I Ciclo Semestre 2017 I - USMP€¦ · MATEMÁTICA II SEMESTRE ACADÉMICO 2017 -I 03 Matriz Escalar: Es una matriz diagonal, donde todas las entradas que pertenecen a la diagonal

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y RECURSOS HUMANOS FACULTAD DECIENCIAS CONTABLES ECONÓMICAS Y FINANCIERAS

UNIDAD ACADEMICA DE ESTUDIOS GENERALES

Manual Teórico para uso exclusivo de los estudiantes

Ciudad Universitaria USMP Av. Las Calandrias N°151

Santa Anita - Lima

I Ciclo

Semestre 2017 – I

Material didáctico para uso exclusivo de los estudiantes de las Facultades y Escuelas Profesionales:

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINITRATIVAS Y RECUSOS HUMANOS Escuela Profesional de Administración de Negocios Internacionales

Escuela Profesional de Administración Escuela Profesional de Gestión de Recursos Humanos

Escuela Profesional de Marketing

FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES, ECONÓMICAS Y FINANCIERAS Escuela de Profesional Contabilidad y Finanzas

Escuela Profesional de Economía

INTRODUCCION

El presente Manual de Matemática II representa para el estudiante uno de los objetivos

de mejora continua que la Coordinación Académica y el Área de Matemática vienen realizando

en cada semestre académico. Su elaboración está orientada a incrementar la calidad del

proceso de enseñanza-aprendizaje de la Asignatura de Matemática II, en la Unidad Académica

de Estudios Generales.

Este Manual que presentamos, contiene fundamentalmente la parte teórica de la

asignatura de Matemática II que se aplicará en cada una de las sesiones de aprendizaje que se

desarrollarán en el presente semestre académico 2017 - I, por lo que está dividido en cuatro

unidades, de acuerdo al silabo correspondiente. Estas unidades son: Matrices, Determinantes y

Sistemas de Ecuaciones Lineales, Límite y Continuidad de una Función Real de Variable Real,

Derivadas e integrales.

Es nuestra intención y propósito, que el presente Manual sea en un instrumento básico de

trabajo para el estudiante, por tanto es indispensable la consulta permanente con la bibliografía

recomendada en el silabo. Asimismo, esperamos que contribuya a la formación profesional y

académica de cada uno de los estudiantes de Estudios Generales que cursan la Asignatura de

Matemática II, así como también el de mejorar los procesos de enseñanza aprendizaje.

Los profesores

MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I

01

SEMANA 1

MATRICES

DEFINICIÓN

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos ij

a dispuestos en filas y columnas. Estos

elementos o entradas son encerrados entre corchetes. A las matrices se les simboliza con las

letras mayúsculas , , A B C , etc.

Representación General:

11 12 1

21 22 2

1 2

.......

.......

.

.

.......

n

n

mnm m mxn

A

a a a

a a a

a a a

Orden de una matriz

El orden de una matriz queda determinado por el número de filas y columnas que tenga la

matriz.

Si, [ ]ij m n

A a

es una matriz , entonces i = 1 ; 2 ; 3 ; ……… ; m, y j = 1 ; 2 ; 3 ; …; n.

determinan el orden, que en este caso es m x n (se lee “m” por “n”). Los subíndices indican la

posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la

columna (j). Por ejemplo el elemento 12

a está en la fila 1 y en la columna 2.

CONSTRUCCIÓN DE MATRICES

EJERCICIOS:

Elaborar las matrices siguientes:

1) 2 3

max ( , ) ; [ ] /

min ( , ) ;ij ijx

i j i jE e e

i j i j

2)

2 3ij xN n /

i

i jij

j

j ; i j

n ; i j

i ; i j


02

IGUALDAD DE MATRICES

Las matrices [ ]ij m n

A a

y [ ]m nij

B b

son iguales, si y solo si tienen el mismo orden y

sus entradas correspondientes son iguales.

ij ijA B a b , para todo ,i j

EJERCICIO:

Si las matrices A y B son iguales, entonces:

Calcule: E xy xz yz si:

0,2 1 7

4 0

11 8

3

x

A y

z

y

25 1 7

4 0

8 3y

B y

x y

TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

La transpuesta de una matriz A se obtiene al intercambiar las filas por las columnas y se

denota TA . El orden original es m x n y el orden de

TA es n x m.

Propiedades

( )T TA A

( ) T T TA B A B

( )T Tk A k A

MATRICES ESPECIALES

Matriz Fila: Es aquella matriz que tiene solo una fila.

Matriz Columna: Es aquella matriz que tiene solo una columna.

Matriz Cero o Nula: Es aquella matriz cuyos elementos son todos iguales a cero.

Matriz Cuadrada: Es aquella matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas y se

denota n

A . En una matriz cuadrada de orden n, las entradas nnaaaa ,......,,, 332211 forman la

diagonal principal.

Matriz Diagonal: Es aquella matriz cuadrada donde todas las entradas que se encuentran fuera

de la diagonal principal son ceros.


03

Matriz Escalar: Es una matriz diagonal, donde todas las entradas que pertenecen a la diagonal

principal son iguales.

Matriz Identidad: Es una matriz diagonal donde todas las entradas que pertenecen a la

diagonal principal son iguales a uno.

Matriz Triangular Superior: Es una matriz cuadrada, donde todas las entradas debajo de la

diagonal principal son ceros.

Matriz Triangular Inferior: Es una matriz cuadrada, donde todas las entradas por encima de la

diagonal principal son ceros.

Matriz Simétrica: Es una matriz cuadrada que cumple: TA A .

Matriz Antisimétrica: Es una matriz cuadrada que cumple: TA A . En una matriz

antisimétrica, los elementos de la diagonal principal son todos igual a cero.

EJERCICIO:

Si:

1 16 125

2 1 1/ 27

5 3 0

x y

y z x z

a b

A a b

es antisimétrica, calcule

3

2

3 2 4x y zE

a b

OPERACIONES CON MATRICES

ADICIÓN DE MATRICES

Si ij

A a y ij

B b son matrices de orden m x n, entonces la suma A B es la matriz

de orden m x n, que se obtiene sumando las entradas correspondientes de A y B .

MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR

Si A es una matriz de orden m x n y k es un número real (escalar), entonces la matriz k A ,

tiene el mismo orden m x n y se obtiene al multiplicar cada entrada por k .

Propiedades

Sean A , B , C y O matrices del mismo orden, O es la matriz nula y k , 1

k , 2

k son

números reales:


04

1. A B B A 5. 1 2 1 2

( ) A Ak k k k A

2. ( ) ( )A B C A B C 6. 1 2 1 2

( ) ( )Ak k k k A

3. O OA A A 7. 0 OA

4. ( )A Bk kA kB 8. O Ok

SUSTRACCIÓN DE MATRICES:

Dado que ( 1 )B B , se define: ( )A B A B

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Sea A una matriz de orden m x n y B una matriz de orden n x p, entonces el producto AB

es la matriz C de orden m x p cuyas entradas ijc , se obtienen al sumar los productos de las

entradas de la fila “i” de la matriz A , con sus respectivas entradas de la columna “j” de la

matriz B .

Propiedades

1. ( ) ( )A BC AB C 3. ( )A B C AC BC

2. ( )A B C AB AC 4. ( )T T TAB B A

APLICACIONES

1. Un fabricante de zapatos para niños, damas y caballeros los produce en color negro, blanco

y gris. La capacidad de producción (en miles de pares) en la Planta de Vitarte está dada por

la siguiente matriz:

28 50 20

12 38 60

160 80 50

A

Negro

Gris

Blanco

Niños Damas Caballeros


05

La producción en la Planta de la Victoria está dada por la matriz:

8 36 20

64 03 60

66 12 26

B

a) Halle la representación matricial de la producción total de cada tipo de zapatos en

ambas plantas.

b) Si la producción en la planta de Vitarte se incrementa en un 50% y de la Victoria en un

25%, hallar la matriz que represente la nueva producción total de cada tipo de calzado.

2. Si 3 1

4 2A

y 2 1

3 5

TB

, determine la matriz X si se cumple:

2 3 ( ) 5 4 ( 2 )T T T TA A B X A B

3. Si 4 3

2 1

TA

,

2 23

xB I y

5 0

2 1C

, determine la matriz X si se cumple:

2 3 ( ) 3 3T T TBC A C X B A

4. Tiendas Tottus, por la Copa América, remató 120 TV LED 3D de 20”, 85 de 32”, 115 de 42”

y 100 de 47”. Los TV LED 3D de 20” tenían un precio de S/. 520, los de 32” un precio de

S/. 980, los de 42” S/. 1 820 y los de 42” a S/. 2 899. La gerencia general prometió devolver

el costo de cada TV si la selección de Perú quedaba entre los tres primeros puestos. En

forma matricial, calcule la cantidad de dinero que tuvo que devolver Tottus.

5. En una tienda de ropa deportiva para hombres, se venden tres modelos de buzos: modelo

A, modelo B y modelo C. Si los precios por cada modelo son S/. 300, S/. 420 y S/. 360

respectivamente, calcule en forma matricial, la recaudación total por la venta de 30, 45 y 60

buzos de cada modelo respectivamente.

Niños Damas Caballeros

Negro

Gris

Blanco


06

SEMANA 2 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

El determinante de una matriz es un número real asociado a una matriz cuadrada A, que se

denota por: A .

