CONTEO

En el estudio de “lo que es posible” hay esencialmente dos tipos de proble-mas. Existe el problema de hacer una lista de todo lo que puede suceder en una si-tuación determinada y se tiene el problema de determinar cuántas cosas diferentes pueden suceder (sin que en realidad se haga una lista completa). El segundo tipo de problema es de especial importancia porque hay muchas situaciones en que no nece-sitamos una lista completa y, por tanto, podemos ahorrarnos una gran cantidad de trabajo. Aunque el primer tipo de problema puede parecer directo y sencillo, el ejemplo siguiente ilustra que éste no siempre es el caso:

Ejemplo 1: Un organismo gubernamental está comprometido a comprar tres vehículos a un distribuidor local de automóviles. Cada uno de estos vehículos puede ser jeep, camioneta pick-up, minivan o cualquier otro tipo de vehículo. Menciona las diferentes maneras en que se pueden hacer las compras.

Solución: Hay muchas posibilidades. Los tres vehículos pueden ser jeeps; dos pueden ser jeeps y uno puede ser minvan; pueden comprarse dos camionetas pi-ck-up y una minvan; y así, sucesivamente. Si contamos de esta manera, es posible que omitamos algunas posibilidades.

Diagrama de árbol

El problema se puede manejar sistemáticamente trazando un diagrama de árbol co-mo se muestra en la siguiente figura.

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Este diagrama muestra que hay 4 posibilidades (ramas) correspondientes a 0, 1, 2 ó 3 de los vehículos siendo jeeps. Para las camionetas pick-ups hay 4 ramas derivadas de la rama principal (0 jeeps), 3 ramas derivadas de la rama siguiente (1 jeep), 2 ra-mas derivadas de la rama siguiente (2 jeeps) y sólo una rama derivada de la rama in-ferior. Para el número de minivans, el razonamiento es similar. Se puede apreciar que veinte ramas terminan el lado derecho de la figura anterior. En otras palabras, hay un total de 20 posibilidades.

Ejemplo 2: En un estudio médico, se clasifica a los pacientes de acuerdo con el tipo de sangre (A, B, AB u O) y también de acuerdo con su tipo de presión sanguínea (baja, normal, alta). ¿De cuántas maneras distintas se puede clasificar a un paciente?

Solución:

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Con base en el diagrama de la figura anterior se puede apreciar que la respuesta es 12. Comenzando por la parte superior, el primer camino a lo largo de las “ramas” corresponde a un paciente con tipo de sangre A y presión sanguínea baja; el segun-do camino corresponde a un paciente con tipo de sangre A y presión sanguínea normal, … y el decimosegundo camino corresponde a un paciente con tipo de san-gre O y una presión sanguínea alta.

Multiplicación de opciones

La respuesta obtenida en el ejemplo 2 es , específicamente, el pro-ducto del número de tipos sanguíneos y el número de niveles de presión sanguínea. Generalizando a partir de este ejemplo se puede establecer la regla siguiente:

“Si una selección consta de pasos, de los cuales el primero se puede efectuar en formas, para las cuales el segundo paso puede realizarse de maneras, …, y

para cada de éstas el paso puede realizarse de formas, entonces la selec-ción completa puede realizarse de formas diferentes. ”

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Ejemplo 3: ¿De cuántas maneras diferentes se puede arreglar uno de los viajes es-peciales de fin de semana a 12 ciudades distintas, por avión, tren o autobús, que ofrece una agencia de viajes?

Solución: Dado que y hay maneras distintas en que se puede arreglar uno de dichos viajes.

Ejemplo 4: Una cafetería ofrece una comida especial que consiste en un empareda-do (usando una de ocho carnes distintas y uno de cuatro tipos diferentes de pan), una de cuatro clases distintas de sopa y una de tres bebidas diferentes. ¿De cuántas maneras distintas una persona puede seleccionar una de estas comidas especiales?

Solución: Dado que , , y , hay maneras en que se puede seleccionar una comida especial.

Ejemplo 5: Una prueba consta de 15 preguntas de opción múltiple, de las cuales ca-da una tiene cuatro respuestas posibles. ¿De cuántas maneras distintas puede un es-tudiante marcar una respuesta para cada pregunta (suponiendo que no estudió y que no tiene idea del tema)?

Solución: Puesto que , hay diferentes ma-neras en que un estudiante puede marcar una respuesta para cada pregunta. Nótese que sólo en una de las 1,073’741,824 posibilidades todas las respuestas son correc-tas y en todas las respuestas son incorrectas.

Permutaciones

La regla para la multiplicación de opciones a menudo se usa cuando se hacen varias selecciones desde uno y el mismo conjunto y nos interesa el orden en que és-tas se hacen.

Ejemplo 6: Si veinte pinturas participan en una exposición de arte, ¿de cuántas ma-neras distintas los jueces pueden otorgar un primero y un segundo premios?

Solución: Ya que se puede otorgar el primer premio de maneras y el segun-do de maneras, hay un total de maneras en que los jueces pue-den otorgar los dos premios.

