QC-Clase 1

Clase 0: INTRODUCCION

Aspectos previos

a la química cuántica

La radiación del cuerpo negro

Durante el calentamiento de los

cuerpos se produce la emisión de

radiación

Temperatura

La radiación del cuerpo negro

Durante el calentamiento de los

cuerpos se produce la emisión de

radiación

Temperatura Bajas frecuencias

altas frecuencias

La radiación del cuerpo negro

Durante el calentamiento de los

cuerpos se produce la emisión de

radiación

Temperatura IR UV

La radiación del cuerpo negro

Cuerpo negro es un cuerpo que

absorbe y emite a todas las

frecuencias

Temperatura IR UV

Si observamos una gráfica ϕ vs υ

Estas curvas experimentales se explicaban por la oscilación de los electrones en las partículas que constituyen el material

En ese entonces se desarrolló la ley de Rayleig-Jeans (se cumple a bajas frecuencias)

dc

TkdT B 2

3

8)(

Densidad de energía radiante Entre υ y υ+dυ

A

BN

Rk

En ese entonces se desarrolló la ley de Rayleig-Jeans (se cumple a bajas frecuencias)

dc

TkdT B 2

3

8)(

A altas frecuencias la ley de R-J diverge de los resultados experimentales CATASTROFE UV

Hipótesis cuántica de Planck

(1900)

Hasta ese momento, los observables en mecánica clásica toman valores continuos (cantidad de movimiento, posición, energía…)

Planck asume que la energía de los osciladores eran discretas, proporcional y múltiplos enteros de la frecuencia

Hipótesis cuántica de Planck

(1900)

Planck asume que la energía de los osciladores eran discretas, proporcional y múltiplos enteros de la frecuencia

nhE

Energía del oscilador

Número entero

Frecuencia

Constante de Planck 6.626x10-34 Js

1

8)(

/

3

3

Tkh Be

d

c

hdT

Hipótesis cuántica de Planck

(1900)

La ley de distribución de Planck para la distribución del cuerpo negro

Para valores de frecuencia bajos, las expresión de Planck debe converger con la expresión de R-J [Demostrarlo]

d

c

Tk

e

d

c

hdT B

Tkh B

2

3/

3

3

8

1

8)(

d

c

Tk

e

d

c

hdT B

Tkh B

2

3/

3

3

8

1

8)(

...!2

11

2

/

Tk

h

Tk

he

BB

Tkh B

Tomando la expresión de la derecha y haciendo una expansión en serie de potencias

...!2

12

xxex

Tk

he

B

Tkh B

1/

A bajas frecuencias

Considerando la expresión del denominador

Tk

h

Tk

he

BB

Tkh B

111

/

Reemplazando y reorganizando

dc

TkdT B 2

3

8)(

Hipótesis cuántica de Einstein:

(Efecto fotoeléctrico)

Luz UV

e-

Efecto fotoeléctrico: Emisión de electrones de la superficie del metal por la incidencia de radiación

Clásicamente que se esperaba

2

ERad kAI

Amplitud de la radiación

Intensidad de la radiación

e- Energía incidente

La oscilación aumenta hasta que el electrón “escapa” del campo nuclear

Clásicamente, el efecto fotoeléctrico debería ocurrir para cualquier frecuencia si la intensidad de la luz es suficiente.

Experimentalmente, frecuencia crítica por debajo de la cual no se produce el efecto fotoeléctrico.

Albert Einstein, toma la hipótesis de Planck.

nhE Planck.

minEhEhE

Albert Einstein.

2

2

1mvEc min

2

2

1EhmvEc

Energía mínima para arrancar el electrón De la superficie del metal

min0 EhEc

Implícitamente, se afirma que existe una frecuencia mínima

0 hhEc

La vibración de los átomos en

los cristales están cuantizadas

Termodinámica, se estudia la ley de Dulang y Petit

)/314,8(253 molKJRJRCv

Esto se cumple solo a altas temperaturas. A bajas temperaturas, Cv 0 a medida que T 0

La vibración de los átomos en

los cristales están cuantizadas

Esto se cumple solo a altas temperaturas. A bajas temperaturas, Cv 0 a medida que T 0

Espectro del átomo de

hidrogeno

Espectro de emisión: Consiste de líneas espectrales a ciertas frecuencias. Ya que depende del tipo de átomo, es lógico pensar que depende de la distribución de electrones.

