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87
7. CONDENSADORES CON DIELÉCTRICO
PROBLEMA 46. Dos condensadores de capacidades iguales se cargan en paralelo a una dife-
rencia de potencial 0V mediante una batería. A continuación se desconecta la batería y se in-
troduce en uno de los condensadores un dieléctrico de constante K que llena totalmente el
espacio entre sus placas.
(a) Calcular la diferencia de potencial final en los condensadores.
(b) Calcular la carga transferida de un condensador a otro.
SOLUCIÓN
(a) Inicialmente ambos condensadores tienen igual capacitancia C e igual diferencia de po-
tencial entre sus placas, por lo tanto ambos condensadores tienen la misma carga 0q CV= .
La carga total de ambos condensadores es 2q y se mantiene constante durante todo el
proceso.
• Antes de introducir el dieléctrico :
.0
2eq
qC C CV
= + =
• Después de introducir el dieléctrico :
.2
eqqC K C C
V= + =
La diferencia de potencial final V en los condensadores se obtiene de la expresión ante-
rior, introduciendo en ella el valor de la carga 0q CV= . El resultado es :
021
VV
K=
+
(b) Sean : lq la carga en el condensador con dieléctrico, y
l lq la carga en el condensador sin dieléctrico .
88 Electromagnetismo Problemas y Soluciones
Por conservación de la carga eléctrica en las placas superiores (e inferiores) conectadas
entre sí, se cumple que :
2l llq q q+ =
Puesto que los condensadores están conectados en paralelo, se cumple que :
l l lq q
K C C= ⇒ l l lq K q= .
Entonces : 2l l l lK q q q+ = ⇒ 21
l l qqK
=+
Además, 221
l l l K qq q qK
= − =+
Puesto que 1K > , se cumple que l l lq q> , es decir, pasa carga del condensador sin
dieléctrico al condensador con dieléctrico.
Carga que pasa al condensador con dieléctrico lq q q∆ = − :
2 21 1
l K q K q q K qq q q qK K
− −∆ = − = − =+ +
( ) ( )0 11
1 1CV Kq Kq
K K−−∆ = =
+ + .
PROBLEMA 47. Dos condensadores de capacidades iguales están conectados en serie a una
batería de voltaje 0V . En uno de ellos se introduce un material
de coeficiente dieléctrico relativo K .
(a) Determinar la carga que circula por la batería al intro-
ducir el dieléctrico.
(b) Calcular la energía acumulada antes y después de in-
troducir el dieléctrico.
(c) Determinar el trabajo realizado por la batería al introducir el dieléctrico.
(d) Calcular el trabajo que tendría que efectuar un agente externo para sacar al di-
eléctrico.
K
V0
7. Condensadores con Dieléctrico 89
SOLUCIÓN
(a) Sea C la capacidad de cada condensador. La capacitancia equivalente antes de introducir
el dieléctrico es :
.
1 1 1 2eqC C C C
= + = ⇒ . 2eqCC = .
Por lo tanto, la carga de cada condensador antes de introducir el dieléctrico es :
02CQ V= .
Al introducir el dieléctrico en uno de los condensadores su nueva capacitancia será KC
y la capacitancia equivalente después de introducir el dieléctrico es :
.
11 1 1eq
KC K C C K C
+= + = ⇒ . 1eq
K CC
K= +
La nueva carga en cada condensador es :
01K Cq V Q
K= ≥
+ .
Al introducir el dieléctrico, la carga en los condensadores aumenta.
Luego, la carga Q∆ que circula por la batería al introducir el dieléctrico es :
( )0 0 02 1
1 2 2 1K C K KCQ q Q V V CVK K
− − ∆ = − = − = + +
0 12 1
CV Kq QK
− − = + .
(b) La energía acumulada en el sistema de los dos condensadores antes de introducir el di-
eléctrico es :
2 2 21 1
2 2Q Q QUC C C
= + = .