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 2

a bA

c d

a bA ad bc

c d , ejemplo:

2 3( 2 )(5) (3)( 4 )

4 52A

DETERMINANTE PARA UNA MATRIZ DE ORDEN 3 (REGLA DE SARRUS)

a b c

A d e f

g h i

a b c a b

A d e f d e aei bfg cdh ceg afh bdi

g h i g h

Ejemplo:

2 1 3

0 4 5

3 2 0

A

Propiedades

1. Si una matriz A tiene una fila o columna cuyos elementos son todos ceros, entonces:

0A

2. Si una matriz A tiene dos filas o columnas iguales, entonces: 0A

3. Si una matriz A es triangular superior o inferior, entonces A es igual al producto de las

entradas de la diagonal principal.

4. Si “ k ” es una constante y A una matriz de orden “n”, entonces: nA Ak k

5. El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes

A B A B .

6. El determinante de una matriz es igual al determinante de su transpuesta TA A

7. Si A es una matriz invertible: 1

1A

A

36 20 0

2 1 3 2 1

0 4 5 0 4 (0 15 0) ( 36 20 0) 41

3 2 0 3 2

0 15 0

A


07

MÉTODO DE CRAMER PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES

Dado el sistema 11 12 1

21 22 2

a x a y b

a x a y b

,

Denotamos: 11 12

21 22

a aA

a a

1 12

2 22

x

b aA

b a

11 1

21 2

y

a bA

a b

luego: xA

xA

yA

yA

siempre que 0A

Este método es válido para cualquier sistema de “n” ecuaciones lineales con “n” incógnitas,

siempre que 0A

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES:

De acuerdo a sus soluciones, pueden ser:

1. Sistema Compatible. Es aquel sistema que tiene solución y puede ser:

a) Determinado. Cuando tiene solución única.

b) Indeterminado. Cuando tiene Infinitas soluciones (solución paramétrica).

2. Sistema Incompatible. Es aquel que no tiene solución.

Atendiendo a sus términos independientes:

a) Homogéneos. Cuando todos los términos independientes son nulos.

b) No Homogéneos. No todos sus términos independientes son nulos.

Ejemplo 1

Resolver por el método de Cramer: 2 5 11

3 4 6

x y

x y

Solución:

2 58 15 7

3 4A

,

11 544 30 14

6 4xA

, luego

14

7x

2x

2 1112 33 21

3 6yA

, luego

21

7y

3y


08

Ejemplo 2

Resolver el sistema:

2 3

3 2 2 20

3 5 29

x y z

x y z

x y z

utilizando el método de Cramer.

Solución:

2 1 1 2 1

3 2 2 3 2 20 2 9 2 12 15 9 5 14

1 3 5 1 3

A

3 1 1 3 1

20 2 2 20 2 30 58 60 58 18 100 148 176 28

29 3 5 29 3

xA

2 3 1 2 3

3 20 2 3 20 200 6 87 20 116 45 107 51 56

1 29 5 1 29

yA

2 1 3 2 1

3 2 20 3 2 116 20 27 6 120 87 69 27 42

1 3 29 1 3

zA

luego: 28

214

xx

A

A

;

564

14

yy

A

A

;

423

14

zz

A

A

EJERCICIOS:

1. Utilizando el método de Cramer resuelva los siguientes sistemas:

Calcular el valor de x en: Calcular el valor de z en:

a) .

0,2 0,3 0,4 2,7

0,3 0,1 0,5 3,1

0,7 0,2 0,4 4

x y z

x y z

x y z

b)

7 7 7 0

13 13 2 13 3 13

5 3 5 2 5 3 5

x y z

x y z

x y z


09

APLICACIONES

Resuelve, utilizando el método de Cramer:

1. La empresa “Textiles del Perú” produce pantalones y faldas, con un costo de producción

unitario de S/. 90 y S/. 60 respectivamente y con un costo fijo mensual de S/. 6 000.

Sabiendo que el costo total mensual es de S/. 16 800 y que cada pantalón se vende a

S/. 200 y cada falda a S/.180, que generan un ingreso total mensual de s/. 26 800.

Determine la cantidad de pantalones y faldas producidas en un mes.

2. La empresa H&B fabrica y envasa mermelada de fresa y puré de manzana. Por cada unidad

de mermelada que vende la ganancia es de S/. 6 y por cada unidad de puré que vende la

ganancia es de S/. 9. Se vendieron 500 unidades entre mermelada y puré siendo la

ganancia total de S/. 3 900. ¿Cuántas unidades de cada producto se vendieron?

3. Una fábrica de automóviles produce dos modelos, A y B. El modelo A requiere 1 hora de

mano de obra para pintarlo y 1/2 hora de mano de obra para pulirlo, el modelo B requiere de

1 hora de mano de obra para cada uno de los dos procesos. Durante cada hora que la línea

de ensamblado está funcionando, existen 100 horas de mano de obra disponibles para

pintura y 80 horas de mano de obra para pulirlo. ¿Cuántos automóviles de cada modelo

pueden terminarse cada hora si se utilizan todas las horas de mano de obra?

4. Una fundidora produce dos esculturas diferentes de bronce. El departamento de fundición

dispone de un máximo de 136 horas de trabajo por semana y el departamento de acabado

tiene un máximo de 124 horas de trabajo por semana. La escultura A necesita 12 horas para

fundición y 8 horas para acabado; y la escultura B necesita 8 horas para fundición y 12

horas para acabado. Si la planta debe funcionar a su máxima capacidad, ¿cuántas

esculturas de cada tipo debe producir cada semana?


010

SEMANA 3

METODO DE REDUCCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA LINEAL

12 11

21 22 21

31 32 31

11 13

23

33

a x a y a z b

a x a y a z b

a x a y a z b

11

21 22 21

3131 33

11 12 13

23

32

b

b

b

a a a x

a a a y

za a a

A X = B

Simbólicamente AX B , donde:

La matriz A es la matriz de los Coeficientes.

La matriz X es la matriz de las Incógnitas.

La matriz B es la matriz de las constantes o términos independientes.

MATRIZ AUMENTADA

BA

11

21 22 21

3131 33

11 12 13

23

32

b

b

b

a a a

a a a

a a a

REDUCCIÓN DE MATRICES

Consiste en reducir una matriz, para eso primero veamos que características tiene una matriz

reducida.

Una matriz se dice que es matriz reducida, si satisface lo siguiente:

Si una fila no consiste solamente de ceros, entonces la primera entrada diferente de cero en

la fila, llamada entrada principal, es 1; mientras que todas las demás entradas de su

columna, son ceros.

En cada fila, la primera entrada diferente de cero está a la derecha de la primera entrada

diferente de cero de cada fila arriba de él.

Todas las filas que consistan únicamente de ceros están en la parte inferior de la matriz.


011

Para transformar a una matriz a su forma reducida, se ejecutan Operaciones elementales

sobre filas de la matriz, estas son:

1° x yF F : Intercambio de filas. Se cambian la fila xF por la fila yF .

2° xk F : Multiplicación de un escalar por una fila. El número real “ k ” diferente de cero,

multiplica a la fila xF .

3° x yF Fk : Suma de “ k ” veces una fila a otra fila. K veces la fila xF se suma a la fila yF .

(La fila xF no se altera).

OBSERVACIÓN: Cuando una matriz pueda obtenerse a partir de otra por una o más

operaciones elementales sobre filas, decimos que las matrices son

equivalentes.

Ejemplo:

Reducir la matriz

Solución:

1098

795

442

1

(1 / 2)F

1098

795

221

1 2

( 5)F F

1098

310

221

1 3( 8)F F

670

310

221

2

( 1)F

670

310

221

2 1( 2)F F

1 0 4

0 1 3

0 7 6

2 3

(7)F F

1500

310

401

3(1/15)F

100

310

401

3 1

(4)F F

100

310

001

3 2

( 3)F F

100

010

001

Por lo tanto, la matriz reducida de

2 4 4

5 9 7

8 9 10

A

es

1 0 0

0 1 0

0 0 1

B

.

2 4 4

5 9 7

8 9 10

A


012

Para resolver un sistema lineal, reduciremos la matriz aumentada A B .

Ejemplos:

Por el método de reducción resolver:

a)

72

1953

yx

yx

Solución:

Debemos reducir a la matriz aumentada: 3 5 19

1 2 7

3 5 19

1 2 7

1 2

F F 1 2 7

3 5 19

1 2

( 3)F F 1 2 7

0 1 2

2( 1)F

1 2 7

0 1 2

2 1

( 2)F F 1 0 3

0 1 2

La última matriz es reducida y corresponde a 3

2

x

y

, entonces es un

Sistema Compatible Determinado (solución única)

b)

163

642

yx

yx

Solución:

Debemos reducir a la matriz aumentada 2 4 6

3 6 1

2 4 6

3 6 1

11/2 F

1 2 3

3 6 1

1 2( 3)F F

1 2 3

0 0 8

2( 1/8 ) F

1 2 3

0 0 1

2 1( 3)F F

1 2 0

0 0 1

La última matriz es reducida y corresponde a 2 0

0 1

x y

, entonces observamos un absurdo

( 0 1 ), por lo que el sistema es incompatible (no tiene solución).


013

SEMANA 4

MATRIZ INVERSA. SISTEMA DE ECUACIONES

MATRIZ INVERSA

Definición. Una matriz cuadrada A se dice que es invertible (o no singular), si existe una

matriz denotada por 1

A

tal que: 1 1

A A A A I

. A la matriz 1

A

se le llama matriz

inversa de A .

CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE GAUSS - JORDAN

Sea A , una matriz cuadrada de orden “n”. Para calcular la matriz inversa de A , denotada por

1A

, se sigue los siguientes pasos:

1º. Se construye una matriz de la forma: A I donde I es la matriz identidad. A esta matriz

se le llama matriz aumentada.

2º Utilizando las operaciones elementales sobre filas (método de Gauss - Jordan), se

transforma (si es posible) la matriz A , en la matriz identidad: 1 I A

. La matriz que

resulta en el lado derecho, será la matriz inversa de A .

