INTRODUCCION

El módulo de álgebra lineal o álgebra de matrices introduce la noción de matriz como un objeto matemático que permite representar un sistema de ecuaciones de manera ordenada y realizar sobre él operaciones elementales para obtener su solución. El uso de matrices en matemáticas optimiza los procedimientos para situaciones complejas representadas de manera simbólica por medio de ecuaciones,

Busca establecer relaciones entre los objetos matemáticos llamados matrices y los sistemas de ecuaciones lineales por medio de la fundamentación conceptual y procedimental para desarrollar la capacidad de interpretar y la autonomía del estudiante.

Objetivo general: Analizar las diferentes clases de matrices, sus propiedades para el desarrollo de operaciones con álgebra matricial que permitan la optimización en la solución de sistemas de ecuaciones lineales de nxn.

-Explorar los procesos mediante los cuales es posible representar un sistema de ecuaciones a través de matrices.

-Describir los elementos conceptuales y procedimentales asociados con el álgebra de matrices.

-Comparar los diferentes tipos de procesos del álgebra matricial para optimizar la solución de sistemas de ecuaciones.

UNIDAD UNO

“Capacidad para recordar los objetos y sus propiedades”

En esta unidad se trabajará con los conceptos básicos de sistemas de ecuaciones lineales, como su formación y solución, debido a que son la base para la formación de ordenamientos matriciales. Para ello se utilizaran ejercicios de aplicación empresarial y administrativos que permitan un mejoramiento en el manejo de los recursos.

En un primer plano se analizaran los procedimientos que permiten dar solución a sistemas lineales de dos incógnitas con dos ecuaciones, al igual que para sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. En cada caso se agregaran ejercicios de aplicación que permitan dar una clarificación sobre los métodos de solución y los cuales serán resueltos por los estudiantes.

UNIDAD DOS

“Habilidad y Destreza para usar procedimientos de rutina”

En ésta unidad se trabajará con el concepto de matriz, dando una transformación al sistema lineal en un sistema matricial ya que éste facilita los procedimientos de solución para los sistemas lineales.

También se trabajará sobre los procedimientos matriciales para aplicaciones comerciales y las operaciones básicas del manejo de matrices. Habrá una parte en la que se mencionará los diferentes tipos de matrices especiales en cuanto a su formación y definición.

UNIDAD TRES

“Capacidad para reconocer equivalencias”

En esta unidad se aborda en concepto de vectores, sus propiedades así como las operaciones que se pueden desarrollar con este tipo de objetos matemáticos. Adicionalmente se trata el tema de ajustes por mínimos cuadrados como otra estrategia para convertir un sistema de ecuaciones inconsistente y hallar valores promedios en los casos posibles, para los cuales se tenga solución.

BIBLIOGRAFIA

Grossman Stanley – MC GRAW HILL

UNIDAD 1CONOCIMIENTOS PRELIMINARES

SISTEMA DE 2 X 2DEFINICIÓN Es un modelo matemático formado por dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, para el cual se utilizan varios métodos de solución, tales como: Sustitución, Igualación, Eliminación, Determinante y Gráfico. Nosotros analizaremos algunos de ellos.

Ejemplo

Una compañía fabrica dos productos a partir de dos materias primas básicas. Para el primer producto se requieren 20 y 30 gramos de cada una de las materias primas y para el segundo se requieren 40 y 15 gramos. Si la compañía cuenta con 400 gramos de la materia prima uno y 375 gramos de la segunda. Determine la cantidad de productos que la compañía pudo fabricar.

Pto1 Pto2 Existencia

MPrima1 20 40 400

MPrima2 30 15 375

(X, Y): Cantidades fabricadas

Mprima1 20x + 40y = 400 Donde x=producto 1 ; y= producto 2

Mprima2 30x + 15y = 375

1. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

A. Se despeja una variable en cualquiera de las ecuacionesEc1 20 x + 40 y = 400

Ec2 30 x + 15 y = 375

Despejando la variable “X” en Ec1 se procede así:

20x + 40y = 400 -> 20x = 400 – 40y ->

B. Se reemplaza el valor encontrado del primer despeje en la otra ecuación, para nuestro ejercicio en la Ec2.

30 x + 15 y = 375

30 (20 – 2y) + 15y = 375 600 – 60y + 15y = 375

-45y = 375 – 600 -45y = -225 y = 5 

C. Se reemplaza el valor de “y” encontrado, en la ecuación que inicialmente habíamos despejado.

x =10

2. MÉTODO DE IGUALACIÓN

DEFINICIÓNConsiste en elegir una de las variables que hacen parte del sistema, para despejarla en ambas ecuaciones y luego se igualarían sus resultados para poder así eliminar una de las variables.

