02Ecuaciones Empiricas.ppt

8/16/2019 02Ecuaciones Empiricas.ppt

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Ecuaciones EmpíricasObjetivos:1.Determinar la ecuación empírica del periododel pendulo simple

2.Desarrollar metodos graficos y analiticos

para obtener informacion del fenomeno enestudio


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Problema científico

olución !ipot"tica

Datos e#perimentales

$n%lisis gr%fico o estadístico

Ecuación Empírica

&y ~ x

y = kx n

y = 0,51x 0.63

nn

yy

xx


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En todo experimento de laboratorio, seobtiene un conjunto de valores

correspondientes a dos variables, unadependiente de la otra. Esta dependenciaentre variables se puede expresar

matem ticamente mediante una !unci"n #uetoma el nombre de ecuación empírica .

'undamento teórico


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$a relaci"n de dependencia #ue existeentre dos cantidades puede ser expresadaen !orma m s es#uem tica y simple,utili%ando una gráfica . &s', es importante(acer notar #ue el estudio de !unciones y)r !icas es el instrumento b sico con el#ue cuenta todo estudiante de ciencias.


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*uando un !en"meno ocurre es +til tomardatos experimentales y elaborar )r !icas yecuaciones matem ticas con el !in derelacionar ma)nitudes #ue intervienen enel !en"meno de una !orma m s precisa


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E()$(*+, E-P /*($

Es una ecuaci"n obtenida a partir del )r !icode un conjunto de valores experimentales dedos variables. $a relaci"n entre las dosvariables se expresa mediante la !unci"nmatem tica

y 0 f x

donde y es la variable dependiente x es la variable independiente .


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-urante un experimento la variableindependiente puede tomar valoresarbitrarios, y el valor de la variabledependiente es observado y medidosubsecuentemente.


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3(ómo proceder para

!acer un buen gr%fico&1. so de papel milimetrado/. uena elecci"n de escalas3. uen aprovec(amiento del espacio disponible

en el papel milimetrado. 2ra%ar una l'nea continua #ue represente la

tendencia de los puntos experimentales5. *omparar la curva obtenida con las curvas

tipo


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4 1 2 5 6 7 8 9 ' ,

64

54

24

14

;r%fica < vs '< m =142

>ariable independiente

> a r i a b l e d e p e n

d i e n

t e

3 i l i m e t r a d o

4 i n s t r u m e n

t o d e m e d i d a 5


10/58

e s c a

l a s 64

54

24

14

4 1 2 5 6 7 8 9 ' ,

Escala de1 cm 0 1 ,


11/58

e s c a

l a s


12/58

e s c a

l a s

4 1 2 5 6 7 8 9 ' ,

Escala de2 cm 0 14 ,

64

54

24

14

$ 4m


13/58

e s c a

l a s

4 1 2 5 6 7 8 = 145 ' ,

Escala de7 cm 0 1 ?g

2.4

1.4 @

4.4

m4k)


14/58

9 @ 8 @

7 @

6 @

5 @

2 @ 1 @

4 @

;rafica A vs <

P e r i o

d o

A 1 s e g u n d o s

2

4 4B14 4B24


15/58

C @

8 @

6 @ 2 @

4 @

;rafica A vs <

P e r

i o d o A

1 s e g u n

d o s

2

4 4B14 4B24 4B54: < metros


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apel milimetrado (ori%ontal

9 @

8 @

7 @ 6 @

5 @

2 @

1 @

4 @

;r%fica A vs <

4 4B14 4B24

P e r

i o d o

A 1 s e g u n

d o s

2

√


17/58

9 @

8 @

7 @ 6 @

5 @

2 @

1 @

4 @

;r%fica λ vs f

4 4B14 4B24

< o n g i t u

d d e o n

d a 1 m e t r o s 2


18/58

9 @

8 @

7 @ 6 @

5 @

2 @

1 @

4 @

;r%fica λ vs f

4 4B14 4B24

< o n g i t u

d d e o n

d a 1 m e t r o s 2

√


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1. /elación lineal y 0 $ F G#y

