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MÉTODOS NUMÉRICOS
CAPÍTULO 2: MÉTODOS PARA LA
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES.
MÉTODO DE ELIMINACIÓN
GAUSSIANA Y PIVOTEO.
Ing. Willians Medina.
Maturín, Junio de 2015.
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1
PRESENTACIÓN.
La presente es una Guía de Ejercicios de Métodos Numéricos para estudiantes de
Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Ambiental, Civil, de
Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial, Mecánica, de Petróleo, de Sistemas y
Química de reconocidas Universidades en Venezuela.
El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las
respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido
programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.
Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y
exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Métodos Numéricos para
Ingenieros en los núcleos de Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además
de la bibliografía especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el
crédito y responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma
integrada de información existente en la literatura.
Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con
fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es
libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.
Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta
contribución en la enseñanza y aprendizaje de los Métodos Numéricos, así como las
sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar
directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN:
2736CCF1 ó 7A264BE3, correo electrónico: medinawj@udo.edu.ve ó
medinawj@gmail.com, twitter: @medinawj ó personalmente en la sección de Matemáticas,
Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.
Ing. Willians Medina.
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 2
ACERCA DEL AUTOR.
Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,
Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se
desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y
Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.
En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela
(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de
Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual
comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el
Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.
Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,
Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción
y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte
del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento
químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta
finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de
Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo
de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas
tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),
Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos
Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es
autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,
Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,
Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería
Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 3
2.1.- SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES.
Los sistemas lineales de ecuaciones se presentan en muchos problemas de ingeniería
y de ciencia, así como en las aplicaciones de las matemáticas a las ciencias sociales y al
estudio cuantitativo de problemas de comercio y de economía.
En este capítulo se considerarán las técnicas directas para resolver el sistema lineal
E1: 11212111 ... bxaxaxa nn (2.1a)
E2: 22222121 ... bxaxaxa nn (2.1b)
En: nnnnnn bxaxaxa ...2211 (2.1n)
para nxxx ...,,, 21 , dadas las ija para cada nji ...,,2,1, , y las ib para cada ni ...,,2,1 . Los
ija son coeficientes, los ix son las incógnitas y los ib son términos conocidos llamados
términos libres o independientes. Cuando al menos uno de los términos libres de la
ecuación (2.1) es distinto de cero, se dice que el conjunto es no homogéneo.
Las técnicas directas son métodos que proporcionan una respuesta en un número fijo de
pasos, sujeta solamente a errores de redondeo.
Para representar al sistema lineal puede usarse una matriz de n por (n+1).
11212111 ... bxaxaxa nn (2.2a)
22222121 ... bxaxaxa nn (2.2b)
nnnnnn bxaxaxa ...2211 (2.2n)
construyendo primero
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
y
nb
b
b
b2
1
y luego combinando estas matrices para formar la matriz aumentada.
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nnnnn
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
bA
2
1
21
22221
11211
],[ (2.3)
donde se usa la línea para separar los coeficientes de las incógnitas de los valores del lado
derecho de las ecuaciones.
2.2.- MÉTODO GRÁFICO.
Para dos ecuaciones se puede obtener una solución al graficarlas en coordenadas
cartesianas con un eje que corresponda a 1x y el otro a 2x . Debido a que en estos sistemas
lineales, cada ecuación se relaciona con una línea recta, lo cual se ilustra fácilmente
mediante las ecuaciones generales
1212111 bxaxa (2.4a)
2222121 bxaxa (2.4b)
En ambas ecuaciones se puede despejar 2x :
12
11
12
112
a
bx
a
ax
(2.5a)
22
21
22
212
a
bx
a
ax
(2.5b)
De esta manera, las ecuaciones ahora están la forma de líneas rectas; es decir,
)ónintersecci()pendiente( 12 xx . Tales líneas se grafican en coordenadas cartesianas con
2x como la ordenada y 1x como la abcisa. Los valores de 1x y 1x en la intersección de las
líneas representa la solución.
Ejemplo 2.1.
Con el método gráfico resuelva
1823 21 xx
22 21 xx
Solución.
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Se despeja 2x de ambas ecuaciones:
123
2 9 xx
121
2 1 xx
La gráfica de ambas funciones se encuentra a continuación:
Figura 2.1 Solución gráfica del sistema 1823 21 xx , 22 21 xx .
La solución del sistema es:
41 x , 32 x
Ejercicios propuestos.
1. Utilice el método gráfico; resuelva
1862 21 xx
408 21 xx
Compruebe los resultados al sustituirlos de nuevo en las ecuaciones.
2. Dado el sistema de ecuaciones
25.1477.0 21 xx
207.12.1 21 xx
a) Resuelva gráficamente.
b) Considerando la solución gráfica, ¿qué espera acerca de la condición del sistema?
3. Dadas las ecuaciones
5.95.0 21 xx
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7.45.026.0 21 xx
Resuelva gráficamente.
2.3.- ELIMINACIÓN GAUSSIANA Y SUSTITUCIÓN HACIA ATRÁS.
Matriz triangular. Definición.
Una matriz triangular superior U de nn tiene para cada j, los elementos
0iju para cada njji ...,,2,1 (2.6)
y una matriz triangular inferior L tiene para cada j, los elementos
0ijl para cada 1...,,2,1 ji (2.7)
Una matriz diagonal es a la vez triangular superior e inferior.
Método de eliminación Gaussiana y sustitución hacia atrás.
La eliminación de Gauss se aplica sólo al caso de los conjuntos no homogéneos de
ecuaciones.
El procedimiento general de eliminación Gaussiana aplicado al sistema
E1: 11212111 ... bxaxaxa nn (2.1a)
E2: 22222121 ... bxaxaxa nn (2.1b)
En: nnnnnn bxaxaxa ...2211 (2.1n)
se maneja de la manera siguiente:
Formamos la matriz aumentada A~
1,
1,2
1,1
21
22221
11211
],[~
nn
n
n
nnnn
n
n
a
a
a
aaa
aaa
aaa
bAA
(2.8)
donde A denota la matriz formada por los coeficientes y los elementos en la (n+1) columna
son los valores de b, es decir, ini ba 1, para cada ni ...,,2,1 .
Siempre y cuando 011 a , se efectúan las operaciones correspondientes a
)(11
1
ia
a
jj EEE j para cada nj ...,,3,2 para eliminar el coeficiente ix en cada uno de
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estos renglones. Aun cuando se espera que los elementos en los renglones 2, 3, …, n
cambien, para facilitar la notación, denotaremos nuevamente al elementos en el i-ésimo
renglón y en la j-ésima columna por ija . Con esto en mente, seguiremos un procedimiento
secuencial para 1...,,3,2 ni y realizamos las operaciones )( ia
a
jj EEEii
ji para cada
niij ...,,2,1 , siempre que 0iia . Esto eliminará (es decir, cambiará el coeficiente a
cero) ix en cada renglón abajo del i-ésimo para todos los valores de 1...,,2,1 ni . La
matriz resultante tendrá la forma:
1,
1,2
1,1
222
11211
00
0~~
nn
n
n
nn
n
n
a
a
a
a
aa
aaa
A
(2.9)
Donde, como se mencionó arriba, no se espera que los valores de ija coincidan con los de
la matriz original A~
. Esta matriz representa un sistema lineal con el mismo conjunto de
soluciones que el sistema original. Como el sistema equivalente es triangular:
1,11212111 ... nnn axaxaxa (2.10a)
1,22222 ... nnn axaxa (2.10b)
1, nnnnn axa (2.10n)
se puede realizar la sustitución hacia atrás:
nn
nn
na
ax
1, (2.11)
Resolviendo la ecuación (n–1) para 1nx y usando nx , obtenemos:
1,1
,11,1
1
nn
nnnnn
na
xaax (2.12)
y continuando con este proceso llegamos a que
ii
iiinninnini
ia
xaxaxaax
11,11,,1, ... (2.13)
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ii
n
ij
jijni
ia
xaa
x
1
1,
para cada 1,2...,2,1 nni (2.14)
Los términos principales de cada una de las ecuaciones (2.10) recibe el nombre de
pivotes. Se podría normalizar cada una de las ecuaciones, dividiendo entre el coeficiente
principal, pero esto no se utiliza en la eliminación de Gauss; la razón fundamental es que la
normalización de las ecuaciones aumentará el tiempo total de cálculo.