Ejemplo 1.

Calcular la matriz inversa de 3 7

1 2A

Solución:

Formando la matriz aumentada de A : 3 7 1 0

1 2 0 1

A I

Aplicando operaciones elementales sobre fila: 1 2 0 1

3 7 1 0

1 2 0 1

0 1 1 3

1 0 2 7

0 1 1 3

1 I A

Por lo tanto: 1 2 7

1 3A

es la matriz inversa de A .

3F1 + F2

F1 F2

2F2 + F1


014

Ejemplo 2.

Calcular la matriz inversa de

1 1 3

2 1 4

3 2 2

A

Solución:

Formando la matriz aumentada de A :

1 1 3 1 0 0

2 1 4 0 1 0

3 2 2 0 0 1

A I

Aplicando operaciones elementales sobre fila:

1 1 3 1 0 0

0 1 2 2 1 0

0 5 11 3 0 1

1 0 1 1 1 0

0 1 2 2 1 0

0 0 1 7 5 1

1 0 1 1 1 0

0 1 2 2 1 0

0 0 1 7 5 1

1 0 0 6 4 1

0 1 0 16 11 2

0 0 1 7 5 1

1 I A

Por tanto: 1

6 4 1

16 11 2

7 5 1

A

es la matriz inversa de A .

Propiedades

a) 1A A I b)

1 1 1( )A B B A

c) 1 1( )A A d)

1( )I I

e) 1 1( ) ( )T TA A f)

1 1 1( )A Ak k ; 0k , k

2F1 + F2

3F1 + F3

F2 + F1

5F2 + F3

F3

F3 + F1

2F3 + F2


015

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Resolución por el Método de la Matriz Inversa

El sistema 12 1

21 22 2

11

a x a y b

a x a y b

, se puede expresar como:

1

21 22 2

11 12b

b

a a x

a a y

A X = B

Simbólicamente AX B , donde:

A es la matriz de los coeficientes.

X es la matriz columna de variables.

B es la matriz columna de las constantes

Multiplicando a ambos miembros por 1A (por la izquierda), se tiene:

1 1A AX A B

de donde: 1IX A B , por lo tanto:

1X A B

Este procedimiento es válido para cualquier sistema de “n” ecuaciones lineales con “n”

incógnitas, siempre y cuando exista 1A.

Ejemplo:

Resolver el sistema 5 23

2 11 49

x y

x y

Solución:

Formando la matriz de coeficientes: 1 5

2 11A

Hallando su matriz inversa: 1 5 1 0

2 11 0 1

1 5 1 0

0 1 2 1

1 0 11 5

0 1 2 1

entonces:

1 11 5

2 1A

Como: 1X A B

11 5 23 8

2 1 49 3

x

y

2F1 + F2

5F2 + F1


016

Por lo tanto: 8x ; 3y

APLICACIONES

Resuelva los siguientes problemas, utilizando el método de la inversa de matrices.

1. Un empresario compró acciones mineras y comerciales de los tipos A y B respectivamente.

Cada acción del tipo A la adquirió a S/.10 y cada acción del tipo B la adquirió a S/.15. Si se

sabe que compró 900 acciones entre las del tipo A y las del tipo B y que invirtió S/.11 000

en la compra. ¿Cuántas acciones del tipo A y del tipo B adquirió el empresario?

2. Una fábrica de automóviles produce dos modelos A y B. Suponga que cada modelo A

requiere 10 partes del tipo I y 14 partes del tipo II, mientras que cada modelo B requiere 8

partes del tipo I y 6 partes del tipo II. Si La fábrica puede obtener 850 partes del tipo I y 930

partes del tipo II, ¿cuántos automóviles de cada modelo se producen, si se utilizan todas las

partes disponibles?

3. La empresa “Dulces SAC” fabrica, envasa y vende mermelada y puré de manzana. Por cada

unidad de mermelada que vende, la ganancia es de $6 y por cada unidad que vende de

puré la ganancia es de $ 9. La empresa determinó que por cada 3 frascos de mermelada

vende 2 frascos de puré. Así que para el próximo año la empresa desea obtener una utilidad

de $72 000. ¿Cuántas unidades de puré deberá vender?.

4. Una tienda comercial ofrece dos modelos diferentes de memorias USB B1 y B2. El precio

de venta del modelo B1 es de $30 y del modelo B2 es de $40. Si en el mes de Enero la

tienda vendió 400 memorias USB entre los dos modelos y su ingreso total fue de $15 000,

determine el número USB de cada tipo que se vendieron durante el mes de Enero.

5. Una fábrica elabora dos productos A y B. Por cada unidad que vende de A la ganancia es

de $8 y por cada unidad que vende de B la ganancia es de $11. De la experiencia se ha

encontrado que puede venderse 25% más de A que de B. Para el año siguiente el fabricante

desea una ganancia total de $42 000. ¿Cuántas unidades de cada producto debe vender?


017

SEMANA 5

LÍMITES

NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE

Es importante conocer el comportamiento de una función ( )f x , cuando los valores de la

variable independiente “ x ”, se aproximan a un número determinado que llamaremos 0x .

Haremos esto tabulando los valores de la función para valores de x cada vez más cercanos al

número 0x .

Ejemplo Si 3 1

1

xf x

x

Observamos que el punto 0 1x no pertenece al dominio de la función. En la tabla adjunta

escribimos algunos valores para la variable independiente x , en el entorno de 1, y calculamos

los valores correspondientes de la función ( )f x :

1x 1x

x 0,95 0,99 0,995 0,999 1,001 1,005 1,01 1,05

xf 2,8525 2,970 2,9850 2,9970 3,0030 3,0150 3,0301 3,1525

De la tabla podemos observar que, mientras el valor de “x” se aproxima al número 1, el valor de

( )f x se aproxima al número 3.

Deducimos, intuitivamente, que el límite de la función ( )f x cuando x “tiende” a 1; es 3.

Esto se simboliza:

3

1

13

1limx

x

x

DEFINICIÓN INTUITIVA DE LÍMITE

El límite de una función ( )f x , cuando la variable x se aproxima a un valor dado 0x , es el

número real “L” , (siempre que exista), al cual se aproxima la función, esto se simboliza:

( )lim0x x

f x L

, se lee: “El límite de ( )f x cuando x tiende a 0x es L ”


018

ALGUNOS LÍMITES BÁSICOS

Sean k , 0x números reales y n un número entero positivo. Entonces:

1.

0

limx x

k k

2. 0

0

limx x

xx

3. 0

0

lim n n

x xxx

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

Sean k , 0x números reales y n un número entero positivo y f, g funciones cuyos límites

existen:

0

( )limx x

f x L

y

0

( )limx x

Mg x

Entonces:

1.

0 0

( ) ( )lim limx x x x

Lf x f xk k k

2. 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )lim lim limx x x x x x

f x g x f x g x L M

3. 0 0 0


f x g x f x g x L M

4. 0 0 0


f x g x f x g x L M

5. 0

0

0

( )( )

( ) ( )

lim

limlim

x x

x xx x

f xf x L

g x Mg x

, siempre que 0M .

6. 0 0

( ) ( )lim lim

n

n n

x x x xf x f x L

7. 00

lim lim nnn

x x x x

f x f x L


019

FORMA INDETERMINADA: 00

Cuando en una función ( )f x reemplazamos la variable por un valor dado “x0” y nos da la

forma indeterminada 0/0 , es posible calcular el

0

( )limx x

f x

; previamente se debe factorizar o

racionalizar ( )f x con la finalidad de “eliminar o levantar la indeterminación.

Ejemplo 1 Calcular 2

21

2

2 3limx

x x

x x

Solución: 2

21 1

( 1)( 2)2 ( 1)( 3)2 3

lim limx x

x xx xx xx x

1

( 2) ( 3)

limx

x

x

4

3

Por tanto: 2

21

2 3 42 3

limx

x x

x x

Ejemplo 2 Calcular 7

2 3 7

limx

xx

Solución: 7 7

2 3 2 3 2 3 7 7 2 3

lim limx x

x x x

x x x

22

7

2 3lim

( 7)( 2 3)x

x

x x

7

( 7)lim

( 7)( 2 3)x

x

x x

7

1lim( 2 3)x x

6

1

Por tanto: 7

2 3 1lim7 6x

x

x


020

4

6

2

y

x

LÍMITES LATERALES Consideremos una función por tramos:

2 ; 2

( )

34 ; 2

x si xf x

x si x

Podemos observar que cuando “ x ” se aproxima al número 2 por la izquierda ( 2)x , la función

se aproxima al número 4; esto se simboliza:

2

( ) 4limx

f x

Asimismo, cuando “ x ” se aproxima al número 2 por la derecha ( 2)x , la función se aproxima

al número 6, esto se simboliza:

2

( ) 6limx

f x

DEFINICIÓN. Una función ( )f x tiene límite en “ a ” si los límites laterales en “ a ” son iguales;

esto es:

Lxfax

)(lim Lxfxfaxax

)(lim)(lim

Verifique si existen los siguientes límites:

1.