Entonces; 2
0
4CV
U =
90 Electromagnetismo Problemas y Soluciones
La energía acumulada después de introducir el dieléctrico es :
2 21 1
2 2l q q
UK C C
= +
2
20 0
1 1 1 12 1 2 1
l K C K CU V VK K C C K
= + = + +
(c) El trabajo realizado por la batería al introducir el dieléctrico es :
= •, Voltaje de la batería carga transferidab a t iW
2
0 0, 0
1 1 02 1 2 1b a t i
CV CVK KW VK K
− − = = > + +i
El trabajo realizado por los agentes externos para sacar el dieléctrico será igual a la varia-
ción de energía del sistema formado por los condensadores :
. . ,l
a g e x t b a t sU U U W W∆ = − = +
Nótese que la batería es un elemento externo para el sistema de los dos condensadores. Al
sacar el dieléctrico, por la batería circula la misma carga eléctrica que al introducir el dieléctrico,
pero en sentido contrario. Luego, el trabajo realizado por la batería al sacar el dieléctrico es el
negativo del trabajo realizado por la batería al introducir el dieléctrico:
, ,b a t s b a t iW W= − .
Luego : . . ,l
a g e x t b a t iW U U W= − +
2 2
20 0. . 0
1 14 2 1 2 1a g e x t
CV CVKC KW VK K
−= − ++ +
2
0. .
1 12 2 1a g e x t
CVW
K = − +
2
0. .
14 1a g e x t
CV KWK
− = +
El resultado anterior es positivo y significa que el agente externo saca el dieléctrico aplicando
una fuerza en la dirección del movimiento. Esto ocurre porque el dieléctrico es atraído hacia el
interior del condensador.
7. Condensadores con Dieléctrico 91
PROBLEMA 48. Un condensador de placas paralelas de capaci-
dad 0C , cuyo espacio entre placas está vacío, tiene una carga
inicial 0Q . Se introduce una placa de dieléctrico de constante
K , que no llena totalmente el espacio entre las placas, como se
indica en la figura adjunta.
Considerando que el proceso ocurre a carga constante, deter-
minar antes y después de introducir el dieléctrico :
(a) La intensidad del campo eléctrico en todo el espacio entre las placas.
(b) La carga de polarización.
(c) La carga libre.
(d) La diferencia de potencial entre las placas conductoras.
(e) La diferencia de potencial entre las caras opuestas del dieléctrico.
(f) La capacidad del condensador.
(g) La energía potencial eléctrica.
SOLUCIÓN
ANTES de introducir el dieléctrico :
00
0
QV
C=
00
AC
aε=
0LQ Q= ( carga libre )
0PQ = ( no hay carga de polarización )
00
0
QE
Aε= ( campo entre dos placas planas )
0FE = ( fuera de las placas )
20
002
QU
C= ( energía potencial eléctrica )
92 Electromagnetismo Problemas y Soluciones
DESPUÉS de introducir el dieléctrico :
(a) El campo dentro del dieléctrico se debilitará en una factor K respecto del valor en el va-
cío. El campo en el espacio vacío no se modifica (¿por qué?) .
=
0
0
en el vacío
dentro del dieléctrico
EE
E K
(b) La carga de polarización puede calcularse aplicando la ley de Gauss a una "caja de fósfo-
ros" , cuyas bases sean paralelas a las placas.
El flujo a través de las paredes laterales es cero pues
Er
es perpendicular a dSuuur
. Luego :
00E
bases
EE dS E A A
KΦ = = − +∫
uuurri i i ,
pero el flujo debe ser igual a la carga neta encerrada, dividida por 0ε :
0
PE
Qε
Φ = .
En consecuencia, igualando :
( )0 01 1PQ E AK
ε= − ,
pero 0 0 0E Q Aε= , de donde :
( ) 01
PKQ Q
K−= − ,
Puesto que 1K ≥ , la expresión anterior indica que la carga de polarización es siempre
de signo contrario al de la carga libre y de valor absoluto menor que el de la carga libre. Obser-
ve que la carga inducida por polarización es la misma cuando el dieléctrico llena el espacio en-
tre las placas.
7. Condensadores con Dieléctrico 93
(c) La carga libre, por otra parte, no varía durante el proceso pues las placas conductoras
permanecen aisladas :
( ) ( ) 0L Lantes despuésQ Q Q= = .
(d) La diferencia de potencial entre las placas conductoras pueden calcularse mediante :
( ) ( )
( )
( )+
+ −
−
∆ = − = − ∫uur
i lr
V V V E d ,
donde hay que considerar que el campo dentro del dieléctrico es 0E K .
( ) ( )( )00 0
1 1E
V E a b b E a bK K
∆ = − + = + −i
( )( )0
0
1 1Q
V a bA Kε
∆ = + −
( )
0
1 1a bKV V
a
+ − ∆ =
( )
0
11
KbV Va K
− ∆ = − i .