Algoritmo de eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás.
Para resolver el sistema lineal de nn .
E1: 1,11212111 ... nnn axaxaxa
E2: 1,22222121 ... nnn axaxaxa
En: 1,2211 ... nnnnnnn axaxaxa
ENTRADA número de incógnitas y de ecuaciones n; matriz aumentada )( jiaA donde
ni 1 y 11 nj .
SALIDA solución 1x , 2x ,…, nx o mensaje de que el sistema lineal no tiene solución
única.
Paso 1 Para 1,,1 ni seguir los pasos 2 – 4. (Proceso de eliminación)
Paso 2 Sea p el menor entero con npi y 0ipa .
Si p no puede encontrarse
Entonces SALIDA (“No existe solución única”);.
PARAR
Paso 3 Si ip entonces efectuar )()( ip EE .
Paso 4 Para nij ,,1 seguir los pasos 5 y 6.
Paso 5 Tomar ii
ij
ija
am
Paso 6 Efectuar )()( jiijj EEmE .
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Paso 7 Si 0nna entonces SALIDA (“No existe solución única”).
PARAR.
Paso 8 Tomar nn
nn
na
ax
1, . (Empieza la sustitución hacia atrás).
Paso 9 Para 1,,1 ni tomar ii
n
ij
jjini
ia
xaa
x
1
1,
Paso 10 SALIDA ( 1x , …, nx ); (Procedimiento completado satisfactoriamente)
PARAR.
Ejemplo 2.2.
[CC] Resuelva el siguiente sistema lineal usando eliminación Gaussiana con sustitución
hacia atrás.
24 321 xxx
425 321 xxx
66 321 xxx
Solución.
Matriz de coeficientes ampliada.
6
4
2
116
215
114
4,3
4,2
4,1
333231
232221
131211
a
a
a
aaa
aaa
aaa
Siendo que )0(411 a , el objetivo es crear un cero en las posiciones donde están 21a y
31a , utilizando 11a como elemento pivote y operaciones en base al primer renglón, para lo
cual se definen las siguientes operaciones:
Renglón 2: 145
22 EEE , de donde: 122 25.1 EEE
Obsérvese que la fracción que multiplica al renglón que contiene al pivote ( 45 ), tiene como
numerador el elemento que se debe convertir en cero (5), y como denominador el valor
correspondiente a la misma columna del pivote (4).
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Renglón 3: 146
33 EEE , de donde: 133 5.1 EEE
Obsérvese que la fracción que multiplica al renglón que contiene al pivote (46 ), tiene como
numerador el elemento que se debe convertir en cero (6), y como denominador el valor
correspondiente a la misma columna del pivote (4).
Las operaciones están indicadas a continuación:
)2(5.16
)2(25.14
2
)1(5.11)1(5.11)4(5.16
)1(25.12)1(25.11)4(25.15
114
Y obtenemos:
9
5.6
2
5.25.00
25.325.00
114
4,3
4,2
4,1
3332
2322
131211
0
0
a
a
a
aa
aa
aaa
Siendo que )0(25.022 a , el objetivo es crear un cero en la posición donde está 32a ,
utilizando 22a como elemento pivote y operaciones en base al segundo renglón, para lo cual
se define la siguiente operación:
Renglón 3: 225.05.0
33 EEE , de donde: 233 2 EEE
Las operaciones están indicadas a continuación:
)5.6(29
5.6
2
)25.3(25.2)25.0(25.00
25.325.00
114
Y obtenemos:
4
5.6
2
400
25.325.00
114
4,3
4,2
4,1
33
2322
131211
00
0
a
a
a
a
aa
aaa
Sistema equivalente:
24 321 xxx (1)
5.625.325.0 32 xx (2)
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44 3 x (3)
Sustitución hacia atrás:
De la ecuación (3):
4
43
x
13 x
De la ecuación (2):
25.0
)1(25.35.6
25.0
25.35.6 32
xx
132 x
De la ecuación (1):
4
)1()13(2
4
2 321
xxx
31 x
La solución del sistema de ecuaciones planteado utilizando el método de Gauss es:
31 x , 132 x y 13 x .
Hasta ahora hemos resuelto ejercicios en los cuales no es necesario truncar o
aproximar los valores resultantes de las operaciones algebraicas, dado que no han aparecido
números con decimales periódicos o infinitos decimales. En los ejemplos siguientes
mostraremos cómo operar las matrices y la aplicación del método de eliminación Gaussiana
con sustitución hacia atrás cuando se debe utilizar una cantidad preestablecida de decimales
utilizando aproximación, e incluso, cuando los coeficientes son decimales en apariencia
exactos, pero requieren aproximarse para aplicar la solución numérica.
Ejemplo 2.3.
[WM] Resuelva el siguiente sistema lineal usando eliminación Gaussiana con aritmética de
redondeo a cuatro dígitos. La solución exacta del sistema es 21 x , 32 x y 53 x .
523 321 xxx
4321 xxx
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7342 321 xxx
Solución.
Matriz de coeficientes ampliada.
000.7
000.4
000.5
000.3000.4000.2
000.1000.1000.1
000.1000.2000.3
4,3
4,2
4,1
333231
232221
131211
a
a
a
aaa
aaa
aaa
Siendo que )0(000.311 a , el objetivo es crear un cero en las posiciones donde están 21a
y 31a , utilizando 11a como elemento pivote y operaciones en base al primer renglón, para lo
cual se definen las siguientes operaciones:
Renglón 2: 1000.3000.1
22 EEE , de donde: 122 333.0 EEE
Renglón 3: 1000.3000.2
33 EEE , de donde: 133 667.0 EEE
Las operaciones están indicadas a continuación:
)000.5(667.0000.7
)000.5(333.0000.4
000.5
)000.1(667.0000.3)000.2(667.0000.4)000.3(667.0000.2
)000.1(333.0000.1)000.2(333.0000.1)000.3(333.0000.1
000.1000.2000.3
Y obtenemos:
34.10
665.5
000.5
667.3666.2001.0
333.1334.0001.0
000.1000.2000.3
4,3
4,2
4,1
3332
2322
131211
0
0
a
a
a
aa
aa
aaa
Siendo que )0(334.022 a , el objetivo es crear un cero en la posición donde está 32a ,
utilizando 22a como elemento pivote y operaciones en base al segundo renglón, para lo cual
se define la siguiente operación:
Renglón 3: 2334.0666.2
33 EEE , de donde: 233 982.7 EEE
Las operaciones están indicadas a continuación:
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
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)665.5(982.734.10
665.5
000.5
)333.1(982.7667.3)334.0(982.7666.2)001.0(982.7001.0
333.1334.0001.0
000.1000.2000.3
Y obtenemos:
88.34
665.5
000.5
973.6000.0009.0
333.1334.0001.0
000.1000.2000.3
4,3
4,2
4,1
33
2322
131211
00
0
a
a
a
a
aa
aaa
Sistema equivalente:
000.5000.1000.2000.3 321 xxx (1)
665.5333.1334.0 32 xx (2)
88.34973.6 3 x (3)
Sustitución hacia atrás:
De la ecuación (3):
973.6
88.343
x
002.53 x
De la ecuación (2):
334.0
668.6665.5
334.0
)002.5(333.1665.5
334.0
333.1665.5 32
xx
003.32 x
De la ecuación (1):
3
008.6
3
002.5006.65
3
)002.5()003.3(25
3
25 321
xxx
003.21 x
La solución del sistema de ecuaciones planteado utilizando el método de Gauss con
aritmética de redondeo a cuatro dígitos es:
003.21 x , 003.32 x y 002.53 x .