3

2

8 ; 2

4( )

3 3 3 ; 2

2

xsi x

xf x

xsi x

x

a) 2

( )limx

f x

b) 2

( )limx

f x

c) 2

( )limx

f x

2. Halle el valor de m y n si existen 2

( )limx

f x

y 1

( )limx

f x

;

2 3 ; 2

( ) 5 ; 2 1

32 ; 1

x m si x

f x mx n si x

x si x

3. Dada la gráfica de la función ( )f x , calcule si existen los siguientes límites;

a) 11

( )limx

f x

b) 11

( )limx

f x

c) 11

( )limx

f x

d) 1 2

( )limx

f x

e) 1 2

( )limx

f x

f) 1 2

( )limx

f x

g) 21

( )limx

f x

h) 21

( )limx

f x

i) 12

( )limx

f x

2

3

1 2

8

4

9

x

y


021

SEMANA 6

CONTINUIDAD

Continuidad de funciones

Una función ( )f x es continua en a ; si y sólo si, se cumplen las siguientes tres

condiciones:

1. Existe ( )f a , es decir a pertenece al dominio de ( )f x .

2. Existe el ( )limx a

f x

, es decir los limites laterales existen y son iguales

( ) ( ) ( )lim lim limx a x a x a

f x f x f x

3. ( )= ( )limx a

f a f x

OBSERVACIONES

Una función polinomial es continua en todo su dominio.

Ejemplo 1 3( ) 2 3 1, f x x x x

3

3 3

3

Sea :

) ( ) 2 3 1, existe.

) ( ) 2 3 1 2 3 1, existe.

) ( ) ( ) 2 3 1

lim lim

lim

x ax a

x a

a

i f a a a

ii f x x x a a

iii f a f x a a

f es continua en a

Una función racional es discontinua en los puntos donde el denominador es cero, y es

continua en cualquier otro punto de su dominio.

Ejemplo 2

Analizar la continuidad de la función: 2

2 1( )

9

xf x

x

Solución:

2

Si 3:

2(3) 1 7) (3) , 3

03 9

x

i f f x

es discontinua en


022

2

Si 3:

2( 3) 1 5) ( 3) , 3

0( 3) 9

x

i f f x

es discontinua en

EJEMPLOS

1. Analizar la continuidad de la función: 2

3 1, 0

( ) , 0 1

2 1, 1

x x

f x x x

x x

Solución:

2

2 2

0 0

0 0 0

2

2 2

1 1

1

Si 0 :

) ( ) 0 0

) 0 0; 3 1 3( 0 ) 1 1

( ) ( ) ( )

0

Si 1:

) (1) 1 1

) 2 1 2 (1) 1 1; 1 1

lim lim

lim lim lim

lim lim

lim

x x

x x x

x x

x

x

i f x

ii x x

f x f x f x

f x

x

i f

ii x x

es discontinua en

1

( ) 1

) (1) ( ) 1

1

limx

f x

iii f f x

f x

es continua en

2. Hallar los valores de a y b , si:

3 , 1

( ) 3 1, 1 2

2 1, 2

x a x

f x a x

bx x

es continua en todo su dominio.

Solución:

Se analiza la continuidad en 1x y 2x , pues esto va generar que se formen

ecuaciones que nos permitirá hallar el valor de “ a ” y “b ”.


023

Como ( )f x es continua en 1x , basta observar que:

1 1

(1) ( ) ( )lim limx x

f f x f x

Luego: (1) 3 1f a ; 1

(3 1) 3 1limx

a a

; 1

(3 ) 3limx

x a a

3 1a = 3 a 1a

Como ( )f x es continua en 2x , basta observar que:

2 2

(2) ( ) ( )lim limx x

f f x f x

Luego:

(2) 2 (2) 1f b ; 2

(2 1) 2 (2) 1limx

bx b

; 2

(3 1) 3 1limx

a a

;

4 1b = 3 1a 4 1b = 3(1) 1 = 2 1 4b

TIPOS DE DISCONTINUIDAD

1. Discontinuidad removible o evitable. Una función presenta discontinuidad removible

o evitable en un punto “ a ” cuando existe ( )limx a

f x

pero es diferente de ( )f a ó

( )a Df x .

Ejemplo:

OBSERVACIÓN

a) En el primer gráfico, (3) 5f pero3

( ) 4limx

f x

,

luego ( )f x es discontinua removible en 3x

5

4

3

( )f x

3

4

( )f x

a) b)


024

b) En el segundo gráfico, (3)f no existe, sin embargo,3

( ) 4limx

f x

( )f x es discontinua removible en 3x

2. Discontinuidad no removible o inevitable. Una función presenta discontinuidad en un

punto “ a ” cuando no existe ( )limx a

f x

, o al menos uno de los límites laterales en “ a ”

es .

Ejemplo

OBSERVACIÓN

a) En el primer gráfico, 2

( ) 4limx

f x

y 2

( ) 7limx

f x

2

( )limx

f x

( )f x es discontinua no removible en 2x

b) En el segundo gráfico, 3

( ) 1limx

f x

y 3

( ) limx

f x

3

( )limx

f x

( )f x es discontinua no removible en 3x

2

4

7

3

1


025

SEMANA 7

LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. REGLAS DE DERIVACIÓN

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN:

Sea )(xf una función definida en cada punto del intervalo I , entonces se dice que )(xf

es derivable en el punto x I , si existe el límite siguiente:

0

( ) ( ) lim

h

f x h f x

h

La derivada de una función se denota por: ( )' xf o por ( )xdf

dx y se lee “la derivada de )(xf

en el punto x ”, entonces por definición se tiene:

0

( )

( )( ) ( )

' lim h

xx

f x h f xf

h

df

dx

Ejemplos:

Halle la derivada de las siguientes funciones usando la definición.

a) 23)( xxf b) 23 2 5f x x x c) ( ) 2 1f x x

Solución:

a)

0

( )( ) ( )

' l imh

xf x h f x

fh

0

( )3( ) 2 (3 2)

' l imh

xx h x

fh

0

( )3 3 2 3 2

' l imh

xx h x

fh

0

( )3

' l imh

xh

fh

0

( ) 3' l imh

xf

3)(' xf .

b)

0

( )( ) ( )

lim´h

xf x h f x

fh

2 2

0

( )3( ) 2( ) 5 (3 2 5)

' limh

xx h x h x x

fh


026

2 2 2

0

( )3( 2 ) 2 2 5 3 2 5

' limh

xx xh h x h x x

fh

2 2 2

0

( )3 6 3 2 2 5 3 2 5

' limh

xx xh h x h x x

fh

2 2 2

0

( )3 6 3 2 2 5 3 2 5

' limh

xx xh h x h x x

fh

2

0

( )6 3 2

' limh

xxh h h

fh

0

( )(6 3 2)

' limh

xh x h

fh

0

( )(6 3 2)

6 2' limh

xh x h

f xh

( ) 6 2´ xf x .

c)

0

( )( ) ( )

' l imh

xf x h f x

fh

0

( )2( ) 1 2 1

' limh

xx h x

fh

0

( )( 2 2 1 2 1) ( 2 2 1 2 1)

( 2 2 1 2 1)

' limh

xx h x x h x

fh x h x

0

( )(2 2 1 2 1) 2

( 2 2 1 2 1) ( 2 2 1 2 1)

' limh

xx h x h

fh x h x h x h x

0

( )2 2

( 2 2 1 2 1) ( 2 1 2 1)

' limh

xfx h x x x

( )2 1

2 2 1 2 1

' xfx x

.

REGLAS BASICAS DE DERIVACIÓN

Si )(xf y )(xg son funciones diferenciables en el intervalo I , entonces se define:

1) Si, ( )xf k , es una función constante, entonces: ( ) 0' xf

2) Si, ( ) nf x x , n , entonces: 1( )' nf x nx

3) ( )( ) xx fk f k , donde k es constante.

4) ( ) ( )( ) ( ) x xx x f gf g


027

SEMANA 8

DERIVADA DE UNA POTENCIA, PRODUCTO Y COCIENTE

Derivada de una potencia

5) 1

( )( ) ( )n n

n f xf x f x

Derivada de un producto

6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x

Derivada de un cociente

7) 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

f x f x g x f x g x

g xg x

, si ( ) 0xg

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

Sea ( )y f x una función definida en I , I , cuya gráfica sea la siguiente:

Si: )()()( 0000 xfxxfxf

Entonces, en el triángulo rectángulo MPN,

)( 0xf representa la longitud del cateto

PN, de igual manera que 0x representa

la del MP.

De aquí se tiene que : )()(

0

0 tgx

xf

Pero si hacemos ,00 x

Entonces:

0

0

0

00

( )( )l im

x

f xf x

x

.

Esto quiere decir que, geométricamente, la derivada de una función en un punto debe

interpretarse como: la pendiente de la tangente geométrica a la curva de la función f , en

el punto considerado 0 0, ( )x f x .

0x

0 0x x

P

N

M

0( )f x

0 0( )f x x

( )f x

x

y

0


028

RECTA TANGENTE Y NORMAL

La recta tangente es una recta que corta en un punto a una curva. La recta normal es una recta

que pasa por el punto de tangencia y es perpendicular a la recta tangente.

La ecuación de la recta tangente TL a la gráfica

de ( )y f x en el punto 0 0,x y y pendiente

LTm está dada por : 0 0( )LTy y x xm .

Pero sabemos que la pendiente de la recta tangente

en 0x es la derivada de 0( )f x : 0( )LT f xm .

Entonces, la ecuación de la recta tangente es:

0 0 0( )( )y y f x x x

La ecuación de la recta normal NL a la gráfica de

( )y f x en el punto 0 0,x y de pendiente LNm , está dada por: 0 0( )LNy y x xm .

Pero sabemos que: 1

LNLT

mm

. Entonces, la ecuación de la recta normal es:

0 0

0

1( )

( )y y x x

f x

Ejemplo:

Halle la ecuación general de la recta tangente y de la normal a la parábola: 22 8 5y x x

en el punto (1, 1)P .

Solución:

Derivando 2( ) 2 8 5f x x x , se tiene: ( ) 4 8f x x .

Evaluando la derivada en 1x , se tiene la mLT es 4)1(' f , luego:

La ecuación general de la recta tangente es:

1 4 ( 1)y x : 4 3 0TL x y .