A. Se despeja la misma variable en las dos ecuacionesDespejemos Y

Ec1 20 x + 40 y = 400

Ec2 30 x + 15 y = 375

Ec1 20x + 40y = 400 40y = 400 – 20x

Ec2 30x + 15y = 375 15y = 375 – 30x

B. Igualamos los resultados obtenidos de los dos despejes.

= 15 (400 – 20x) = 40 (375 – 30x)

6000 – 300x = 15000 – 1200 x 

1200x – 300x = 15000 – 6000 900 x = 9000 x = 10

C. Se reemplaza el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones halladas en el numeral A.

y= 5

3. MÉTODO DE ELIMINACIÓN

DEFINICIÓNEste método busca eliminar una de las variables del sistema utilizando, mediante el proceso de operaciones entre filas con inversos aditivos.

A. Se intercambian los coeficientes de la variable que voy a anular, procurando que al ser las operaciones queden con signos contrarios (sí las variables que se van a eliminar tienen signos contrarios no es necesario agregar el signo).

Ec1 20 x + 40 y = 400

Ec2 30 x + 15 y = 375

Para anular la variable "X" intercambiamos los coeficientes multiplicando la ecuación uno por (-30) y la ecuación dos por (20).

-30 (20x + 40y = 400)=

-600x – 1200y = -12000

20 (30x + 15y = 375) 600x + 300y = 7500

-900y = -4500

y = 5

Ec1 20 x + 40 y = 400

Ec2 30 x + 15 y = 375

Para anular la variable "Y" multiplicamos la ecuación uno por (-15) y la ecuación dos por (40).

-15 (20x + 40y = 400)=

-300x – 600y = - 6000

40 (30x + 15y = 375) 1200x + 600y = 15000

900x = 9000

x = 10

MATRIZ CONCEPTO Y ORDEN

Matriz es una disposición rectangular, ordenada en filas (posiciones horizontales) y columnas (posiciones verticales), donde a cada elemento se le denomina componente y ocupa un lugar específico, se llama orden de una matriz al número de filas y columnas que ésta posee.

COLUMNAS

FILAS a11 a12 a13

A= a21 a22 a23

a31 a32 a33

VECTORESUn vector pertenece a un espacio (fila o columna) según la posición de sus componentes, y posee una dimensión de acuerdo al número de componentes.

VECTOR COLUMNA

C11

V= C21

C31

VECTOR FILA

V= ( C11 , C12 , C13 )

4. MÉTODO DETERMINANTEConsiste en formar pares de grupos con los coeficientes del sistema para hallar un valor numérico que servirá para representar el sistema en todo momento, y se puede hallar a partir de los productos diagonales.

a11 a12 c13

a21 a22 c23

Det = a11 * a22 - a21 * a12

Donde a11 quiere decir que es el coeficiente de la incógnita uno de la ecuación uno, para nuestro ejemplo ésta posición la ocupa el número veinte.

20x + 40y = 400

30x + 15y = 375

Det = a 11 * a 22 - a 21 * a 12

Se trazan líneas ascendentes y descendentes a manera de productos.

Se restan de forma: descendentes – ascendentes

Det = 20 * 15 – 30 * 40

Det = 300 – 1200

Det = -900

Nota: Para hallar X se reemplazan los coeficientes de “X” por el valor de las constantes (Las constantes son 400 y 375). Permanecen los coeficientes de “Y“ en la posición que inicialmente les correspondía y se divide el resultado obtenido, por el determinante que encontramos anteriormente. 

Const Y

X=

C1 a12

=400 40

C2 a22 375 15

DET -900

X=6.000-15.000

-900

X= 10

Nota: Para hallar Y se reemplazan los coeficientes de “Y” por el valor de las constantes (Las constantes que son 400 y 375). Permanecen los coeficientes

de “X “ y se divide el resultado obtenido, por el determinante. 