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Ejemplo 7: ¿De cuántas maneras distintas los 52 miembros de un sindicato pueden elegir un director, un subdirector, un secretario y un tesorero?

Solución: Dado que y (sin importar al funcionario que se elija en primero, segundo, tercero o cuarto lugar), hay un total de

posibilidades distintas.

En general, si se seleccionan objetos de un conjunto de objetos distintos, cual-quier arreglo (orden) de estos objetos se conoce como una permutación. Por ejem-plo: {4, 1, 2, 3} es una permutación de los primeros cuatro enteros positivos; {Mai-ne, Vermont, Connecticut} es una permutación (un orden particular) de tres de los seis estados de Nueva Inglaterra y {Medias Rojas, Tigres, Indios, Orioles} y {Azu-lejos, Medias Rojas, Yankees, Tigres} son dos permutaciones distintas (órdenes) de cuatro de los siete equipos de béisbol de la División Este de la Liga Americana.

Ejemplo 8: Determina el número de permutaciones diferentes de dos de las cinco vocales y haz una lista de todas éstas.

Solución: Dado que hay permutaciones distintas. Éstas son:

ae, ai, ao, au, ea, ei, eo, eu, ia, ie, io, iu, oa, oe, oi, ou, ua, ue, ui, uo.

La fórmula matemática para el cálculo de las permutaciones es:

Ejemplo 9: Encuentra el número de permutaciones de cuatro objetos seleccionados de un conjunto de 12 objetos distintos (digamos, el número de maneras en que cua-tro de doce equipos de basketbol se pueden clasificar en primero, segundo, tercero y cuarto lugar por un equipo de entrenadores).

Solución: Para y tenemos que

.

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Problema 10: ¿De cuántas maneras distintas se pueden asignar a diez profesores las diez secciones de un curso de Economía?

Solución: , por lo tanto, .

A lo largo de este análisis se ha supuesto que los objetos son distintos. Cuando és-te no es el caso, se puede hacer una modificación a la fórmula, pero no será tratada en este curso, por su grado de complejidad.

Combinaciones

Hay muchos problemas en los que se quiere conocer el número de maneras en que se pueden seleccionar objetos de un conjunto de objetos, pero no interesa el orden en que se hace esta selección. Por ejemplo, queremos saber de cuántas ma-neras se puede seleccionar un comité de cuatro de entre 45 miembros de la fraterni-dad de una universidad o el número de maneras en que el IRS (Internal Revenue Service) puede seleccionar cinco de treinta y seis rentas tributarias para una audito-ría especial.

Para derivar una fórmula que se aplique a un problema como éstos, primero analicemos las 24 permutaciones siguientes de tres de las cuatro primeras letras del alfabeto:

abc, acb, bac, bca, cab, cbaabd, adb, bad, bda, dab, dbaacd, adc, cad, cda, dac, dcabcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb

Si NO nos interesa el orden en que se seleccionan las tres letras de entre las cuatro letras a, b, c y d, solo hay cuatro maneras en que se puede hacer la selección: abc, abd, acd y bcd. Nótese que estos son los grupos de letras que aparecen en la primera columna de la tabla y que cada renglón contiene las permutaciones de las tres letras de la primera columna.

En general, hay permutaciones de objetos distintos, de manera que permutaciones de objetos seleccionados de entre objetos distintos con-tienen cada grupo de objetos veces. En nuestro ejemplo, las permuta-ciones de tres letras seleccionadas de entre las primeras cuatro letras del alfabeto contiene cada grupo de tres letras veces. De ahí que, para obtener una fórmula para el número de maneras en que se pueden seleccionar objetos de un conjunto de objetos distintos sin que su orden tenga importancia, dividimos entre . Refiriéndonos a dicha selección como una combinación de objetos to-mados a la vez, expresamos el número de combinaciones como

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Ejemplo 11: ¿De cuántas maneras una persona puede seleccionar tres libros de una lista de ocho best-sellers?

Solución: Ya que aquí se supone que no es importante el orden en que se seleccio-nen los tres libros, sustituimos en la fórmula de combinaciones y ob-

tenemos:

Ejemplo 12: ¿De cuántas maneras distintas un director de un laboratorio de investi-gación puede seleccionar a dos químicos de entre siete solicitantes y a tres físicos de entre nueve solicitantes?

Solución: Los dos químicos pueden seleccionarse de maneras y los tres físicos se pueden seleccionar de maneras, de modo que, por la regla de la multiplica-ción de opciones, los cinco elementos se pueden seleccionar de ma-neras.

Ejercicios:

1. En una Serie Mundial de béisbol, el ganador es el primer equipo que gana cuatro jue-gos. Suponga que el campeón de la Liga Americana supera al campeón de la Liga Na-cional por tres juegos a dos. Elabore un diagrama de árbol para mostrar el modo de for-mas en que estos equipos pueden llegar al final de la serie.

2. Una persona que tiene $3 apuesta $1, a la par, en un lanzamiento al aire de una moneda. En tanto que tenga algo de dinero seguirá apostando $1. Elabora un diagrama de árbol para mostrar los diversos eventos que pueden tener lugar en los primeros cuatro lanza-mientos de la moneda. ¿En cuántos de los casos habráa) ganado exactamente $2?b) ganado exactamente $1?c) quedado a mano?d) perdido exactamente $1?e) perdido exactamente $2?

