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Curso de Calculo IntegralFIIS - UNI
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ANTIDERIVADA
• Curso: Cálculo Integral CB131U
• Prof: PEÑA QUIÑONES, Celestina
• FIIS – UNI
• 29/08/08
ANTIDERIVADADefinición.- Una función F se dice que es la antiderivada de la funciín f sobre ba, si
baxxfxF ,,' Ejemplos
1. Dada la función 23xxf algunas antiderivadas de f son: 3xxF , 53 xxF ,
2. Algunas antiderivadas de xxf cos son xsenxF , xsenxF
3. Dada la función 21
1
xxf
, sus
antiderivadas son: 1,1,arccos xxxF , 1,1, xxarcsenxF , CxCxarcsenxF ,1,1,
Teorema 1.- Si baf ,: tal que baxxf ,,0' , entonces f es una función
constante sobre ba, Teorema 2.- si f y g son dos funciones tales que baxxgxf ,,'' , entoces al menos una constante real C tal que basobreCxgxf ,,
Teorema 3.- Si F es una antiderivada
particular de f sobre ba, , entonces la antiderivada mas general es CCxF ,
Para el proceso de hallar la antiderivada mas general de una función f sobre un determinado intervalo se emplean los símbolos
1D , . De modo que:
Si CCxFdxxfxfxFdx
d,
Si CCxFxfDxfxFDx ,1
Con frecuencia el símbolo se conoce como integral no definida y el número real C constante de integración. En la expresión dxxf , dx indica que x es la
variable bajo el símbolo , de modo que las enpresiones dxxf , dtxf son diferentes
Ya que CxF es la antiderivada + general de f, para cada valor de la constante C, se tiene una antiderivada particular.
En consecuencia el sistema
baF
xfxF ', tiene
solución única. La condición baF se conoce como condición en la frontera de la ecuación diferencial xfxF '
Propiedades
1. Cxdx
2. adxxfadxxaf , 3. dxxgdxxfdxxgxf
4.
nnCn
xdxx
nn ,1,
1
1
5. Cxx
dxln
EJEMPLOS
Hallar la antiderivada de las siguientes funciones:
,
74,53,5
2
34
3
2
1
5
32 dx
x
xdxxxdxx
,9,
3
15 8 12
4 332
5
dxxx
xdx
xxx
dtxxxdx
x
xx 32
3
2 34
3
INTEGRALES INMEDIATAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Csenxdxxcos
Cxdxsenx cos
Cxdxx tansec2
Canxdxxec cotcos 2
Cxdxxx sectansec
Cecxdxxecx costancos
Integrales que dan como resultado Funciones trigonométricas inversas
Como
1. 1,11
1 1
22
xCxsen
x
dx
xarcsenxDx
aaxC
a
xsen
xa
dx
xaa
xsenDx ,,
1 1
2222
1
En general
1/,1
' 1
2
xuxCxusenxu
dxxu
Como
CCx
x
dx
xxDx ,tan
11
1tan 1
221
aCa
x
axa
dx,tan
1 122
aCa
xu
axua
dxxu,tan
1' 122
Como 1,sec
11
1sec 1
22
1
xCxxx
dx
xxxDx
Ya que 1
1sec
2
1
xxxDx
aaxCa
x
aaxx
dx,,sec
1 1
22
,sec1' 1
22
Ca
xu
aaxuxu
dxxu
aaxux ,/
APLICACIONES
1. Se estima que dentro de x meses cierta población cambiará a razón de x62 personas por mes. Estimar la población dentro de 9 meses, si la población actual es de 5,000 personas.
2. Un fabricante ha encontrado que el costo marginal es
400603 2 qq soles por unidad cuando se han producido q unidades. Si el costo de producción de las 2 primeras unidades es de 900 soles. ¿Cuánto será el costo total de producir las primeras 5 unidades?
3. Hallar una función cuya recta tangente en el punto
xfx, tiene pendiente 13 2 x y cuya gráfica pasa por el punto 6,2 .
4. Un comerciante recibe un cargamento de 10,000 Kg. de arroz para ser comercializados en un período de 5 meses a razón de 2,000 kilos por mes. Si el costo de almacenamiento es de S/.0.01 por kilo por mes. ¿Cuánto pagará el comerciante por el almacenamiento?.
5. Despues de aplicar los frenos, cierto
automóvil disminuye su velocidad a una razón constante de 22pies/seg2. Si al momento de aplicar los frenos el automovil viajaba a 45millas/hora (66pies/seg). ¿Cuánto recorre el automovil antes de detenerse por completo?
Integración por sustitución
xgu
Teorema.- (Regla de la cadena para la antiderivada)
Sea derivable y 1-1 sobre A y sea una función cuya antiderivada es F, entonces si
BAg : Bf :
CxgFCuFduufdxxgxgf '
xgu
Corolario.- Si es una función derivable sobre A ,
entonces si , 1,
1'
1
nn
xgdxxgxg
nn xgu
Ag :
NOTA
El cambio de variable será posible siempre que:
1. Exista la composición de la función f con g y que g sea 1-1 sobre A
2. La función g puede algebraica, trigonométrica, hiperbólica, etc.
xgu
Ejemplos.- Hallar la antiderivada de las siguientes funciones.
dxxxsen 2, dx
x
arcsenx 21, dx
xx
xarcdx
x
x
1
sec
1
arctan22
dxxxxdxx 3253943 3
12
dxxx
xdx
xx
x
3 3
2
2 6
2
382
63,
dxxx
t
dtt4
42
dxxxt
dtt4
4
35
3
5
,
dx
x
x
xx
dx214
32
1
4
dxx
x
x
dxx 22 tan
tan1
sec4 , dxxxdxxxsen 655 coscos
Integración por Partes
TEOREMA.- Si , entonces bavu ,:, duvuvdvu
NOTA.- Para aplicar ésta técnica, el integrando se tiene que descomponer en dos factores, de modo que sea fácil hallar la antiderivada de uno de los factores.
Hay casos donde se aplica la integración por partes para hallar ésta antiderivada.
También hay casos en los que el método de integración por partes y el método de sustitución o cambio de variable se podrán aplicar en forma indistinta y casos en los que sólo uno de los dos métodos es aplicable.
Ejemplos.- Hallar la antiderivada de las siguientes funciones
xdxsenxsenxdx 1 , dxxxxdxx 11 tantan
dxxxdxx 4sec 351 , dxx
xdxxx
16994
223
dxx
xxdx
xx
3
2
23 102
1 ,
311 4x
dxx
x
dxx
3
322 cos311
x
dxsenx
xx
dxx
dxx
x
xsenx
dxxsenx
431cos
cos
dxxsendxxx nn cos
dxxdxx nn tansec
Sustitución Trigonométrica1. Si el integrando contiene factores de la forma , es
conveniente usar la sustitución trigonométrica de la forma
2. Si el integrando contiene factores de la forma , es conveniente usar la sustitución trigonométrica
3. Si el integrando contiene factores de la forma , es conveniente usarla sustitución trigonométrica
2 2a x
2 2x a
2,0,sec ttax
2 2x a
2,
2,tan
ttax
2,
2, tasentx
Ejemplos.- Hallar la antiderivada de las siguientes funciones
1.
2
22
94
x
dxxdxx
2.
22 4125
1
x
dxdx
x
x
3.
22 4125
1
x
dxdx
x
x
4. dxxx
xx
dx4
52
2322
5. dxxxx
xx
dxx4 ,
52
1 2322
6.
dx
senx
xxdx
xx
x
4
cos ,
4
22
2
2
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