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Ejemplo 2.4.
[WM] Resuelva el siguiente sistema lineal usando eliminación Gaussiana con aritmética
cortando a cuatro dígitos. La solución exacta del sistema es 21 x , 32 x y 53 x .
523 321 xxx
4321 xxx
7342 321 xxx
Solución.
Matriz de coeficientes ampliada.
000.7
000.4
000.5
000.3000.4000.2
000.1000.1000.1
000.1000.2000.3
4,3
4,2
4,1
333231
232221
131211
a
a
a
aaa
aaa
aaa
Siendo que )0(000.311 a , el objetivo es crear un cero en las posiciones donde están 21a
y 31a , utilizando 11a como elemento pivote y operaciones en base al primer renglón, para lo
cual se definen las siguientes operaciones:
Renglón 2: 1000.3000.1
22 EEE , de donde: 122 333.0 EEE
Renglón 3: 1000.3000.2
33 EEE , de donde: 133 666.0 EEE
Las operaciones están indicadas a continuación:
)000.5(666.0000.7
)000.5(333.0000.4
000.5
)000.1(666.0000.3)000.2(666.0000.4)000.3(666.0000.2
)000.1(333.0000.1)000.2(333.0000.1)000.3(333.0000.1
000.1000.2000.3
Y obtenemos:
33.10
665.5
000.5
666.3668.2002.0
333.1334.0001.0
000.1000.2000.3
4,3
4,2
4,1
3332
2322
131211
0
0
a
a
a
aa
aa
aaa
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Siendo que )0(334.022 a , el objetivo es crear un cero en la posición donde está 32a ,
utilizando 22a como elemento pivote y operaciones en base al segundo renglón, para lo cual
se define la siguiente operación:
Renglón 3: 2334.0668.2
33 EEE , de donde: 233 988.7 EEE
Las operaciones están indicadas a continuación:
)665.5(988.733.10
665.5
000.5
)333.1(988.7666.3)334.0(988.7668.2)001.0(988.7002.0
333.1334.0001.0
000.1000.2000.3
Y obtenemos:
92.34
665.5
000.5
982.6000.0006.0
333.1334.0001.0
000.1000.2000.3
4,3
4,2
4,1
33
2322
131211
00
0
a
a
a
a
aa
aaa
Sistema equivalente:
000.5000.1000.2000.3 321 xxx (1)
665.5333.1334.0 32 xx (2)
92.34982.6 3 x (3)
Sustitución hacia atrás:
De la ecuación (3):
982.6
92.343
x
001.53 x
De la ecuación (2):
334.0
666.6665.5
334.0
)001.5(333.1665.5
334.0
333.1665.5 32
xx
997.22 x
De la ecuación (1):
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 16
000.3
001.5994.5000.5
000.3
)001.5()997.2(000.2000.5
000.3
000.1000.2000.5 321
xxx
998.11 x
La solución del sistema de ecuaciones planteado utilizando el método de Gauss con
aritmética cortando a cuatro dígitos es:
998.11 x , 997.22 x y 001.53 x .
Ejemplo 2.5.
[WM] Resuelva el siguiente sistema lineal usando el método de eliminación Gaussiana con
aritmética de redondeo a 4 dígitos. La solución exacta del sistema es 21 x , 32 x ,
13 x y 54 x .
13243 4321 xxxx
38642 4321 xxxx
13685 4321 xxxx
24232 4321 xxxx
Solución.
Matriz de coeficientes ampliada.
00.24
00.13
00.38
000.1
000.2000.1000.3000.2
000.1000.6000.8000.5
000.6000.4000.2000.1
000.3000.2000.4000.3
5,4
5,3
5,2
5,1
44434241
34333231
24232221
14131211
a
a
a
a
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
1000.3000.1
22 EEE , de donde: 122 333.0 EEE
1000.3000.5
33 EEE , de donde: 133 667.1 EEE
1000.3000.2
44 EEE , de donde: 144 667.0 EEE
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 17
33.23
67.14
33.38
000.1
001.4334.2332.0000.0
001.4334.967.14000.0
001.5334.3332.3000.0
000.3000.2000.4000.3
5,4
5,3
5,2
5,1
444342
343332
242322
14131211
0
0
0
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
aaaa
2332.367.14
33 EEE , 233 403.4 EEE
2332.3332.0
44 EEE , 244 100.0 EEE
50.19
1.154
33.38
000.1
501.3001.2000.0000.0
02.2601.24000.0000.0
001.5334.3332.3000.0
000.3000.2000.4000.3
5,4
5,3
5,2
5,1
4443
3433
242322
14131211
00
00
0
a
a
a
a
aa
aa
aaa
aaaa
3452.5548.2
44 EEE
, 344 467.0 EEE
710.6
1.154
33.38
000.1
341.1000.0000.0000.0
02.2601.24000.0000.0
001.5334.3332.3000.0
000.3000.2000.4000.3
5,4
5,3
5,2
5,1
44
3433
242322
14131211
000
00
0
a
a
a
a
a
aa
aaa
aaaa
Sistema equivalente:
000.1000.3000.2000.4000.3 4321 xxxx (1)
33.38001.5334.3332.3 432 xxx (2)
1.15402.2601.24 43 xx (3)
710.6341.1 4 x (4)
Sustitución hacia atrás:
De la ecuación (4):
341.1
710.64
x
004.54 x
De la ecuación (3):
995.001.24
2.1301.154
01.24
)004.5(02.261.154
01.24
02.261.154 43
xx
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 18
995.03 x
De la ecuación (2):
332.3
03.25317.333.38
332.3
)004.5(001.5)995.0(334.333.38
332.3
001.5334.333.38 432
xxx
996.22 x
De la ecuación (1):
000.5
)004.5(000.3)995.0(000.2)996.2(000.4000.1
000.3
000.3000.2000.4000.1 4321
xxxx
007.2000.3
022.6
000.3
012.15990.198.11000.11
x
007.21 x
La solución del sistema de ecuaciones planteado utilizando el método de Gauss con
aritmética de redondeo a cuatro dígitos es:
007.21 x , 996.22 x , 995.03 x y 004.54 x .
Solución exacta del sistema de ecuaciones mediante la calculadora.
CASIO fx-570ES PLUS.
Este modelo de calculadora dispone de la opción para resolver solamente sistemas
de dos ecuaciones con dos incógnitas y de tres ecuaciones con tres incógnitas. En este
sentido conviene conocer la secuencia de teclas que se deben presionar para obtener la
solución del sistema.
El procedimiento es el siguiente:
Encender la calculadora presionando la tecla ON.