Y=a11 C1

=20 400

a21 C2 30 375

DET -900

Y= 7.500-12.000

-900

Y= 5

EJERCICIO

Una compañía fabrica pasteles y panes para los cuales se requiere harina y huevos. Para la fabricación de pasteles se requieren 20 gramos de harina y 2 gramos de huevo, para cada unidad producida, y para la fabricación de panes los requerimientos son 30 gramos de harina y 4 gramos de huevo. Sabiendo que la compañía cuenta con una existencia de éstas materias primas de 3500 gramos de harina y 400 gramos de huevo, ¿cuántas unidades se podrán fabricar de cada producto?.

Pasteles Panes Existencia

Huevo 2 4 400

Harina 20 30 3500

_____________________________________________________________________

SISTEMA 3 X 3_____________________________________________________________________________

DEFINICIÓNUn sistema de 3 x 3 es una formación de ecuaciones lineales que poseen 3 incógnitas similares para cada ecuación y a estas variables se les debe asociar un valor único si se quiere que el sistema sea consiste (tenga solución única). Para halar la solución de un sistema de éste genero se utilizaran procedimientos de métodos convencionales, como lo son: de filas, columnas, determinantes y reducción gausseana.

Ejemplo

Una guardería suministra alimentos para tres diferentes grupos de estudiantes de la siguiente forma:

Al primer grupo se le proporciona 150 grs de carne, 200 grs de arroz y 300 grs de sopa, para cada estudiante.

Al segundo se le proporciona 200 grs de carne, 200 grs de arroz y 350 grs de sopa.

Al tercero se le proporciona 150 grs de carne, 250 grs de arroz y 400 grs de sopa.

Si únicamente se cuenta con una existencia de 11250 grs de carne, 13750 grs de arroz y 22500 grs. de sopa. Hallar el número de estudiantes que puede haber en cada uno de los grupos.

a11 a12 a13 C1

a21 a22 a23 C2

a31 a32 a33 C3

a11 a12 a13

A= a21 a22 a23

a31 a32 a33

Ec1 150x + 200y +150z = 11.250Ec2 200x + 200y + 250z = 13.750Ec3 300x + 350y + 400z = 22.500

X Y Z C

150 200 150 11.250200 200 250 13.750300 350 400 22.500

DETERMINANTE

Consiste en hallar un valor numérico que servirá para representar el sistema en todo momento.

a22 a23 a21 a23 a21 a22

A = a11 a32 a33 - a12 a31 a33 + a13 a31 a32

200 250 200 250 200 200

A = 150

350 400 - 200 300 400 +150 300 350

= 150X(200X400-(350X250)) – (200X(200X400-(300X250))) + 150X(200X350-(300X200))

= - 1.125.000 – (1.000.000) + 1.500.000 = - 625.000

METODO DE LAS COLUMNAS

Consiste en tomar un sistema base, al cual se le agregan las dos primeras columnas, se deben trazar líneas descendentes y ascendentes, en forma diagonal a manera de producto que cubran tres elementos y se resuelve con suma de productos descendentes menos suma de productos ascendentes.

X Y Z X Y

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

A = (a11x a22x a33+a12x a23x a31+a13x a21x a32) -(a31x a22x a13+a32x a23x a11+a33x a21x a12)

X Y Z X Y

150 200 150 150 200200 200 250 200 200300 350 400 300 350

A = (150x200x400+200x250x300+150x200x350) -(300x200x150+350x250x150+400x200x200)

= 37.500.000 – (38.125.000) = - 625.000

METODO DE LAS FILAS

Consiste en tomar un sistema base, al cual se le agregan las dos primeras filas, en los renglones 4 y 5, se deben trazar líneas descendentes y ascendentes, en forma diagonal a manera de producto que cubran tres elementos y se resuelve con suma de productos descendentes menos suma de productos ascendentes.

X Y Z

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12 a13

a21 a22 a23

A = (a11x a22x a33+a21x a32x a13+a31x a12x a23) -(a31x a22x a13+a11x a32x a23+a21x a12x a33)

X Y Z

150 200 150200 200 250300 350 400150 200 150200 200 250

A = (150x 200x400+200x 350x150+300x200x250) -(300x200x150+150x350x250+200x200x400)

= 37.500.000 – (38.125.000) = - 625.000

______________________________________________________

SOLUCION DEL SISTEMA 3 X 3

_____________________________________________________________

Se calcula cada variable utilizando el determinante del sistema y calculado el determinante de un sistema en el cual se incluyen las constantes o vector resultado. El resultado de la división de dichos valores es el correspondiente valor de la variable buscada.