Esta diferencia de potencial es menor que la del condensador vacío, pero mayor que la
del mismo condensador lleno con el dieléctrico. (Justifique esta afirmación).
(e) La diferencia de potencial entre las caras opuestas del dieléctrico corresponde al tér-
mino 0Eb
Ki en la relación encontrada para V∆ total al hacer la integral. Puede expre-
sarse como :
0die léctr ico
V bVK a
∆ = i .
94 Electromagnetismo Problemas y Soluciones
(f) La capacidad del condensador, por definición, es el valor absoluto de la carga libre en cada
placa, dividido por la diferencia de potencial :
( )( ) ( )0 0
0
0
11 11
L Q AQC
QV a ba bkA k
ε
ε
= = =∆ + −+ −
( )0
11
CC
Kba K
=−
− i .
Puede apreciarse que el nuevo valor de la capacidad está comprendido entre la capacidad del
condensador vacío ( )0C y la del condensador lleno con dieléctrico ( )0K C .
0 0C C K C< <
(g) La energía potencial eléctrica puede calcularse directamente de :
( )( )2 2
0 0
0
11
2 2KQ Q bU
C C a K−
= = − i
La diferencia entre la energía final e inicial es:
( )( )2
00
0
11 1
2KQ bU U U
C a K−
∆ = − = − −i
( )
0
1KbU Ua K
−∆ = − i .
La energía eléctrica disminuye, en otras palabras, el condensador debe hacer trabajo
positivo para introducir el dieléctrico. Esto significa que el dieléctrico es atraído hacia el interior
del condensador, y el agente externo debe sujetarlo para que se introduzca muy lentamente,
haciendo trabajo negativo sobre el condensador.
7. Condensadores con Dieléctrico 95
PROBLEMA 49. Examinar el proceso de introducir un dieléctrico que llena parcialmente el es-
pacio entre las placas de un condensador, manteniendo la batería conectada durante todo el
proceso.
SOLUCIÓN
ANTES de introducir el dieléctrico tenemos:
00
AC
aε=
0 0 0LQ Q C V= =
0PQ =
00
VE
a=
2
0 00 2
C VU =
DESPUÉS de introducir el dieléctrico , 0V V= , ya que la batería permanece conectada.
Supongamos que el campo eléctrico en el espacio vacío tienen ahora magnitud E , luego el
campo dentro del dieléctrico será E K , y debe cumplirse :
( ) ( )( )01 1EV E a b b E a b
K K= − + = + − ,
es decir,
( ) ( )0 0
1 11 1
V EE
Kba bK a K
= =−+ − − i
.
Puesto que 1K ≥ y b a< , se cumple que 0E E> .
( a potencial constante )
a b
96 Electromagnetismo Problemas y Soluciones
Por lo tanto el campo en el vacío debe aumentar en magnitud para compensar el debili-
tamiento producido por el dieléctrico y mantener constante la diferencia de potencial.
La nueva carga libre puede calcularse aplicando las ley de Gauss a una "caja de fósforos" que
encierre una de las placas, como se indica :
.
0
encE
qε
Φ =
0
LQE A
ε=
( )
( )
0 00
0
11
11
L
E AQ E A
Kba K
QKb
a K
εε= =
−−
=−
−
i ii
i
Se ha encontrado que el valor absoluto de la carga libre aumenta en la misma propor-
ción que el campo en el vacío; la batería transfiere carga de una placa a la otra para mantener
constante la diferencia de potencial.
Para la carga de polarización aplicaremos la ley de Gauss a una "caja de fósforos" que encierra
una de las caras del dieléctrico.
.
0
encE
qε
Φ =
0
PQEE A AK ε
− + =
( )01 1PQ A EK
ε= −i i .
Puesto que hemos encontrado 0LQ E Aε= ; lo anterior se escribe como:
( )1
P L
KQ Q
K−
= −
7. Condensadores con Dieléctrico 97
La capacidad de este condensador es :
( )
0
00
11
L QQC
V KbVa K
= =−
−
i
( )0
11
CC
Kba K
=−
− i .
Evidentemente resulta el mismo valor obtenido a carga constante, porque la capacidad
de un condensador con dieléctrico no depende del proceso mediante el cual se introduce el
dieléctrico.
La energía puede calcularse mediante :
( )2
0 0
2 11
CV UU
Kba K
= =−
− i
Notar que 0U U> , de modo que el cambio de energía almacenada entre las placas es positiva :
( )0 01 1
11
U U U UKb
a K
∆ = − = − −−
i
( ) 01
01 1
K UU
aKb
−∆ = >
+ −
.