Presionar la tecla MODE. La calculadora muestra el siguiente menú en el display:
1: COMP 2: CMPLX
3: STAT 4: BASE-N
5: EQN 6: MATRIX
7: TABLE 8: VECTOR
Elegir la opción 5: EQN. El display muestra:
1: nnn cybxa
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 19
2: nnnn dzcybxa
3: 02 cxbxa
4: 023 dxcxbxa
Elegir la opción 2. Esta opción corresponde a un sistema de tres ecuaciones con tres
incógnitas, mientras que la opción 1 corresponde a un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas, mientras que las opciones 3 y 4 son las que permiten la solución de ecuaciones
de segundo y tercer grado respectivamente. El display muestra:
R Math
a B C
1 0 0 0
2 0 0 0
3 0 0 0
0
Ingresar la matriz de coeficientes ampliada del sistema de ecuaciones, la secuencia de teclas
es:
4 , = , 1 , = , (–) , 1 , = , (–) , 2 , = , 5 , = , 1 , = , 2 , = , 4 , = , 6 , = , 1 , = , 1 , = , 6 , =
El display muestra:
R Math
b C D
1 1 –1 –2
2 1 2 4
3 1 1 6
6
Al presionar la tecla = obtenemos el valor de la primera variable, la cual es reportada en el
display de la calculadora como se muestra a continuación:
x R Math
3
Al presionar la tecla = nuevamente, se obtiene el valor de la segunda variable. En el display
podemos observar:
y R Math
–13
Finalmente, al presionar la tecla =, obtendremos el valor de la tercera variable.
z R Math
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 20
1
La solución del sistema de ecuaciones planteado utilizando la calculadora es:
31 x , 132 x y 13 x .
Para volver la calculadora a su estado fundamental, presionar las teclas MODE 1.
Pivoteo.
Ocurren problemas obvios cuando un elemento pivote es cero, ya que el paso de
normalización origina una división entre cero. También llegan a surgir problemas cuando el
elemento pivote es cercano a – o más aún que sea exactamente igual a – cero, debido a que
si la magnitud del elemento pivote es pequeña comparada con los otros elementos, entonces
se pueden introducir errores de redondeo.
Las estrategias de pivoteo se llevan a cabo en general seleccionando un nuevo
elemento como pivote )(
,
k
qpa intercambiando los renglones k y p, e intercambiando las
columnas k y q, si es necesario.
Además de evitar la división entre cero, el pivoteo también minimiza el error de
redondeo. Como tal, sirve también para resolver parcialmente el mal condicionamiento.
Pivoteo parcial o pivoteo máximo de columna.
Antes de normalizar cada renglón, resulta conveniente determinar el coeficiente más
grande disponible en la columna debajo del elemento pivote. Los renglones se pueden
intercambiar de manera que el elemento más grande sea el elemento pivote; esto se conoce
como pivoteo parcial o pivoteo máximo de columna y es la estrategia más simple, la cual
consiste en seleccionar el elemento en la misma columna que está debajo de la diagonal y
que tiene el mayor valor absoluto; es decir, se determina p tal que
)(
,
)(
, max k
kinik
k
kp aa
y se efectúa pk EE . En este caso se considera un intercambio de columna.
Ejemplo 2.6.
Resuelva el siguiente sistema lineal usando eliminación Gaussiana con sustitución hacia
atrás.
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 21
032 32 xx
62 321 xxx
027 321 xxx
Solución.
Matriz de coeficientes ampliada.
0
6
0
217
112
320
4,3
4,2
4,1
333231
232221
131211
a
a
a
aaa
aaa
aaa
Siendo que 011 a (elemento pivote), se debe hacer pivoteo parcial mediante el
intercambio de renglones. Se reemplaza el renglón 2 por el renglón 1.
0
0
6
217
320
112
4,3
4,2
4,1
333231
232221
131211
a
a
a
aaa
aaa
aaa
Siendo que )0(211 a , el objetivo es crear un cero en las posiciones donde están 21a y
31a , utilizando 11a como elemento pivote y operaciones en base al primer renglón.
Obsérvese que en la posición de 21a ya está presente un cero, por lo cual sólo es necesario
crear el cero en la posición correspondiente a 31a , para lo cual se define la siguiente
operación:
Renglón 3: 127
33 EEE , lo cual implica 133 5.3 EEE
Las operaciones están indicadas a continuación:
)6(5.30
0
6
)1(5.32)1(5.31)2(5.37
320
112
Y obtenemos:
21
0
6
5.55.20
320
112
4,3
4,2
4,1
3332
2322
131211
0
0
a
a
a
aa
aa
aaa
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 22
Siendo que )0(222 a , el objetivo es crear un cero en la posición donde está 32a ,
utilizando 22a como elemento pivote y operaciones en base al segundo renglón, para lo cual
se define la siguiente operación:
Renglón 3: 225.2
33 EEE , lo cual implica 233 25.1 EEE
Las operaciones están indicadas a continuación:
)0(25.121
0
6
)3(25.15.5)2(25.15.2)0(25.10
320
112
Y obtenemos:
21
0
6
75.100
320
112
4,3
4,2
4,1
33
2322
131211
00
0
a
a
a
a
aa
aaa
Sistema equivalente:
62 321 xxx (1)
032 32 xx (2)
2175.1 3 x (3)
Sustitución hacia atrás:
De la ecuación (3):
75.1
213
x
123 x
De la ecuación (2):
2
)12(3
2
3 32
xx
182 x
De la ecuación (1):
2
)12()18(6
2
6 321
xxx
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 23
61 x
La solución del sistema de ecuaciones planteado utilizando el método de Gauss es:
61 x , 182 x y 123 x .
Ejemplo 2.7.
Resuelva el siguiente sistema lineal usando eliminación Gaussiana con sustitución hacia
atrás.
02 321 xxx
452 321 xxx
023 21 xx
Solución.
Matriz de coeficientes ampliada.
0
4
0
023
512
112
4,3
4,2
4,1
333231
232221
131211
a
a
a
aaa
aaa
aaa
)0(211 a , el objetivo es crear un cero en las posiciones donde están 21a y 31a , utilizando
11a como elemento pivote y operaciones en base al primer renglón, para lo cual se definen
las siguientes operaciones:
Renglón 2: 122
22 EEE , lo cual implica 122 EEE
Renglón 3: 123
33 EEE , lo cual implica: 133 5.1 EEE
Las operaciones están indicadas a continuación:
)0(5.10
)0(4
0
)1(5.10)1(5.12)2(5.13
)1(5)1(1)2(2
112
Y obtenemos:
0
4
0
5.15.00
400
112
4,3
4,2
4,1
3332
2322
131211
0
0
a
a
a
aa
aa
aaa
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 24
022 a . No se debe tomar 22a como elemento pivote para crear el cero en la posición 32a .
Se aplica pivoteo parcial mediante el intercambio de renglones:
23 EE
Las operaciones están indicadas a continuación:
4
0
0
400
5.15.00
112
4,3
4,2
4,1
33
2322
131211
00
0
a
a
a
a
aa
aaa
Sistema equivalente:
02 321 xxx (1)
05.15.0 32 xx (2)
44 3 x (3)
Sustitución hacia atrás:
De la ecuación (3):
4
43 x
13 x
De la ecuación (2):
5.0
)1(5.1
5.0
5.1 32
xx
32 x
De la ecuación (1):
2
)1()3(
2
321
xxx
21 x
La solución del sistema de ecuaciones planteado utilizando el método de Gauss es:
21 x , 32 x y 13 x .
Ejemplo 2.8.
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 25
[BF] Resuelva el siguiente sistema lineal usando eliminación Gaussiana con sustitución
hacia atrás.
82 4321 xxxx
203322 4321 xxxx
2321 xxx
434 4321 xxxx
Solución.
Matriz de coeficientes ampliada.