Se aplican los métodos determinante, de las filas o de las columnas

EJEMPLO 1: Calculo de la variable X por el método de las filas

X =

EJEMPLO 2: Calculo de la variable y por el método del determinante

y =

x150200300

Ctes11.25013.75022.500

z150250400

Det=-625.000

 

y = 30

EJERCICIO: Calcular el valor de Z por el método de las columnas

UNIDAD DOS

En ésta unidad se trabajará con el concepto de matriz, dando una transformación al sistema lineal en un sistema matricial ya que éste facilita los procedimientos de solución para los sistemas lineales.

También se trabajará sobre los procedimientos matriciales para aplicaciones comerciales y las operaciones básicas del manejo de matrices.

Habrá una parte en la que se mencionará los diferentes tipos de matrices especiales en cuanto a su formación y definición.

MÉTODO GAUSSEANO O MATRIZ ESCALONADA

Consiste en nombrar como pivotes todos aquellos elementos que pertenecen a la diagonal principal. (cantidad que debe ser diferente de cero). A través de operaciones elementales se busca convertir en cero (0), todos los elementos que hallan debajo de un pivote, mediante la ecuación.

X =

El valor “X” encontrado debe multiplicar uno por uno cada elemento de la fila del pivote y se le debe sumar el componente a correspondiente a ese elemento de la fila que se quiere a anular.

Nota: Toda fila perteneciente a un pivote actual o anterior siempre se coloca igual.

Ejercicio x – 2y + z = 5

2x + y – 2z = 1

3x + y – z = 4

  x =2 y = -1 z = 1

En el presente ejercicio se debe anular los números (2 y 3) que se encuentran debajo del primer Pivote que es el número uno (1). Para ello se utiliza la ecuación que permite anular los valores debajo de cada pivote.

 

Observe que al multiplicar (-2) por cada componente de la fila uno que inicialmente es la fila del pivote y al sumarle los correspondientes de la fila dos, los resultados aparecen en la segunda matriz. De forma igual sucede al multiplicar por (-3) la fila uno y sumarle la fila 3. Como el nuevo pivote es cinco y está ubicado en la fila dos, se debe utilizar nuevamente la ecuación que permita anular el siete que aparece en la fila tres.

 Después de haber logrado anular todas las posiciones debajo de cada pivote se debe utilizar el proceso de sustitución regresiva para hallar la solución del sistema.

Éste método consiste en tomar los componentes de la última fila hacia la primera, hallando cada uno de los valores correspondientes a las variables sustituyendo los resultados obtenidos en los procesos de las filas.

Sustitución Regresiva

Consiste en tomar el sistema que ha sufrido la reducción gausseana, desde la última fila hacia la primera, resolviendo las ecuaciones una por una hasta lograr que se pueda solucionar completamente el sistema.

z =1

5y – 4z = -9

5y – 4(1) = -9

5y – 4 = -9

5y = -9+4

5y = –5

y =

y = –1

x–2y+1z = 5

x–2(–1)+1(1) = 5

x+2+1 = 5

x+2+1 = 5

x = 5- 3

x = 2

EJERCICIO RESUELTO:

Una persona invierte su dinero en dos fondos. Sí el primero de ellos le paga el 20% anual y el segundo le ofrece el 30% anual ¿cuánto dinero invirtió en cada fondo, para que la rentabilidad obtenida fuera de $3500 sabiendo que la inversión realizada es de $15000?.

Solución:

Sea “X” la cantidad de dinero invertida en el fondo uno

Sea “Y” la cantidad de dinero invertida en el fondo dos

Fondo uno Fondo dosinversión 1 1 15000

Interés 0.2 0.3 3500

MÉTODO DE ELIMINACIÓNEc1 x + y = 15000

Ec2 0.2x + 0.3y = 3500

Para anular la variable "X" intercambiamos los coeficientes multiplicando la ecuación uno (-0.2) y la ecuación dos por (1).