La ecuación general de la recta normal es:

11 ( 1 )

4y x : 4 5 0TL x y .

0 0( ; )P x y

NL

TL

( )f x


029

SEMANA 10

DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

Derivada de funciones exponenciales.

8) ( ) ( )

( ) lnf x f x

f x aa a

, donde a .

9) ( ) ( )

( )f x f x

f xe e

, donde e es la constante de Euler.

Caso particular ( ) 'x xe e

Derivada de funciones logarítmicas.

10) ( )

ln ( )( )

f xf x

f x

, caso particular:

1ln x

x

11) ln

( )( )

( )b

f xLog f x

f x b

, caso particular:

ln

1( )

b bLog x

x

NOTA

Es conveniente, antes de derivar algunas funciones logarítmicas, aplicar algunas propiedades

de los logaritmos, para reducir su dificultad. Estas propiedades son las siguientes:

1) ln lnna an 2) ln( . ) ln lna b a b

3) ln( ) ln lna

a bb

4) ln

loglnb

aa

b (cambio de base)

EJERCICIOS:

I. Derive las siguientes funciones:

1.

x x

x xy

e e

e e

2.

35

( ) ( 3) 2x

f x x

3. 3 2

2 y log x x 4.

3

2 4

6 5 ( 4 5)

(7 8) 8 1 ln

x xy

x x


030

II. APLICACIONES:

1. Halle la ecuación general de la recta tangente a la curva: ( ) 2 3 1f x x x , en

2x .

2. Encuentre la ecuación de la recta tangente y normal a la curva 2( 2 )

( )x - x

y f xx

, en el punto (4 ) ( ), k f x .

3. Halle la ecuación de la recta tangente a la curva:

2

3

5 2

1( )

x

xf x

e

e

en 0x .

4. Halle la ecuación general de la recta tangente y normal a la curva 2 2( ) ( 1) xy f x x e en el punto ( 2 , 5 ) .

5. Halle la ecuación general de la recta normal a la curva: 3 ln (2 3)

( ) ( 2)x

f x x e ,

en el punto donde 2x .


031

SEMANA 11

INCREMENTO Y RAZÓN DE CAMBIO.

APLICACIONES A LA ECONOMÍA.

Razón media de cambio de “y” con respecto a “x”:

Si tenemos la función y = f(x). Todo cambio en la variable independiente “x” produce un cambio

en la variable dependiente “y”. Así, si x cambia del valor “ x” a xx 1 , entonces “y” cambia de

)( 1xf . Así el cambio en “y” que podemos denotar como y es )()( 11 xfxxf , cuando el

cambio en x es x .

El promedio de la razón de cambio de “y” por unidad de cambio en “x”, cuando “x” cambia de 1x

a xx 1 , es : x

y

x

xfxxf

)()( 11

Así en general, tenemos: Cambio en x: x x x x

Cambio en y: ( )y f x x f x

( ) ( )Cambio en y y f x x f x

Cambio en x x x

RAZON INSTANTANEA DE CAMBIO DE “y” CON RESPECTO A “x”

Si existe el límite de 1 1

( ) ( )f x x f x

x

cuando x se aproxima a cero, lo cual denotamos

como 1 1

0

( ) ( )lim

x

f x x f x

x

; este límite es lo que recibe el nombre de razón instantánea

de cambio de “y” por unidad de cambio de “x”. Definición

Si ( )y f x , la razón de cambio instantánea de “y” por unidad de cambio de “x” en x1 es la

derivada de “y” con respecto a x en x1, denotada por 1

( )'f x , si ésta existe en x = x1.


032

APLICACIONES A LA ECONOMIA

Función de costo total.

La función de costo total de un fabricante, ( )C f q , nos da el costo total C de producir y

comerciar q unidades de un producto. La razón de cambio de C con respecto a q se llama

costo marginal. Así,

Costo marginal ' dC

Cdq

Interpretamos el costo marginal como el costo aproximado de una unidad adicional producida.

Ejemplo 1.

El costo total en dólares de producción de q libras de cierta sustancia química está dado por 245 5C q . Determine el costo marginal cuando se producen 3 libras de dicha sustancia.

Solución:

Derivamos la función costo: ' 10C q entonces '(3) 10(3) 30C , es decir, si la

producción se incrementa de 3 a 4 libras, el costo se incrementa aproximadamente en 30

dólares.

Función de costo promedio.

Si C es el costo total de producir q unidades de un producto, entonces el costo promedio

por unidad C es:

C

Cq

Además, la función costo total se puede hallar utilizando: C q C .

Ejemplo 2.

El costo medio unitario en la producción de q unidades es 2

1000000.002 0.4 50C q q

q .

Determine la función del costo marginal y, en base a esta función, calcule el costo marginal

luego de producir 40 unidades.

Solución:

Para hallar el costo marginal, primero debemos hallar el costo total, y esto se logra

multiplicando el costo promedio por la cantidad, es decir:

3 20.002 0.4 50 100000C Cq q q q


033

La función del costo marginal se halla al derivar el costo total, es decir:

2' 0.006 0.8 50 C q q (función de costo marginal)

Entonces, el costo marginal luego de producir 40 unidades es:

'(40) 9.6 32 50 $27,60C aproximadamente por la unidad adicional

producida; es decir por la unidad 41.

Función de ingreso total.

La función de ingreso total para un fabricante, esta dada por la ecuación ( )r f q pq

que establece el valor total recibido al vender q unidades de un producto cuando el precio

por unidad es p .

Función de ingreso marginal.

El ingreso marginal se define como la razón de cambio del valor total recibido, con respecto al

número total de unidades vendidas. Por consiguiente, el ingreso marginal es solamente la

derivada de r con respecto a q :

Ingreso marginal ' dr

rdq

El ingreso marginal indica la rapidez con la que el ingreso cambia, respecto a las unidades

vendidas. Lo interpretamos como el ingreso aproximado recibido al vender una unidad adicional

de producción.

Ejemplo 1.

Un fabricante vende un producto a 3 50q dólares/unidad. Determine la ecuación del ingreso

marginal y el ingreso marginal para 100q .

Solución:

El ingreso es r pq , entonces 23 50 3 50 r p q q q q q

Por lo tanto, el ingreso marginal es ' 6 50 r q . Para 100q , el ingreso marginal será:

'(100) $650 por una unidad adicional vendidar .

Interpretación: Por la unidad adicional vendida (la unidad 101), se tiene un incremento en

el ingreso de aproximadamente $ 650.


034

Función Utilidad

La función utilidad total por la producción y venta de q unidades, es la ecuación:

U r C Ingresos - Costos

donde r es el ingreso recibido por vender q unidades y C el costo de producir q

unidades.

Función de utilidad marginal

Es la razón de cambio del valor total de la utilidad obtenida con respecto al número de unidades

producidas y vendidas, es decir, la utilidad aproximada obtenida por la fabricación y venta de

una unidad adicional. Por consiguiente, la utilidad marginal es solamente la derivada de U con

respecto a q :

' ' ' U r C

Ejemplo 1.

La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es 210 0,01 700 p q q y la

función de costo es 21000 0,01 C q . Calcular la función utilidad marginal y también evaluar la

utilidad marginal para 100q unidades.

Solución:

Sabemos que la utilidad está dada por ( ) ( ) ( ) U q r q C q y que el ingreso es r pq . Por lo

tanto despejamos p de la ecuación de la demanda y lo multiplicamos por q para obtener la

función ingreso:

2 2 10 700 0,01 70 0,1 0,001 p q q p q q

2 3 ( ) 70 0,1 0,001 r q pq q q q

2 3 2 3 2( ) 70 0,1 0,001 1000 0,01 0,001 0,11 70 1000U q q q q q q q q

2'( ) 0,003 0.22 70U q q q .

Esta es la función utilidad marginal, para evaluarla en 100q simplemente sustituimos este valor de

q en dicha función. Es decir:

2(100) 0,003(100) 0,22(100) 70 30 22 70 $94U , que es la ganancia aproximada,

por la unidad adicional producida y vendida.


035

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Cuando se deriva una función ( )y f x se obtiene ( )'f x que también es una función. Si se

deriva esta función la nueva función que se obtiene se denomina segunda derivada y se le

denota como ( )''f x . De manera análoga si se deriva la segunda derivada se obtiene otra

función llamada tercera derivada. A las derivadas que se obtienen de esta forma se llaman

derivadas de orden superior.

Las notaciones que se usan para las derivadas de orden superior son:

dy df

dx dxy , primera derivada de la función ( )f x .

2 2

2 2

d y d f

dx dxy , segunda derivada de la función ( )f x .

3 3

3 3

d y d f

dx dxy , tercera derivada de la función ( )f x .

n n

n n

nd y d f

dx dxy , n esima derivada de la función ( )f x .

Ejemplo:

Dada la función: 4 34 3 5 1y x x x , halle ( )'''f x y evalúe en 1x

Solución:

3 216 9 5'y x x 248 18''y x x 96 18'''y x

(1) 96 18 78'''y

EJERCICIOS:

Halle la derivada indicada de las siguientes funciones y, evalúe en el punto correspondiente.

a. 1

4 2y

x

;

2

2

d y

dx ;

0x = 1

b. 5 xy e ; '''y ;

0x = 1/5


036

SEMANA 12

EXTREMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN

MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIÓN

Sea f una función derivable en un intervalo I . Entonces:

f es creciente en I si y solo si ( ) 0 f x x I .

f es decreciente en I si y solo si ( ) 0 f x x I .

Sea f una función con dominio en el intervalo I . Si c I y si ( ) 0 f c o ( ) f c no existe,

entonces el valor de c es un punto critico de f .

Ejemplo 1: Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 2 3( ) 4 2f x x x .