4
2
20
8
3411
0111
3322
1211
5,4
5,3
5,2
5,1
44434241
34333231
24232221
14131211
a
a
a
a
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
)0(111 a , el objetivo es crear un cero en las posiciones donde están 21a , 31a y 41a ,
utilizando 11a como elemento pivote y operaciones en base al primer renglón, para lo cual
se definen las siguientes operaciones:
Renglón 2: 112
22 EEE , lo cual implica 122 2EEE
Renglón 3: 111
33 EEE , lo cual implica: 133 EEE
Renglón 4: 111
34 EEE , lo cual implica: 133 EEE
Las operaciones están indicadas a continuación:
)8(4
)8(2
)8(220
8
)1(3)2(4)1(1)1(1
)1(0)2(1)1(1)1(1
)1(23)2(23)1(22)1(22
1211
Y obtenemos:
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 26
12
6
4
8
4200
1120
1100
1211
5,4
5,3
5,2
5,1
444342
343332
242322
14131211
0
0
0
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
aaaa
Siendo que 022 a . No se debe tomar 22a como elemento pivote para crear el cero en las
posiciones 32a y 42a . Se aplica pivoteo parcial mediante el intercambio de renglones:
23 EE
Las operaciones están indicadas a continuación:
12
4
6
8
4200
1100
1120
1211
5,4
5,3
5,2
5,1
444342
343332
242322
14131211
0
0
0
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
aaaa
)0(222 a , el objetivo es crear un cero en las posiciones donde están 32a y 42a ,
utilizando 22a como elemento pivote y operaciones en base al segundo renglón. Obsérvese
que en la posiciones de 32a y 42a ya están presentes los ceros, por lo cual se continúan los
cálculos.
12
4
6
8
4200
1100
1120
1211
5,4
5,3
5,2
5,1
4443
3433
242322
14131211
00
00
0
a
a
a
a
aa
aa
aaa
aaaa
)0(133 a , el objetivo es crear un cero en la posición donde está 43a , utilizando 33a
como elemento pivote y operaciones en base al tercer renglón, para lo cual se define la
siguiente operación:
Renglón 4: 112
34 EEE
, lo cual implica: 344 2EEE
Las operaciones están indicadas a continuación:
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 27
)4(212
4
6
8
)1(24)1(22)0(20)0(20
1100
1120
1211
Y obtenemos:
4
4
6
8
2000
1100
1120
1211
5,4
5,3
5,2
5,1
44
3433
242322
14131211
000
00
0
a
a
a
a
a
aa
aaa
aaaa
Sistema equivalente:
82 4321 xxxx (1)
62 432 xxx (2)
443 xx (3)
42 4 x (4)
Sustitución hacia atrás:
De la ecuación (4):
2
44 x
24 x
De la ecuación (3):
1
)2(4
1
4 43
xx
23 x
De la ecuación (2):
2
)2()2(6
2
6 432
xxx
32 x
De la ecuación (1):
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 28
1
2)2(2)3(8
1
28 4321
xxxx
71 x
La solución del sistema de ecuaciones planteado utilizando el método de Gauss es:
71 x , 32 x , 23 x y 24 x .
Ejemplo 2.9.
[WM] Resuelva el siguiente sistema lineal usando el método de eliminación Gaussiana con
aritmética de redondeo a 4 dígitos y pivoteo parcial. La solución exacta del sistema es
21 x , 32 x y 53 x .
523 321 xxx
4321 xxx
7342 321 xxx
Solución.
Matriz de coeficientes ampliada.
000.7
000.4
000.5
000.3000.4000.2
000.1000.1000.1
000.1000.2000.3
4,3
4,2
4,1
333231
232221
131211
a
a
a
aaa
aaa
aaa
Primera columna. 1k .
000.3}000.2,000.1,000.3{maxmax )1(
1,31
)1(
1,
ii
p aa , 1p
11 EE El elemento pivote se mantiene.
Renglón 2: 1000.3000.1
22 EEE , 122 333.0 EEE
Renglón 3: 1000.3000.2
33 EEE , 133 667.0 EEE
)000.5(667.0000.7
)000.5(333.0000.4
000.5
)000.1(667.0000.3)000.2(667.0000.4)000.3(667.0000.2
)000.1(333.0000.1)000.2(333.0000.1)000.3(333.0000.1
000.1000.2000.3
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 29
34.10
665.5
000.5
667.3666.2001.0
333.1334.0001.0
000.1000.2000.3
4,3
4,2
4,1
3332
2322
131211
0
0
a
a
a
aa
aa
aaa
Segunda columna. 2k .
666.2}666.2,334.0{maxmax )2(
2,32
)2(
2,
ii
p aa , 3p
32 EE
665.5
34.10
000.5
333.1334.0001.0
667.3666.2001.0
000.1000.2000.3
4,3
4,2
4,1
3332
2322
131211
0
0
a
a
a
aa
aa
aaa
Renglón 3: 2666.2334.0
33 EEE , 233 125.0 EEE
)335.10(125.0665.5
34.10
000.5
)667.3(125.0333.1)666.2(125.0334.0)001.0(125.0000.0
667.3666.2000.0
000.1000.2000.3
373.4
34.10
000.5
875.0000.0000.0
667.3666.2001.0
000.1000.2000.3
4,3
4,2
4,1
33
2322
131211
00
0
a
a
a
a
aa
aaa
Sistema equivalente.
000.5000.1000.2000.3 321 xxx (1)
34.10667.3666.2 32 xx (2)
373.4875.0 3 x (3)
Sustitución hacia atrás:
De la ecuación (3):
875.0
373.43 x
998.43 x
De la ecuación (2):
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 30
666.2
33.1834.10
666.2
)998.4(667.3335.10
666.2
667.3335.10 32
xx
997.22 x
De la ecuación (1):
000.3
998.4994.5000.5
000.3
)998.4()997.2(000.2000.5
000.3
000.1000.2000.5 321
xxx
997.11 x
La solución del sistema de ecuaciones planteado utilizando el método de Gauss con
aritmética de redondeo a cuatro dígitos y pivoteo parcial es:
997.11 x , 997.22 x y 998.43 x .
Ejemplo 2.10.
[WM] Resuelva el siguiente sistema lineal usando el método de eliminación Gaussiana con
aritmética de redondeo a 4 dígitos y pivoteo parcial. La solución exacta del sistema es
21 x , 32 x , 13 x y 54 x .
13243 4321 xxxx
38642 4321 xxxx
13685 4321 xxxx
24232 4321 xxxx
Solución.
Matriz de coeficientes ampliada.
00.24
00.13
00.38
000.1
000.2000.1000.3000.2
000.1000.6000.8000.5
000.6000.4000.2000.1
000.3000.2000.4000.3
5,4
5,3
5,2
5,1
44434241
34333231
24232221
14131211
a
a
a
a
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
Primera columna. 1k .
000.5}000.2,000.5,000.1,000.3{maxmax )1(
1,41
)1(
1,
ii
p aa , 3p
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 31
31 EE
00.24
000.1
00.38
00.13
000.2000.1000.3000.2
000.3000.2000.4000.3
000.6000.4000.2000.1
000.1000.6000.8000.5
5,4
5,3
5,2
5,1
44434241
34333231
24232221
14131211
a
a
a
a
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
1000.5000.1
22 EEE , 122 2.0 EEE
1000.5000.3
33 EEE , 133 6.0 EEE
1000.5000.2
44 EEE , 144 4.0 EEE
20.29
800.8
40.35
00.13
400.2400.1200.6000.0
400.2600.5800.8000.0
800.5200.5400.0000.0
000.1000.6000.8000.5
5,4
5,3
5,2
5,1
444342
343332
242322
14131211
0
0
0
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
aaaa
Segunda columna. 2k .