-0.2 (x + y =15000)=

-0.2x – 0.2y =-3000

1 (0.2x + 0.3y = 3500) 0.2x + 0.3y = 3500

0.1y = 500

y = 5000

Ec1 x + y = 15000

Ec2 0.2x + 0.3y = 3500

Para anular la variable "Y" multiplicamos la ecuación uno (-0.3) y la ecuación dos por (1).

-0.3 (x + y = 15000)=

-0.3x – 0.3y = - 4500

1 (0.2x + 0.3y = 3500) 0.2x + 0.3y = 3500

-0.3x = 1000

x =10000

Ejercicio: Desarrollar por los métodos de sustitución, igualación y determinante

EJERCICIOS PROPUESTOS SISTEMAS 2 X 2

Una compañía fabrica software para sus clientes con dos parámetros, con asesoría y sin asesoría.Para el anterior periodo se encontró que en la primera semana se vendieron 20 software sin asesoría y 10 con asesoría, obteniendo un ingreso de 70 millones y para la segunda semana se vendieron 15 paquetes sin asesoría y 5 con asesoría generando un ingreso de 42.5 millones. Hallar el precio al que se vendió cada paquete._______________________________________________________________En el zoológico de la ciudad se les proporcionan cantidades básicas de alimento a los tigres y a los leones. Sí los leones consumen 20k de carne cada uno y los tigres 15k y únicamente se cuenta con 250k de carne. A los leones se

les proporciona 2 litros de agua y a los tigres 3 litros, si sólo se dispone con 40 litros de agua ¿ Cuantos tigres y leones se pueden alimentar en el zoológico con dichas disposiciones de alimento.

EJERCICIOS RESUELTOS

Un almacén realiza un inventario de mercancías de tres días consecutivos, obteniendo la siguiente información: el primer día se vendieron 20, 30 y 40 unidades de cada producto respectivamente, para el segundo día las ventas fueron 40 unidades del primero, una devolución de 20 unidades del segundo y una venta de 15 unidades del tercero, para el tercer día las ventas registraron 15, 20 y una devolución de 10 unidades del tercer producto. Se obtuvieron unos ingresos $140000, $22800 y $40000 por cada día. Determine el precio al que se vende cada unidad.

P 1 P 2 P 3

Ingreso

Día uno 20 30 40 140000

Día dos 40 -20 15 22500

Día tres 15 20 -10 40000

 

Ec1 20x + 30y + 40z = 140000

Ec2 40x - 20y + 15z = 22500Ec3 15x + 20y - 10z = 40000

Hallemos el determinante aplicando el método de filas:

 

Hallemos “ X ” aplicando el método de columnas:

Hallemos “ Y ” aplicando el método de columnas:

EJERCICIOS PROPUESTOS SISTEMAS 3 X 3

RESOLVER POR ELIMINACIÓN GAUSSEANA

Una compañía invertirá un capital de $300000 en tres bonos diferentes, los cuales le ofrecen las siguientes tasas de interés sí los invirtiera en plan ahorro: el primero le pagará un 20% sobre la inversión el segundo un 30% y el tercero un 25% obteniendo una rentabilidad de $70000, o tasas de interés si los invirtiera en el plan sorteo: el primero le pagará un 25% sobre la inversión el segundo un 20% y el tercero un 15% obteniendo una rentabilidad de $62500. ¿ Cuánto dinero está dispuesto por la compañía en cada bono para obtener dichas rentabilidades?.

Las edades de tres personas suman 45 años, la suma de las dos primeras equivalen al doble de la tercera. La diferencia entre la primera y la tercera equivale a un medio de la segunda.

OPERACIONES CON MATRIZMatriz es una disposición rectangular, ordenada en filas (posiciones horizontales) y columnas (posiciones verticales), donde a cada elemento se le denomina componente y ocupa un lugar específico, se llama orden de una matriz al número de filas y columnas que ésta posee.

1. SUMA Y RESTA

Para sumar y restar matrices es necesario que tengan el mismo orden y se efectúa posición a posición de ambas matrices, es decir; la operación entre el elemento a11 con el b11 generan el elemento o componente c11 de la matriz de resultado.

2. MULTIPLICACIÓN

Es necesario que el número de columnas de la primera matriz, sea igual al número de filas de la segunda matriz. Se efectúa “ multiplicando las filas de la primera matriz por columnas de la segunda matriz”, donde la suma de los productos, de componente a componente de la primera fila en la primera matriz por cada columna de la segunda matriz forma cada componente de la primera fila de la matriz de resultado. Es decir: Fila uno de A por la columna uno de B ( F1A * C1B) producen el elemento d11de la matriz de resultado.

