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POSTULADOS DE LA MECÁNICA
CUÁNTICA
Que es la mecánica cuántica?
Es una teoría axiomática debido a que
está bien fundamentada en algunos
principios (del latín principium), o axiomas
(del griego, axios), o postulados (del latín
postulatum).
Postulado: es un elemento fundamental;
un principio básico.
Existen 6 postulados en Mecánica Cuántica:
Los primeros cuatro postulados tratan acerca
del fundamento matemático de la Mecánica
Cuántica, y el quinto y sexto es la conexión
entre la matemática explicada en los primero
cuatro postulados y los resultados de un
proceso de medición.
Estos postulados son el fundamento de la
mecánica cuántica, y las aplicaciones de la
mecánica cuántica están construidas en este
fundamento
El estado de un sistema físico es completamente descrito por una función de onda
Un sistema físico (desde el punto de vista cuántico) es una partícula libre, una partícula moviéndose en alguna potencia, un átomo de hidrogeno, una molécula de hidrogeno, o un átomo o molécula de cualquier tipo.
Que es una función de onda? Esta relacionada con la probabilidad de encontrar una partícula en una posición x0 a un tiempo t0 a través de:
En la mecánica cuántica el significado físico de una función de onda es difícil de describir ya que puede ser negativo, complejo, etc.
Pensaremos en una función de onda como una simple descripción del sistema de interés y con esta descripción varias propiedades del sistema pueden ser determinadas como lo veremos.
Postulado I: la función de onda
Postulado I (cont.)
Existen ciertos requerimientos en una función de onda:
Normalizada
Univaluada
Continua
Normalizada requiere que lo siguiente sea verdad (para un sistema 1D)
Que el cuadrado integrable de la función de un valor finito
Postulado I (cont.)
Univaluada. Requiere que haya un único
valor de función para un intervalo dado.
Postulado I (cont.)
Continua. Una función continua requiere
que esta y su primera derivada sea suave,
es decir; no tenga discontinuidad.
Segundo postulado
Observables y Operadores
Hermiticidad y espectros
Operadores asociados hermíticos
Espectro/ auto valores
Posibles auto valores o espectro en el dominio de números reales
Continuos , discretos o mixtos.
A) “A cada variable dinámica u observable del sistema le corresponde
un operador lineal y hermitico”
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Expresión de los operadores
Cualquier función que dependa de las variables posición y
momento en coordenadas cartesianas puede “cuantizarse“,
reemplazando aquellas por los operadores de posición y
movimiento.
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¿Y en el caso de la Energía?
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La amplitud de probabilidad o función de onda de un
sistema mecanocuántico, Ψ=Ψ(x,y,z,t), debe
satisfacer la ecuación de Schröedinger dependiente
del tiempo
Tercer postulado
Energía Potencial Energía Cinética
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14
Ecuación de Schrödinger
independiente
del tiempo( estados
estacionarios)
Ecuación de Schrödinger dependiente
del tiempo
Cualquier resultado de la medición de
una variable dinámica es uno de los
valores propios del correspondiente
operador.
Se dice que Ψn es una función Â, con
valor propio an si se cumple lo siguiente:
ÂΨn=anΨn
Cuarto postulado
Cualquier medición es un número real
Se requiere que los valores propios del operador apropiado
sean reales
Operadores hermitianos
satisfacen este requerimiento
Sea Ψn una función propia arbitraria de
 = ÂΨn =an Ψn
El conjunto de todas las funciones propias
independientes forma un conjunto completo
La función de onda de un estado cualquiera del
sistema se puede describir siempre como una
combinación lineal de las funciones propias
independientes
Quinto postulado
Sexto postulado
La evolución temporal del estado de un sistema
mecanocuántico no perturbado se da por la ecuación de
Schrödinger dependiente del tiempo:
La función de estado a lo largo del tiempo permite establecer
la función de probabilidad de distribución de partículas.
Ψ se relaciona con su derivada en el tiempo , cuya
relación debe ser lineal conforme al principio de
superposición durante el intervalo de tiempo en el cual
los sistemas no interactuantes idénticos son aislados
Sexto postulado
Al instante posterior t de un mismo intervalo es:
El operador que conduce dentro de debe
generar cuando se aplique a
Séptimo postulado. Principio de exclusión de Pauli
Ψ debe ser antisimétrica para el intercambio de fermiones
idénticos (bosones).
1
Sexto postulado
Asumiendo la continuidad física para el conjunto aislado, el
límite matemático existe como:
2
Combinando 1 en 2:
Multiplicando por i, el operador lineal hermitiano forma:
Presentación de artículo
Partículas cuánticas identicas.
