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Investigación Operativa 2014

1 Rosa Gavilanes B. Quinto Semestre CA.

TAREA

FECHA: Lunes, 20 de Octubre del 2014

NOMBRE: Rosa Gavilanes B.

TEMA: “EJEMPLOS DE EJERCICIOS DE PROGRAMAIÓN LINEAL DE

ACUERDO A LOS TIPOS DE SOLUCIÓN POSIBLE”

Ejemplo 1.- ACOTADA CON SOLUCIÓN ÓPTIMA

RMC es una empresa pequeña que produce diversos productos químicos. En un

proceso de producción en particular se utilizan tres materia primas para elaborar

dos productos: un aditivo para combustible y una base disolvente. Para formar el

aditivo para combustible y la base de disolvente se mezcla tres materias primas,

según aparece en la siguiente tabla.

La producción de RMC está limitada por la disponibilidad de las tres materia

primas. Para el período de producción actual, RMC tiene disponibles las

cantidades siguientes de cada una de las materias primas.

El departamento de control de calidad ha analizado las cifras de producción,

asignando todos los costos correspondientes, y para ambos productos llegó a

precios que resultarán en una contribución a la utilidad de 40 dólares por tonelada

de aditivo para combustible producida y de 30 dólares por cada tonelada de base

disolvente producido. La administración de RMC, después de una análisis de la

demanda potencial, ha concluido que los precios establecidos asegurarán la venta

de todo el aditivo para combustible y de toda la base disolvente que se produzca.



El problema de RMC es determinar cuántas tonelada de cada producto deberá

producir para maximizar la contribución total de la utilidad.

MAXIMIZAR: 40 X1 + 30 X2

VARIABLES: X1.- toneladas de aditivo X2.- toneladas de base disolvente

RESTRICCIONES:

0.4 X1 + 0.5 X2 ≤ 20

0 X1 + 0.2 X2 ≤ 5 0.6 X1 + 0.3 X2 ≤ 21

CONDICIÓN TÉCNICA.- X1, X2 ≥ 0



NOTA:

En color verde los puntos en los que se encuentra la solución.

En color rojo los puntos que no pertenecen a la región factible.

Z=1600 RA=1,3

VO RI= 2

X1=25

X2=20

COMPROBACIÓN

1) 0.4 X1 + 0.5 X2 ≤ 20

0.4 (25)+0,5 (20) ≤ 20

10 + 10 ≤ 20 20 ≤ 20

2) 0 X1 + 0.2 X2 ≤ 5

0,2 (20) ≤ 5 4 ≤ 5 Hay holgura 0.2 X2+H1= 5

0,2(20)+H1=5 H1=1

3) 0.6 X1 + 0.3 X2 ≤ 21

0,6(25)+0,3(20) ≤ 21

15 + 6 ≤ 21 21 ≤ 21

DISPONIBLE HOLGURA EXCEDENTE

MATERIA PRIMA 1 20

MATERIA PRIMA 2 5 1

MATERIA PRIMA 3 21

EJERCICIO 2.- ACOTADA CON SOLUCIÓN MÚLTIPLE (1)

Un fabricante de muebles produce 2 tipos de mesas: clásicas y modernas. Cada

mesa del modelo clásico requiere 4 horas de lijado y 3 horas de barnizado y deja

un beneficio de 200 euros. Cada mesa moderna necesita 3 horas de lijado y 4 de

barnizado y su beneficio es de 150 euros. Se dispone de 48 horas para lijado y 60



para barnizado. Si no deben fabricarse más de 9 mesas clásicas, ¿Cuál es la

producción que maximiza el beneficio?


VARIABLES.- X1.- número de mesas del tipo clásico X2.- número de mesas del tipo moderno

RESTRICCIONES

4 X1 + 3 X2 ≤ 48

3 X1 + 4 X2 ≤ 60 0 X1 + 1 X2 ≤ 9

CT X1, X2 ≥ 0

El problema tiene infinitas soluciones.



NOTA:



Z= 2400 RA= 1,3

VO RI= 2

5.25 ≤ X1 ≤ 12

0 ≤ X2 ≤ 9

COMPROBACIÓN

1) 4 X1 + 3 X2 ≤ 48

4(5.25)+3(9)≤48

21+27≤48

48≤48

2) 3 X1 + 4 X2 ≤ 60

3(5.25)+4(9)≤60

15.75+36≤60

51,75 ≤ 60 Existe Holgura 3 X1 + 4 X2 + H1= 60

3(5.25)+4(9)+H1 = 60

15.75+36+H1=60

H1=8,25

3) 0 X1 + 1 X2 ≤ 9

9 ≤ 9


HORAS DE LIJADO 48

HORAS DE BARNIZADO 60 8,25

EJERCICIO 3.- NO ACOTADO CON SOLUCIÓN

Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un

espacio refrigerado de 20 m3 y un espacio no refrigerado de 40 m3. Los del tipo B,

con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para

el transporte de 3 000 m3 de producto que necesita refrigeración y 4 000 m3 de

otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 € y



el B de 40 €. ¿Cuántos camiones de cada tipo han de utilizarse para que el coste

total sea mínimo?

MINIMIZAR: 30 X1 + 40 X2

VARIABLES.- X1.- número de camiones tipo A

X2.- número de camiones tipo B

RESTRICCIONES

20 X1 + 30 X2 ≥ 3000

40 X1 + 30 X2 ≥ 4000

CT X1, X2 ≥ 0

El problema no está acotado pero como se trata de un problema de minimización

es posible encontrar una solución.