F1A * C2B = d12

F3A * C2B = d32

Ejemplo

A 3 * 2

Filas Columnas

En la matriz anterior el número tres ( 3 ) quiere decir que la matriz tiene tres filas (líneas Horizontales) y el número dos ( 2 ) que la matriz tiene dos columnas ( líneas verticales ).

Dada la matriz Hallar el resultado de: A+B

Como lo habíamos expresado se suman componente a componente es decir: 3 + 3/4 ;

( -1 ) + (- 1/2 ) ; y así sucesivamente

Para hallar

Dadas las matrices A y B hallar el producto entre ellas:

EJERCICIOS RESUELTOS

Dadas las siguientes matrices A, B y C Hallar las operaciones indicadas:

EJERCICIOS PROPUESTOS

Dadas las matrices

Resolver las siguientes operaciones:

a) B- 2 A b) C* A c) C*B d)3/2 A- 2/5 B d) 4/3 A + 3/5 B

MATRIZ INVERSA

DEFINICIÓNEs una matriz especial que tiene la característica que al ser multiplicada por la matriz que la genera produce la matriz de identidad. La matriz inversa es única.

Una forma de hallar la matriz inversa es utilizando el método de matriz aumentada. Al sistema matricial original se debe aumentar en la matriz de identidad:

Ax = b (A: In) (x) = b

y a través de operaciones elementales, se debe convertir en la matriz original en la matriz de identidad y la matriz de identidad en la matriz inversa.

Es necesario que toda cantidad ubicada en los pivotes sea convertida en uno ( 1 ) mediante la ecuación:

Esta cantidad que da como resultado, debe multiplicar a toda la fila del pivote, tanto para la matriz original como para la matriz de identidad.

Toda cantidad arriba o debajo de cada pivote se debe convertir en cero ( 0 ) mediante la ecuación:

x = - FA

Esta cantidad se multiplica por cada componente de la fila del pivote y se le suma el correspondiente de la fila a anular.En éste procedimiento se debe realizar siempre, empezando por los pivotes hasta lograr que la matriz A se convierta en la matriz de identidad así mismo que la matiz de identidad se halla convertido en la matriz inversa.

Por último se debe probar la identidad

A * A-1 = In

Matriz Original

Matriz de Inversa

Matriz de Identidad

Ejemplo3x – 2y – z = 5

x + y – 2z = -5

2x – y + z = 6

x = 1 y = –2 z = 2

  Pv1

 

Pv2

Pv3

 

Prueba

=

= = In

DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE MATRICES

DEFINICIÓNCuando al hacer reducción gausseana en una matriz, se aparecen ceros en la diagonal principal, es necesario intercambiar de una forma adecuada las filas de la matriz original para evitar este suceso.

Pasando del sistema Ax = b al sistema PAX = Pb, donde PA es la matriz A con filas cambiadas y Pb es el vector de constantes que le corresponden a PA.

Se hace reducción gausseana sobre la nueva matriz hasta que quede totalmente escalonada, convirtiéndola en el sistema UX = C, en donde U es la matriz triangular superior escalonada de PA, y C es el vector de constantes de U. Se debe probar el sistema PA = LU. Donde L es una matriz que proviene de la matriz de identidad en la cual se han registrado todas las operaciones elementales para la formación de U como inversos aditivos.

2x –3y + z – 2w = -1

-2x + 3y – 4z + w = 6

4x + y + 2z – w = 6

5x + y – 3z +w = 8

 x = 1 y= 2 z = –1 w = –2

Como hay ceros en la diagonal principal, hay que ubicar las filas de una forma adecuada.

 

 

L * U = PA

= PA

Sustitución Regresiva

– 176w = 352

w = –2

–3z – w = 5

–3z –(–2) = 5

–3z = 5 – 2

z = –1

2x-3y+z-2w = –1

2x-3(2)+(-1)-2(-2)= –1

2x-6-1+4= –1

2x = –1+3

2x = 2

x = 1

MATRICES ESPECIALES REALES1. MATRIZ DIAGONAL

Es una matriz cuadrada que únicamente posee elementos en la diagonal principal y todos los elementos que hay arriba o debajo de ella son posiciones nulas.