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3. Un estudiante puede estudiar 0, 1 ó 2 horas para una prueba de Estadística en una noche determinada. Elabora un diagrama de árbol para obtener el número de maneras en que el estudiante puede estudiara) un total de cinco horas exactamente en tres noches consecutivas.b) un total de cinco horas, como mínimo, en tres noches consecutivas.

4. En una encuesta de ciencias políticas, se clasifica a los electores en seis categorías de ingreso y cinco categorías de educación. ¿De cuántas maneras distintas se puede clasifi-car a un elector?

5. Una cadena de tiendas de muebles tiene tres almacenes y veinte sucursales de ventas al menudeo. ¿De cuántas maneras diferentes puede embarcar un artículo de uno de los al-macenes a una de las sucursales de minoreo?

6. Un representante de compras hace sus pedidos por teléfono, fax, correo o mensajería. Se solicita que se confirmen sus pedidos sea por teléfono o por fax. ¿De cuántas mane-ras distintas se puede hacer y confirmar uno de sus pedidos?

7. Un psicólogo está preparando palabras sin sentido de tres letras para usar en una prueba de memoria. Selecciona la primera letra de las consonantes k, m, w y z. Selecciona la letra de en medio de las vocales a, i y u. Selecciona la última letra de las consonantes b, d, f, k, m y t.a) ¿Cuántas palabras de tres letras sin sentido diferentes puede estructurar?b) ¿Cuántas de estas palabras sin sentido comenzarán con la letra z?c) ¿Cuántas de estas palabras sin sentido terminarán ya sea con k o m?d) ¿Cuántas de estas palabras sin sentido comenzarán y terminarán con la misma letra?

8. Una prueba de “verdadero-falso” consiste en diez preguntas. ¿De cuántas maneras dife-rentes un estudiante puede marcar una respuesta para cada pregunta?

9. Una pizzería ofrece diez ingredientes adicionales para sus pizzas. El cliente puede orde-nar cualquiera de los diez ingredientes adicionales o ninguno de éstos. ¿Cuántos tipos diferentes de pizza son posibles? (Sugerencia: para cada ingrediente, el cliente debe de-cidir si lo selecciona o no).

10. Una persona que pasa siete noches en Cancún ha obtenido una lista de los ocho me-jores restaurantes italianos y los nueve mejores restaurantes chinos de la ciudad. ¿De cuántas maneras distintas esta persona puede consumir siete cenas en estos restaurantes, suponiendo que quiera probar uno diferente cada noche y que también quiera alternar entre la comida italiana y la china?

11. ¿De cuántas maneras distintas se pueden asignar a once representantes de servicio para cuatro nuevos clientes corporativos, suponiendo que a cada representante de servi-cio se le pueda asignar a lo sumo uno de los clientes corporativos?

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12. Un parque de diversiones tiene 28 recorridos distintos. ¿De cuántas maneras dife-rentes una persona puede tomar cuatro de estos recorridos, suponiendo que el orden es importante y que esta persona no quiera tomar un recorrido más de una vez?

13. Si en una carrera participan nueve caballos, ¿de cuántas maneras distintas pueden terminar en primero, segundo y tercer lugar?

14. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar ocho libros en un librero?

15. La tienda de regalos de un centro turístico tiene 15 postales distintas. ¿De cuántas maneras puede seleccionar una persona cuatro de estas postales como recuerdo?

16. Una pizzería ofrece diez ingredientes adicionales para su pizza. ¿De cuántas mane-ras un cliente puede seleccionar tres ingredientes adicionales para su pizza?

17. Una librería tiene una venta en que un cliente obtiene precio especial si compra cua-tro de los diez best-sellers actuales. ¿De cuántas maneras un cliente puede hacer tal se-lección?

18. Una rejilla de doce huevos contiene un huevo roto. ¿De cuántas maneras una perso-na puede seleccionar tres de estos huevos ya) sacar el huevo roto?b) no sacar el huevo roto?

19. Un paquete de diez baterías tiene dos piezas defectuosas. ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar tres de estas baterías y sacara) ninguna de las baterías defectuosas?b) una de las baterías defectuosas?c) las dos baterías defectuosas?

20. Una tienda de ropa para hombre ofrece ocho clases de suéteres, seis clases de panta-lones y diez clases de camisas. ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar dos prendas de cada clase para una venta especial?

21. Susana es una de siete oficinistas de una empresa pequeña. Se seleccionarán a tres de estos trabajadores para formar parte de un comité.a) ¿De cuántas maneras diferentes se puede seleccionar a tres de estas personas para

formar parte del comité?b) ¿De cuántas maneras diferentes se puede seleccionar a tres de estas personas de mo-

do que Susana no forme parte del comité?c) ¿De cuántas maneras diferentes se puede seleccionar a tres de estas personas de mo-

do que Susana sea una de las elegidas?d) Verifica tus respuestas en los incisos b) y c) sumando el resultado al del inciso a).

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