x

y

x

$ineal )eneral $ineal proporcionaly = & 7 x y = x

()/>$ A*PO


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2. /elación Potencial: y 0 H #n

y

x

y

x

y

x

y = k x n

0 8 n 8 1y = k x n

n 8 0

y = k x n

n 9 1


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5. /elación E#ponencial: y 0 H eI#

y

x

y

xy = k e : ;xy = k e ;x


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/elación lineal y 0 $ F G#

y

x = endiente inclinaci"n de la recta respecto al eje <

&

& = nterceptodistancia entre 0 y el punto de corte *

0

= tan >

*

& = 0*

1

/

>


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25/58

Determinación de constantes: -"todo ;r%fico/elación lineal y 0 $ F G#

y

x

∆ y

∆ x1

/ / = 4x/ , y /

1 = 4x1 , y 1

∆ y = y / A y1∆ x = x / A x1

endiente = =∆ y y / A y1

∆ x x / A x1

&

ntercepto &

0 x1 x/

y1

y /


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,, ' ,' , < m< m '


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3Ku" relación e#iste entre el periodo deun pendulo y su longitud&

$


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El pendulo simple

A 0 H <n

ln A 0 ln H F n ln <

L 0 $ F G Mn 0 G

ln H 0 $ → H 0 e$


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Aabla 1: Periodo A vs longitud <

, < cm t1 s t2 s t5 s t6 s t7 s A s

1 24

2 27

5 54

6 64

7 74

8 84

9 94C C4

J J4

14 144

Σ t i50

Τ =

ti tiempo de 10 oscilaciones


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Aabla 2: ln A vs ln <

, < cm A s


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Aabla 5: -etodo estadisticoM L ML M2 L2

, < cm A s


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Escalas Ntiles

1 cm2 cm

7 cm P a p e l

m i l i m

e t r a

d o

)nidadfísica =14

n

4 1 2 5 674 1 2

4


34/58

Escala 1cm 0 1 ,: :

@ @ @ @ @ @ @ @

4 1 2 5 6 7' ,1 cm


35/58


36/58

4 1 2 5 67 ' ,

@ @@@@

4B8

Escala 1 : 1

Ejercicio de lectura de escala

5BJ7


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4 1 2 =145 ' ,

4B5=145

Escala: 2cm 0 1=145,


1B47=145 2B67=145

4B2 4B6 4B8 4BC


38/58

41444

@ @@@@

124

Escala 7 cm 0 1=145 ,


664 JC4

'uer a ne tons244 644 844C44


39/58

Escala 1 : 7Papel /ealidad

: :

@ @ @ @ @ @ @ @

4 14 24' ,

1=14

2 cm


40/58

Escala 1 : 2Papel /ealidad

: :

@ @ @ @ @ @ @ @

4 14' ,

1=14

7 cm


41/58


42/58

4 1 2 5 6 7 8 9 '

24

17

14

7

4

' ,' , < m< m2.J92.J9 4.1274.1275.9C5.9C 4.1664.166

6.7J6.7J 4.1724.1727.647.64 4.1884.1888.218.21 4.19C4.19C9.459.45 4.1J74.1J7

;r%fica < vs '< m =142

x y


43/58

4 1 2 5 6 7 8 9 ' ,

24

17

14

7

4

' ,' , < m< m2.J92.J9 4.1274.1275.9C5.9C 4.1664.166

6.7J6.7J 4.1724.1727.647.64 4.1884.1888.218.21 4.19C4.19C9.459.45 4.1J74.1J7

;r%fica < vs '< m =142

$ 0 intercepto 0 4.4C m

< 0 19.7 @ J.7

' 0 8 @1 0 7 ,

Pendiente G 0∆ $∆ FG 0 4.418 m ,

< 0 4.4C m

< 0 4.4C F 4.418'