Ejemplos

2. MATRIZ ESCALAR

Es una matriz diagonal donde todos sus elementos son iguales, es decir de la forma K * In, donde K es un número cualquiera.

Ejemplos:

3. MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

Es una matriz para la cual toda posición ubicada sobre la diagonal principal, siempre son posiciones nulas.

Ejemplos:

4. MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR

Es una matriz donde todos los elementos debajo de la diagonal principal siempre nulas.

Ejemplos:

5. MATRIZ CONMUTABLE O PERMUTABLE

Son matrices cuadradas que cumplen con la condición: A * B = B * A

 Ejemplos:

A *B = B * A =

Para construir matrices permutables se puede utilizar la propiedad: Sí A es una matriz cuadrada que se le multiplica por un número real y a éste resultado se le suma una matriz escalar obtenemos una matriz que permuta con A

B= sA+kI donde “s” es un número real y “kI” es una matiz escalar

6. MATRIZ INCONMUTABLE O IMPERMUTABLE

Son matrices cuadradas que cumplen con la condición que A * B = - B * A. es decir que toda posición aij son inversas aditivos (signos contrarios).

7. MATRIZ PERIÓDICA

Es una matriz cuadrada que elevada a la potencia (K + 1) siempre genera la misma matriz.

AK+1 = A, donde K es un número entero y es llamado el período.

En la matriz anterior se nota una matriz periódica de orden dos.

8. MATRIZ IDEMPOTENTE

Matriz que multiplicada por ella misma siempre produce la misma matriz A * A = A

 Ejemplo:

A * A = A

Una forma práctica de construir matrices idempotentes es la siguiente: se toma un número (a) entero positivo cualquiera y se ubica en la matriz como lo

muestra el esquema. A

9. MATRIZ NILPOTENTE

Es una matriz que elevada a la enésima potencia, produce la matriz nula. An = 0 

10. MATRIZ INVERSA 

Son matrices que al ser multiplicadas producen la matriz identidad. A * B = In, donde una es la inversa de la otra, puesto que la matriz inversa es única.

Para hallar la matriz inversa se pueden utilizar varios procedimientos como el de la matriz aumentada que vimos anteriormente, el de matriz de cofactores y la matriz ortogonal.

11. MATRIZ INVOLUTIVA

Matriz que es inversa de ella misma. A * A = In

Una forma de hallar la involutiva es tomar una matriz idempotente como la que nos enseñaron a diseñar y aplicarle la siguiente ecuación.

Sí A es una matriz idempotente entonces B será una matriz involutiva donde B= 2 A-In

12. MATRIZ SIMÉTRICA

Matriz que cumple la condición que toda posición aij= aji, es decir que el componente a12 tiene que ser igual al componente a12

13. MATRIZ HEMISIMÉTRICA O ANTISIMÉTRICA 

Cumplen la condición aij= -aji, es decir que toda la posición sobre la diagonal es inversa adictiva con su correspondiente debajo de la diagonal y los componentes de la diagonal siempre son nulos.

14. MATRIZ TRANSPUESTA

Matriz a la que se le han intercambiado las filas por las columnas así:

A m*n A n*m

COLORARIOS DE MATRICES REALES1. Toda matriz cuadrada se puede descomponer en la semisuma de una matriz simétrica (A+A) y otra hemisimétrica (A-A’).

a. Matriz simétrica: Se puede construir al sumarla con su transpuesta. A + A´ :es simétrica 

b. Matriz hemisimétrica: Se puede construir a partir de la diferencia de una matriz con su transpuesta. A – A´: es hemisimétrica

2. Toda matriz triangular superior o inferior al multiplicarse por otra del mismo género, genera como producto otra matriz triangular superior o inferior.

3. Toda matriz conmuta consigo misma.A * A = A * A

4. Para una matriz escalar se cumple que es conmutable con la matriz de identidad, con una diagonal y con otra escalar.

MATRICES ESPECIALES COMPLEJAS

1. MATRIZ HERMÍTICA

En una matriz hermítica la diagonal principal son números reales. Los números reales de las posiciones aij con aji son iguales del mismo modo que los imaginarios son inversos aditivos.Una matriz Hermítica cumple:

 2. MATRIZ HEMIHERMÍTICA

En una matriz hemihermítica la diagonal principal está formada por imaginarios puros. Los números reales en las posiciones aij con aji (posiciones correspondientes de filas a columnas) son inversos aditivos. Adicionalmente los números imaginarios son iguales. Una matriz es (HH) si cumple:

3. MATRIZ CONJUGADA

Es una matriz compleja a la que se le cambia el signo a la parte imaginaria.

