con valores iniciales .
Calculemos la longitud de paso , y construyamos la partición
…………(7.23)
Este método calcula el valor de en dos momentos, utiliza el método de Euler
para calcular ……………..predictor.
Remplacemos los valores en de donde se obtiene
,
el cual
Representa geométricamente la pendiente de la recta tangente en .
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Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias Cap. 7
Construyamos la recta tangente en , con el promedio de las pendientes
, y esto es:
[] …………(7.24)
Para calcular el valor de , reemplazamos el valor de en la ecuación (+)
Es decir:
[ ]
[] …………(7.25) corrector
El proceso continua asignado el valor de en ; en hasta calcular .
Gráficamente:
Figura 7.4
Ejemplo 7.5:
Hallar en la ecuación diferencial para , ,
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Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias Cap. 7
Archivo m: para utilizar el siguiente programa digitar en la ventana de
comandos:
>>pcl(‘función’, x0, y0, n, a).
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Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias Cap. 7
7.6.- MÉTODOS DE PASOS MÚLTIPLES
Los métodos de un paso que se describieron en las secciones anteriores utilizan
información de un solo punto, para predecir un valor de la variable
dependiente , en un valor futuro de la variable independiente , en la
siguiente figura (a) los procedimientos alternativos, llamados métodos de
pasos múltiples o multipasos figura(b) se basan en que, una vez empezado el
cálculo, se tiene a disposición información de los puntos anteriores. }
Representación gráfica figura (a) y (b)
Representación gráfica de la diferencia fundamental entre los métodos a) de un
paso y b) de pasos múltiples para la solución de EDO
Continuaraaa……………….
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BIBLIOGRAFIA:
métodos numéricos con visualización gráfica. (Dr. Herón Morales
Marchena).
métodos numéricos para ingenieros (Steven C. Chapra , Raymond
P. Canale). Matlab para ingenieros (Holly Moore).
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