800.8}200.6,800.8,400.0{maxmax )2(
2,42
)2(
2,
ii
p aa , 3p
32 EE
20.29
40.35
800.8
00.13
400.2400.1200.6000.0
800.5200.5400.0000.0
400.2600.5800.8000.0
000.1000.6000.8000.5
5,4
5,3
5,2
5,1
444342
343332
242322
14131211
0
0
0
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
aaaa
2800.8400.0
33 EEE
, 233 045.0 EEE
2800.8200.6
44 EEE , 244 705.0 EEE
00.23
00.35
800.8
00.13
092.4548.2004.0000.0
908.5452.5004.0000.0
400.2600.5800.8000.0
000.1000.6000.8000.5
5,4
5,3
5,2
5,1
4443
3433
242322
14131211
00
00
0
a
a
a
a
aa
aa
aaa
aaaa
Tercera columna. 3k .
452.5}548.2,452.5{maxmax )3(
2,43
)3(
3,
ii
p aa , 3p
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 32
33 EE
00.23
00.35
800.8
00.13
092.4548.2004.0000.0
908.5452.5004.0000.0
400.2600.5800.8000.0
000.1000.6000.8000.5
5,4
5,3
5,2
5,1
4443
3433
242322
14131211
00
00
0
a
a
a
a
aa
aa
aaa
aaaa
3452.5548.2
44 EEE
, 344 467.0 EEE
65.6
00.35
800.8
00.13
333.1002.0004.0000.0
908.5452.5004.0000.0
400.2600.5800.8000.0
000.1000.6000.8000.5
5,4
5,3
5,2
5,1
4443
3433
242322
14131211
00
00
0
a
a
a
a
aa
aa
aaa
aaaa
Sistema equivalente:
00.13000.1000.6000.8000.5 4321 xxxx (1)
800.8400.2600.5800.8 432 xxx (2)
00.35908.5452.5 43 xx (3)
650.6333.1 4 x (4)
Sustitución hacia atrás:
De la ecuación (4):
333.1
650.64
x
989.44 x
De la ecuación (3):
012.1452.5
48.2900.35
452.5
)989.4(908.500.35
452.5
908.500.35 43
xx
012.13 x
De la ecuación (2):
800.8
97.11667.5800.8
800.8
)989.4(400.2)012.1(600.5800.8
800.8
400.2600.5800.8 432
xxx
800.8
44.262
x
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 33
005.32 x
De la ecuación (1):
000.5
)989.4(000.1)012.1(000.6)005.3(000.800.13
000.5
000.1000.6000.800.13 4321
xxxx
991.1000.5
957.9
000.5
989.4072.604.2400.131
x
991.11 x
La solución del sistema de ecuaciones planteado utilizando el método de Gauss con
aritmética de redondeo a cuatro dígitos y pivoteo máximo de columna es:
991.11 x , 005.32 x , 012.13 x y 989.44 x .
Pivoteo escalado de columna.
El primer paso en este procedimiento consiste en definir un factor de escala is para cada
renglón
jinj
i as,...,2,1
max
Si 0is para alguna i, no existe solución única y el procedimiento se detiene. El
intercambio apropiado de renglones para obtener ceros en la primera columna queda
determinado escogiendo el primer entero k con
j
j
njk
k
s
a
s
a 1
,...,2,1
1max
y realizando kEE 1 . El efecto de escalar consiste en asegurar que el elemento mayor de
cada renglón tenga una magnitud relativa de uno antes de que se empiece la comparación
para el intercambio de renglones. El escalamiento se hace solamente con propósitos de
comparación, así que la división entre los factores de escala no produce un error de
redondeo en el sistema.
Ejemplo 2.11.
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 34
[WM] Resuelva el siguiente sistema lineal usando el método de eliminación Gaussiana con
aritmética de redondeo a 4 dígitos y pivoteo escalado de columna. La solución exacta del
sistema es 21 x , 32 x y 53 x .
523 321 xxx
4321 xxx
7342 321 xxx
Solución.
Matriz de coeficientes ampliada.
000.7
000.4
000.5
000.3000.4000.2
000.1000.1000.1
000.1000.2000.3
4,3
4,2
4,1
333231
232221
131211
a
a
a
aaa
aaa
aaa
Factores de escala.
jinj
i as,...,2,1
max
Renglón 1: 000.3}000.1,000.2,000.3{max1 s
Renglón 2: 000.1}000.1,000.1,000.1{max2 s
Renglón 3: 000.4}000.3,000.4,000.2{max3 s
Intercambio en el primer renglón.
j
j
njk
k
s
a
s
a 1
,...,2,1
1max
Factores para intercambio de renglones.
000.1000.3
000.3
1
11
s
a 000.1
000.1
000.1
2
21
s
a 500.0
000.4
000.2
3
31
s
a
000.1}500.0,000.1,000.1{max1
k
k
s
a El primer máximo se consigue para
1k .
11 EE El elemento pivote se mantiene.
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 35
000.7
000.4
000.5
000.3000.4000.2
000.1000.1000.1
000.1000.2000.3
4,3
4,2
4,1
333231
232221
131211
a
a
a
aaa
aaa
aaa
Renglón 2: 131
22 EEE , 122 333.0 EEE
Renglón 3: 132
33 EEE , 133 667.0 EEE
)000.5(667.0000.7
)000.5(333.0000.4
000.5
)000.1(667.0000.3)000.2(667.0000.4)000.3(667.0000.2
)000.1(333.0000.1)000.2(333.0000.1)000.3(333.0000.1
000.1000.2000.3
335.10
665.5
000.5
667.3666.2000.0
333.1334.0000.0
000.1000.2000.3
4,3
4,2
4,1
3332
2322
131211
0
0
a
a
a
aa
aa
aaa
Factores de escala.
jinj
i as,...,2
max
Renglón 2: 333.1}333.1,334.0{max2 s
Renglón 3: 667.3}667.3,667.2{max3 s
Intercambio en el segundo renglón.
j
j
njk
k
s
a
s
a 2
,...,2
2max
Factores para intercambio de renglones.
251.0333.1
334.0
2
22
s
a 364.0
667.3
333.1
3
23
s
a
364.0}364.0,251.0{max2
k
k
s
a 3k .
32 EE
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 36
665.5
335.10
000.5
333.1334.0000.0
667.3666.2000.0
000.1000.2000.3
4,3
4,2
4,1
3332
2322
131211
0
0
a
a
a
aa
aa
aaa
Renglón 3: 2666.2334.0
33 EEE , 233 125.0 EEE
)335.10(125.0665.5
335.10
000.5
)667.3(125.0333.1)666.2(125.0334.0)000.0(125.0000.0
667.3666.2000.0
000.1000.2000.3
373.4
335.10
000.5
875.0000.0000.0
667.3666.2000.0
000.1000.2000.3
4,3
4,2
4,1
33
2322
131211
00
0
a
a
a
a
aa
aaa
Sistema equivalente.
000.5000.1000.2000.3 321 xxx (1)
335.10667.3666.2 32 xx (2)
373.4875.0 3 x (3)
Sustitución hacia atrás:
De la ecuación (3):
875.0
373.43 x
998.43 x
De la ecuación (2):
666.2
328.18335.10
666.2
)998.4(667.3335.10
666.2
667.3335.10 32
xx
998.22 x
De la ecuación (1):
000.3
998.4996.5000.5
000.3
)998.4()998.2(000.2000.5
000.3
000.1000.2000.5 321
xxx
998.11 x
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 37
La solución del sistema de ecuaciones planteado utilizando el método de Gauss con
aritmética de redondeo a cuatro dígitos y pivoteo escalado de columna es:
003.21 x , 998.22 x y 998.43 x .