MÍNIMOS CUADRADOS

DEFINICIÓNEs un procedimiento que se le aplica a problemas inconsistentes (No existe un valor único que representa a las variables).

Convertir el sistema AX = b en el sistema A´AX = A´b, donde A´es la matriz transpuesta, para hallar unos valores promedios en los casos posibles, para los cuales tengan solución.

MATRIZ TRANSPUESTA

Matriz a la que se le han intercambiado las filas por las columnas así:

A m*n A n*m

Puesto que A´ A forma una matriz simétrica y a veces no es posible encontrar su inversa.

Sistema inconsistente

resolvamos el sistema A`AX = A´ b

A`A

Resolvamos el sistema aplicando matriz escalonada

529 z = 1265

z = 2,391y = 1,70

9x + 4y + 15z = 54

9x + 4(1,7) + 15(2,391)=54

9x + 6,8 + 35,865 = 54

x = 1,26

UNIDAD TRESVECTORES

Un vector pertenece a un espacio (fila o columna) según la posición de sus componentes. Y posee una dimensión de acuerdo al número de componentes. Sea u un vector columna perteneciente a R4 (R4), es decir que es de la forma:

OPERACIONES CON VECTORES

1. SUMA Y RESTA

Para que dos vectores se puedan operar, es necesario que pertenezcan al mismo espacio y tengan la misma dimensión.

Se realiza componente a componente de la misma posición.

Sea u = (2, 3, -4, 5)

v = (1, -2, 3, -1)

u + v = (3, 1, -1, 4)

Para hallar 2 v – 3 u

2v = (2, -4, 6, -2) 3u = (6, 9, -12, 15) 2v – 3u = (-4, -13, 18, -17)

2. PRODUCTO PUNTO

Es necesario que los vectores que tengan la misma dimensión y pertenezcan al mismo espacio.

Se realiza como la suma de los productos componente a componente de la misma posición, genera como resultado una cantidad numérica.

u v = 2 -6 -12 -5 = - 21

3. NORMA DE UN VECTOR

Está dada como la raíz cuadrada de la suma de sus componentes al cuadrado.

4. VECTOR UNITARIO

Ejemplo: =

= (0.27, 0.40, -0.54, 0.68)

5. ÁNGULO QUE SE FORMA ENTRE LOS VECTORES O SUS PROLONGACIONES

6. PROYECCIÓN

 El vector proyección es en dirección contrario al vector v, ya que el ángulo es mayor de 90º.

7. DESIGUALDAD TRIANGULAR

5.19 < 7.34 + 3.87

5.19 < 11.21

8. DESIGUALDAD DE CAUCHY

9. PRODUCTOS INTERIORES

Entre vectores y matrices. Sea S vector columna R4 y una matriz A3*4, "X" vector columna de R4 , "Y" vector columna de R3. Probar que identidades se cumplen para la combinación de producto punto (escalar) y producto matricial (cruz).

u * s= u s´

Ejemplo:

2 + 9 + 16+10 = 2 + 9 + 16 + 10

37 = 37

s * u = s u ´

2+9+16+10 = 2+9+16+10

37 = 37

AX Y= X A´ Y

=

 

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) dados los vectores u=(-1,2,3,-5) y v=(3,-4,1,-2) hallar:a) Suma y restab) Productos punto y cruzc) Normasd) Vectores unitarios

e) Proyección de u sobre v y proyección de v sobre uf) Ángulo que forman y su respectiva gráficag) Desigualdad triangular h) Desigualdad de cauchy

2) Una compañía desea conocer el valor promedio al que se han adquirido las materias primas para la fabricación de sus productos. Para ello cuenta con la siguiente información:

Para el primer mes la compañía adquirió 20,30 y 15 kg de cada materia prima por un valor de 3 millones, para el segundo mes 10, 20 10 kg por 2 millones y para el mes tres 30, 10 20 kg por 6 millones.