Solución:

La derivada de 2 3( ) 4 2f x x x es ( ) 2 (4 3 )f x x x . La función es creciente en aquellos

intervalos para los cuales ( ) 0f x . Luego f es creciente para todo 0x y 4/3x , es

decir en el intervalo 0, y , 4 / 3 .

f es decreciente si ( ) 0f x , luego es decreciente para todo 0x y 4/3x , o sea en el

intervalo 4 / 3, 0

Ejemplo 2:

Determine los puntos críticos de la función definida por 4/3 1/3( ) 4f x x x .

Solución:

1/3 2/3

2 /3

( 1)4 4 4( ) ( )

3 3 3´ ´

xf x x x f x

x

. Tenemos que ( ) 0´f x en 1x . y la

derivada no existe en 0x . Luego 1 ; 0x son los puntos críticos.

1. En los siguientes ejercicios encontrar los puntos críticos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

a) 3 2( ) 3 1f x x x b)

4 3 2( ) 4 2 12f x x x x x


037

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS

Sea ( )f x una función continua en el intervalo abierto ,a b . Sea c un punto de ,a b .

Tenemos lo siguiente

a) Si,

( ) 0

( ) 0

f x a x c y

f x c x b

en todo punto de

en todo punto de

Entonces ( )f c es un valor máximo relativo de la función.

b) Si,

( ) 0

( ) 0

f x a x c y

f x c x b

en todo punto de

en todo punto de

Entonces ( )f c es un valor mínimo relativo de la función.

REGLA PARA DETERMINAR LOS EXTREMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN

Para determinar los extremos relativos de la función ( )f x se procede de la siguiente manera:

1. Se halla ( )´f x .

2. Se encuentran los puntos críticos de la función, o sea aquellos puntos tales que

( ) 0 ´ ( )´ ´f x o f x no existe.

3. Se aplica el criterio de la primera derivada a cada punto crítico.

Ejemplo:

Determinar los máximos o mínimos relativos, de la función 3 2( ) 6 9f x x x x

Aplicamos la regla dada:

1˚ . Derivada de la función: ( ) 3( 3)( 1)f x x x .

2˚ . Puntos críticos: 1, 3x ambos anulan a la derivada.

3˚ . Si, 1 3x entonces ( ) 0f x , y si 3, ( ) 0x f x ; luego en 3x la función tiene

un mínimo relativo.

Si 1x entonces ( ) 0f x , y si 1 3x , entonces ( ) 0f x , luego en 1x la

función tiene un máximo relativo.


038

SEMANA 13

EXTREMOS ABSOLUTOS

MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN

Si una función f es continua en un intervalo cerrado ba, se puede demostrar que entre

todos los valores de x de la función ( )f x en ba, , debe existir un valor máximo

(absoluto) y un valor mínimo (absoluto) a estos valores se les llama valores extremos.

Teorema del valor extremo

Si la función f es continua en el intervalo cerrado ba, , entonces f tiene un valor

máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en ba,

Regla Practica: Para la determinación de los extremos absolutos de una función continua en

un intervalo cerrado

1) Determinación de los valores de la función en los puntos críticos de f en ba,

2) Determinación de los valores de ( ) ( )f a y f b .

3) El mayor valor determinado en los pasos 1) y 2) será el valor máximo absoluto, y el menor

valor determinado en los pasos 1) y 2), será el mínimo absoluto.

Ejemplo 1

Hallar los valores máximo y mínimo absolutos de la función 3 2( ) 3 9f x x x x definida en el

intervalo 4, 4

Solución:

Como f es continua en el intervalo dado, la existencia de máximo y mínimo absoluto está

garantizada por el teorema del valor extremo. Para determinarlos, se aplica la regla práctica

dada.

Obtenemos los puntos críticos por medio de la derivada.

( ) 3( 1)( 3) 0 3,1'f x x x x .

Luego, evaluando en los puntos críticos y en los extremos se tiene:

( 3) 27 ; (1) 5 ; ( 4) 20 ; (4) 68f f f f , entonces:


039

En 4x se produce un máximo absoluto en 4, 4 , que es (4) 68f .

En 1x se produce un mínimo absoluto en 4, 4 , que es (1) 5f .

Ejemplo 2

Determine, si existen los extremos absolutos (máximo y mínimo) de la función: 4 2

8 16( )f x x x en el intervalo 3, 2

Solución:

Como f es continua en el intervalo dado, la existencia de máximo y mínimo absoluto está

garantizada por el teorema del valor extremo. Para determinarlos, se aplica la regla práctica

dada.

Obtenemos los puntos críticos por medio de la derivada.

' 3( ) 4 16 0

( 2)( - 2) 2,0,2

f x x x

x x x x

Luego, evaluando en los puntos críticos y en los extremos se tiene:

( 3) 25 ; (2) 0 ; (0) 16 ; ( 2) 0f f f f , entonces:

Máximo absoluto de f en 3, 2 , es ( 3) 25f

Mínimo absoluto de f en 3, 2 , es ( 2) (2) 0f f

Ejemplo 3.

Determine, si existen los extremos absolutos de la función:

23( ) 1 ( 3)f x x en el

intervalo 5, 4

Solución:

La continuidad de f en el intervalo 5, 4,

garantiza la existencia de extremos absolutos de

f en dicho intervalo.

Se debe determinar primero los puntos críticos por medio de la derivada.

1/3

2'( )

3( 3)f x

x

El único punto crítico de es 3x donde la derivada no existe. (Note que ' 0f x , no tiene

solución).


040

Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores:

( 5) 3 ; (4) 0 ; (3) 1 ; f f f entonces:

Máximo absoluto de f en 5, 4 , es (3) 1f

Mínimo absoluto de f en 5, 4 , es ( 5) 3f

EJERCICIOS:

1.- Hallar los máximos absolutos y mínimos absolutos de cada función en el intervalo indicado.

a) 3

( ) 1 , 4, 43

xf x x b)

4 2

( ) 3 , 4, 44 2

x xf x

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS

Si ( )y f x es una función, y los puntos en donde la segunda derivada se anulan se denomina

puntos de inflexión, es decir en 0x se tiene un punto de inflexión si 0( ) 0f x .

Si 1x es punto crítico es decir 1( ) 0f x ó no existe 1( ) 0f x .

Si, ( ) 0f x , entonces existe mínimo en 1x x

Si ( ) 0f x , entonces existe máximo en 1x x

Si, ( ) 0f x , , ( )x a b f x es cóncava hacia arriba.

Si, ( ) 0f x , , ( )x a b f x es cóncava hacia abajo.

Una función es cóncava en un intervalo si las rectas tangentes a la función en ese intervalo

están por debajo de la función. Una función es convexa en un intervalo si las rectas tangentes a

la función de ese intervalo están por encima.

La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte para

considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba" o "desde

abajo". Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones cóncava hacia

arriba y cóncava hacia abajo para evitar las ambigüedades.

Los puntos donde la función cambia de curvatura se llaman puntos de inflexión.


041

Según este criterio tendremos:

Signo de ( ) ( )f x y f x Propiedades de la gráfica

de f Forma de la gráfica

( ) 0 ( ) 0f x y f x Creciente y cóncava hacia arriba

( ) 0 ( ) 0f x y f x Creciente y cóncava hacia abajo

( ) 0 ( ) 0f x y f x Decreciente y cóncava hacia arriba

( ) 0 ( ) 0f x y f x Decreciente y cóncava hacia abajo

Ejemplo:

Sea 4 3 24

( ) 43

f x x x x . Determine los extremos relativos de ( )f x aplicando el criterio de

la segunda derivada, los puntos de inflexión (si los hay) y las concavidades. Utilice esta

información para dibujar la gráfica de ( )f x .

Solución:

1° Obtenemos los puntos críticos:

3 2( ) 4 4 8f x x x x , ( ) 0f x , luego 4 ( 2)( 1) 0 x x x

Los únicos puntos críticos son: 2, 0, 1x x x

2° Los intervalos de crecimiento o decrecimiento de acuerdo al criterio de la primera derivada

son:

Crecimiento: 2,0 1,

Decrecimiento: , 2 0,1

Máximo relativo en: (0) 0f y Mínimo relativo en: 32 5

( 2) (1)3 3

f y f

3° Obtenemos la segunda derivada: 2( ) 12 8 8f x x x

( ) 0f x

2212 8 8 0 3 2 1 0 (3 1) ( 1) 0 x x x x x x

Luego los puntos de inflexión son: 1 y 1/ 3x x


042

x

y

4° Con el criterio de la segunda derivada tenemos:

( 2) 0f cóncava hacia arriba, tenemos un mínimo.

(0) 0f cóncava hacia abajo, tenemos un máximo.

(1) 0f cóncava hacia arriba, tenemos un mínimo.

Ejemplo 2:

Sea 3( ) 3f x x x determine los puntos máximos y mínimos relativos de ( )f x aplicando el

criterio de la segunda derivada, los puntos de inflexión (si lo hay) y las concavidades. Utilice

esta información para dibujar la gráfica de ( )f x .

Solución:

1° Obtenemos los puntos críticos:

2( ) 3 3f x x , ( ) 0f x , luego 3( 1)( 1) 0 x x

Los únicos puntos críticos son: 1, 1x x

2° Los intervalos de crecimiento o decrecimiento de acuerdo al criterio de la primera derivada

son:

Crecimiento: , 1 1,

Decrecimiento: 1, 1

Máximo relativo en: ( 1) 2f y Mínimo relativo en: (1) 2f


043

3° Obtenemos la segunda derivada: ( ) 6f x x ( ) 0f x 6 0 0 x x

Luego el punto de inflexión es: 0x

4° Con el criterio de la segunda derivada tenemos:

( 1) 0f cóncava hacia abajo, tenemos un máximo.