Ejemplo 2.12.
[WM] Resuelva el siguiente sistema lineal usando el método de eliminación Gaussiana con
aritmética de redondeo a 4 dígitos y pivoteo escalado de columna. La solución exacta del
sistema es 21 x , 32 x , 13 x y 54 x .
13243 4321 xxxx
38642 4321 xxxx
13685 4321 xxxx
24232 4321 xxxx
Solución.
Matriz de coeficientes ampliada.
00.24
00.13
00.38
000.1
000.2000.1000.3000.2
000.1000.6000.8000.5
000.6000.4000.2000.1
000.3000.2000.4000.3
5,4
5,3
5,2
5,1
44434241
34333231
24232221
14131211
a
a
a
a
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
Factores de escala.
jinj
i as,...,2,1
max
Renglón 1: 000.4}000.3,000.2,000.4,000.3{max1 s
Renglón 2: 000.6}000.6,000.4,000.2,000.1{max2 s
Renglón 3: 000.8}000.1,000.6,000.8,000.5{max3 s
Renglón 4: 000.3}000.2,000.1,000.3,000.2{max4 s
Intercambio en el primer renglón.
j
j
njk
k
s
a
s
a 1
,...,2,1
1max
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 38
Factores para intercambio de renglones.
750.0000.4
000.3
1
11
s
a 167.0
000.6
000.1
2
21
s
a 625.0
000.8
000.5
3
31
s
a
667.0000.3
000.2
3
41
s
a
000.1}667.0,625.0,167.0,750.0{max1
k
k
s
a El primer máximo se consigue
para 1k .
11 EE El elemento pivote se mantiene.
00.24
00.13
00.38
000.1
000.2000.1000.3000.2
000.1000.6000.8000.5
000.6000.4000.2000.1
000.3000.2000.4000.3
1000.3000.1
22 EEE , de donde: 122 333.0 EEE
1000.3000.5
33 EEE , de donde: 133 667.1 EEE
1000.3000.2
44 EEE , de donde: 144 667.0 EEE
33.23
67.14
33.38
000.1
001.4334.2332.0000.0
001.4334.967.14000.0
001.5334.3332.3000.0
000.3000.2000.4000.3
5,4
5,3
5,2
5,1
444342
343332
242322
14131211
0
0
0
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
aaaa
Factores de escala.
jinj
i as,...,2
max
Renglón 2: 001.5}001.5,334.3,332.3{max2 s
Renglón 3: 67.14}001.4,334.9,67.14{max3 s
Renglón 4: 001.4}001.4,334.2,332.0{max4 s
Intercambio en el segundo renglón.
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 39
j
j
njk
k
s
a
s
a 2
,...,2
2max
Factores para intercambio de renglones.
666.0001.5
332.3
2
22
s
a 000.1
67.14
67.14
3
23
s
a 083.0
001.4
332.0
4
24
s
a
000.1}083.0,000.1,666.0{max2
k
k
s
a 3k .
32 EE
33.23
33.38
67.14
000.1
001.4334.2332.0000.0
001.5334.3332.3000.0
001.4334.967.14000.0
000.3000.2000.4000.3
5,4
5,3
5,2
5,1
444342
343332
242322
14131211
0
0
0
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
aaaa
267.14332.3
33 EEE , 233 227.0 EEE
267.14332.0
44 EEE , 244 023.0 EEE
99.22
00.35
67.14
000.1
093.4549.2000.0000.0
909.5453.5000.0000.0
001.4334.967.14000.0
000.3000.2000.4000.3
5,4
5,3
5,2
5,1
4443
3433
242322
14131211
00
00
0
a
a
a
a
aa
aa
aaa
aaaa
Factores de escala.
jinj
i as,...,3
max
Renglón 3: 909.5}909.5,453.5{max3 s
Renglón 4: 093.4}093.4,549.2{max4 s
Intercambio en el tercer renglón.
j
j
njk
k
s
a
s
a 3
,...,3
3max
Factores para intercambio de renglones.
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 40
923.0909.5
453.5
3
33
s
a 444.1
093.4
909.5
4
34
s
a
444.1}444.1,923.0{max3
k
k
s
a 4k .
43 EE
00.35
99.22
67.14
000.1
909.5453.5000.0000.0
093.4549.2000.0000.0
001.4334.967.14000.0
000.3000.2000.4000.3
5,4
5,3
5,2
5,1
4443
3433
242322
14131211
00
00
0
a
a
a
a
aa
aa
aaa
aaaa
2549.2453.5
44 EEE , 244 139.2 EEE
18.14
99.22
67.14
000.1
846.2000.0000.0000.0
093.4549.2000.0000.0
001.4334.967.14000.0
000.3000.2000.4000.3
5,4
5,3
5,2
5,1
44
3433
242322
14131211
000
00
0
a
a
a
a
a
aa
aaa
aaaa
Sistema equivalente:
000.1000.3000.2000.4000.3 4321 xxxx (1)
67.14001.4334.967.14 432 xxx (2)
99.22093.4549.2 43 xx (3)
18.14846.2 4 x (4)
Sustitución hacia atrás:
De la ecuación (4):
846.2
18.144
x
982.44 x
De la ecuación (3):
020.1549.2
39.2099.22
549.2
)982.4(093.499.22
549.2
093.499.22 43
xx
020.13 x
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 41
De la ecuación (2):
67.14
93.19521.967.14
67.14
)982.4(001.4)020.1(334.967.14
67.14
001.4334.967.14 432
xxx
67.14
12.442 x
007.32 x
De la ecuación (1):
000.3
)982.4(000.3)020.1(000.2)007.3(000.4000.1
000.3
000.3000.2000.4000.1 4321
xxxx
986.1000.3
96.5
000.3
95.14040.203.12000.11
x
986.11 x
La solución del sistema de ecuaciones planteado utilizando el método de Gauss con
aritmética de redondeo a cuatro dígitos y pivoteo máximo de columna es:
986.11 x , 007.32 x , 020.13 x y 982.44 x .
Pivoteo máximo (completo o total).
Al procedimiento, donde tanto en las columnas como en los renglones se busca el elemento
más grande y luego se intercambian, se le conoce como pivoteo completo, el cual se usa en
muy raras ocasiones debido a que al intercambiar columnas se cambia el orden de las x y,
en consecuencia, se agrega complejidad significativa y usualmente injustificada al
programa de computadora.
El pivoteo máximo en el k-ésimo paso busca todos los elementos:
jia , para nkki ,...,1, , y nkkj ,...,1,
Para encontrar el elemento que tiene la magnitud más grande. Se realizan intercambios de
renglones y de columnas para traer este elemento a la posición pivote.
El pivoteo máximo es consecuentemente una estrategia recomendada para la
mayoría de los sistemas obstinados para los cuales se puede justificar la cantidad de tiempo
de ejecución tan extensa.
Ejemplo 2.13.
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 42
[WM] Resuelva el siguiente sistema lineal usando el método de eliminación Gaussiana con
aritmética de redondeo a 4 dígitos y pivoteo máximo. La solución exacta del sistema es
21 x , 32 x y 53 x .
523 321 xxx
4321 xxx
7342 321 xxx
Solución.
Matriz de coeficientes ampliada.
000.7000.3000.4000.2
000.4000.1000.1000.1
000.5000.1000.2000.3
321 xxx
4,3
4,2
4,1
333231
232221
131211
a
a
a
aaa
aaa
aaa
Coeficiente máximo.