...)5,4,3(4

1102202.82

14

nHz

n

Balmer.

Rydberg

)(41

57.1096771

12

1

2

2

2

1

nncmnn

1

c

NOTA:

Espectro de emisión: Aunque se podían describir mediante ecuaciones, estas solo correspondían a reglas empíricas, sin soporte teórico

Momento angular

Momento angular: Propiedad fundamental de los sistemas en rotación

Momento lineal: Propiedad fundamental de los sistemas en movimiento lineal

Pmv

rotIL

Para una partícula en movimiento rotacional

rotrt

xv 2

Freq. rotacional

rotrot 2

Velocidad angular

velocidad

rotrv

t

Nciclosrot

2222

2

1)(

2

1

2

1rotrotc mrrmmvE

La energía cinética

Momento de inercia (I)

2

2

1rotc IE

2

2

1rotc IE

2

2

1mvEc

Cantidades lineales

Cantidades angulares

22

2

1

2

1rotcc IEmvE

22

2

1

2

1rotcc IEmvE

rotrotcc IEvmvE 2

1

2

1

22

2

1

2

1rotcc IEmvE

rotrotcc IEvmvE 2

1

2

1

rotrotcc IEvmvE 2

1

2

1

22

2

1

2

1rotcc IEmvE

rotrotcc IEvmvE 2

1

2

1

rotrotcc IEvmvE 2

1

2

1

rotcc LEPvE 2

1

2

1

I

LE

m

PE cc

22

2

1

2

1

Movimiento lineal

Masa

Velocidad

Momento lineal

Energía cinética

m

v

mvP

m

PmvEc

22

22

Movimiento angular

Momento de inercia

Velocidad angular

Momento angular

Energía cinética

2mrI

mvrIL rot

I

LIE rot

c22

22

r

vrotrot 2

Clase 1

Movimiento lineal

Masa

Velocidad

Momento lineal

Energía cinética

m

v

mvP

m

PmvEc

22

22

Clase anterior

Movimiento angular

Momento de inercia

Velocidad angular

Momento angular

Energía cinética

2mrI

mvrIL rot

I

LIE rot

c22

22

r

vrotrot 2

Clase anterior

Introducción a la mecánica cuántica Resultados experimentales cuantización de la energía Hipótesis de planck Concepto de cuantización se extendió a otras situaciones - Efecto fotoeléctrico - Radiación de un cuerpo negro - Vibración de los átomos en un cristal - Espectro de emisión de los átomos

nhE

Energía en el mundo

microscópico

Energía en el mundo

macroscópico

Cuantizada = valores discretos

NO cuantizada = valores continuos

Fundamentos matemáticos

Algebra de operadores

Algebra de operadores

Algebra de operadores

Algebra de operadores

Ejercicio

Determinar si los siguientes operadores

conmutan

b

fa

ˆ

ˆ 2

dx

db

dx

da

2

ˆ

ˆ

Ejercicio

Determinar si los siguientes operadores son

lineales

b

fa

ˆ

ˆ 2

1ˆ

ˆ

fb

dx

da

Ejercicio

Determinar si las siguientes funciones son

funciones propias de los operadores

indicados. En cuyo caso, determine el valor

propio

x

x

xef

ef

xf

2

2

22

dx

dxa

dx

da

ˆ

ˆ

kxef Es función propia de

dx

d

kxnef Es función propia de

dx

d

Ejercicio

Determinar si los siguientes pares de

funciones son degeneradas para el

operador indicado

xegxf 222

dx

dxa

dx

da

ˆ

ˆ

xx egef 422

Ejercicio

Para las siguientes funciones

xx egef 32 24

dx

da ˆ

Determine el valor propio de cada una de

ellas para el operador

Ejercicio

Escribir una combinación lineal de

xx egef 32 24

dx

da ˆ

Determine si la combinación lineal escrita

por usted es función propia del operador

Cuando los operadores son el resultado de la suma de

operadores independientes (actúan sobre variables

diferentes)

Ejercicio

Demostrar la afirmación anterior