(1) 0f cóncava hacia arriba, tenemos un mínimo.

Con esta información podemos realizar la gráfica:

EJERCICIOS

1. Determine para cada una de las siguientes funciones, los puntos máximos y mínimos

relativos, los puntos de inflexión (si lo hay) y las concavidades. Trace la curva que

representa a cada función.

a) 3( ) 12 4 4f x x x b)

4( ) 32 48f x x x

c) 3 22

( ) 4 6 23

f x x x x d) 5( ) 6f x x

e) 4 3 24

( ) 43

f x x x x f) 4 2( ) (1/ 8)( 8 )f x x x


044

APLICACIONES DE MAXIMOS Y MINIMOS

MAXIMIZACIÓN DEL INGRESO

Ejemplo:

La ecuación de demanda para el producto de un fabricante es: 80

, 0 q 804

qp

,

donde q es el número de unidades y p el precio por unidad, en dólares. ¿Para qué valor de q

se tendrá un ingreso máximo?. ¿Cuál es el ingreso máximo?.

Solución:

Sea r el ingreso total, el cual es la cantidad por maximizar. Como:

Ingreso = (precio) (cantidad), tenemos: r pq 280 80

,4 4

q q qq

donde .800 q

Haciendo 0dr

dq , obtenemos: r

80 20,

4

qdr

dq

80 2 0q ; 40q

Luego: (10)r 80 20

154

(50)r

80 1005

4

Examinando la primera derivada para 0 40q tenemos / 0dr dq , por lo que r es

creciente. Si 40q , entonces / 0dr dq , por lo que r es decreciente. A consecuencia de

que a la izquierda de 40 tenemos que r es creciente y a la derecha de r es decreciente,

concluimos que 40q da el ingreso máximo absoluto, esto es,

280

4

q qr

280(40) (40)400

(40) 4r

+ -

0 10 40 50 80


045

MINIMIZACIÓN DEL COSTO PROMEDIO

Ejemplo:

La función de costo total de un fabricante está dada por : 2

3 4004

qC q , donde C es el

costo total de producir q unidades. Si C está en dólares, ¿Para qué nivel de producción será el

costo promedio un mínimo? ¿Cuál es este mínimo?.

Solución:

La función a minimizar es el costo promedio C . La función de costo promedio es:

C

2

3 4004004

34

qq

qC

q q q

Aquí q debe ser positiva. Para minimizar C , diferenciamos:

C 2

2 2

16001 400

4 4

qd C

dq q q

para obtener los valores críticos, resolvemos 0d C

dq 2 1600 0,q

luego: ( 40)( 40) 0q q . 40q (ya que 0q ).

C 2

2

1600

4

q

q

(10)C

2

2

(10) (1600) 15

4(10) 4

(50)C 2

2

(50) 1600 9

4(50) 100

Entonces, como 0 40q es decreciente, 40q es crecientes en 40q hay un

mínimo absoluto.

10 40 50

_ +


046

Maximización del número de beneficiarios de los servicios de salud

Ejemplo 3:

Un artículo en una revista de sociología afirma que si ahora se iniciase un programa específico

de servicios de salud, entonces al cabo de t años, n miles de personas adultas recibiría

beneficios directos, donde: 3

26 323

tn t t ; 12. t 0

¿Para qué valor de t es máximo el número de beneficiarios?

Solución:

haciendo 0dn

dt , tenemos: 2 12 32 0

dnn t t

dt

( 4)( 8) 0t t entonces: 4t ; 8t

Como el dominio de n es el intervalo cerrado 0,12 , el valor máximo absoluto se obtiene

evaluando en los puntos críticos y en los extremos de dicho intervalo:

Si, 0t , entonces 0n ,

Si, 4t , entonces 160

3n

Si, 8t , entonces 128

3n

Si, 12t , entonces 96n .

, así se tiene un máximo absoluto en 12t .

ADVERTENCIA:

El ejemplo anterior ilustra que no se debe ignorar los extremos cuando se determinan extremos

absolutos en un intervalo cerrado.

3

26 32 0,123

tn t t en

t

96

4 8 12

326 32

3

tn t t

n


047

MAXIMIZACIÓN DE UTILIDADES

Ejemplo 4:

Una pequeña empresa manufacturera puede vender todos los artículos que produce a un precio

de $ 6 cada uno. El costo de producir x artículos a la semana (en dólares) es:

2 -6 3 = 1000 + 6 0.003 + 10C x x x x ¿Qué valor de x debemos seleccionar con el objeto de

maximizar las utilidades?

Solución:

El ingreso producido por la venta de x artículos a $ 6 cada uno es = 6 R x x dólares. Por

consiguiente, la utilidad por semana es:

= - U x R x C x

2 -6 3= 6 1000 + 6 0.003 + 10U x x x x x

2 -6 31000 + 0.003 - 10U x x x

A fin de encontrar el valor máximo de la utilidad, buscamos los puntos críticos en la forma usual

y luego investigamos su naturaleza. Derivando obtenemos:

-6 2 = 0.006 3 . 10U x x x y haciendo = 0U x , encontramos que 0 ó 2000x x

Así que 0 x es un mínimo local de U x , mientras que 2000x es un máximo local.

Este último valor representa el nivel de producción en que la utilidad es máxima.

La utilidad está dada por

2 3-62000 1000 + 0.003 2000 - 10 2000 = 3000U o $ 3000 por semana.


048

PUBLICIDAD Y GANANCIAS

Ejemplo 6:

Una compañía obtiene una utilidad de $ 5 por cada artículo del producto que vende. Si gasta A

dólares por semana en publicidad, el número de artículos que vende por semana está dado por

2000 1 kAx e en donde 0.001k .

Determine el valor de A que maximiza la utilidad neta.

Solución:

La utilidad bruta por la venta de x artículos es de 5x dólares, y de ésta restamos el costo de la

publicidad. Esto nos deja una utilidad neta dada por

5 10 000 1 kAU x A e A

(1)

Derivamos con la finalidad de encontrar el valor máximo de la utilidad.

= 10 000 1 = 10 1kA kAU x ke e . Haciendo esto igual a cero, obtenemos

10 = 1 o bien 10kA kAe e y tomando logaritmos naturales, resulta que ln 10 = 2.30kA en

consecuencia:

2,30 2,30

2 3000,001

Ak

La cantidad óptima que debe gastarse en publicidad es en consecuencia de $ 2 300 por

semana.. La utilidad máxima se encuentra sustituyendo este valor de A en la ecuación: (1). Ya

que 1

10

kAe , se sigue que la utilidad semanal máxima es:

1Um x = 10 000(1 - ) 2 300 6 700 dolares

10á


049

SEMANA 14

LA INTEGRAL INDEFINIDA

ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN

DEFINICIÓN: La función :F I es una antiderivada o primitiva de una función

:f I si y sólo si: ( ) ( ), [ , ]F x f x x I a b

Si ( )F x k , es la familia de antiderivadas de ( )f x .

DEFINICIÓN: Si ( )F x es una antiderivada de ( )f x sobre un intervalo [ , ]I a b , es decir,

( ) ( )´F x f x , entonces:

( ) ( )G x F x k se demostrará por:

( ) ( ) ( )G x f x dx F x k , x I

Llamaremos integral indefinida de ( )f x

Al término ( )f x se le llama integrando

PROPIEDADES BÁSICAS DE LA INTEGRACIÓN

1. dx x k 3. ( ) ( )cf x dx c f x dx

2.

1

1

nn x

x dxn

k

; 1n 4. ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

Donde k se le llama constante de integración.


050

Ejemplos

I. Halle la antiderivada de las siguientes funciones:

a) 265)( 23 xxxf

Solución :

3 2 3 2(5 6 2) 5 6 2dxI x x dx x x dx dx

3 1 2 13 2 5 6

5 6 2 23 1 2 1

x xI x dx x dx dx x k

4 352 2

4I x x x k

II. Encuentre ( )f x , sujeta a las condiciones iniciales dadas:

a) ( ) 5 4 , (2) 3 / 4f x x f

Solución :

( ) ( )( ) 5 4

df x df xf x x

dx dx ( ) 5 4f x x dx dx

254

2

xx k

25( ) 4

2 ;

xf x x k

3(2)

4f

2

3

4

x

y

23 5 5(2) 4(2)

4 2 4= k k

25 5 ( ) 4

2 4f x x x

IV. APLICACIONES

a) Un fabricante ha determinado que la función de costo marginal es

20,6 0,8 9,5dC

q qdq

y el costo fijo es de $ 1 800, donde es el número de

unidades producidas. Halle el costo promedio cuando se producen 200 unidades.


051

Solución:

2 20, 6 0,8 9,5 (0, 6 0,8 9,5)

dCq q dC q q dq

dq

Integrando:

2 3 2 (0, 6 0,8 9,5) 0, 2 0, 4 9,5 C q q dq C q q q k

Hallando la constante de integración

De CT CV CF si no hay producción ( 0q ) , entonces el costo total es igual al

costo fijo, luego: 3 2 1800 0, 2(0) 0, 4(0) 9,5(0)C CF k

1800 k

La función de costo es: 3 2 0, 2 0, 4 9,5 1800C q q q

Hallando el costo promedio: 2 1800 0, 2 0, 4 9,5

CC q q

q q

Evaluando en 200: (200)C 2 1800 0, 2(200) 0, 4(200) 9,5 7938,5

200

Cuando se producen 200 unidades el costo promedio es de $ 7938,5.

b) Para el producto de un fabricante, la función de costo marginal es: 24( 5) 8

dCq q

dq .

Si el costo de producir 12 unidades es de $ 738, donde q es el número de unidades

producidas, determine el costo promedio de producir 30 unidades.