000.4}000.3,000.4,000.2,000.1,000.1,000.1,000.1,000.2,000.3{max
13 EE
000.5000.1000.2000.3
000.4000.1000.1000.1
000.7000.3000.4000.2
321 xxx
4,3
4,2
4,1
333231
232221
131211
a
a
a
aaa
aaa
aaa
21 CC
000.5000.1000.3000.2
000.4000.1000.1000.1
000.7000.3000.2000.4
312 xxx
4,3
4,2
4,1
333231
232221
131211
a
a
a
aaa
aaa
aaa
141
22 EEE ==> 122 25.0 EEE
142
33 EEE ==> 133 5.0 EEE
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 43
500.8500.2000.2000.0
250.2250.0500.0000.0
000.7000.3000.2000.4
312 xxx
4,3
4,2
4,1
3332
2322
131211
0
0
a
a
a
aa
aa
aaa
Coeficiente máximo.
500.2}500.2,000.2,250.0,500.0{max
23 EE
250.2250.05.0000.0
500.8500.2000.2000.0
000.7000.3000.2000.4
312 xxx
4,3
4,2
4,1
3332
2322
131211
0
0
a
a
a
aa
aa
aaa
32 CC
250.2500.0250.0000.0
500.8000.2500.2000.0
000.7000.2000.3000.4
132 xxx
4,3
4,2
4,1
3332
2322
131211
0
0
a
a
a
aa
aa
aaa
2500.2250.0
33 EEE
==> 233 100.0 EEE
400.1700.0000.0000.0
500.8000.2500.2000.0
000.7000.2000.3000.4
132 xxx
4,3
4,2
4,1
33
2322
131211
00
0
a
a
a
a
aa
aaa
Sistema equivalente.
000.7000.2000.3000.4 132 xxx (1)
500.8000.2500.2 13 xx (2)
400.1700.0 1 x (3)
Sustitución hacia atrás:
De la ecuación (3):
700.0
400.11 x
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 44
000.21 x
De la ecuación (2):
000.5500.2
000.4500.8
500.2
)000.2(000.2500.8
500.2
000.2500.8 13
xx
000.53 x
De la ecuación (1):
000.4
000.400.15000.7
000.4
)000.2(000.2)000.5(000.3000.7
000.4
000.2000.3000.7 132
xxx
000.32 x
La solución del sistema de ecuaciones planteado utilizando el método de Gauss con
aritmética de redondeo a cuatro dígitos y pivoteo máximo es:
000.21 x , 000.32 x y 000.53 x .
Ejemplo 2.14.
[BF] Resuelva el siguiente sistema lineal usando el método de eliminación de Gauss con
sustitución hacia atrás.
2421 xxx (A)
12 4321 xxxx (B)
0224 4321 xxxx (C)
223 4321 xxxx (D)
Solución.
Matriz de coeficientes ampliada.
3
0
1
2
2113
2214
1112
1011
5,4
5,3
5,2
5,1
44434241
34333231
24232221
14131211
a
a
a
a
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
122 2 EEE
133 4EEE
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 45
144 3EEE
9
8
3
2
1140
2250
1110
1011
5,4
5,3
5,2
5,1
444342
343332
242322
14131211
0
0
0
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
aaaa
233 5EEE
244 4EEE
3
7
3
2
3300
3300
1110
1011
5,4
5,3
5,2
5,1
4443
3433
242322
14131211
00
00
0
a
a
a
a
aa
aa
aaa
aaaa
344 EEE
4
7
3
2
0000
3300
1110
1011
5,4
5,3
5,2
5,1
44
3433
242322
14131211
000
00
0
a
a
a
a
a
aa
aaa
aaaa
Sistema equivalente.
2421 xxx (1)
3432 xxx (2)
733 43 xx (3)
40 (4)
El sistema no tiene solución, puesto que de la ecuación (4) es una incongruencia.
La razón por la cual el sistema planteado no tiene solución es porque hay dos ecuaciones
equivalentes incompatibles. En el ejemplo anterior se puede demostrar que CBA
conduce a 123 4321 xxxx , la cual es incompatible con la ecuación (D)
223 4321 xxxx .
Ejercicios propuestos.
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 46
4. [CC] Resuelva:
3321 xxx
2226 321 xxx
143 321 xxx
mediante la eliminación de Gauss.
5. [CC] Dado el sistema
2012 321 xxx
10242 321 xxx
2522 321 xxx
a) Resuelva por el método de eliminación de Gauss simple. Muestre todos los pasos de los
cálculos.
b) Sustituya los resultados en las ecuaciones originales y compruebe las respuestas.
6. [BF] Resuelva los siguientes sistemas lineales usando eliminación Gaussiana con
sustitución hacia atrás y aritmética de redondeo a 2 dígitos. No ordene las ecuaciones. (La
solución exacta del sistema es 11 x , 12 x , 33 x ).
a) 04 321 xxx b) 1142 321 xxx
3252 321 xxx 04 321 xxx
1142 321 xxx 3252 321 xxx
c) 924 321 xxx d) 542 321 xxx
542 321 xxx 93 321 xxx
93 321 xxx 924 321 xxx
7. [BF] Use el algoritmo de eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás y aritmética
exacta para resolver, si es posible, los sistemas lineales siguientes y determine si son
necesarios intercambios de renglones.
a) 135.12 321 xxx b) 12 321 xxx
32 31 xx 0933 321 xxx
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
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155.44 321 xxx 4533 321 xxx
c) 04 32 xx d) 23 321 xxx
375.0321 xxx 133 321 xxx
02 321 xxx 321 xx
e) 32 1 x f) 43221
1 xxx
5.45.1 21 xx 52 4321 xxxx
6.65.03 32 xx 221 xx
8.022 4321 xxxx 543221
1 xxxx
g) 3862 zyx
3473 zyx
2028 zyx
8. [BF] Use el algoritmo de eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás en una
computadora para resolver, si es posible, los siguientes sistemas lineales.
a) 9361
251
141 xxx b) 15913333.1015920333.3 321 xxx
8351
241
131 xxx 544.28612.971.16222.2 321 xxx
82 32121 xxx 4254.86852.11791.55611.1 321 xxx
c) 61
441
331
221
1 xxxx d) 94.573.043.123.101.4 4321 xxxx
71
451
341
231
121 xxxx 07.1402.341.241.723.1 4321 xxxx
81
461
351
241
131 xxxx 52.811.179.541.243.1 4321 xxxx
91
471
361
251
141 xxxx 59.741.611.102.373.0 4321 xxxx
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
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RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.
2.2.- MÉTODO GRÁFICO. 1.
6.91 x , 2.62 x
2.
8.381 x , 6.152 x
3.
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.
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51 x , 122 x
2.3.- ELIMINACIÓN GAUSSIANA Y SUSTITUCIÓN HACIA ATRÁS.
4. 41
1 x , 21
2 x , 49
3 x .
5. 11 x , 22 x , 103 x .
7. a) 11 x , 02 x , 13 x ; b) 11 x , 22 x , 13 x ; c) 75.01 x , 5.02 x , 125.03 x ;
d) 1875.11 x , 8125.12 x , 875.03 x ; e) 5.11 x , 22 x , 2.13 x , 34 x ; f)
4444.21 x , 4444.02 x , 3333.13 x , 14 x ; g) 4x , 8y , 2z .
8. a) 227.0769231 x , 476.9230772 x , 177.6923083 x ; b) 11 x , 12 x , 13 x ; c)
031746.01 x , 595238.02 x , 2.3809523 x , 2.7777784 x ; d) 11 x , 12 x , 13 x ,
14 x .
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