El aumento en la energía potencial se debe al trabajo neto hecho por el agente externo y
por la batería que mantiene constante el potencial. El trabajo realizado por la batería es :
( )0
0 0
LQ
batería LQ
W Vdq V Q Q= = −∫
( )0 01 1
11
bateríaW V QKb
a K
= − −−
( )012 2
1 1batería
KW U UaKb
− = = ∆ + −
98 Electromagnetismo Problemas y Soluciones
El trabajo efectuado por el agente externo para introducir el dieléctrico, se puede obtener
a partir de
batería agenteexterno
U W W∆ = +
agente bateríaexterno
W U W= ∆ − 2U U U= ∆ − ∆ = − ∆
( ) 01
01 1
agenteexterno
K UW
aKb
−= − <
+ −
.
El signo negativo del resultado anterior indica que el dieléctrico es atraído hacia el interior del
condensador.
PROBLEMA 50. Las placas paralelas de
un condensador plano se acercan a la
superficie de un líquido dieléctrico hasta
quedar justo sobre ella, como se muestra
en la figura. Al cerrar el interruptor, se
conecta una batería a las placas, y el nivel
del líquido que está entre ellas sube por
efecto de la fuerza eléctrica. Suponer que
no hay efectos de tensión superficial y
que la variación de nivel del líquido en el recipiente es despreciable (excepto entre las placas).
Considerar placas cuadradas de lado a y separación d entre ellas, y líquido de densidad ρ y
constante dieléctrica K .
Determinar la altura que sube el líquido entre las placas.
SOLUCIÓN
En el estado de equilibrio que se alcanza con la batería aplicada a las placas, la porción
de líquido que asciende entre ellas alcanza cierta altura 0y , de modo que son iguales el peso
del líquido y la fuerza eléctrica.
gV0
7. Condensadores con Dieléctrico 99
Luego ,
=yF mg
El peso del líquido que asciende entre las placas se puede expresar en términos de
los datos, según :
= ρ 0mg gady .
La fuerza eléctrica puede obtenerse a partir de la energía potencial eléctrica, usando la relación:
= −y
dUF
dy .
Para escribir la energía potencial eléctrica U en términos de la variable y , consideramos
el condensador plano como dos condensadores más pequeños, uno con el dieléctrico (C1) y
otro sin dieléctrico (C2), ambos sometidos a la misma diferencia de potencial. Inicialmente toda
la energía potencial está en la batería; finalmente hay energía potencial entre las placas planas
y la energía de la batería ha disminuido en el valor 0V q , siendo q la magnitud de la carga
que la batería ha proporcionado a cada placa. Entonces, la energía potencial eléctrica es :
= + + −2 20 1 0 2 0 0
1 1U U C V C V V q
2 2 ,
donde 0U es la energía potencial inicial en la batería ,
ε= 0
1
K ayC
d ,
( )ε −= 0
2
a a yC
d y ( )= +1 2 0q C C V .
Al sustituir las relaciones anteriores en la expresión para U se obtiene :
( )= − + 20 1 2 0
1U U C C V
2
( ) ( )( )e= − + − 200 0
aU y U a K 1 y V
2d .
mg
Fy
– q
0
y
y0
líquido
+ q
100 Electromagnetismo Problemas y Soluciones
Derivando U(y) se obtiene la fuerza eléctrica :
( )ε= − 20y 0
aF K 1 V
2d .
Puesto que yF ha resultado positivo, hemos encontrado que la fuerza eléctrica es en
dirección y , es decir, hacia arriba, como corresponde al efecto descrito en el enunciado. Ade-
más, ha resultado independiente de y. Usando este resultado en la ecuación de equilibrio de
fuerzas descrita al comienzo, se obtiene la igualdad :
( )ερ = − 200 0
agady K 1 V
2d ,
de donde resulta la altura 0y que sube el líquido. Finalmente,
( )− ε
=ρ
20 0
0 2
K 1 Vy
2 gd .
El efecto considerado en este ejercicio es pequeño, como puede verificarse usando los valores
numéricos siguientes :
=K 2 ; ρ = 3 310 [kg/m ] ; −ε = π i i i1 9 2 20 4 9 10 [N m /C ]
= 2g 10[m/s ] ; −= 3d 10 [m] ; = 30V 10 [V] .
En tales condiciones, resulta :
;0y 0,5 [mm]