NOTA:



Z= 4180 RA= 1,2

RI= ninguna

VO

X1=50

X2=67

COMPROBACIÓN

1) 20 X1 + 30 X2 ≥ 3000

20(50)+30(67) ≥ 3000

1000+2010 ≥ 3000

3010 ≥ 3000 Existe Excedente 20 X1 + 30 X2 –H1 = 3000

20(50)+30(67) –H1= 3000

1000+2010 –H1= 3000

H1= 10

2) 40 X1 + 30 X2 ≥ 4000

40(50)+30(67) ≥ 4000

2000+2010≥4000

4010≥4000 Existe Excedente 40 X1 + 30 X2-H2= 4000

40(50)+30(67)-H2= 4000

2000+2010-H2=4000

H2=10




ESPACIO REFRIGERADO 3000 10

ESPACIO NO

REFRIGERADO 4000 10

EJERCICIO 4.- NO ACOTADO SIN SOLUCIÓN

Maximizar Z= 3 X1 + 4 X2, sujeta a las restricciones siguientes:

X1 ≤ x2

X1 + X2 ≥ 2


RESTRICCIONES

1 X1 -1 X2 = 0

1 X1 + 1 X2 ≥ 2

CT X1, X2 ≥ 0

El problema no está acotado.



NOTA:



No tiene solución

EJERCICIO 5.- NO ACOTADA CON MÚLTIPLES SOLUCIONES

Un ganadero debe suministrar un mínimo de 30 mg de vitamina A y de 35 mg de

tipo B por kg de pienso a sus animales. Dispone de dos clases de pienso R y S,

cuyos contenidos en mg de las vitaminas A y B por kg de pienso vienen dados en

por la tabla:

R S

A 6 6 B 5 10

El pienso R vale 0,24 €/kg y el S, 0,48 €/kg.

¿Cuántos kg de cada clase debe mezclar para suministrar el pienso de coste

mínimo? Y ¿Cuál es ese coste?

MINIMIZAR: 0.24 X1 + 0.48 X2

VARIABLES.- X1.- Pienso R

X2.- Pienso S

RESTRICCIONES

6 X1 + 6 X2 ≥ 30

5 X1 + 10 X2 ≥ 35

CT X1, X2 ≥ 0



El problema no está acotado pero como se trata de un problema de minimización

es posible encontrar una solución.


NOTA:



Este problema tiene 2 soluciones, donde:

Z=1.68 RA= 1,2

VO RI= ninguna



3 ≤ X1 ≤ 7

0 ≤ X2 ≤ 2

COMPROBACIÓN

1) 6 X1 + 6 X2 ≥ 30

6(3) +6 (2) ≥ 30

18 + 12 ≥ 30

30 ≥ 30

2) 5 X1 + 10 X2 ≥ 35

5(3) + 10 (2) ≥ 35

15 + 20 ≥ 35


VITAMINA A 30

VITAMINA B 35

EJERCICIO 6.- CON SOLUCIÓN NO FACTIBLE O SIN SOLUCIÓN

Maximizar la función Z = f(x,y) = 3x + 8y sujeta a las restricciones

x + y ≥ 6

x + y ≤ 2


RESTRICCIONES

1 X1 + 1 X2 ≥ 6

1 X1 + 1 X2 ≤ 2 CT X1, X2 ≥ 0

El problema no tiene solución.



NOTA:



EJERCICIO 7.- ACOTADA CON INFINITAS SOLUCIONES (2)

Minimizar Z= X1 + X2 , sujeta a las restricciones siguientes:

X1 + X2 ≥ 10

4X1 + 3X2 ≤ 60

MINIMIZAR: 1 X1 + 1 X2



RESTRICCIONES

1 X1 + 1 X2 ≥ 10

4 X1 + 3 X2 ≤ 60

CT X1, X2 ≥ 0


NOTA:



Z= 10 RA= 1

VO RI= 2



0 ≤ X1 ≤ 10

0 ≤ X2 ≤ 10

COMPROBACIÓN

1) 1 X1 + 1 X2 ≥ 10

0 + 10 ≥ 10

10 ≥ 10

2) 4 X1 + 3 X2 ≤ 60

4(0) + 3(10) ≤ 60

30 ≤ 60 Existe holgura 4 X1 + 3 X2+H1= 60

4(0) + 3(10)+H1 = 60

H1 = 30


RESTRICIÓN 1 10

RESTRICCIÓN 2 60 30

EJERCICIO 8.- ACOTADA CON MÚLTIPLES SOLUCIONES (3)

Una fábrica produce ordenadores e impresoras. Cada ordenador lleva 3 horas de

montaje y cada impresora 2 horas. El número de ordenadores debe superar por lo

menos en 3 al número de impresoras. Si en cada ordenador se gana 30 € y en

cada impresora 20 €.

Halla cuántos ordenadores e impresoras deben fabricarse durante 24 horas para

que con su venta se obtenga un beneficio máximo.


VARIABLES. X1.- número de ordenadores

X2.- número de impresoras

RESTRICCIONES

3 X1 + 2 X2 ≤ 24

1 X1 -1 X2 ≥ 3

CT X1, X2 ≥ 0




NOTA:



Z= 240 RA= 1,2

VO RI= ninguna

6 ≤ X1 ≤ 8

0 ≤ X2 ≤ 3

COMPROBACIÓN



1) 3 X1 + 2 X2 ≤ 24

3(6) + 2 (3) ≤ 24

18 + 6 ≤ 24

24 ≤ 24

2) 1 X1 -1 X2 ≥ 3

6 – 3 ≥ 3

3 ≥ 3


HORAS DE MONTAJE 24

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