Solución:

2 24( 5) 8 (4 20 8 )

dCq q dC q q dq

dq

Integrando:

Hallando la constante de integración:

Del dato: 12q

32

4(12) 738 20(12) 4(12)

3C k 750 k

La función de costo es:

2 (0, 6 0,8 9,5) dC q q dq

32 2

4 (4 20 8 ) 20 4

3

qC q q dq C q q k

32

4 20 4 750

3

qC q q


052

La función de costo promedio es:

El costo promedio cuando se producen 30 unidades es:

c) Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal es

29 200dr

q qdq

, donde es el número de unidades producidas. Determine el ingreso

cuando se producen y venden 50 unidades.

Solución:

2 29 200 (9 200 )dr

q q dr q q dqdq

Integrando: 2 3 2 (9 200 ) 3 100r q q dq q q k


De: r pq , si 0 0q r

3 2 0 3(0) 100(0) 0r k k

Entonces la función de ingreso es: 3 2 3 100r q q

El ingreso cuando de producen y venden 50 unidades es:

3 2 (50) 3(50) 100(50) $ 125000r

d) Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal es 2 400dr

qdq

,

donde es el número de unidades producidas. Halle el precio cuando se demandan

120 unidades, si cuando se producen 30 artículos el ingreso es de $ 4 200.

24 750 20 4

3

C qC q

q q

24(30) 750 (30) 20 4(30) $ 1035

3 30C


053

Solución:

2 2 2400 ( 400) ( 400) dr

q dr q dq dr q dqdq

Integrando:


Del dato: si 30q entonces 4200r , luego:

3(30) 4200 400(30)

3r k

Efectuando operaciones se tiene que:

La función de ingreso es:

3

400 72003

qr q

La función de demanda es: 2 7200

4003

qr pq p

q

El precio cuando se demanda 120 unidades es:

2(120) 7200 (120) 400 $ 4460

3 120P

32 ( 400) 400

3

qr q dq r q k

7200 k


054

SEMANA 15

TÉCNICAS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN

FORMULAS DE INTEGRACION

1. lndx

xx

k 4.

1( )

( ) ( )1

nf xn

f x f x dxn

k

2. ( ) ( )

( )f x f x

f x dx ke e 5. ( )

ln ( )( )

f xdx f x

f xk

3.

( )( )

( )ln

f xf x

f x dxa

ka

a

Calcular las integrales siguientes:

1) 4 1

1

xdx

x

2) ln(ln )

ln

xdx

x x 3) 2

x x

dxx

e e

e

4) 3 2

16 4

4 2 5

xdx

x x

5)

22 ln( 1)

2 1

xx

dxx

e

6)

3 1 ln xdx

x

APLICACIONES

1. Si el ingreso marginal en miles de dólares en la producción de “ q ” unidades de un producto

viene dado por 2

( )9

qr q

q

y el ingreso es nulo a un nivel de producción cero.

Determine la función de ingreso ( )r q y calcule dicho ingreso para un nivel de producción de

100 unidades.

2. La utilidad marginal diaria de una empresa está dada por 2

( ) 2900

xU x

x

. Si la

empresa pierde $130 por día cuando solo vende 40 unidades por día, determina la función

de utilidad de esta empresa.


055

SEMANA 16

INTEGRAL DEFINIDA. PROPIEDADES

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Sea ( )f x una función continua, entonces:

P1. ( )b

a

c dx c b a , donde c es una constante

P2. ( ) ( ) b b

a a

cf x c f x dx , donde c es un número real arbitrario

P3. ( ) ( ) ( ) ( ) b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx

P4. Si a c b , se cumple: ( ) ( ) ( ) b c b

a a cf x dx f x dx f x dx

P5. Si c d , entonces ( ) ( ) d c

c df x dx f x dx

P6. ( ) 0 a

af x dx

P7. Si ( ) 0f x para todo x en ,a b , entonces ( ) 0 b

af x dx

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Sea f una función continua en un intervalo cerrado ,a b :

Parte I: Si la función G está definida por ( ) ( ) b

aG x f t dt , para todo x en ,a b

entonces si ( )f x es continua , ( )G x es diferenciable sobre ,a b y se cumple que:

( ) ( )G x f x , es decir ( ) ( )b

a

df t dt f x

dt .

Parte II: Si F es cualquier antiderivada de f ó llamada también primitiva de f en ,a b ,

entonces: ( ) ( ) ( )b

af x dx F b F a

MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2013 - II

056

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

La integral definida es ampliamente aplicada en la economía. Esto se observa cuando se tiene

como información la razón con la que varían los ingresos y los costos según la producción

(ingresos y costos marginales, respectivamente) y si se quisiera encontrar las funciones de

ingreso y costo. Asimismo, la integral definida puede aplicarse al cálculo de utilidades netas,

depreciación de maquinarias, excedencia del consumidor o del productor, etc. Veamos algunos

casos.

APLICACIONES

1. La tonelada de un mineral cuesta $ 46. Los estudios indican que dentro de “ x ” semanas, el

precio estará cambiando a una razón de cambio dada por la siguiente fórmula:

20,09 0,0006d P

xd x

, donde P es el precio.

a) ¿Cuánto costará la tonelada de este mineral dentro de 10 semanas?

b) ¿Se debe vender todo el mineral posible ahora o se debe de esperar dentro de 10

semanas?

Solución:

Como 2 2 0,09 0,0006 (0,09 0,0006 )

d Px dP x dx

d x

Integrando: 10 10

2 3

00 0,09 0,0006 0,09 0,0002 dP x dx x x

El precio dentro de 10 semanas será:

103

046 0,09 0,0002P x x

Entonces: 46 1,1 47,1P .

a) Dentro de diez semanas la tonelada costará 47,1 dólares.

b) Se debe de esperar 10 semanas para vender todo el mineral posible.

2. Para cierto fabricante la función de ingreso marginal es 2( ) ( 3 60 )R x x x . Calcula

el incremento en el ingreso, cuando la demanda aumenta de 15 a 20 unidades, si el

ingreso esta en dólares.


057

Solución:

Al integrar la función de ingreso marginal se obtiene la función de ingreso y al evaluarla

se tiene el incremento, entonces:

2 2( 3 60 ) ( 3 60 ) dR

x x dR x x dxdx

Integrando: 2020 3 2 20

2 3 21515 15

3 603 60 30

3 2

x xR x x dx x x

3 2 3 2(20) 30(20) (15) 30(15) 8000 12000 3375 6750 625R

El incremento en el ingreso cuando la demanda varia de 15 a 20 unidades, es de 625

dólares.

3. Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a razón de

21 50R x x dólares al año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón

2 ( ) 200 5R x x dólares por año.

¿Durante cuantos años el segundo plan será más rentable?.

Solución:

El segundo plan será mas rentable hasta que las funciones de ambos planes sean iguales:

1 2R x R x , entonces se tiene:

2 2 250 200 5 5 150 0x x x x

( 10)( 15) 0x x

1 1 10 ; 15x x

El segundo plan es mas rentable durante 15 años.

4. Suponga que cuando tiene x años, cierta maquina industrial genera ingresos a razón de 2( ) 5000 20R x x dólares por año y costos que se acumulan a razón de

2( ) 2000 10C x x dólares por año.

a) ¿Durante cuantos años es rentable el uso de la maquinaria?

b) ¿Cuales son las ganancias netas generadas por la maquina durante el periodo

obtenido en la parte a)?


058

Solución:

a) El uso de la maquinaria será rentable mientras que el ritmo al que se generan los

ingresos sea superior al que se generan los costos. Es decir, hasta que ( ) ( )R x C x ,

entonces:

2 2 25000 20 2000 10 100 0x x x

( 10)( 10) 0x x

1 1 10 ; 10x x

El uso de la maquinaria es rentable durante 10 años.

b) Dado que la ganancia neta generada por una maquinaria, durante cierto período de

tiempo, está dada por la diferencia entre el ingreso total generado por la misma y su

costo total de operación y mantenimiento, se puede determinar esta ganancia por la

integral definida:

10 10

2 2 2

0 05000 20 2000 10 3000 30GN x x dx x dx

10

3 30

3000 30 3000(10) (10) 29000x x

Las ganancias netas ascienden a 29 000 dólares.

EJERCICIOS

1. La Empresa Pacific Rubiales vende el barril de petróleo a $ 105,6. Los estudios de

mercado indican que dentro de “ x ” meses, el precio del barril estará cambiando a una

razón dada por la siguiente función: 20, 0084 0, 012dP

x xdx

, donde P es el precio.

a) Halle el precio del barril de petróleo dentro de dos meses.

b) ¿La Empresa debe vender todo el petróleo posible ahora o debe de esperar dentro de

tres meses?.

2. El costo marginal en una empresa está dado por 0 ,02'( ) 1,2 xC x e . Hallar el incremento

en los costos totales, si la producción aumenta de 80 a 110 unidades.

3. Una fábrica determina que su ingreso marginal está dado por: 2 2500

dr q

dq q

.

Halle el ingreso cuando la venta aumenta de 0 a 120 productos.


059

4. Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a la razón de 0,12

1 ( ) 60 xR x e dólares al año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón de

0,082 ( ) 160 xR x e dólares por año.

¿Durante cuantos años el segundo plan será el más rentable?.

5. Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a la razón de 2( ) 6025 10R x x dólares al año y origina costos que se acumulan a la razón de

2( ) 4000 15C x x dólares por año.

¿Durante cuantos años el segundo plan será el más rentable?.

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I Ciclo Semestre 2017 I - USMP€¦ · MATEMÁTICA II SEMESTRE ACADÉMICO 2017 -I 03 Matriz Escalar: Es una matriz diagonal, donde todas las entradas que pertenecen a la diagonal