x y


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4 1 2 5 6 7 8 9 ' ,

24

17

14

7

4

' ,' , < m< m2.J92.J9 4.1274.1275.9C5.9C 4.1664.166

6.7J6.7J 4.1724.1727.647.64 4.1884.1888.218.21 4.19C4.19C9.459.45 4.1J74.1J7

;r%fica < vs '< m =142


< 0 19.7 @ J.7

' 0 8 @1 0 7 ,


< 0 4.4C m

< 0 4.4C F 4.418'

x y


45/58

4 1 2 5 6 7 8 9 ' ,

24

17

14

7

4

' ,' , < m< m2.J92.J9 4.1274.1275.9C5.9C 4.1664.166

6.7J6.7J 4.1724.1727.647.64 4.1884.1888.218.21 4.19C4.19C9.459.45 4.1J74.1J7

;r%fica < vs '< m =142


< 0 19.7 @ J.7

' 0 8 @1 0 7 ,


< 0 4.4C m

< 0 4.4C F 4.418'

x y


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4 1 2 5 6 7 8 9 ' ,

24

17

14

7

4

' ,' , < m< m2.J92.J9 4.1274.1275.9C5.9C 4.1664.166

6.7J6.7J 4.1724.1727.647.64 4.1884.1888.218.21 4.19C4.19C9.459.45 4.1J74.1J7

;r%fica < vs '< m =142


< 0 19.7 @ J.7

' 0 8 @1 0 7 ,


< 0 4.4C m

< 0 4.4C F 4.418'

x y


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9 @

8 @

7 @ 6 @

5 @

2 @ 1 @

4 @

;rafica ' vs <

4 4B14 4B24

f u e r E a :

' 1 , e O t o n

2


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9 @

8 @

7 @ 6 @

5 @

2 @ 1 @

4 @

;rafica A vs <

4 4B14 4B24

P e r i o d o

A 1 s e g u n

d o s

2

i li ió d


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Ejemplo Gi el )r !ico de los datos experimentaleses una de las curvas de potencias #ue se muestran

en la Fi)ura /, su ecuaci"n emp'rica tendr la!orma

y = k x n 43

donde H y n son constantes por determinar.


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a Esta ecuaci"n puede ser lineali%ada tomandolo)aritmos a ambos miembros

ln y = ln k 7 n ln x 4

y (aciendo el si)uiente cambio de variables

@ = ln y ; < = ln x; &= ln k ; = n.la ecuaci"n 43 se trans!orma en

@ = & 7 < 45

#ue es la ecuaci"n de una recta y consecuentementeel )r !ico de las nuevas variables Y vs X debe seruna l'nea recta.


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b En el caso #ue se conociera el valor de la

constante n de la ecuaci"n 43 la !orma delineali%ar esta curva es (aciendo el si)uientecambio de variables

@ = y , < = x n , = k

con lo cual la nueva ecuaci"n es el de una recta

del tipo@ = < 46


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Determinación de las constantes de la recta

Método Gráfico

? l i" li l & 7


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?elaci"n lineal y = & 7 xy

x

∆ y

∆ x1

// = 4x/ , y /1 = 4x1 , y 1

∆ y = y / A y1∆ x = x / A x1

endiente = = 4B∆ y y / A y1 ∆ x x / A x1

&

ntercepto &

0 x1 x/

y1

y /


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Determinación de las constantes de la recta

Método EstadísticoEste m"todo consiste en aplicar el m"todo deloscuadrados mínimos para calcular lasconstantes $ y G. Para ello usamos lasfórmulas C y J .

Este m"todo tiene la ventaja de minimi ar loserrores e#perimentales en la determinación de$ y G.


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*ntercepto: $ 0 C #2 y @ # #y

, #2 @ # 2

Pendiente: G 0 J, #y @ # y

, #2 @ # 2

(%lculo del intercepto $ y la pendiente G


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σ = y2

@ G #y @ $ y , 2

D 0 , #2 @ #2

G 0 σ ,

D $ 0 σ #

2

D

(%lculo de los errores absolutos de $ y G

Procesamiento y an%lisis


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Procesamiento y an%lisis

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