- Pueden llevar a interferencias cuánticas que afecten su dispersión.
- Amplitud de probabilidad de dos partículas idénticas se superponen a la izquierda o derecha, siendo imposible distinguir una partícula de la otra.
- Bosones (fotones). Partículas con ψ totalmente simétrica. Las interferencias constructivas entre amplitudes de probabilidad puede mejorar la probabilidad de ser detectados en la misma dirección (“agrupamiento”).
Presentación de artículo
Quantum interference in electron collision
Introducción.
- Fermiones (electrones). Partículas con ψ totalmente
antisimétricas. Interferencias destructivas suprimen las
amplitudes de probabilidad (“antiagrupamiento”).
- → Origen del principio de exclusión de Pauli
Presentación de artículo
Quantum interference in electron collision
Introducción.
2 electrones nunca pueden ocupar el mismo estado
Proceso estocástico.
Induce fluctuaciones (partición ruido) en flujo de salida
dependiendo de la probabilidad de transmisión T.
Si se dispersan N partículas idénticas en serie, resulta una
distribución binomial para el número de partículas
transmitidas a la salida Nout, siendo la varianza normalizada
(factor Fano):
Δ𝑁2𝑜𝑢𝑡 / 𝑁𝑜𝑢𝑡 = (1 - T)
Presentación de artículo
Quantum interference in electron collision
Introducción.
Aplicación de postulados de mecánica cuántica.
Los resultados pueden depender de sí el estado se
describe matemáticamente por;
Presentación de artículo
Quantum interference in electron collision
Introducción.
Partícula 1 (izquierda) 1:𝛹𝐿; 2:𝛹𝑅
Partícula 2 (derecha) 1:𝛹𝑅; 2:𝛹𝐿
Combinaciones simétricas y antisimétricas de
estos resultados producen resultados reales:
𝛹± = (1
2) 1:𝛹𝐿; 2:𝛹𝑅 ± 1:𝛹𝑅; 2: 𝛹𝐿
Presentación de artículo
Quantum interference in electron collision
Bosones: probabilidad de dispersión: ½
Fermiones → interferencia destructiva
(nunca se dispersan en el mismo estado)
Bosones: interferencia destructiva
completa
Fermiones: probabilidad de dispersión: 1
Objetivo
Realizar la interferencia cuántica destructiva en
la colisión de electrones en un divisor de haz.
Equipo utilizado
Divisor mesoscópico de electrones por
litografía de haz de electrones en GaAs de alta
mobilidad, con sistemas de gas de electrones en
dos dimensiones. Nota: los electrones son inyectados con estocasticidad
Presentación de artículo
Quantum interference in electron collision
Presentación de artículo
Quantum interference in electron collision
Ruido de colisión fermiónico: 52% del
ruido de colisión clásico.
Supresión observada del ruido de
colisión: 56% del valor clásico
Interferencia cuántica fermiónica
Presentación de artículo
Quantum interference in electron collision
- El ancho del punto de contacto incrementa a la mitad de la longitud de
onda de Broglie de los electrones (100 nm).
- La transmisión parcial a través de su nodo transversal más pequeño es
posible, aumentando la conductancia y disminuyendo la partición del nodo.
- Una vez transmitido el nodo transversal más bajo en el punto de contacto,
una meseta alcanza la conductancia correspondiente a la unidad cuántica
con espín degenerado (GQ = 2e2/h), suprimiendo la partición del ruido.
Supresión de ruido no
completa ni duradera, ya que
después de la colisión los
electrones abandonan puertos
de entrada para causar un flujo
de electrones en la salida
derecha para fluctuar
Conclusiones del artículo.
La interferencia cuántica responsable para el principio
de exclusión de Pauli se manifiesta como la supresión
en el ruido de corriente de electrones después de la
colisión.
La simetrización y antisimetrización de las funciones
de onda resultan de la contribución de la amplitud de
probabilidad: directa o periodo de intercambio.
Las interferencias cuánticas afectan profundamente el
ruido de colisión, por lo que la medición del ruido de
salida debería confirmar la estadística cuántica para
las partículas.
Presentación de artículo
Quantum interference in electron collision
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Referencias Levine Irina, N. Química Cuántica ,5ª edición. Pearson,
España, 2001, pp. 186-193.
Lowe Jhon P. Quantum Chemistry. 3ª edición. El Sevier ,
EUA, 2006,pp. 166-186.
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